Ôn tập chương III: Nguyên hàm – tích phân 12

Daïng 4: Tính tích phaân cuûa moät soá hàm hữu tỉ thường gặp: a/Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng baäc cuûa maãu: Phöông phaùp giaûi: Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng cuûa moät phaàn ng[r]

ÔN TẬP Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân I, Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số f(x) xác định trên K ( K là khoảng hay nửa khoảng ) Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm hàm số f(x) trên K Nếu F’(x) = f(x) với x  K Kí hiệu: Họ nguyên hàm hàm số f(x) là:  f ( x)dx  F ( x)  C C  R III Các phương pháp tìm nguyên hàm: Tìm nguyên hàm ĐN, T ính chất nguyên hàm đưa Phöông phaùp giaûi: Thường đưa nguyên hàm đã cho nguyên hàm tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng  keát quaû Tính chất: Bảng các công thức nguyên hàm thương gặp: Nguy ên h àn c h àm s ố s c Nguy ên h àn c h àm s ố h ấp  f '( x)dx  f ( x)  C Tính chất 2:  k f ( x)dx  k  f ( x)dx ( k l à h ằng s ố kh ác kh ông ) Tính chất 3:   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx   x dx  x 1 C  1 k  k.du  k.u  C   u du  u 1 C  1 k  x dx  ln x  C  e dx  e  C  u du  ln u  C  e du  e  C ax  C (a  1, a  0) ln a  Cosxdx  Sinx  C au C ln a  Cosu.du  Sinu  C  Sinx.dx  Cosx  C  Sinu.du  Cosu  C  Cos x dx  Tanx  C Tính chất 1:  0dx  C  k.dx  k.x  C ợp  0du  C x x x  a dx  10  Sin x dx  Cotx  C Lop12.net u u u  a du   Cos u du  Tanu  C  Sin u du  Cotu  C VÝ Dô – Bµi tËp VÝ dô 1: T×m nguyªn hµm:  18 1990 I   ( x5  3x 7  x  x   6 )dx x x Hướng dẫn BTTT - BTVN Bài tập đề nghị: Tính caùc tích phaân sau: Hướng dẫn:  2 18 1990 I   x5 dx   3x 7 dx   x dx   x dx   dx   6 dx x x  I   x5 dx  3 x 7 dx   x dx  4 x dx  18 x 4 dx  1990 x dx 1  1/I=  (3  cos x ).dx  1 2/J=  (e x  2)dx x51 x 7 1 x x x 41 x 61 I     18  1990 C  1 1 7      3/K=  (6 x  x )dx  x6 x 6 x x x 3 x7 I      18  1990  C  6 3 7 x 6 14 97 16  54 1990 I   x  x  x  6.x 3  x  C 45 VÝ dô 2: T×m nguyªn hµm: f(x) = x3 – 3x + x VÝ dô 3: T×m nguyªn hµm: f(x) = + x x VÝ dô 4: T×m nguyªn hµm: f(x) = (5x + 3)5 VÝ dô 5: T×m nguyªn hµm: Gi¶i: f ( x )dx  (x - 3x + )dx  x x dx xdx x4 dx x ln x c x Gi¶i: f ( x )dx  (2 + ) dx  x x x dx dx (5x+ 3)5 d (5 x 3) x 2x ln 3x c ln Gi¶i: (5x+ 3)5 dx f ( x )dx  Gi¶i: f(x) = sin4x cosx Lop12.net (5 x 3)6 30 c sin x cosxdx f ( x )dx  sin x d (sin x ) Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biên d¹ng I: u lµ hµm sè cña x sin x c Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biên d¹ng I: u lµ hµm sè cña x Daïng 1: Tính tích phaân baèng phöông pháp đổi biến dạng  f[ (x)] '(x)dx : Phöông phaùp giaûi: b1: Ñaët u =  (x)  du =  '( x ) dx Hoặc Suy dx theo du : dx  du  '( x) thay vào biểu thức b2: Viết tích phân đã cho theo biến mới, tính tích phân tìm VÝ Dô – Bµi tËp Ví duï: Tính tích phaân sau: I   2x  dx x2  x  Hướng dẫn Giaûi: Ñaët u = x + x +1  du = (2x+1) dx dt Vaäy I=   ln t  C t BTTT - BTVN Tính caùc tích phaân sau:  1/  esin x cos x.dx Lop12.net ex dx ex  2/  e  1  ln x dx x  x( x 3/ 4/  3)5 dx Ví duï : Tính tích phaân sau : J   x  3.x.dx Giaûi: Ñaët u= x   u2= x2+  udu = x dx t3 Vaäy J =  t dt   C Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biên d¹ng I: x lµ hµm sè cña t Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biên d¹ng I: x lµ hµm sè cña t Daïng 2: Tính nguyeân haøm -tích phaân phương pháp đổi biến dạng II:X là haøm soá cuûa t: Phöông phaùp giaûi: Daïng 2: Tính nguyeân haøm - tích phaân phương pháp đổi biến dạng II:X là haøm soá cuûa t: b1: Ñaët x = u(t)  dx = u(t) dt Lop12.net b2: Vieát I =  f(x)dx tích phân theo biến tính tích phân Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dấu tích phân có dạng :  a2  x thì ñaët x= a sint  a2  x thì ñaët x= a tgt  x  a2 thì ñaët x= a sin t VÝ Dô – Bµi tËp Ví duï: Tính : Hướng dẫn Giaûi: Ñaët x = sint  dx = cost.dt I    x dx Vaäy : I  =   x dx =  cos t.dt  1 s in2t (1  cos 2t).dt= ( t  )C 2 2 Lop12.net BTTT – BTVN Daïng 3: Tính tích phaân baèng phöông phaùp tuøng phaàn: Công thức phần :  u.dv  u.v   v.du Phöông phaùp giaûi: B1: Đặt biểu thức nào đó dấu tích phaân baèng u tính du phaàn coøn laïi laø dv tìm v B2: Khai trieån tích phaân khoâng xaùc định đã cho theo công thức phần B3: Tích phaân  vdu suy keát quaû Chuù yù: a/Khi tính tính tích phân phần đặt u, v cho  vdu deã tính hôn  udv neáu khoù hôn phaûi tìm caùch ñaët khaùc b/Khi gaëp tích phaân daïng :  P( x ).Q( x ).dx - Nếu P(x) là đa thức ,Q(x) là Lop12.net caùc haøm soá eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta ñaët u = P(x) ; dv= Q(x).dx Neáu baäc cuûa P(x) laø 2,3,4 thì ta tính tích phân phần 2,3,4 lần theo cách ñaët treân - Nếu P(x) là đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta ñaët u = Q(x) ; dv = P(x).dx VÝ Dô – Bµi tËp Hướng dẫn Giai: Ví duï 1: Tính caùc tích haân sau: I=  x.cos x.dx du dx u x  Ñaët :  v sin x dv cos x.dx (chuù yù: v laø moät nguyeân haøm cuûa cosx ) vaäy I=x cosx -  sin x.dx = xcosx – Cosx + C BTTT - BTVN Tính caùc tích phaân sau: 1/  x.e3 x dx 2/  x dx cos2 x I = Cosx.(x – 1) + C Ví duï 2: Tính caùc tích phaân sau: J=  x ln x.dx Giaûi du  dx  u  ln x  x Ñaët :   dv  x.dx v  x  2 x2 x Vaäy J= lnx -  dx 2 x J x (ln x  )  C 2 Tính caùc tích phaân sau: 3/  ln x.dx  x.ln( x  1).dx  e cos x.dx x Lop12.net 4/ 5/ Daïng 4: Tính tích phaân cuûa moät soá hàm hữu tỉ thường gặp: a/Dạng bậc tử lớn hay baäc cuûa maãu: Phöông phaùp giaûi: Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng cuûa moät phaàn nguyeân vaø moät phaàn phaân soá roài tính VÝ Dô – Bµi tËp Ví duï: Tính caùc tích phaân sau: I=ò Giaûi: I= 2x dx x -1 Ví duï: Tính caùc tích phaân sau: J=ò Hướng dẫn x + 3x + dx x -1 ò 2x 1 dx =ò (1 + )dx = [ x + ln x -1] + C x -1 x -1 Giaûi: J=ò x + 3x + x x dx =ò ( x + x + + )dx = [ + + x + ln x -1] x -1 x -1 3 +C Lop12.net BTTT - BTVN Tính caùc tích phaân sau: I= x  5x   x  dx Tính caùc tích phaân sau: x  x  3x J=  dx x2 b/Daïng baäc1 treân baäc 2: Phöông phaùp giaûi: Taùch thaønh toång caùc tích phaân roài tính VÝ Dô – Bµi tËp Trường hợp mẫu soá coù nghieäm phaân bieät: Ví duï: Tính caùc tích phaân: I= ò 5( x -1) dx x2 - x - Trường hợp mẫu soá coù nghieäm keùp: Ví duï: Tính caùc tích phaân : I =ò (2 x + 1)dx x2 - 4x + Hướng dẫn Giaûi Ñaët: 5x - A B A( x - 3) + B( x + 2) 5( x -1) = + = = ( x + 2)( x - 3) x - x - ( x + 2)( x - 3) x + x -  A(x-3)+B(x+2)=5x-5 Cho x=-2  A=3 cho x=3  B=2 BTTT - BTVN Tính caùc tích phaân sau: 1/I=  dx x  5x  Vaäy ta coù: 5( x -1) dx x2 - x - I= ò I= ò ( x + + x - )dx = (3ln x + + ln x - ) + C Giaûi CI: I= ò =ò (2 x + 1)dx 2x - =ò ( + )dx x - 4x + x - 4x + x - 4x + d ( x - x + 4) + 5ò dx x - 4x + ( x - 2)2 4x =(ln x  CII: Ñaët ) + C x 2 x +1 x +1 A B A( x - 2) + B = = + = Û A( x - 2) + B = x + 2 x - x + ( x - 2) x - ( x - 2) ( x - 2)2 A A 2  Ax -2A+B=    2A B B  Lop12.net Tính caùc tích phaân sau: 2/I=  1 2x dx x  6x  Vaäy: I = (2ln x-2 - x + 1dx =ò [ + ]dx = x - 4x + x - ( x - 2)2 )+C x-2 Giaûi: Trường hợp mẫu soá voâ nghieäm: Ví duï: Tính caùc tích phaân I= ò ò I=ò Ta coù (2 x - 3)dx x2 + 2x + 2x + d ( x + x + 4) dx dx = ò ( x + 1)2 + ò x + x + - 5J x2 + 2x + ò Tính J= d ( x + x + 4) = ln x +2x+4  C x + 2x + ò ( x + 1) dx +3 Ñaët x+1= 3tgt  dx= 3(1  tg2 t )dt vaäy J=  3(1  tg2 t ) t+C dt  1dt =  (3  3tg t ) Vaäy I= ln x +2x+4 -5 t + C Trong đó t xác định : x+1= 3tgt Daïng 5: Tính tích phaân haøm voâ tæ: b Daïng1:  R( x ) n ax  bdx a Ñaët t= n ax  b b Daïng 2:  R( x ) n a Ñaët t= n ax  b dx cx  d ax  b cx  d Lop12.net Tính caùc tích phaân sau: 3/ I=  3x  dx x  4x  VÝ Dô – Bµi tËp Ví duï: Tính tích phaân I=   xdx Hướng dẫn Giaûi Ñaët: u =  x  u3= 1-x  x= 1-u3  dx= -3u2du Vaäy I=  u.(3u2 )du  3 u3 du  u4 C BTTT - BTVN Tính caùc tích phaân sau: 1/  x  xdx 2/  x dx 2 x Daïng 6: Tính tích phaân cuûa moät soá hàm lượng giác thường gặp  Daïng:  sin ax.cos bxdx , sin ax.sin bxdx , cos ax.cos bxdx  Phöông phaùp giaûi: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hiệu các tích phaân roài giaûi  Daïng: sin n xdx; cosn xdx  Phöông phaùp giaûi: Neáu n chaün dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến VÝ Dô – Bµi tËp Ví duï : Hướng dẫn       I   sin n 1 xdx   sin n x sin xdx   (1  cos2 x )n sin xdx Lop12.net BTTT - BTVN Tính caùc tích phaân sau: 1/  cos x.dx Ñaët t =cosx  I   sin n 1 xdx    R(sin x ).cos xdx Daïng:   sin    n   cos x  2n n  cos xdx   (cos x ) dx     dx  2n Ñaëc bieät: x.cos2 k 1 xdx Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =sinx   R(cos x ).sin xdx Daïng: Ñaëc bieät:    sin  n 1 x.cos2 k xdx Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =cosx Các trường hợp còn lại đặt x=tgt Ví duï: Tính caùc sau: Giaûi tích a/I1=  sin x.cos x.dx b/I2=  sin xdx phaân a/I1=  sin x.cos x.dx = Tính caùc tích phaân sau: 2/  sin3 x.cos3 x.dx cos x cos x  )C  (sin x  s in2 x )dx   ( Tính caùc tích phaân sau: b/I2= Lop12.net  sin c/I3=  cos3 xdx xdx    cos x sin x dx  ( x  )C 2 3/  sin x cos4 x.dx Tính caùc tích phaân sau: 4/  dx c/I3=  cos3 xdx = sin x 2  cos x.cos x.dx  (1  sin x ).cos x.dx Ñaët u=sinx  du = cosx dx Vaäy: I=  (1  u2 ).du  (u  d/I4=  cos3 x sin xdx u3 )C d/I4=  cos3 x sin xdx =  cos x sin x.cos x.dx   (1  sin x )sin x.cos x.dx Ñaët u=sinx  du = cosx dx Vaäy: I4=  (1  u2 )u2 du   (u2  u ).du  ( Lop12.net u3 u  )C *Cách đặt u và dv phương pháp tích phân phần b  b P( x)e x dx a  b P( x)ln xdx a  b P( x)cos xdx a  e x cos xdx a u P(x) lnx P(x) ex dv e x dx P(x)dx cosxdx cosxdx Chú ý: Điều quan trọng sử dụng công thức tích phân phần là làm nào để chọn u và phân f(x)dx Nói chung nên chọn u là phần f(x) mà lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv  v ' dx dv  v ' dx thích hợp biểu thức dấu tích là phần f(x)dx là vi phân hàm số đã biÕt hoÆc cã nguyªn hµm dÔ t×m Có ba dạng tích phân thường áp dụng tích phân phần:   NÕu tÝnh tÝch ph©n  P( x)Q( x)dx mµ P(x)lµ ®a thøc chøa x vµ Q(x) lµ mét nh÷ng hµm sè:  du  P ' ( x)dx u  P ( x )   đặt   dv  Q( x)dx v  Q( x)dx   Lop12.net e ax , cos ax, sin ax thì ta thường   NÕu tÝnh tÝch ph©n   du  Q '  x  dx  u  Q( x)   P( x)Q( x)dx mà P(x) là đa thức x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì ta đặt  dv  P( x)dx v  P( x)dx     NÕu tÝnh tÝch ph©n   I  e ax cos bxdx hoÆc  J  e ax sin bxdx  th×  du  ae ax dx u  e   ta đặt  dv  cos bxdx v  sin bx  b ax du  ae ax dx u  e   đặt  dv  sin bxdx v   cos bx   b ax Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu Từ đó suy kết tích phân cần tính II.Tích phân số hàm số thường gặp TÝch ph©n hµm sè ph©n thøc a)TÝnh tÝch ph©n d¹ng tæng qu¸t sau:  I   (trong đó XÐt dx ax  bx  c ax  bx  c   a  0 víi mäi x   ;   )   b  4ac Lop12.net  +)NÕu   th× I  dx  a x  b     tÝnh ®­îc  2a   +)NÕu   th× dx I , a   x  x1  x  x2   (trong đó I x1  b   b   ) ; x2  2a 2a x  x1  ln a  x1  x2  x  x2   +) NÕu §Æt x   th× dx I  ax  bx  c     dx 2  b      a  x       a a      b    tgt  dx   tg 2t  dt , ta tÝnh ®­îc I 2  2a 4a a  b) TÝnh tÝch ph©n: I   (trong đó  f ( x)  mx  n dx, ax  bx  c mx  n ax  bx  c  a  0 liªn tôc trªn ®o¹n  ;   ) +) Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A và B cho: Lop12.net mx  n A(2ax  b) B   ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c  +)Ta cã I=     TÝch ph©n    TÝch ph©n   A(2ax  b) dx = Aln ax  bx  c ax  bx  c dx ax  bx  c b c) TÝnh tÝch ph©n  mx  n A(2ax  b) B dx  dx   ax  bx  c  ax  bx  c dx ax  bx  c I  a   tÝnh ®­îc P( x) dx víi P(x) vµ Q(x) lµ ®a thøc cña x Q( x)  NÕu bËc cña P(x) lín h¬n hoÆc b»ng bËc cña Q(x) th× dïng phÐp chia ®a thøc  Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) thì có thể xét các trường hợp: + Khi Q(x) có nghiệm đơn 1 ,  , ,  n thì đặt An A1 A2 P( x)     Q ( x ) x  1 x   x  n + Khi Q( x)   x     x  px  q  ,   p  4q  thì đặt P( x) A Bx  C   Q( x) x   x  px  q + Khi Q( x)   x    x    với    thì đặt Lop12.net A P( x) B C    Q( x) x   x    x    VÝ dô TÝnh tÝch ph©n:  x  11 dx x  5x  Gi¶i: Cách 1.Bằng phương pháp đồng hệ số ta có thể tìm A, B cho: A  x  5 x  11 B   , x   \ 3; 2 x2  5x  x2  5x  x2  5x   Ax   A  B  x  11  , x   \ 3; 2 x2  5x  x2  5x  2 A  A    5 A  B  11  B  VËy  x  5 x  11   , x   \ 3; 2 2 x  5x  x  5x  x  5x  Do đó  x  11 2x  dx  dx  2 x  5x  x  5x    2ln x  x  C¸ch V×  dx x2  5x  x2  ln  ln x3 x  x    x   x  3 nªn ta cã thÓ tÝnh tÝch ph©n trªn b»ng c¸ch: T×m A, B cho: Lop12.net x  11 A B   , x   \ 3; 2 x  5x  x  x    A  B  x  A  B , x   \ 3; 2 x  11    x2  5x  x2  5x  A  B  A    3 A  B  11  B  VËy x  11   , x   \ 3; 2 x2  5x  x  x  Do đó  x  11 dx dx   x  5x  x    3ln x  VÝ dô 8:TÝnh tÝch ph©n:  dx x2  x  1  dx x3 1  ln x   ln 0 Gi¶i: Do  §Æt dx dx  x2  x   1 x   2   x 3     tgt , t   ;   dx   tg 2t  dt  2 6 3 VËy Lop12.net   dx  x2  x      Gi¶i: VÝ dô TÝnh tÝch ph©n:  3  tg t  dt  3  dt  t 3  (1  tg 2t ) x3 dx x2   2 x3 x   dx   x   dx  xdx  x 1 x       xdx x2  1 x2 1   ln x    ln 2 0 Tích phân các hàm lượng giác 2.1.Dạng 1: Biến đổi tích phân VÝ dô 10: H·y tÝnh c¸c tÝch Gi¶i ph©n sau: a)  J    ; a)  2 1 J cos5 xdx  cos9 xdx     sin x sin xdx        1 sin x  sin x   18  45 10   2 Lop12.net    