a 1,25ñ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD b 1,25ñ Xác ñịnh tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD II.. PHẦN RIÊNG 3 ñiểm Thí sinh chỉ ñược chọn một trong hai phần: Theo[r]
(1)http://www.vnmath.com ðỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2009 – 2010 Môn TOÁN Lớp 12 Nâng cao Thời gian làm bài 90 phút ðề số Bài (3 ñiểm) x − x + x − (C ) b) Tìm m ñể ñường thẳng (d ) : y = 2mx − cắt (C ) ñiểm phân biệt? a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số: y = f ( x ) = ( ñiểm) ( ñiểm) Bài (3 ñiểm) a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: f (x) = π cos x + sin x − , với x ∈ 0; 2 b) Giải phương trình: log21 x − log9 x − = ( ñiểm) ( ñiểm) x − y + = c) Giải hệ phương trình: x y2 x 27 − = Bài (1 ñiểm) Cho hàm số y = ( ñiểm) x + (m + 1) x + m + (Cm ) , m là tham số x +1 Chứng minh với ∀m , ñồ thị ( Cm ) luôn có cực ñại, cực tiểu Tìm m ñể khoảng cách từ ñiểm cực ñại ñồ thị ( Cm ) ñến ñường thẳng (∆) : x − y + = 4? ( ñiểm) Bài (3 ñiểm) Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , ñáy là ∆ ABC vuông cân A Biết SA = 2a, AB = a 3, AC = a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC (1,5 ñiểm) b) Xác ñịnh tâm I và tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Suy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC (1 ñiểm) c) Gọi M , N , P là trung ñiểm SB, SC , AC Mặt phẳng ( MNP ) cắt AB Q Tính diện tích toàn phần khối ña diện MNPQBC =========================== Lop12.net ( 0,5 ñiểm) (2) http://www.vnmath.com ðÁP ÁN ðỀ THI HỌC KÌ Môn TOÁN Lớp 12 Nâng cao Thời gian làm bài 90 phút ðề số Bài (3 ñiểm) a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số: y = f ( x ) = x − x + x − (C ) • Tập xác ñịnh D = R • Giới hạn lim y = +∞; x →+∞ ( 0,25 ñiểm) lim y = −∞ ( 0,25 ñiểm) x →−∞ x = y = • y ' = x − x + 3; y ' = ⇔ x − x + = ⇔ ⇒ x = y = −1 ( 0,25 ñiểm) • Bảng biến thiên ( 0,5 ñiểm) x −∞ + f '( x) - f ( x) + +∞ −∞ +∞ −1 Hàm số nghịch biến trên (1;3) , ñồng biến trên (−∞;1) và (3; +∞) 1 ðiểm cực tiểu I1 (3; −1) , ñiểm cực ñại I 1; 3 1 • Ta có y '' = x − 4; y '' = ⇔ x − = ⇔ x = ðiểm uốn I 2; − 3 (0,25 ñiểm) • ðồ thị: ( 0,5 ñiểm) 1 ðiểm ñặc biệt: A ( 0; −1) , B 4; 3 y -2 -1 − -1 A -2 I .B 2 I .I 1 ðồ thị hàm số nhận ñiểm uốn I 2; − làm tâm ñối xứng 3 Lop12.net x (3) http://www.vnmath.com b) Tìm m ñể ñường thẳng (d ) : y = 2mx − cắt ( C ) ñiểm phân biệt? Phương trình hoành ñộ giao ñiểm (C ) và (d ) là: x − x + x − = 2mx − ⇔ x = 1 x x − x + − 2m = ⇔ x − x + − 2m = 3 3 x − x + − 2m ( 0,5 ñiểm) ðể PT ñã cho có nghiệm phân biệt thì PT g( x ) = có nghiệm phân biệt khác ðặt g ( x ) = 1 − (3 − 2m) > m > ∆′ > ⇔ ⇔ ⇒ 3 g(0) ≠ m ≠ m ≠ Bài ( ñiểm) a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: ( 0,5 ñiểm) π f ( x ) = cos x + sin x − , với x ∈ 0; 2 Ta có f ( x ) = π 1( 1 − sin2 x ) + 2sin x − = − sin x + sin x − , x ∈ 0; 2 ðặt t = sin x, ≤ t ≤ ⇒ g(t ) = −t + 2t − , t ∈ 0;1 (0,25 ñiểm) (0,25 ñiểm) g′ (t ) = −2t + 2, g′ (t ) = ⇔ t = 1, ∀t ∈ 0;1 (0,25 ñiểm) Ta có: g(0) = − ; g(1) = 6 π 5 Giá trị lớn là: max g(t ) = g(1) = t = ⇔ max f ( x ) = x = π [ 0;1] 6 0; 2 Giá trị nhỏ là: g(t ) = g(0) = − 0;1 Vậy max f ( x ) = π 0; 1 t = ⇔ f ( x ) = − x = π 6 0; 2 π x = , f ( x ) = − x = 0;π ( 0,25 ñiểm) 2 b) Phương trình log21 x − log9 x − = ⇔ log32 x − log3 x − = (0,25 ñiểm) ðặt t = log3 x , ta có phương trình: (0,25 ñiểm) x = log3 x = t = 4t − 3t − = ⇔ 1⇔ ⇒ x = log3 x = − t = − Lop12.net (0,5 ñiểm) (4) http://www.vnmath.com x − y + = c) Giải hệ phương trình x x 27 − 3y = (1) (2) (2) ⇔ 27 x = 3y x ⇔ 3y = x ⇔ x = y , thay vào phương trình (1) ta ñược: y = y = −1 x = y =1 y2 − y + = ⇔ ⇔ ⇒ x = y =2 y = y = − ( 0,5 ñiểm) Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1); (1; −1); (4; 2); (4; −2) ( 0,5 ñiểm) Bài (1 ñiểm) • Tập xác ñịnh D = R \ {−2} • y' = ( 0,25 ñiểm) (2 x + m + 1)( x + 1) − x + (m + 1) x + + m ( x + 1)2 = x2 + 2x ( x + 1)2 x = y = m +1 y ' = ⇔ x2 + 2x = ⇔ ⇒ x = −2 y = m − −2 −∞ x + f '( x) f ( x) ( 0,25 ñiểm) −1 - - +∞ + +∞ m −3 m +1 −∞ Dựa vào BBT ⇒ ñiểm cực ñại là: I1 (−2; m − 3) (0,25 ñiểm) Khoảng cách từ ñiểm cực ñại I1 (−2; m − 3) ñến ñường thẳng (∆) : x − y + = là: d (I1 ,(∆)) = − 4m m = −3 = ⇔ 2−m = 5⇔ m = (0,25 ñiểm) Bài (3 ñiểm) • Vẽ hình ñúng (0,5 ñiểm) S Do SA ⊥ ( ABC ) nên SA là ñường cao hình chóp S.ABC V = SA.S∆ ABC (0,25 ñiểm) Mà ∆ ABC vuông cân C S∆ ABC = 1 3a2 AC AB = a 3.a = 2 ( 0,25 ñiểm) Suy V = 2a.a2 = a3 d N K E M P I C A ( 0,5 ñiểm) H Q B Lop12.net (5) http://www.vnmath.com b) Gọi H là trung ñiểm BC Ta có: HA = HB = HC (do ∆ ABC vuông A ) Từ H dựng ñường thẳng d ⊥ ( ABC ) Suy d là trục mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Dựng mặt phẳng trung trực cạnh SA ñi qua trung ñiểm E SA , cắt d ñiểm I Ta có IA = IS (1) Tương tự, dựng mặt phẳng trung trực các cạnh SB, SC Ta có: IC = IB = IS (2) Từ (1),(2) suy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC Bán kính R = IA Ta có IA = IH + AH = a 10 (0,5 ñiểm) Diện tích mặt cầu là: S = 4π R = 10π a2 10 Thể tích khối cầu là: V = π R = πa (0,5 ñiểm) 3 c) Mặt phẳng ( MNP ) cắt ( ABC ) theo giao tuyến PQ song song với BC , với Q là trung ñiểm AB (0,25 ñiểm) Diện tích toàn phần khối ña diện MNPQBC bằng: dt ( MNPQ ) + dt ( BMQ ) + dt ( PNC ) + dt ( BCPQ ) + dt ( MNBC ) = a a2 a 9a2 a2 33 33 = + + + + = + + + a 2 4 8 8 (0,25 ñiểm) ============================= ðỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2009 – 2010 Môn TOÁN Lớp 12 Nâng cao Thời gian làm bài 90 phút ðề số Bài (3 ñiểm) a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số: y = f ( x ) = − x + x − x + (C ) b) Tìm m ñể ñường thẳng (d ) : y = mx + cắt (C ) ñiểm phân biệt? (2 ñiểm) (1 ñiểm) Bài (3 ñiểm) a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: π f ( x ) = − cos x − sin x + , với x ∈ 0; 3 2 b) Giải phương trình: log22 x − log2 x2 + 13 log2 = Lop12.net (1 ñiểm) (1 ñiểm) (6) http://www.vnmath.com xy = c) Giải hệ phương trình 16 x − 41− y − = (1 ñiểm) Bài (1 ñiểm) Cho hàm số y = x + 2(m + 1) x + m2 + m x+2 (Cm ) , m là tham số Tìm m ñể hàm số ( Cm ) có cực ñại, cực tiểu và khoảng cách hai ñiểm cực ñại, cực tiểu ? Bài (3 ñiểm) (1 ñiểm) Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , ñáy là ∆ ABC vuông C Biết SA = a 3, AB = 2a, AC = a a) Tính thể tích khối chóp S ABC (1,5 ñiểm) b) Gọi H , K là hình chiếu vuông góc A xuống SC , SB Xác ñịnh tâm I và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp H ABC Suy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp H ABC và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp H ABC (1 ñiểm) c) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp A.BHK và A.BCH ? =============================== (0,5 ñiểm) ðÁP ÁN ðỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2009 – 2010 Môn TOÁN Lớp 12 Nâng cao Thời gian làm bài 90 phút ðề số Bài (3 ñiểm) a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số: y = f ( x ) = − x + x − x + (C) • Tập xác ñịnh D = R • Giới hạn lim y = −∞; (0,25 ñiểm) lim y = +∞ (0,25 ñiểm) x = y = − ⇒ • y ' = − x + x − 3; y ' = ⇔ − x + x − = ⇔ x = y = (0,25 ñiểm) x →+∞ x →−∞ • Bảng biến thiên x −∞ - f '( x) f ( x) (0,5 ñiểm) + +∞ +∞ - − −∞ Lop12.net (7) http://www.vnmath.com Hàm số ñồng biến trên (1;3) , nghịch biến trên (−∞;1) và (3; +∞ ) 1 ðiểm cực ñại I1 (3;1) , ñiểm cực tiểu I 1; − 3 • Ta có y '' = −2 x + 4; y '' = ⇔ −2 x + = ⇔ x = y 1 ðiểm uốn I 2; 3 ( 0,25 ñiểm) 1 • ðiểm ñặc biệt: A ( 0;1) , B 4; − 3 I A I -2 -1 .2 − I B -2 x 1 ðồ thị hàm số nhận ñiểm uốn I 2; làm tâm ñối xứng 3 (0,5 ñiểm) b) Tìm m ñể ñường thẳng (d ) : y = mx + cắt (C ) ñiểm phân biệt? Phương trình hoành ñộ giao ñiểm (C) và (d) là: − x + x − x + = mx + ⇔ x = 1 x x2 − 2x + m + 3 = ⇔ 1 x − 2x + m + = 3 3 (0,5 ñiểm) x − 2x + m + ðể PT ñã cho có nghiệm phân biệt thì PT g( x ) = có nghiệm phân biệt khác ðặt g( x ) = ∆ ' > m < ⇔ ⇔ 1 − ( m + 3) > ⇒ g ≠ m ≠ −3 ( ) m ≠ −3 (0,5 ñiểm) Bài ( ñiểm) a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: π f ( x ) = − cos x − sin x + , với x ∈ 0; 3 2 • Ta có f ( x ) = − π 1( − sin x ) − sin x + = sin x − sin x + 1, x ∈ 0; (0,25 ñiểm) 3 2 ðặt t = sin x , ≤ t ≤ ⇒ g(t ) = 2 t − 2t + 1, t ∈ 0;1 Lop12.net (0,25 ñiểm) (8) http://www.vnmath.com t − 2, g '(t ) < 0, ∀t ∈ [ 0;1] g '(t ) = (0,25 ñiểm) Giá trị lớn nhất: max g(t ) = g(0) = t = ⇔ max f ( x ) = x = π [ 0;1] 0; 2 π 1 Giá trị nhỏ là: g(t ) = g(1) = − t = ⇔ f ( x ) = − x = π [ 0;1] 3 0; 2 Vậy max f ( x ) = x = , π 0; b) PT log22 x − log2 x f ( x ) = − π 0; π x = (0,25 ñiểm) + 13 log2 = ⇔ log22 x + 10 log2 x + 16 = ðặt t = log2 x , ta có phương trình: (0,25 ñiểm) −2 x = log x = − t = −2 x=2 t + 10t + 16 = ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ −8 t = −8 log2 x = −8 x = x = xy = c) Giải hệ phương trình 16 x − 41− y − = (1) ⇔ y 16 (0,5 ñiểm) 256 (0,25 ñiểm) (1) (2) y = , thay vào phương trình (2) ta ñược: x 1− y −4 t = y > −3 = ⇔ − −3 = ⇔ y t − t − = Phương trình t − y (0,5 ñiểm) t = −1 − = ⇔ t − 3t − = ⇔ t t = (0,25 ñiểm) Kết hợp ñiều kiện, ta chọn t = ⇔ y = ⇔ y = ⇒ x = (0,25 ñiểm) Vậy hệ phương trình có nghiệm (2;1) Bài (1 ñiểm) • Tập xác ñịnh D = R \ {−2} • y' = ( 0,25 ñiểm) [2 x + 2(m + 1)] ( x + 2) − x + 2(m + 1) x + m2 + m = x + x − m + 3m + ( x + 2)2 ( x + 2)2 ðặt g ( x ) = x + x − m + 3m + ðể hàm số ñã cho có cực trị thì y ' = có hai nghiệm phân biệt khác −2 và y ' ñổi dấu ñi qua hai nghiệm phân biệt ñó ⇔ g( x ) = có hai nghiệm phân biệt khác −2 Ta có hệ: Lop12.net (9) http://www.vnmath.com m − 3m > ∆ ' > ⇔ ⇒m<0 ∨ m>3 g ( −2 ) ≠ − m + 3m ≠ (0,25 ñiểm) Vậy m ∈ ( −∞; ) ∪ ( 3; +∞ ) thì hàm số ñã cho có cực trị Với m ∈ ( −∞; ) ∪ ( 3; +∞ ) , gọi hai ñiểm cực trị là I1 ( x1; x1 + 2m + ) ; I ( x2 ; x2 + 2m + ) 2 I1I = ⇔ I1I 2 = ⇔ ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) = ⇔ ( x2 − x1 ) = ⇔ ( x2 + x1 ) − x1 x2 = ( *) x + x = −4 Áp dụng hệ thức Viet, ta có 2 x1 x2 = − m + 3m + (0,25 ñiểm) − 10 m = 2 Thay vào (*) ta ñược phương trình 4m − 12m − = ⇔ + 10 m = (0,25 ñiểm) Bài (3 ñiểm) Vẽ hình ñúng ( 0,5 ñiểm) a) Do SA ⊥ ( ABC ) nên SA là ñường cao hình chóp S ABC Thể tích khối chóp là: V = SA.S∆ ABC Mà ∆ ABC vuông C nên: (0,25 ñiểm) S S∆ ABC = 1 a AC.BC = a.a = 2 (0,25 ñiểm) a3 Suy V = a 3.a = (0,5 ñiểm) 2 b) Ta có: BC ⊥ (SAC ) ( BC ⊥ AC; BC ⊥ SA ) H K Suy BC ⊥ AH Mặt khác, SC ⊥ AH Từ ñó, AH ⊥ (SBC ) ⇒ AH ⊥ HB A B I ∆ AHB vuông H Gọi I là trung ñiểm AB , ta có IA = IB = IH ∆ ACB vuông C , ta có IA = IB = IC (1) (2) Từ (1), (2) suy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp H ABC Bán kính R = IA = AB = a C (0,5 ñiểm) 4 Diện tích mặt cầu là: S = 4π R = 4π a2 Thể tích khối cầu là: V = π R3 = π a3 (0,5 ñiểm) 3 c) Tỉ số thể tích khối chóp A.BHK và A.BCH Lop12.net (10) http://www.vnmath.com 1 1 a3 Ta có VA.BCH = VB AHC = BC.SACH = BC AH HC = a 3.a2 = 3 8 (0,25 ñiểm) 1 3a3 VH ABK = VB AHK = BK dt ( ∆ AHK ) = BK AH HK = 3 14 3 VA.BHK 14 a 12 Suy = = VA.BCH a ================================= (0,25 ñiểm) ðỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2009 – 2010 Môn TOÁN Lớp 12 Thời gian làm bài 90 phút SỞ GD & ðT ðề số I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 ñiểm) Câu I (3 ñiểm) Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số y = x − x + Tìm m ñể phương trình x − x + = m có nghiệm phân biệt Câu II (1 ñiểm) Giải phương trình: 2(log2 x + 1) log x + log2 =0 Câu III (3 ñiểm) Cho tam giác ABC ñều cạnh a Trên ñường thẳng d ñi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy ñiểm D cho AD = 2a Tính thể tích khối chóp D.ABC Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp D.ABC Mặt phẳng ñi qua B, trung ñiểm AD và tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần ñó II PHẦN TỰ CHỌN (3 ñiểm) Thí sinh ñược chọn hai phần: Theo chương trình Chuẩn Nâng cao Theo chương trình Chuẩn Câu IVa (3 ñiểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x − + − x + Giải bất phương trình: log log22 (2 x ) − log2 x ≤ 3 Tìm m ñể hàm số y = x – 6x2 + 3(m + 2)x – m – có hai cực trị và hai giá trị cực trị cùng dấu Theo chương trình Nâng cao Câu IVb (3 ñiểm) Lop12.net (11) http://www.vnmath.com Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x + − x x+y y x = 32 Giải hệ phương trình: 4 log3 ( x − y ) = + log ( x + y ) 2 m ñể phương trình (m − 2)22 x − 2(m + 1)2 x + 2m − = có nghiệm thuộc ñoạn Tìm 0; Hết Họ và tên thí sinh: ðề số Câu I.1 SBD : ðÁP ÁN ðỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2009 – 2010 Môn TOÁN Lớp 12 Thời gian làm bài 90 phút Nội dung ðiểm 2,00 Khảo sát hàm số y = x − x + 1) Tập xác ñịnh : R 2) Sự biến thiên: a) Giới hạn : lim y = +∞, lim y = +∞ x →−∞ 0,50 x →+∞ x = ′ ′ b) Bảng biến thiên: y = x − 10 x ; y = ⇔ x = ± 10 x –∞ – 10 / 10 / y' – + – +∞ +∞ + 0,50 +∞ y –9/4 –9/4 10 10 Hàm số ñồng biến trên các khoảng − ;0, ; +∞ 10 10 Hàm số nghịch biến trên các khoảng −∞; − , 0; Hàm số ñạt cực ñại x = 0, yCð = y(0) = 10 10 Hàm số ñạt cực tiểu x = ± , yCT = y ± =− 2 Lop12.net 0,50 (12) http://www.vnmath.com 19 3) ðồ thị: ðồ thị (C) hàm số có hai ñiểm uốn U ± ; nhận Oy làm 36 trục ñối xứng, giao với Ox ñiểm ( ± 1; 0); ( ± 2; 0) (Hình 1) y y (C1) (C) 4 y=m 9/4 -2 -1 O x -2 -1 O x 0,50 -9/4 y (C1) y=m 9/4 -2 -1 O x (Hình 1) (Hình 2) Tìm m ñể phương trình x − x + = m (1) có nghiệm phân biệt I.2 II Gọi (C1) là ñồ thị hàm số y = x − x + (C1) gồm hai phần: +) Phần ñồ thị (C) nằm trên trục Ox +) ðối xứng phần ñồ thị (C) nằm Ox qua Ox Vẽ ñồ thị (Hình 2) Số nghiệm (1) số giao ñiểm (C1) với ñường thẳng y = m Theo ñồ <m<4 thị ta ñược (1) có nghiệm phân biệt và m = và 2(log2 x + 1) log4 x + log2 = (1) Giải phương trình ðiều kiện: x > (1) ⇔ (log2 x + 1) log2 x − = ⇔ log22 x + log2 x − = x = log x = ⇔ ⇔ x = log2 x = −2 III.1 1,00 0,25 0,25 0,50 1,00 0,5 0,5 1,00 Tính thể tích khối chóp D.ABC Lop12.net (13) http://www.vnmath.com d D ∆ F N I E K A C O M B Thể tích khối chóp III.2 1 a a3 = VD ABC = AD.SABC = 2a 3 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp D.ABC Gọi O là trọng tâm tam giác ABC, gọi ∆ là ñường thẳng ñi qua O và vuông góc với (ABC), suy ∆ // DA và ∆ là trục ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong mặt phẳng (d, ∆) kẻ ñường thẳng trung trực AD cắt ∆ I, ñó I cách ñều A, B, C, D nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp D.ABC Gọi M, N là trung ñiểm BC và AD Tứ giác AOIN là hình chữ nhật nên IA = ON = AN + AO AN = 2a a DA = a, AO = AM = = 3 1,00 1,00 0,25 0,25 a 3 3a IA = a + = 2 III.3 3a 16π a2 3a Mặt cầu có bán kính R = IA = nên S = 4π R = 4π = 3 Tính tỉ số thể tích Gọi E = DM ∩ IN, F = BE ∩ DC ñó tam giác BNF là thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (BNI) Do N là trung ñiểm DA, NE // AM nên E là trung ñiểm DM Gọi K là trung ñiểm FC ⇒ MK là ñường trung bình tam giác BFC ⇒ MK // BF ⇒ EF là ñường trung bình tam giác DMK ⇒ F là trung ñiểm DK ⇒ DC = DF ⇒ SDBC = 3SDBF Lop12.net 0,50 1.00 0,25 0,25 (14) http://www.vnmath.com Gọi h là khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (DBC), N là trung ñiểm DA nên khoảng cách từ N ñến (DBC) h/2 Gọi thể tích khối chóp D.ABC là V, thể tích khối chóp D.NBF là V1, thể tích phần còn lại là V2 1h 1 Ta có V1 = SDBF = h.SDBC = V ⇒ V2 = V − V1 = V − V = V 32 6 6 V V Do ñó ta có tỉ số thể tích: = = V2 V1 V DN DF DB = Chú ý thí sinh có thể làm theo cách sau: = V DA DC DB IVa.1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x − + − x + 0,25 0,25 1,00 Tập xác ñịnh D = [1; 9] y' = x −1 − 9− x , y ' = ⇔ x −1 = − x ⇔ x = 0,50 y(1)= y(9) = 2 , y(5) = IVa.2 ⇒ max y = y(5) = 4, y = y(1) = y(9) = 2 0,50 Giải bất phương trình 1,00 log log22 (2 x ) − log2 x ≤ ⇔ log22 (2 x ) − log2 x ≥ (ñiều kiện: x > 0) 0,25 IVa.3 log x ≥ (1 + log2 x )2 − log2 x − ≥ ⇔ log22 x − log2 x ≥ ⇔ log2 x ≤ x ≥ Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (0;1] ∪ [2; +∞) ⇔ x ≤ Tìm m ñể hàm số y = x3 – 6x2 + 3(m + 2)x – m – có hai cực trị cùng dấu y’ = 3x2 – 12x + 3(m +2) ðiều kiện ñể hàm số có cực trị là y’ có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = 36 − 9(m + 2) > ⇔ m < Gọi x1, x2 là hai ñiểm cực trị hàm số, ñó theo ñịnh lí Viet ta có x1 + x2 = x x = m + 1 2 Do y = x − y '+ (m − 2)(2 x + 1) và y’(x1) = y’(x2) = 3 3 nên y( x1 ) = (m − 2)(2 x1 + 1) , y( x2 ) = (m − 2)(2 x2 + 1) yC § yCT = y( x1 )y( x2 ) = (m − 2)2 (2 x1 + 1)(2 x2 + 1) = (m − 2)2 [4 x1 x2 + 2( x1 + x2 ) + 1] 2 = (m − 2) [4(m + 2) + 2.4 + 1] = (m − 2) (4m + 17) Do ñó hai giá trị cực trị cùng dấu m ≠ yCÑ yCT > ⇔ (m − 2)2 (4m + 17) > ⇔ 17 m > − 17 Kết hợp với ñiều kiện ta ñược − < m < Lop12.net 0,50 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 (15) http://www.vnmath.com IVb.1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x + − x 1,00 Tập xác ñịnh: D = [– 2; 2] y ' = 1+ IVb.2 −x − x2 = 0,25 − x2 − x − x2 x ≥ y ' = ⇔ − x2 − x = ⇔ 2 ⇔x= 4 − x = x 0,25 y(–2) = – 2, y (2) = 2, y( 2) = 2 0,25 max y = y( 2) = 2, y = y(−2) = −2 0,25 x+y y x = 32 Giải hệ phương trình 4 log3 ( x − y ) = + log ( x + y ) ðiều kiện: x – y > 0, x + y > 0, x ≠0, y ≠ (1) (2) (2) ⇔ log3 ( x − y ) + log3 ( x + y ) = ⇔ log3 ( x − y ) = ⇔ x − y = (3) 0,25 x y 2 + y x x y = 25 ⇔ + = y x 1 x t = ðặt t = ta có t + = ⇔ 2t − 5t + = ⇔ y t = 1/ t 0,25 +) Với t = ⇒ x = y vào (3) ta ñược y − y = ⇔ y = ±1 Khi y = ⇒ x = (thoả mãn) Khi y = −1 ⇒ x = −2 (loại ) 0,25 (1) ⇔ ⇒ y = x vào (3) ta ñược x − x = (voâ nghieäm) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y ) = (2; 1) Tìm m ñể phương trình có nghiệm thuộc ñoạn [0; 1] +) Với t = IVb.3 1,00 2 (m − 2)22 x − 2(m + 1)2 x + 2m − = 0,25 1,00 (1) ðặt t = x , x x ∈ 0; neân t ∈ [1; 4] (1) trở thành (m − 2)t − 2(m + 1)t + 2m − = ⇔ (t − 2t + 2)m = 2t + 2t + ⇔ m = 2t + t + t − 2t + (2) 0,25 = f (t ) Xét hàm số f(t) trên [1; 4] t = −2 (loại) f '(t ) = ⇔ −6t − 4t + 16 = ⇔ t = (t − 2t + 2)2 4 23 f(1) = 10, f(4) = , f = 11 3 4 23 ⇒ max f (t ) = f = 11, f (t ) = f (4) = [1;4] [1;4] 3 f '(t ) = −6t − 4t + 16 , Lop12.net 0,25 0,25 (16) http://www.vnmath.com (1) có nghiệm thuộc [0; ] ⇔ (2) có nghiệm thuộc [1; 4] ⇔ 23 ≤ m ≤ 11 23 Vậy: ≤ m ≤ 11 0,25 ðỀ THI HỌC KÌ – Năm học Môn TOÁN Lớp 12 Thời gian làm bài 90 phút ðề số I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 ñiểm) Câu I (3 ñiểm) Cho hàm số y = x + x + x + có ñồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với ñồ thị (C) ñiểm M(–2; 2) c) Dựa vào ñồ thị (C), tìm m ñể phương trình x + x + x + = log2 m có nghiệm phân biệt Câu II (1 ñiểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = cos x + sin x trên ñoạn π 0; Câu III (2 ñiểm) Giải các phương trình sau: a) 52 x + 5x +1 = b) log2 ( x + 1) − log ( x + 3) = log2 ( x + 7) Câu IV (1 ñiểm) Biết π < 10 Chứng minh: 1 + >2 log2 π log5 π II PHẦN RIÊNG (3 ñiểm) Thí sinh ñược chọn hai phần: Theo chương trình Chuẩn Nâng cao Theo chương trình Chuẩn Câu Va (2 ñiểm) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ñáy, cạnh bên SB = a a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Xác ñịnh tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Câu VIa (1 ñiểm) Giải bất phương trình: 5 6 x −3 x ≥ Theo chương trình Nâng cao Câu Vb (2 ñiểm) Trên mặt phẳng (P) có góc vuông xOy , ñoạn SO = a vuông góc với (P) Các ñiểm M, N chuyển ñộng trên Ox, Oy cho ta luôn có OM + ON = a a) Xác ñịnh vị trí M, N ñể thể tích tứ diện SOMN ñạt giá trị lớn b) Khi tứ diện SOMN có thể tích lớn nhất, hãy xác ñịnh tâm và tính bán kính mặt cẩu ngoại tiếp tứ diện SOMN Câu VIb (1 ñiểm) Giải hệ phương trình: log x − log2 y = log2 xy = Hết Họ và tên thí sinh: Lop12.net SBD : (17) http://www.vnmath.com ðÁP ÁN ðỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2009 – 2010 Môn TOÁN Lớp 12 Thời gian làm bài 90 phút ðề số Câu I.a Nội dung ðiểm 2,00 Khảo sát hàm số y = x − x + 1) Tập xác ñịnh : R 2) Sự biến thiên: a) Giới hạn : lim y = +∞, lim y = +∞ x →−∞ 0,50 x →+∞ x = −1 y′ = ⇔ x = −3 –1 – + b) Bảng biến thiên: y′ = x + 12 x + ; x y′ y –3 −∞ + 0,50 +∞ +∞ −∞ Hàm số ñồng biến trên các khoảng ( −∞; −3 ) , ( −1; +∞ ) Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3; −1) Hàm số ñạt cực ñại x = –3, yCð = y(–3) = Hàm số ñạt cực tiểu x = −1 , yCT = y(−1) = 3) ðồ thị: ðồ thị ñi qua các ñiểm (–2; 2), (0; 4), (–1; 0), (–3; 4), (–4; 0) 0,50 0,50 y -6 -5 -4 -3 -2 -1 x -1 -2 -3 -4 I.b Phwong trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến với (C) ñiểm M(–2; 2): y = f ′ (−2)( x + 2) + f (2) ⇒ y = −3 x − I.c II Tìm m ñể PT x + x + x + = log2 m có nghiệm phân biệt 0,50 0,25 0,25 0,50 Số nghiệm PT là số giao ñiểm (C) và d: y = log2 m 0,25 Dựa vào ñồ thị ⇒ PT có nghiệm phân biệt ⇔ < log2 m < ⇔ < m < 16 0,25 π Tìm GTLN, GTNN hàm số y = cos x + 4sin x trên ñoạn 0; 2 y′ = −2 sin x + cos x = cos x (1 − sin x ) 1,00 π π π Trên 0; , ta có: y′ = ⇔ x = ∨ x = 2 Lop12.net 0,25 0,25 (18) http://www.vnmath.com π π y = − 2; y = 2; y(0) = 2 4 π Vậy: y = y(0) = 2; max y = y = 2 π π 4 0; 0; 0,25 Giải phương trình 52 x + 5x +1 = 1,00 ðặt t = x , t > 0,25 t = −6 (loại ) PT trở thành t + 5t − = ⇔ t = 0,50 Với t = thì 5x = ⇔ x = Giải phương trình log2 ( x + 1) − log ( x + 3) = log2 ( x + 7) 0,25 III.a III.b 0,25 1,00 IV ðiều kiện x > −1 PT ⇔ log2 ( x + 1)( x + 3) = log2 ( x + 7) ⇔ ( x + 1)( x + 3) = x + 0,25 0,50 ⇔ x + x − = ⇔ x = ∨ x = −4 (loại) Vậy PT có nghiệm x = 1 Chứng minh: + >2 log2 π log5 π 0,25 1.00 Ta có: Va.a Va.b 1 + = logπ + logπ = logπ 10 > logπ π = log2 π log5 π 1,00 Thể tích khối chóp 1,00 0,25 S ABCD = a2 0,25 SA = SB − AB = a 0,25 1 V = Bh = a 2.a2 = a 3 Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp Gọi O là tâm hìnhg vuông ABCD ⇒ O là tâm ñường tròn ngoại tiếp hình vuông Qua O kẻ d // SA ⇒ d là trục ñường tròn (ABCD), d cắt SC trung ñiểm I SC SC ∆SAC vuông A ⇒ IA = IC = IS = ⇒ IS = IA = IB = IC = ID ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD SC Bán kính R = IA = =a 0,25 Lop12.net 1,00 0,25 0,50 0,25 (19) http://www.vnmath.com VIa 5 Giải bất phương trình 6 5 ⇔ 6 x −3 x 5 ≥ 6 x −3 x ≥ 1,00 0,25 −1 0,50 ⇔ x − 3x + ≤ ≤ x ≤1 0,25 Vị trí M, N 1,00 0,25 ⇔ Vb.a 0,25 1 1 V = VSOMN = Bh = OM ON OS = a.OM ON 3 0,25 Vb.b OM + ON a V ≤ a = 24 a Vmax = a OM = ON = 24 Xác ñịnh tâm và bán kính mặt cầu Gọi I là trung ñiểm MN ⇒ I là tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆OMN Mặt phẳng trung trực OS cắt trục It ∆OMN J Ta có: JS = JO = JM = JN ⇒ J là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SOMN a 2 Giải hệ phương trình: log x − log y = log xy = 0,25 1,00 0,50 0,50 Bán kính R = JO = VIb 1,00 (1) (2) 0,25 x > ðiều kiện: y > (1) ⇔ (log x − log y )(log x + log y ) = 0,50 log2 2 5 x x x x ⇔ log log( xy ) = log2 ⇔ log log = log2 = log = log 2 ⇔ = 2 y y y y xy = x = 24 Kết hợp (2) ta ñược x ⇔ − y = y = Lop12.net 0,25 (20) http://www.vnmath.com ðỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2009 – 2010 Môn TOÁN Lớp 12 Thời gian làm bài 90 phút ðề số I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 ñiểm) Câu 1: (2,5ñ) Cho hàm số: y = x − x + 1) Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) ñiểm có hoành ñộ là nghiệm phương trình y" = Câu 2: (1ñ) Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số: y = x − x + x + trên ñoạn [–1;2] Câu 3: (1ñ) Giải phương trình: x+ −x − 42 =3 Câu 4: (2,5ñ) Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy 2a, cạnh bên hợp với ñáy góc α a) (1,25ñ) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) (1,25ñ) Xác ñịnh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD II PHẦN RIÊNG (3 ñiểm) Thí sinh ñược chọn hai phần: Theo chương trình Chuẩn Nâng cao Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: 1) (1ñ) Tìm các tiệm cận ñồ thị hàm số y = x2 + x (1 − x ) x <3 3) (1ñ) Cắt mặt xung quanh hình trụ theo ñường sinh, trải trên mặt phẳng, ta ñược hình vuông có diện tích 100cm2 Tính thể tích khối trụ giới hạn hình trụ ñó Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: 2) (1ñ) Giải bất phương trình: log2 x + log x − log 1) (1ñ) Tìm các tiệm cận ñồ thị hàm số: y = x + − x x2 > 3 3) (1ñ) Cắt mặt xung quanh hình nón theo ñường sinh, trải trên mặt phẳng, ta ñựơc nửa hình tròn có ñường kính 10cm Tính thể tích khối nón giới hạn hình nón ñó 2) (1ñ) Giải bất phương trình: log3 18 x + log x − log9 ––––––––––––––––––––Hết––––––––––––––––––– Họ và tên thí sinh: SBD : ðÁP ÁN ðỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2009 – 2010 Lop12.net (21)