Mét mÆt ph¼ng P chøa BC vµ vu«ng gãc víi AA’, c¾t l¨ng trô theo mét thiÕt diÖn cã diÖn tÝch b»ng.. TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng 8.[r]
(1)Tr−êng THPT §«ng S¬n k× thi KSCL tr−íc tuyÓn sinh n¨m 2009 (1) Download t¹i Ebook.here.vn M«n Thi: To¸n Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (§Ò thi gåm 02 trang) phÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh C©u I (2 ®iÓm) Cho hµm sè y = x − x + Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Gọi d là đ−ờng thẳng qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m Tìm m để d cắt (C) ®iÓm ph©n biÖt A, M, N cho hai tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M vµ N vu«ng gãc víi C©u II (2®iÓm) x + + y( x + y ) = y Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: ( x + 1)( x + y − 2) = y Gi¶i ph−¬ng tr×nh: (x, y ∈ R ) sin x sin x + cos x cos x =− π π tan x − tan x + 6 3 C©u III (1 ®iÓm) TÝnh tÝch ph©n I = ∫ x ln( x + x + 1)dx Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a, hình chiếu vuông gãc cña A’ lªn mÆt ph¼ng (ABC) trïng víi t©m O cña tam gi¸c ABC Mét mÆt ph¼ng (P) chøa BC vµ vu«ng gãc víi AA’, c¾t l¨ng trô theo mét thiÕt diÖn cã diÖn tÝch b»ng a2 TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô ABC.A’B’C’ C©u V (1 ®iÓm) Cho a, b, c lµ ba sè thùc d−¬ng tháa mPn abc = T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu 1 + + thøc P = 2 a + b + b + 2c + c + a + PhÇn tù chän ThÝ sinh chØ ®−îc lµm mét hai phÇn: PhÇn hoÆc PhÇn PhÇn C©u VI.a (2 ®iÓm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x − x và elip x2 + y = Chøng minh r»ng (P) giao (E) t¹i ®iÓm ph©n biÖt cïng n»m trªn mét ®−êng trßn Viết ph−ơng trình đ−ờng tròn qua điểm đó Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có ph−ơng trình x + y + z − x + y − z − 11 = vµ mÆt ph¼ng (α) cã ph−¬ng tr×nh 2x + 2y – z + 17 = ViÕt (E): ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (β) song song víi (α) vµ c¾t (S) theo giao tuyÕn lµ ®−êng trßn cã chu vi b»ng 6π n C©u VII.a(1®iÓm) T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña x + , x biÕt r»ng n lµ sè nguyªn d−¬ng tháa mPn: 2Cn0 + 22 23 2 n+1 n 6560 Cn + Cn + L + Cn = ( Cnk lµ sè tæ n +1 n +1 hîp chËp k cña n phÇn tö) Lop12.net (2) PhÇn C©u VI.b (2 ®iÓm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai đ−ờng thẳng d1: x + y + = 0, d2: x + 2y - 7= vµ tam gi¸c ABC cã A(2 ; 3), träng t©m lµ ®iÓm G(2; 0), ®iÓm B thuéc d1 vµ ®iÓm C thuéc d2 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z – = Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng (P) Tìm gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc MA + MB + MC e x − y + e x + y = 2( x + 1) C©u VII.b (1 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh x + y (x, y ∈ R ) e = x − y + ***HÕt*** -Chó ý: ThÝ sinh dù thi khèi B vµ D kh«ng ph¶i lµm c©u V ThÝ sinh kh«ng ®−îc sö dông tµi liÖu C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Hä vµ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh: Lop12.net (3) Tr−ờng thpt đông sơn i K× thi KSCL tr−íc tuyÓn sinh n¨m 2009(lÇn 1) H−íng dÉn chÊm m«n to¸n - §iÓm toµn bµi kh«ng lµm trßn - Học sinh làm các khác đúng đ−ợc điểm tối đa - NÕu häc sinh lµm c¶ hai phÇn phµn tù chän th× kh«ng tÝnh ®iÓm phÇn tù chän - ThÝ sinh dù thi khèi B, D kh«ng ph¶i lµm c©u V; thang ®iÓm dµnh cho c©u I.1 vµ c©u III lµ 1,5 ®iÓm C©u Néi dung §iÓm 1,00 I.1 Kh¶o s¸t hµm sè y = x − x + Tập xác định: R Sù biÕn thiªn: 0,25 a) Giíi h¹n: lim y = lim ( x − 3x + 4) = −∞, lim y = lim ( x − 3x + 4) = +∞ x → −∞ x → −∞ x → +∞ x → +∞ b) B¶ng biÕn thiªn: y' = 3x2 - 6x, y' = ⇔ x = 0, x = B¶ng biÕn thiªn: x -∞ y' + 0 + +∞ +∞ 0,50 y -∞ - Hàm số đồng biến trên (- ∞ ; 0) và (2; + ∞ ), nghịch biến trên (0; 2) - Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = 4, đạt cực tiểu x = 2, yCT = §å thÞ: §å thÞ giao víi trôc tung t¹i (0; 4), giao víi trôc hoµnh t¹i (-1; 0),(2; 0) Nhận điểm uốn I(1; 2) làm tâm đối xứng y 0,25 x -1 O I.2 Tìm m để hai tiếp tuyến vuông góc d cã ph−¬ng tr×nh y = m(x – 3) + Hoành độ giao điểm d và (C) là nghiệm ph−ơng trình x = x − 3x + = m(x − 3) + ⇔ (x − 3)(x − m) = ⇔ x − m = Theo bµi ta cã ®iÒu kiÖn m > vµ y' ( m ).y' (− m ) = −1 ⇒ (3m − m )(3m + m ) = −1 ⇔ 9m − 36m + = ⇔ m = II.1 Giải hệ ph−ơng trình đại số Ta thÊy y = kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña hÖ x2 + +x+y−2 = y HÖ ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi x + (x + y − 2) = y Lop12.net 18 ± 35 (tháa mPn) 1,00 0,50 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 (4) §Æt u = II.2 III u + v = ⇔ u = v =1 uv = x2 + , v = x + y − Ta cã hÖ y x2 + =1 Suy y Gi¶i hÖ trªn ta ®−îc nghiÖm cña hpt ®P cho lµ (1; 2), (-2; 5) x + y − = Gi¶i ph−¬ng tr×nh l−¬ng gi¸c π π π π §iÒu kiÖn: sin x − sin x + cos x − cos x + ≠ 6 3 6 3 π π π π Ta cã tan x − tan x + = tan x − cot − x = −1 6 Ph−¬ng tr×nh ®P cho t−¬ng ®−¬ng víi ⇔ sin x sin 3x + cos x cos 3x = − cos 2x cos 2x − cos 4x + cos 2x cos 2x + cos 4x ⇔ ⋅ + ⋅ = 2 2 1 ⇔ 2(cos x + cos x cos x) = ⇔ cos x = ⇔ cos x = π x = + kπ (lo¹i) π , (k ∈ Z) VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = − + kπ , (k ∈ Z) ⇔ π x = − + kπ TÝnh tÝch ph©n 2x + dx u = ln( x + x + 1) du = §Æt ⇒ x + x +1 dv = xdx v = x / I= 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 x 2x + x ln(x + x + 1) − ∫ dx 2 x + x +1 1 dx 2x + 1 = ln − ∫ (2 x − 1)dx + ∫ dx − ∫ x + x +1 x + x +1 20 1 1 3 = ln − x − x + ln( x + x + 1) − I = ln − I 0 2 4 4 ( ) * TÝnh I1: I = ∫ dx x + + §Æt x + VËy I = π π = tan t, t ∈ − , 2 2 0,25 π/3 π/3 Suy I = 0,25 (1 + tan t )dt 3π = = t ∫ π / + tan t π/ 3π ln − 12 0,25 Lop12.net (5) IV TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô 1,00 C’ A’ B’ H A C O M B Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M lªn AA’, Khi đó (P) ≡ (BCH) Do góc A ' AM nhọn nên H nằm AA’ Thiết diện lăng trô c¾t bëi (P) lµ tam gi¸c BCH a a Do tam giác ABC cạnh a nên AM = , AO = AM = 3 2 a a a ⇒ HM.BC = ⇒ HM = Theo bµi S BCH = 8 AH = AM − HM = 0,25 0,25 3a 3a 3a − = 16 Do hai tam giác A’AO và MAH đồng dạng nên A' O HM = AO AH AO.HM a a a = = AH 3a a3 1aa ThÓ tÝch khèi l¨ng trô: V = A' O.S ABC = A' O.AM.BC = a= 12 23 2 0,25 suy A' O = V T×m gi¸ trÞ lín nhÊt 1,00 1 1 = ≤ 2 a + 2b + a + b + b + + 2 ab + b + 1 1 1 ≤ ≤ T−¬ng tù , 2 b + 2c + bc + c + c + 2a + ca + a + 0,50 1 1 = + ab + b = P≤ + + ab + b + bc + c + ca + a + ab + b + b + + ab + ab + b 0,25 Ta cã a +b2 ≥ 2ab, b2 + ≥ 2b ⇒ 2 1 a = b = c = Vậy P đạt giá trị lớn a = b = c = 2 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ®i qua giao ®iÓm cña(E) vµ (P) Hoành độ giao điểm (E) và (P) là nghiệm ph−ơng trình x2 + (x − 2x) = ⇔ 9x − 36 x + 37x − = (*) XÐt f ( x) = x − 36 x + 37x − , f(x) liªn tôc trªn R cã f(-1)f(0) < 0, f(0)f(1) < 0, f(1)f(2) < 0, f(2)f(3) < suy (*) có nghiệm phân biệt, đó (E) c¾t (P) t¹i ®iÓm ph©n biÖt y = x − x Toạ độ các giao điểm (E) và (P) thỏa mPn hệ x 2 +y =1 P= VIa.1 0,25 Lop12.net 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 (6) 8x − 16 x = 8y ⇔ ⇒ x + y − 16 x − 8y − = (**) x + y = VIa.2 VII.a 161 8 4 (**) lµ ph−¬ng tr×nh cña ®−êng trßn cã t©m I = ; , b¸n kÝnh R = Do 9 9 đó giao điểm (E) và (P) cùng nằm trên đ−ờng tròn có ph−ơng trình (**) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (β ) Do (β) // (α) nªn (β) cã ph−¬ng tr×nh 2x + 2y – z + D = (D ≠ 17) MÆt cÇu (S) cã t©m I(1; -2; 3), b¸n kÝnh R = §−êng trßn cã chu vi 6π nªn cã b¸n kÝnh r = 0,25 1,00 0,25 Kho¶ng c¸ch tõ I tíi (β) lµ h = R − r = − = + 2( − ) − + D D = −7 = ⇔ − + D = 12 ⇔ Do đó 2 2 + + (−1) D = 17 (lo¹i) 0,25 VËy (β) cã ph−¬ng tr×nh 2x + 2y – z - = T×m hÖ sè cña x2 0,25 1,00 2 0 ( 0,25 ) Ta cã I = ∫ (1 + x) n dx = ∫ C 0n + C 1n x + C 2n x + L + C nn x n dx 1 C nn x n +1 = C 0n x + C 1n x + C 2n x + L + n +1 0 0,25 n +1 n 22 23 C n (1) Cn + Cn +L+ n +1 2 n +1 − 1 MÆt kh¸c I = (2) (1 + x) n +1 = n +1 n +1 n +1 n n +1 − 22 23 Cn = Cn + Cn +L+ Tõ (1) vµ (2) ta cã = 2C 0n + n +1 n +1 n +1 − 6560 Theo bµi th× = ⇔ n +1 = 6561 ⇒ n = n +1 n +1 suy I = 2C 0n + VIb.1 ( ) k 14 −3 k 7 7−k Ta cã khai triÓn x + = ∑ C 7k x = ∑ k C 7k x x 0 2 x 14 − 3k Sè h¹ng chøa x2 øng víi k tháa mPn =2⇔k=2 21 VËy hÖ sè cÇn t×m lµ C 27 = ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn Do B ∈ d1 nªn B = (m; - m – 5), C ∈ d2 nªn C = (7 – 2n; n) m− 2n = −3 m = −1 2 + m + − 2n = 3.2 ⇔ ⇔ Do G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn − m+ n = n = 3 − m − + n = 3.0 Suy B = (-1; -4), C= (5; 1) Gi¶ sö ®−êng trßn (C) ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC cã ph−¬ng tr×nh x + y + 2ax + by + c = Do A, B, C ∈ (C) nªn ta cã hÖ a = −83 / 54 4 + + a + b + c = 1 + 16 − 2a − 8b + c = ⇔ b = 17 / 18 c = −338 / 27 25 + + 10a + b + c = VËy (C) cã ph−¬ng tr×nh x + y − 338 17 83 =0 x+ y− 27 27 Lop12.net 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 (7) VIb.2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt 1,00 7 Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC, suy G = ; ;3 3 ( ) ( ) ( Ta cã F = MA + MB + MC = MG + GA + MG + GB + MG + GC ) 0,25 = 3MG + GA2 + GB + GC + 2MG(GA + GB + GC) = 3MG + GA + GB + GC F nhá nhÊt ⇔ MG2 nhá nhÊt ⇔ M lµ h×nh chiÕu cña G lªn (P) 7/3− 8/3−3−3 19 ⇔ MG = d(G, ( P )) = = 1+1+1 3 56 32 104 64 + + = GA + GB + GC = 9 VIIb 19 64 553 VËy F nhá nhÊt b»ng 3. M lµ h×nh chiÕu cña G lªn (P) = + 3 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh mò e x − y + e x + y = 2( x + 1) e x − y = x + y + ⇔ x+y x+y e = x − y + e = x − y + e v = u + e v = u + (1) §Æt u = x + y , v = x - y ta cã hÖ u ⇔ u v e = v + e − e = v − u (2 ) - NÕu u > v th× (2) cã vÕ tr¸i d−¬ng, vÕ ph¶i ©m nªn (2) v« nghiÖm - T−¬ng tù nÕu u < v th× (2) v« nghiÖm, nªn (2) ⇔ u = v ThÕ vµo (1) ta cã eu = u+1 (3) XÐt f(u) = eu - u- , f'(u) = eu - B¶ng biÕn thiªn: +∞ u -∞ f'(u) + f(u) 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 Theo b¶ng biÕn thiªn ta cã f(u) = ⇔ u = x + y = x = ⇔ Do đó (3) có nghiệm u = ⇒ v = ⇒ x − y = y = VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®P cho cã mét nghiÖm (0; 0) Lop12.net 0,25 (8)