Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Oy, đi qua A và cắt mặt phẳng ABC theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất... Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm...[r]
(1)www.VNMATH.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2013 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRUNG THIÊN Môn: TOÁN; Khối D _ Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3( m + 1) x + 12mx − 3m + (1), với m là tham số thực a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để hàm số có cực trị x1 và x2 thoả mãn: x1 − x = Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 2sin x − sin 2x + sin x + cos x − = 3 x + y = 5x − y Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x, y ∈ R x y − = e 2x + Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ ln xdx x Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC, SA tạo với đáy (ABC) góc 600 Tam giác ABC = 30 , AC = 2a Hình chiếu vuông góc điểm S lên mặt phẳng (ABC) vuông B, ACB trùng với trọng tâm G ∆ABC Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Câu (1,0 điểm) Tìm các giá trị m để phương trình sau có nghiệm m 1+ x + 1− x + + 1− x2 − = ( ) II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần riêng (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(1;0), B(−2;4), C(−1;4), D(3;5) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆: 3x − y − = cho hai tam giác MAB và MCD có diện tích Câu 8a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu qua các điểm A(0;1;2), B(2;−2;1), C(−2;0;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z − = ( Câu 9a (1,0 điểm) Cho khai triển Niutơn − 3x Tính hệ số a9 biết n thoả mãn hệ thức ) 2n = a + a1x + a x + + a 2n x 2n , n ∈ N* 14 + = Cn 3Cn n B Theo chương trình Nâng cao Câu 7b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ∆ABC cân đỉnh A, phương trình CB : x + y + = Đường cao qua đỉnh B là: ∆ : x − 2y − = , điểm M(2;1) thuộc đường cao qua đỉnh C Viết phương trình cạnh AB và AC ∆ABC Câu 8b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1;0;0), B(2;−1;2), C(−1;1;−3) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Oy, qua A và cắt mặt phẳng (ABC) theo đường tròn có bán kính nhỏ Câu 9b (1,0 điểm) Giải phương trình: log ( x + 1) + = log − x + log8 ( + x ) HẾT -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: …………………………………… ; Số báo danh: ……………………… Lop12.net (2) www.VNMATH.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRUNG THIÊN ĐÁP ÁN THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối D Đáp án Câu a) (1,0 điểm) (2đ) Với m = ta có hàm số y = x − 3x + Điểm Tập xác định: D = R 0.25đ Sự biến thiên: y’ = 3x2 − 6x; y’ = ⇔ x = x = Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0) và (2;+∞), nghịch biến trên khoảng (0;2) Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = với yCĐ = 4, đạt cực tiểu x = 2, yCT = 0.25đ Giới hạn: lim y = −∞, lim y = +∞, x →−∞ x →+∞ Bảng biến thiên: x −∞ +∞ y’ + 0.25đ − 0 + +∞ y −∞ Đồ thị: 0.25đ -1 O b) (1,0 điểm) Ta có: y' = 3x − ( m + 1) x + 12m Hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 và y’ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ Khi đó ta có: x1 = 2; x2 = 2m Do đó x1 − x = ⇔ m − = m = m = 2sin x − sin 2x + sin x + cos x − = ⇔ 2sin x − 2sin x.cos x + sin x + cos x − = 0.25đ sin x = ⇔ cos x − sin x = 0.25đ (1đ) ⇔ sin x + 2sin x − − cos x 2sin x − = ( )( ) ( ) Lop12.net 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ (3) www.VNMATH.com π x = + k2π sin x = ⇔ x = 5π + k2π x = k2π cos x − sin x = ⇔ π x = − + k2 π Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: π 2π với (k ∈ Z) x = k2π , x = − + k 2 x + y = 5x − y x − y2 = x − y = ⇔ ⇔ (1đ) 2 2 3x 3y 5x y x y + = − − x y − = ( ) ( ) 2x − x y − 5xy − 2y = x − y2 = x = 2y ⇔ y = −2x x = − y x − y2 = x = x = 2y x − y2 = y = ⇔ ( v« nghiÖm ) ⇔ y = −2x x = −2 2 y = −1 x − y = ( v« nghiÖm ) y = − x e e 1 I = ln xdx + ln xdx ∫ ∫ (1đ) x x 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.50đ 0.25đ e Với I1 = ∫ ln xdx = ln x 1e = 1 x 0.25đ dx = du u = ln x e e dx ln x x Với I = ∫ dx , đặt ta có I = − ln x + ∫ dx ⇒ x 1x dv = x v = − x2 x 1e I2 = − − = − Do đó I = − e x1 e e e (1đ) Lop12.net 0.25đ 0.25đ (4) www.VNMATH.com Ta có: AB = a, AC = a diện tích ∆ABC là SABC = AB.AC = a 2 Gọi E là trung điểm BC ta có: a a ⇒ AG = AE = AB2 + BK = Vì góc SA và đáy 60 nên ta có A = 600 ⇒ SG = AG = a SAG a3 Thể thích khối chóp là: V = SABC SG = S 0.25đ 0.25đ C 0.25đ G E 0.25đ B Điều kiện: x∈ [−1;1] (1đ) Đặt t = − x + + x ⇒ − x = t − với t ∈ 2;2 0.25đ −t + Phương trình đã cho trở thành: m ( t + 3) + t − = ⇔ m = (*) t +3 Phương trình đã cho có nghiệm và phương trình (*) có nghiệm t ∈ 2;2 0.25đ − t − 6t − −t + < ⇒ f(t) nghịch biến Xét f ( t ) = trên 2;2 , ta có f ' ( t ) = t +3 ( t + 3) trên 2;2 Do đó phương 0.25đ đã cho có nghiệm 15 − f ( 2) ≤ m ≤ f ⇔ ≤ m ≤ 7a Ta có: AB = ( −3;4 ) ⇒ AB = 5,CD = ( 4;1) ⇒ CD = 17 (1đ) AB : 4x + 3y − = 0,CD : x − 4y + 17 = M∈∆ ⇒ M(t; 3t−5) Theo bài ta có: d ( M, AB) AB = d ( M,CD ) CD trình ( ) ⇔ 4t + ( 3t − ) − .5 = t − ( 3t − ) + 17 17 17 M ( −9; −32 ) t = −9 ⇔ 13t − 19 = 37 − 11t ⇔ 19 ⇔ 19 17 t = M ; 8 8a Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc (P) và qua A, B, C (1đ) (S) có phương trình dạng: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = (S) có tâm I(−a;−b;−c) I∈ (P) ⇔ −2a − 2b − c − = ⇔ 2a + 2b + c = −3(1) A∈ (S) ⇔ + 0a + 2b + 4c + d = (2) B∈ (S) ⇔ + 4a − 4b + 2c + d = (3) C ∈ (S) ⇔ − 4a + 0b + 2c + d = (4) Từ (1), (2), (3), (4) ta có hệ phương trình Lop12.net và 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.50đ 0.25đ 0.25đ (5) www.VNMATH.com 2a + 2b + c = −3 d = −2b − 4c − a = −2 5 + 0a + 2b + 4c + d = 2a + 2b + c = −3 b = −3 ⇔ ⇔ + − + + = − + + = 4a 4b 2c d 2a 3b c c = d = −27 5 − 4a + 0b + 2c + d = 2a + b + c = Vậy phương trình mặt cầu (S): x + y + z − 4x − 6y + 14z − 27 = 0.25đ 0.25đ 9a (1đ) Điều kiện: n ≥ 3, n ∈ N* 0.25đ 14 2.2 14.2 + = ⇔ ( n − ) + 28 = n − 3n + Ta có: + = ⇔ Cn 3Cn n n ( n − 1) n ( n − 1)( n − ) n 0.25đ ⇔ n − 7n − 18 = ⇔ n = n = −2 (loại) Vậy n = ( Với n = ta có nhị thức cần khai triển là − 3x ) 18 ( ) 0.25đ k Số hạng tổng quát khai triển nhị thức là a k x k = C18k − x k a = C 18 (− 3) = −3938220 7b Gọi d là đường thẳng qua M song song với BC, cắt ∆ N (1đ) ta có d: x + y − = 8 1 N = d ∩ ∆ ⇒ N ; gọi I, H là trung điểm MN, BC 3 ta có ∆ABC cân nên tứ giác A∈IH A 7 2 Ta có I ; nên IH có phương trình: x − y − = 3 3 1 4 H = IH ∩ BC ⇒ H ; − 3 3 N M I −5 B = ∆ ∩ BC ⇒ B ( 0; −1) ⇒ C ; 3 B H C Vậy AC: 2x + y + = , AB: x + 2y + = 8b Mặt phẳng ABC có phương trình: x − y − z − = (1đ) Gọi (S) là mặt cầu có tâm I∈Oy và cắt (ABC) theo đường tròn có bán kính r nhỏ Vì I ∈ Oy nên I(0;t;0), gọi H là hình chiếu I trên (ABC) đó là có bán kính đường tròn giao (ABC) và (S) là r = AH = IA − IH t +1 Ta có IA = t + , IH = d(I,(ABC))= 2 t + 2t + 2t − 2t + ⇒ r = t2 +1− = 3 Do đó r nhỏ và t = Khi đó I 0; ;0 ,IA = 1 đó phương trình mặt cầu cần tìm là: x + y − + z = 2 Lop12.net 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ (6) www.VNMATH.com 9b Điều kiện: x ∈ ( −4; −1) ∪ ( −1;4 ) (1đ) log ( x + 1) + = log − x + log ( + x ) ⇔ log x + + = log ( − x ) + log ( x + ) ⇔ log 4x + = log (16 − x ) ⇔ 4x + = 16 − x x = 4x + = 16 − x x + 4x − 12 = ⇔ ⇔ ⇔ x = −6 4x + = x − 16 x − 4x − 20 = x = ± x = Đối chiếu điều kiện là có nghiệm phương trình đa cho là x = − Lop12.net (7)