4.Tìm mọi giá trị của tham số a soa cho với mối giá trị đó pt sau có đúng 3 nghiệm phân biệt... Phan Ngọc Việt.[r]
(1)Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước I-Bất đẳng thức cô si 2 a b c2 a+b+c 1.Chứng minh với a,b,c>0 + + ≥ b+c c+a a+b 1 2.Chứng minh + + ≥ với a,b,c>0 và abc =1 a (b + c ) b ( c + a ) c ( a + b) a3 b3 c3 3.Cho a,b,c>0 và abc=1.Cm: + + ≥ (1 + b )(1 + c ) (1 + c )(1 + a ) (1 + a )(1 + b ) 4.Cho k số không âm a1, a2 , , ak thoả a1a2 ak = m m Cm: a1 + a2 + + ak m ≥ a1n + a2 n + + ak n với m ≥ n; m, n ∈ N 5.Cho số thực x,y,z thoả mãn: x 2004 + y 2004 + z 2004 = Tìm GTLN biểu thức A = x3 + y + z a b c a b 6.Cho a+b+c =0 Chứng minh + + ≥ + + 7.Cho số tự nhiên k ≥ a1, a2 , , ak là các số thực dương c ak m a1m a2 m Cmr: + n + + n ≥ a1m − n + a2 m − n + + an m − n n a2 a3 a1 1 8.Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn + + = 1.Tìm GTNN biểu thức x y z x 2006 y 2006 z 2006 A = 2007 + 2007 + 2007 y z x x 20 y 20 z 20 y z x 10.Cho n số thực x1, x2 , , xn thuộc đoạn [ a, b ] , a > 9.Tìm GTNN A = 11 + 11 + 11 với x + y + z = ⎛1 1 ⎞ ( n ( a + b)) + + ⎟ ≤ Cmr: ( x1 + x2 + + xn ) ⎜ + 4ab xn ⎠ ⎝ x1 x2 11.Cho n là số nguyên dương;lấy xi ∈ [ 2000;2001] với i=1,2…,n ( Tìm GTLN F = x1 + x2 + + xn 12.Xét các số thực x1, x2 , , x2006 thoả π )( − x1 + 2− x2 + + 2− xn ≤ x1, x2 , , x2006 ≤ π ) Tìm GTLN biểu thức ⎛ ⎞ 1 + + + A = ( sin x1 + sin x2 + + sin x2006 ) ⎜ ⎟ sin x2006 ⎠ ⎝ sin x1 sin x2 13.Cho n số dương a1 , a2 , , an Đặt : m = {a1 , a2 , , an } , M = Max {a1 , a2 , , an } n n i =1 i =1 A = ∑ , B = ∑ 1 Cmr: B ≤ ⎡ n ( m + M ) − A⎤⎦ mM ⎣ Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn Lop12.net (2) Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước 14.Cho ≥ 0, bi ≥ 0, ∀i = 1, n Chứng minh rằng: n ( a1 + b1 )( a2 + b2 ) ( an + bn ) ≥ n a1a2 an + n b1b2 bn ( 15.Cho ≥ 0, ∀i = 1, n Chứng minh rằng: (1 + a1 )(1 + a2 ) (1 + an ) ≥ + n a1a2 an ) n 16.Chứng minh n 1.2 ( n + 1) ≥ + n 1.2 n với n ≥ 2, n ∈ N 17.Chứng minh tam giác ABC ta có : ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1/ ⎜1 + ⎟ ⎜1 + ⎟ ⎜1 + ⎟ ≥ ⎜1 + ⎟ 3⎠ ⎝ sin A ⎠ ⎝ sin B ⎠ ⎝ sin C ⎠ ⎝ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞ 2/ ⎜1 + + + ≥ + ⎟ A ⎟⎜ B ⎟⎜ C⎟ ⎜ 3⎠ ⎜ cos ⎟ ⎜ cos ⎟ ⎜ cos ⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ 2⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3/ ⎜1 + ⎟⎜ + ⎟ ⎜1 + ⎟ ≥ ⎜1 + ⎟ ⎝ ma ⎠⎝ mb ⎠ ⎝ mc ⎠ ⎝ 3R ⎠ 4 b⎞ ⎛ b⎞ ⎛ c⎞ ⎛ 18.Cho a,b,x,y,z > và x+y+z = 1.Chứng minh: ⎜ a + ⎟ + ⎜ a + ⎟ + ⎜ a + ⎟ ≥ ( a + 3b ) x⎠ ⎝ y⎠ ⎝ z⎠ ⎝ n 19.Cho a, b > 0, xi > 0∀i = 1, n; ∑ xi = Cmr: i =1 m m m ⎛ ⎛ b⎞ ⎛ b⎞ b⎞ m ⎜ a + ⎟ + ⎜ a + ⎟ + + ⎜ a + ⎟ ≥ n ( a + nb ) với m > x1 ⎠ ⎝ x2 ⎠ xn ⎠ ⎝ ⎝ 20.Cho a, b, c > 0, a + b + c = Chứng minh rằng: ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ≥ ⎝ ab ⎠ ⎝ bc ⎠ ⎝ ca ⎠ 21.Cho x ∈ [ a; b ] Tìm GTLN biểu thức F (x )= (x - a ) (b - x ) với m, n Î Ν* é πù 22.Cho x Î ê0; ú.Tìm GTLN biểu thức F (x )= sin q x.cos p x với p, q Î Ν* ëê úû m n 23.Cho a,b,c không âm và có a + b + c =1.Tìm GTLN biểu thức F (a, b, c)= a30b 4c 2004 24.Cho x, y ³ 0, x + y £ Tìm GTLN các biểu thức sau : 1/ F (x, y )= x 2002 y.(6 - x - y ) 2/ F (x, y )= x 2002 y.(4 - x - y ) 25.Xét các số thực dương thỏa mãn a + b +c =1.Tìm GTNN biểu thức 1 1 P= + + + a + b + c ab bc ca 26.Xét các số thực dương thỏa mãn a +b +c + d =1.Tìm GTNN biểu thức 1 1 P= + + + + 2 acd abd abc bcd a +b +c +d n n xi 27.Giả sử x1 , x2 , , xn >0 thỏa mãn điều kiện å = Cmr: Õ xi £ n i= i= 1 + xi (n - 1) 28.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn a 2b 3c + + = Cmr: ab c3 £ 1+ a 1+ b 1+ c Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn Lop12.net (3) Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước n xi £ n i= 1- xi (n - 1) n 29 Giả sử x1 , x2 , , xn >0 thỏa mãn điều kiện å xi = Cmr: Õ i= n 1 = 1998 i= xi + 1998 30 (QG-98) Giả sử x1 , x2 , , xn >0 thỏa mãn điều kiện å Cmr: n x1.x2 xn n- ³ 1998 n 31.Cho n số dương thỏa mãn điều kiện å < i= a1a2 an ëé1- (a1 + a2 + + an )ûù £ Cmr: (a1 + a2 + + an )(1- a1 )(1- a2 ) (1- an ) 33.Cmr: " n Î N , n ³ ta có n 1- æ ön+ çç ÷ ÷ çè n ÷ ø n n n n n + 1+ <2 n n ( ) ( ) 35 Cho x, y, z Î [0; 2].Cmr: (x + y + z )- (x y + y z + z x )£ 192 34.Cho x, y, z Î [0;1].Cmr: x3 + y + z - x y + y z + z x £ 2000 2000 36.Cho xi Î [1; 2] với i=1,…,2000.Thỏa mãn å xi = 2005 Tìm GTLN A = å xi i= α i= α α ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 37.Chứng minh : ⎜ a + ⎟ + ⎜ b + ⎟ + ⎜ c + ⎟ ≥ 3.2α Trong đó a, b, c, α > ab ⎠ ⎝ bc ⎠ ⎝ ca ⎠ ⎝ 38.Cho số dương a Xét số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:xy + yz + zx = Tìm GTNN biểu thức P = a ( x + y ) + z 16 xy = a Trong đó a là số dương 25 cho trước Tìm GTLN biểu thức :P = xy + yz + zx 40.Xét các số thực a,b,c,d thỏa mãn : ≤ a + b + c + d ≤ 39.Xét các số thực x,y,z thỏa mãn : x + y + z + Tìm GTLN và GTNN : P = ( a − 2b + c ) + ( b − 2c + d ) + ( b − 2a ) + ( c − 2d ) 2 41.Cho hàm số f (x ) thỏa mãn pt f (tg x )= tg x + cot g x Cmr: f (s inx )+ f (cosx )³ 196 ( OLP-30-4-99) II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 1.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn a + b = và c+d=4 Tìm giá trị lớn biểu thức P=ac+bd+cd 2.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn a + b = và c+d=3 Cmr: ac+bd+cd ≤ 9+6 3(HSG-NA-2005) a,b,c,d là các số thực thoả mãn a + b = và c-d=3 9+6 4.Cho các số a,b,c,d,x,y thỏa mãn : a + b + 40 = 8a + 10b; c + d + 12 = 4c + 6d ;3x = y + 13 Cmr: ac+bd-cd ≤ Tìm GTNN P = ( x − a) + ( y − b) 2 + ( x − c) + ( y − d ) Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn Lop12.net (4) Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước 5.Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện a - 2b + = Chứng minh : a + b − 6a − 10b + 34 + a + b − 10a − 14b + 74 ≥ 6.Cho bốn số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện:a + 2b = 9;c + 2d = Cmr: a + b − 12a − 8b + 52 + a + b + c + d − 2ac − 2bd + c + d − 4c + 8d + 20 ≥ 7.Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn : c + d = 6; a + b = Cmr: c + d − 2ac − 2bd ≥ 18 − 8.Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : a + b = ( a + b ) ; c + d = ( c + d − 1) ( Cmr: − 2 ≤ a + b + c + d ≤ + 2 ) .Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : a + b = c + d = 30 Cmr: − a − 2b + − c − 2d + − ac − bd ≤ Xét dấu xẩy nào? 10.Cmr với x,y ta có: x + y + x + + x + y − x − 12 y + 10 ≥ 11.Cho a,b,c,d là bốn số thực thỏa mãn a + b + = ( a + b ) ; c + d + 36 = 12 ( c + d ) Cm: ( ) −1 ≤ ( a − c ) + (b − d ) ≤ 2 ( ) +1 ⎧2 x + y ≥ ⎪ 12.Cho x,y là hai số thực thỏa mãn : ⎨ x + y ≤ ⎪ x ≥ 0, y ≥ ⎩ 35 ≤ x + y − x − y ≤ 45 ⎧− x + y − ≤ ⎪ 13.Cho các số x,y thỏa mãn : ⎨ x + y + ≥ ⎪ y − 2x − ≥ ⎩ Cmr: − Cm: 16 ≤ x + y ≤ 20 III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1Chứng minh với α ta có 17 ≤ cos 2α + 4cosα +6 + cos 2α − 2cosα +3 ≤ + 11 2.Tìm GTNN hàm số y = − x + x + 12 − − x + x + ⎡ π⎞ 3.a)Chứng minh bất đẳng thức: tgt + sin t ≥ 2t ; ∀t ∈ ⎢ 0; ⎟ ⎣ 2⎠ b)Cho tam giác ABC có các góc là A,B,C A B C + cos + cos + cos + 2+ > 3 ( A,B,C đo rađian) Chứng minh : A B C 4.Cho a, b ∈ [ 0;1] Chứng minh x b a + + + (1 − x )(1 − a )(1 − b ) ≤ với ∀x ∈ [ 0;1] a + b +1 x + a +1 x + b +1 x cosα -2x+cosα 5.Cho hàm số y = với α ∈ ( 0; π ) x − xcosα +1 Chứng minh : −1 ≤ y ≤ 1; ∀x Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn Lop12.net (5) Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước 6.Chứng minh sin A + sin B + sin C + tgA + tgB + tgC > 2π với A,B,C là ba góc tam giác π 7.Chứng minh 2sinx + 2tgx > x +1 ;0 < x < 8.Giả sử f(x) là đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện f ( x ) ≥ 0, ∀x Cmr: f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + + f ( x ) ≥ 0, ∀x 9.Chứng minh tam giác ABC ta có 1 ⎞ ⎛ cot gA + cot gB + cot gC + 3 ≤ ⎜ + + ⎟ ⎝ sin A sin B sin C ⎠ 10.Cho tam giác ABC không tù ,thỏa mãn hệ thức: 1 ( cos3A+cos3B) − ( cos2A+cos2B) + cosA+cosB= Chứng minh tam giác ABC , 11.Cho < a < b < (n) ,, π .Chứng minh : a.sina-bsinb>2 ( cosb-cosa ) ( ⎧a ≥ 12.Cho ⎨ Chứng minh a p + q − ≥ ( p + q ) a p − a q ⎩0 ≤ q ≤ p ≤ q+1 ) π ⎛ s inx ⎞ Chứng minh : ⎜ ⎟ > cosx ⎝ x ⎠ 14.Cho tam giác ABC nhọn Cmr: tgA + tgB + tgC + ( sin A + sin B + sin C ) ≥ 12 13.Cho < x < 15.Cho a,b,c là các số không âm thỏa a + b + c = a b c 3 Chứng minh rằng: + + ≥ b2 + c c + a a + b2 16.Chứng minh tam giác nhọn ABC ta có ( sin A + sin B + sin C ) + ( tgA + tgB + tgC ) > π 3 17.Cho < x < π 3x +1 >22 tgx s inx .Cmr: +2 18Cho số nguyên lẻ n ≥ Cmr: ∀x ≠ ta luôn có : ⎛ x x3 xn ⎞ ⎛ x x3 xn ⎞ + + + − + − ⎜1 + x + ⎟ ⎜1 − x + ⎟ <1 ⎜ n ! ⎟⎠ ⎜⎝ n ! ⎟⎠ 2! 3! 2! 3! ⎝ 19.với giá trị nào m thì sin x + cos3 x ≥ m, ∀x 20.Cho x,y >0 Chứng minh : xy ⎛ x + x2 + y ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≤ 21.Cho x ≠ 0, y ≠ là hai số thực thay đổi thỏa mãn ( x + y ) xy = x + y − xy Tìm GTLN biểu thức A = x + y3 22.Cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện a, b, c ≥ − Chứng minh ta có bất đẳng thức a 1+ a + b 1+ b + c 1+ c Năm học 2009-2010 ≤ 10 http://www.ebook.edu.vn Lop12.net (6) Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước 23.(HSG Bà Rịa12-04-05) x +1 1/Tìm cực trị hàm số y x2 − x + 2/ Cho các số x,y,z thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN P = x − x + + y − y + + z − z + 24.Tìm GTNN P = ⎛⎜ x + + y + + z + ⎞⎟ − ( x + y + z ) ⎝ ⎠ 4 3 25 Cho a, b, c > và a + b + c = Cmr: a + b + c ≥ 2( a + b + c ) 1 + + ) − (a + b + c) ≥ a b c a b c 27Cho a,b,c>0 Cmr : + + ≥ 2 4(a + b + c) (b + c) (c + a ) ( a + b) a (b + c) b (c + a ) c ( a + b) 28 (Olp -2006)Cho a, b, c > Cmr: + + ≤ a + (b + c) b + (c + a ) c + (a + b) 2 26 Cho a, b, c > và a + b + c = Cmr: ( (b + c − a )2 (c + a − b ) (a + b − c)2 39.(Olp nhật 1997)Cho a, b, c > Cmr: + + ≥ (b + c) + a (c + a ) + b (a + b) + c ⎧x + y + z = 40.xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện : ⎨ ⎩ xyz = Tìm GTLN và NN biểu thức P = x + y + z (QG -B-2004) 41 xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện ( x + y + z ) = 32 xyz Tìm GTLN và GTNN P = x4 + y + z ( x + y + z) (QG-A-2004) 42.Các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn a ≤ b ≤ c ≤ d và bc ≤ ad Chứng minh a b bc c d d a ≥ a d b a cb d c 43.Xét các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x − x + = y + − y Tìm GTLN và GTNN P = x + y ( QG –B-2005) 44.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn f (c otgx )= sin x + cos2x , ( )( x Î (0; π ) Tìm GTNN và GTLN hàm số g (x ) = f sin x f cos x ) QG –B-2003 ) 45.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn f (c otgx )= sin x + cos2x , x Î (0; π ) Tìm GTNN và GTLN hàm số g (x )= f (x ) f (1 - x ), x Î [- 1;1] ( QG –A-2003) æ π ö÷ æx + s ina ö÷x + sin b æsin a ö÷sin b ç 46.Cho x>0 và a, b Î ç0; ÷ ; a ¹ b Cmr: çç > çç ÷ ÷ çè ÷ çè x + sin b ÷ ø ø èç sin b ÷ ø IV-ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LA GRĂNG a−b a a−b < ln < a b b π b −a b −a < tgb − tga < 2.Chứng minh < a < b < thì 2 cos a cos2b 1.Chứng minh < b < a thì Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn Lop12.net (7) Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước ; ∀x ∈ ( 0;1) 2ne 4.Cho m > còn a,b,c là số thỏa mãn điều kiện a b c + + = Chưng minh pt ax + bx + c = có ít nghiệm m + m +1 m thuộc khoảng ( 0;1) 3.Chứng minh x n − x < 5.Cho pt bậc n: an x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0 = đó an ≠ 0, an −1, , a1, a0 a a a là số thực thỏa mãn : n + n −1 + + + a0 = Chứng minh pt đã cho có n +1 n ít nghiệm thuộc khỏang ( 0;1) 6.Cho các số thực a,b,c và số nguyên n > thỏa mãn 5c ( n + 2) + ( a + b ) = ⎛ π⎞ Chứng minh pt : a sin n x + b cos n x + c sin x + c = có nghiệm thuộc khoảng ⎜ 0; ⎟ ⎝ 2⎠ 7.Cho hàm số liên tục : f : [ 0;1] → [ 0;1] có đạo hàm trên khoảng ( 0;1) Thỏa mãn f ( 0) = 0, f (1) = 1.Chứng minh tồn a,b ∈ ( 0;1) cho a ≠ b và f , ( a) f , (b ) = 8.Giải các pt sau : a) 3x + x = 2.4 x b) 3cosx − 2cosx = cosx ( ) c) (1 + cosx ) + 4cosx = 3.4cosx d) 2003x + 2005 x = 4006 x + 1 1 + + + + + = 9.Xét phương trình : x − 4x − k2x −1 n2 x − Trong đó n là tham số nguyên dương a)Cmr với mối số nguyên dương n ,pt nêu trên có nghiệm lớn Kí hiệu nghiệm đó là x n b)Cmr dãy số {x n } có giới hạn n → +∞ (QG-A-2002) 10.Cho hàm số f (x ) và f f (a )= (a - b), f , (b)= , (x ) đồng biến trên đoạn [a; b ],với (b - a) Chứng minh tồn α, β , δ phân biệt (a; b )sao cho f , (α )f , (β )f , (δ )= 11.Cho f : [0;1]® [0;1] thoả mãn các điều kiện f , (x )> 0; " x Î [0;1] và f (0)= 0, f (1)= n Cm:tồn dãy số £ a1 < a2 < < an £ cho Õ f , (ai )³ i =1 (n là số nguyên dương n ³ ) 12.Cho a,b,c,d là độ dài các cạnh tứ giác abc + abd + bcd + acd ab + ac + ad + bd + cd CMR: £ Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn Lop12.net (8) Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước V DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1.Tính đạo hàm các hs sau các điểm đã ra: ⎧1 − cosxcos2x cosnx x ≠ ⎪ a) f ( x ) = ⎨ x=0 x2 ⎪0 x=0 ⎩ ⎧ ln cosx x ≠ ⎪ b) f ( x ) = ⎨ x x=0 ⎪⎩0 x = ⎧⎪( x + a) e −bx x < 2.Xác định a,b để hàm số : f ( x ) = ⎨ có đạo hàm x=0 ⎪⎩ax + bx + x ≥ ⎧p cosx +qsinx x ≤ 3.Cho hàm số f ( x ) = ⎨ ⎩px+q+1 x > Chứng tỏ cách chọn p,q hàm số f(x) không thể có đạo hàm x=0 VI ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.Giải bpt : x3 + x + x + 16 > + − x 2.Xác định a để bất pt sau có nghiệm log a 11 + log ax − x + 3.log a ⎛⎜ ax − x + + 1⎞⎟ ≤ ⎝ ⎠ Xác định a để bất pt sau có nghiệm log a + log ⎛⎜ x + ax+5 + 1⎞⎟ log5 x + ax+6 ≥ ⎝ ⎠ ( a ) 4.Tìm giá trị tham số a soa cho với mối giá trị đó pt sau có đúng nghiệm phân biệt − x−a ( ) log x − x + + 2− x + x log ( x − a + ) = ( ) ( ) 5.Tìm giá trị a để với giá trị đó pt: x + a2 = − 9a2 − x có số nghiệm không nhiều số nghiệm pt 1⎞ ⎛ x + ( 3a − ) 3x = 8a − log3 ⎜ 3a − ⎟ − 3x3 2⎠ ⎝ ( ) ( ) Tìm giá trị a để pt: 15 x − 6m + x − 3m + 2m2 = có số nghiệm không nhiều ( số nghiệm pt : ( 3a − 1) 12 x + x3 + x = 36m − ( ) ) 28m − 0, 25 7.Giải pt : 3log3 + x + x = log x ⎧tgx − tgy = y − x ⎪ 8.Giải hệ ⎨ 5π ⎪⎩2 x + y = 9.Giải bất pt log7 x > log3 + x ( ) Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn Lop12.net (9) Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước x x ⎛ + a2 ⎞ ⎛ − a2 ⎞ 10.Giải pt : ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ = với tham số a ∈ ( 0;1) ⎜ 2a ⎟ ⎜ 2a ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎧⎪tgx − tgy = y − x ⎪⎩ y + − = x − y + 11 Giải hệ: ⎨ 12 Giải pt: e tg x (1) (2) π π + cosx=2 với x ∈ ⎛⎜ − ; ⎞⎟ ⎝ 2⎠ 2 13 Giải pt: x (2 + x + 3) + (4 x + 2)( + x + x + 1) = x 14.Giải pt: = + x + log3 (1 + x ) VII.TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PT CÓ NGHIỆM x2 + x + − x2 − x + = m 1.Tìm m để pt sau có nghiệm : ⎛ π⎞ ⎟ ⎝ 2⎠ 2 Tìm tất các giá trị a để pt: ax + = cos x có đúng nghiêm x ∈ ⎜ 0; 3.Cho hàm số y = − x + ( x + a)( x + b) với a,b là hai số thực dương khác cho trước Cmr ⎛ as + bs ⎞ s với s ∈ ( 0;1) tồn số thực α > : f (α ) = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (QG-A-2006) 4.Cho pt : cos2x= ( m+1) cos x + tgx a)Giải m = ⎡ π⎤ b)Tìm m để pt có nghiệm đoạn ⎢ 0; ⎥ ⎣ 3⎦ 5.Tìm m để pt sau có nghiệm: ( 4m − 3) x + + ( 3m − ) − x + m − = 6.Tìm m để tồn cặp số (x;y) không đồng thời thỏa mãn pt: ( 4m − 3) x + ( 3m − ) y + ( m − 1) 7.Tìm m để pt : x2 + y = + cos8 x = m có nghiệm + cos x é πù 8.Tìm a đ pt : ax + cos x = đúng nghiệm thuộc ê0; ú êë ú û x 9.Cho hàm số: f (x )= e x - sinx+ a) Tìm GTNN hàm số b) Cm pt f (x )= có đúng hai nghiệm 10.Chứng minh pt x x + = (x + 1) có nghiệm dương x 11 Cho f (x )= x + ax + bx + c = 0; (a ¹ 0) có nghiệm phân biêt a)Hỏi pt: f (x ) f ,, (x)- éëêf , (x)ùúû = có bao nhiêu nghiệm Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn Lop12.net (10) Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước b)Chứng minh rằng: 27c + 2a3 - 9ab < æ æ π÷ ö + tg ççx + 12.Cho pt : tg ççx + ÷ ÷ çè çè 2ø a) Cmr v ới mối số nguy ên n ³ æ π ö÷ çç0; ÷.k í hiêụ ng đó là x n çè ÷ ø (a2 - 3b) ö æ ö π÷ çx + π ÷ + + tg ÷ ÷= ( n là tham số) ç ÷ ÷ çè ø ø 22 ÷ 2n ÷ ,pt c ó nghiệm khoảng b)Cm dãy số ( x n ) có giới hạn 13.Chứng minh pt f (x )= x + x3 - x - 12 x + = có nghiệm phân biệt x i ; i = 1, 4 2x + i i = (xi - 1) và hãy tính tổng S = å VIII MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ⎧⎪ y = x3 − x + ax 1.Tìm a để hệ sau có nghiệm nhất: ⎨ ⎪⎩ x = y − y + ay ⎪⎧2x+ y-1 = m Tìm m để hệ pt sau có nghiệm ⎨ ⎪⎩2y + x − = m 2y ⎧ ⎪x = 1− y ⎪ 3.Giải hệ ⎨ ⎪ y = 2x ⎪⎩ 1− x 4.Chứng tỏ với a ≠ thì hệ sau có nghiệm ⎧ a2 x y = + ⎪ y ⎪ ⎨ ⎪ a2 y x = + ⎪ x ⎩ ⎧x ⎪⎪ y + sinx=a 5.Tìm a để hệ ⎨ có nghiệm < x ≤ 2π ,0 < y ≤ 2π ⎪ y + sin y = a ⎪⎩ x ⎧ x + x − + ln( x − x + 1) = y ⎪⎪ 6.Giải hệ: ⎨ y + 3y − + ln( y − y + 1) = z ⎪ ⎪⎩ z + 3z − + ln(z − z + 1) = x Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn Lop12.net (11) Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước ⎧ x − x + log (6 − y ) = x ⎪ ⎪ 7.Giải hệ: ⎨ y − y + log (6 − z ) = y ( QG – A- 2006) ⎪ ⎪ z − z + log (6 − x) = z ⎩ 8.Tìm a để hệ có nghiệm (HSG12-2006) ⎧ x12 = x23 − x22 + ax ⎪ ⎪ x2 = x33 − x32 + ax ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ xn = x1 − x1 + ax1 ( ) ⎧ + 42x − y 51− 2x + y = + 22x − y +1 ⎪ 6.Giải hệ: ⎨ ( HSGQG 1999) 2 ⎪ y + 4x + + ln y + 2x = ⎩ ⎧⎪log2 (1 + 3cosx ) = log3 ( sin y ) + 7.Giải hệ: ⎨ (THTT) ⎪⎩log2 (1 + 3sin y ) = log3 ( cosx ) + ïì x - my = - 4m ( m là tham số) 8.Gọi (x ; y ) là nghiệm hệ pt: ïí ïïî mx + y = 3m + ( ) Tìm GTLN biểu thức A = x + y - 2x , m thay đổi Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn Lop12.net (12) Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước HƯỚNG DẤN GIẢI I.Bất đẳng thức nai m + ( m − n ) ≥ mai n , ∀i = 1, , k *m > n : ( m − n ) a1m a2 + na2m − n ≥ ma1m − n n *m = n : csi am *m < n : ( n − m ) + ma1m − n ≥ na2m − n a2n 20 A = ⎛⎜ − 1⎞⎟ ⎛⎜ − 1⎞⎟ ⎛⎜ − 1⎞⎟ = ⎝ ab ⎠ ⎝ bc ⎠ ⎝ ca ⎠ 1 (1 − ab )(1 − bc )(1 − ca ) ( abc )2 Ta có: − ab ≥ − ( a + b )2 = ( + a + b )( − a − b ) 1⎛ ⎡(1 + a ) + (1 + b ) ⎤⎦ (1 + c ) (1 + c ) =⎣ ≥ ⎞ ⎞⎛ ⎞ Tương tự suy ra: A ≥ ⎜ ⎛⎜1 + ⎞⎛ ⎟⎜ + ⎟ ⎜1 + ⎟ ⎟ a b c ⎝⎝ 1 ⎠⎝ ⎠⎝ (1 + a )(1 + b ) 2 ⎠⎠ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 Mà: ⎜⎛1 + ⎟⎜ + ⎟ ⎜1 + ⎟ ≥ ⎜1 + ⎟ ≥ Vậy: A ≥ 8(dpcm ) a b c ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ abc ⎠ 1 1 1 a b c d ⎞ 26 P = 2 2 + ⎛⎜ + + + + + ⎞⎟ + ⎛⎜ + + + ⎟ ⎝ ab ac ad bc bd cd ⎠ ⎝ bcd cda abd bca ⎠ a +b +c +d = A+ B+C 1 1 1 + + + + + + *A = a + + d ab ac ad bc bd cd 1 1 1 + + + + + *B = ab ac ad bc bd cd a b c d + + + *C = bcd acd dab abc Ta cm: A ≥ 100, B ≥ 96, C ≥ 64 ⇒ P ≥ 260 x Xn X1 29.Đặt: X i = i , ∀i = 1, , n ta có + + = x1 + + xn = 1 − xi + X1 1+ Xn 1 + + = n − ⇒ X1 X X n ≤ (đpcm) Từ đó suy ra: + X1 1+ Xn ( n − 1)n 30 Đặt: X i = xi 1 + + =1 , ∀i = 1, n Ta có: 1+ X 1+ X n 1998 Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn Lop12.net (13) Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước Từ đó suy ra: X1 X n ≥ ( n − 1)n có (đpcm) 31.Đăt: X i = − ( a1 + + an ) a1 ; i = 1, , n; X n +1 = − a1 + + an 1 ⎛1⎞ + + + = n X1 X n X n +1 ≤ ⎜ ⎟ Ta có: + X1 + X n + X n +1 ⎝n⎠ n +1 38 ⎛ z2 ⎞ ⎛ z2 ⎞ P = a x2 + y + z = ⎜ α x2 + ⎟ + ⎜α y + ⎟ + ( a − α ) x2 + y ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎟⎠ ⎝ ( ≥2 α ) ( ) ( xz + yz ) + (1 − α ) xy α Chọn = a −α 39 ⎛ 16 z2 ⎞ ⎛ z2 ⎞ 16 P=x +y +z + xy = ⎜ qx + xy ⎟ + ⎜ qy + ⎟ + (1 − q ) x + y + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 25 2 25 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ≥2 2 ( ) q 16 ( xz + yz ) + ⎡⎢ (1 − q ) + ⎤⎥ xy 25 ⎦ ⎣ q 16 18 = (1 − q ) + ⇔q= 25 25 a ⎧ x =y =± ⎪ 5a PM ax = ⎪⎨ ⎪z = ± 3a ⎪⎩ Chọn 39.Do vai trò a và d,bvà c biểu thức trên ta dự đoán điểm cực trị đạt các số thỏa đk: a2 = d ,c = d với p>0 xác định sau ta có cộng theo vế : ( ) ( ) + 10 p 2 1+ p 1+ P ≤ ( + p ) a2 + d + b + c Chọn p thỏa : + p = ↔p= p p Vậy Pmax = ( 3+ ) 43.Ứng dung đk có nghiệm hpt đx II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 1.Gọi M ( a; b ) , N ( c; d ) Từ gt suy M,N nằm trên đường tròn x + y = và đường thẳng Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn Lop12.net (14) Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước x + y = Dễ thấy −2 ( ac + bd + cd ) = ( a − c ) + (b − d ) − 20 = MN − 20 2 Mà MN ≥ 12 − nên −2 ( ac + bd + cd ) ≥ −8 − ⇔ ac + bd + cd ≤ + Vậy maxP=4+4 a = b = 2; c = d = 2.và tương tự 4.Gọi N ( a; b ) ,Q ( c ,d ) , M ( x ; y ) Từ gt suy N,Q,M thuộc các đường tròn ( C1 ) : ( x − )2 + ( y − 5)2 = 1, ( C2 ) : ( x − )2 + ( y − 3)2 = và đường thẳng ( Δ ) : 3x − 2y − 13 = Khi đó P = MQ + MN Gọi I , R và J , R2 là tâm và bán kính (C1 ) , (C ) 118 21 ⎞ ; ⎟ Lấy K (u;v ) đối xứng với I qua ( Δ ) thì K ⎛⎜ ⎝ 13 13 ⎠ P = MQ + MN ≥ ( MJ − JQ ) + ( MI − IN ) = MJ + MK − ( R1 + R2 ) =2 ( ) 13 − Đẳng thức xẩy và M ≡ M 1,Q ≡ Q1, N ≡ N Trong đó M 1,Q1 là giao Của JK với ( Δ ) và (C ) còn N = M 1I ∩ (C1 ) Vậy P = ( − 1) III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CM BĐT 3.Từ câu a) ta có + cost cost A B C > = cot gt và vì cot g + cogt + cot g ≥ 3 nên có đpcm 2t sint 2 x b a + + + (1 − x )(1 − a)(1 − b ) với x ∈ [ 0;1] 4.Hàm số f ( x ) = a + b +1 x + a +1 x + b +1 có đạo hàm cấp hai không âm nên đạo hàm cấp có nhiều nghiệm TH : f , ( x ) = VN Thì f ( x ) ≤ M ax {f ( 0) ; f (1)} ≤ TH : f , ( x ) = có nghiệm x = α thì vì f , ( x ) đồng biến nên α là điểm cực tiểu vì maxf ( x ) = max {f ( 0) ; f (1)} ≤ (đpcm) [ 0;1] 8.Đặt F ( x ) = f ( x ) + f , ( x ) + + f ( n ) ( x ) thì n F , ( x ) = f , ( x ) + f , ( x ) + + f ( ) ( x ) = F ( x ) − f ( x ) (1) vì f là đa thức bậc n nên f ( n +1) ( x ) = Từ gt bài toán suy f là đa thức bậc chẵn có hệ số cao dương đó F đạt GTNN.Giả sử F đạt GTNN x Thì F , (x0 ) = từ (1) suy F ( x ) = F , ( x ) + f ( x ) = f ( x ) ≥ (đpcm) ( ) ( ) 12 a p + q − ≥ ( p+q ) a p − a q ↔ a p + q − ( p + q ) a p − a q − ≥ ( ) Hàm số: f ( x ) = x p + q − ( p + q ) x p − x q − đồng biến trên [1; +∞ ) Và có f (1) = nên từ a ≥ ta có (đpcm) Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn Lop12.net (15) Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước 13.Cô lập x và xét dấu đạo hàm f ( x ) = sin2 x tgx − x 3 Chú ý: 2sin2 x + tg 2x ≥ ( 2sinx+tgx )2 > ( 3x )2 *Cũng có thể xét đến đạo hàm cấp để khư x 15.Từ dự đoán điểm rơi dẫn đến xét hàm số có điểm cực trị x = ( y = x − x = x 1− x 23 y = x +1 x − x +1 ) là đạt cực đại x=1 nên P = x − x + + y − y + + z − z + nhỏ *có thể dùng bunhia hàm lồi 40 ( ) ( P = x4 + y + z = x2 + y + z − x2 y + y z + z x2 ) 2 = ⎡⎢( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) ⎤⎥ − ⎡⎢( xy + yz + zx ) − xyz ( x + y + z ) ⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( = (16 − 2t ) − t − 16 ) với t=xy + yz +zx t = x ( y + z ) + yz = x ( − x ) + Vì yz ≤ x y+ z 4− x ⎛4− x⎞ = ⇔ ≤⎜ ⎟ ⇔ x ∈ ⎡⎣3 − 5; ⎤⎦ x ⎝ ⎠ 2 (0<x<4) Từ đó tìm và max P 41.Tương tự40 42 Lấy ln hai vế ta có (d − b )( ln c − ln a) ≥ ( c − a)( ln d − ln b ) (1) Nếu a = c d = b thì hiển nhiên đúng c d ln ln ln c − ln a ln d − ln b a ≥ b Xét a ≠ c và d ≠ b Khi đó (1) (1) ↔ ≥ ↔ c −a d −b ⎛c ⎞ ⎛d ⎞ ⎜ − 1⎟ a ⎜ − 1⎟ b ⎝a ⎠ ⎝b ⎠ ln x Xét hàm số : f ( x ) = , x ∈ (1, +∞ ) nghịch biến trên (1, +∞ ) Suy ra: x −1 c d c d ln ln ln ln ⎛c⎞ ⎛d⎞ a ≥ b ⇔ a ≥ b f ⎜ ⎟≥ f ⎜ ⎟⇔ ⎛c ⎞ ⎛d ⎞ ⎛c ⎞ ⎛d ⎞ ⎝a⎠ ⎝b⎠ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ a ⎜ − 1⎟ b ⎝a ⎠ ⎝b ⎠ ⎝a ⎠ ⎝b ⎠ 44,45 Biểu diễn sin x, cos2x theo cotgx ta f (t )= t + 2t - t2 + IV ÚNG DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANG Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn Lop12.net (16) Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước xét hàm số f (x)= 2a sin n + x 2b sin n + x 2c + sin x - ccos x n+ n+ 8.a) 3x + 5x = 2.4x « 5x - 4x = 4x - 3x (1) Giả sử pt có nghiệm x = α Xét hàm số f (t )= (t + 1)α - t α ,t > có f (4)= f (3) Do đó tồn c Î (3; 4) éα = ëα = Sao cho f , (c )= « α êé(c + 1)α- - c α- úù= « ê ê ë û Thử lại thấy x = và x = thỏa mãn (1) Vậy pt có hai nghiệm x = , x = b) t=cosx ® 3t - 2t = t « 3t - 3t = 2t - 2t Giả sử pt có nghiệm x = α Xét f (t )= t α - t α thì f (3)= f (2) suy pt f , (t )= có nghiệm có nghiệm c Î (2; 3) éα = f , (t )= αt α - - α ® f , (c)= α c α - - = Û ê êëα = ( ) c)Đặt t = cosx ,- £ t £ Ta có pt: (1 + t )(2 + 4t )= 3.4t « f (t )= ln 4.4t , f (t )= + 4t - t - 1= - 1, f , (t )= « ln 4.4t = + 4t Đây là pt bậc hai theo 4t ( (2 + ) t 3.4t ) nên có không quá hai nghiệm đó pt f (t )= có không quá nghiệm Ta thấy t = 0,t = ,t = là nghiệm pt… C) Xét f (x )= 2003x + 2005x - 4006x - có đạo hàm cấp hai dương Và f (0)= f (1)= pt có hai nghiệm là và 9)Viết lại pt dạng f n (x )= - 1 1 + + + + = (1) 2 x - 4x - n x- Dễ thấy ,với n Î Ν* hàm f n (x ) liên tục và nghịch biến trên (1; + ¥ ) Hơn f n (x )® + ¥ x ® 1+ và f n (x )® - x ® + ¥ Từ đó suy Với n Î Ν* ,pt(1) có nghiệm x n > Với n Î Ν* ,ta có f (4)= - 1 1 + + + + 2 2 - - (2n )2 - ö çæ 1 1 1 ÷ + + ÷ ççè- + 1- + - + + ÷ 3 2k - 2k - 2n - 2n + 1ø =< = f (x n ) (2n + 1) = Từ đó, hàm f n (x )trên (1;+ ¥ ) nên x n < với n Î Ν* (2) Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn Lop12.net (17) Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước Mặt khác hàm f n (x ) có đạo hàm trên [x n , 4] nên theo định lí Lagrange Với n Î Ν* tồn t Î (x n ; 4) cho f n (4)- f n (x n ) - - - n2 = f , (t )= + + + < - " n Î Ν* 4- xn n 2t - (t - 1)2 (4t - 1)2 ( ) Hay - 1 < - " n Î Ν* Þ x n > " n Î Ν* (3) (2n + 1)(4 - x n ) (2n + 1) từ (2) và (3) : < x n < 4, " n Î Ν* suy lim x n = (đpcm) (2n + 1) III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM ĐK ĐỂ PT CÓ NGHIỆM ax2 + = cosx Û a = cosx-1 x2 æ πö = f (x ), " x Î çç0; ÷ ÷ çè ÷ ø Tìm miền giá trị f(x) ta a cần tìm æ ö a+ b÷ 3.Hàm số y = - x + (x + a)(x + b ) có miền giá trị trên (0;+ ¥ )là ççç ab ; ÷ ÷ è ø Do đó cần cm: s ös æs ça + b ÷ ÷ < a + b ,với s Î (0;1) ab < çç ÷ ÷ çè ÷ ø (4m - 3) x + + (3m - 4) 1- x + m - = Û m= x + + 1- x + x + + 1- x + æ x+ Chú ý: ççç çè ö2 æ 1- x ö÷2 3÷ α ÷ ÷ = Do đó lượng giác hóa và đưa ẩn phụ t = tg + ççç ÷ ÷ ÷ ø çè ÷ ø Rồi khảo sát hàm số thu theo t 5.Tương tự 10 x x + = (x + 1)x Û f (x )= x ln(x + 1)- (x + 1)ln x = æ 1ö 1 1 < - < với x>0 f Nb Ta có f , (x )= lnççç1 + ÷÷÷- è xø x x+1 x x x+1 Mà f (1)= ln > và é ù æ 1ö ÷- ln(x + 1)ú lim êê(x + 1)lnççç1 + ÷ ÷ úû è xø x® + ¥ x® + ¥ ë é æ ù öx + 1÷ ú= - ¥ = lim êêlnçç1 + ÷ + ln x ( ) ÷ ú ç è ø x x® + ¥ ê ú ë û Kết hợp f liên tục (0,+ ¥ )suy pt có nghiệm dương lim f (x )= Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn Lop12.net (18)