Hãy viết phương trình mặt phẳng P qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng P bằng Câu VII.a 1 điểm 10.. Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b 2 điểm.[r]
(1)Lop12.net (2) http://www.VNMATH.com ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2011 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN-TIN MÔN: TOÁN- KHỐI A Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề ) - A PHẦN CHUNG CHO MỌI THÍ SINH Câu I (2 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x4 – 4x2 + Tìm m để phương trình x − x + = log m có đúng nghiệm Câu II (2 điểm) Giải bất phương trình: ( x ) ( −1 + ) x +1 − x+ ≤0 Giải phương trình: x − ( x + 2) x − = x − Câu III (2 điểm) e x −1 + tan( x − 1) − 1 Tính giới hạn sau: lim x →1 x −1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi , ∠BAD = α Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại hợp với đáy góc β Cạnh SA = a Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp S.ABCD Câu IV (1 điểm) Cho tam giác ABC với các cạnh là a, b, c Chứng minh rằng: a + b3 + c + 3abc ≥ a (b + c ) + b(c + a ) + c(a + b ) B PHẦN TỰ CHỌN: Mỗi thí sinh chọn câu Va Vb Câu Va (3 điểm) Chương trình Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ : x + y − = và hai điểm A(1; 0), B(3; - 4) Hãy tìm trên đường thẳng ∆ điểm M cho MA + 3MB nhỏ x = 1− t x = t Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: d1 : y = 2t và d : y = + 3t z = −2 + t z = 1− t Lập phương trình đường thẳng qua M(1; 0; 1) và cắt d1 và d2 Tìm số phức z thỏa mãn: z + z = Câu Vb (3 điểm) Chương trình nâng cao Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 = 13 và (C2): (x - 6)2 + y2 = 25 cắt A(2; 3) Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài x = 1− t x = t Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: d1 : y = 2t và d : y = + 3t z = −2 + t z = 1− t Lập phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung d1 và d2 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z + + 2i = , tìm số phức z có modun nhỏ http://www.VNMATH.com Lop12.net http://www.VNMATH.com (3) http://www.VNMATH.com ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011 MÔN:TOÁN, Khối A Câu ý Nội dung Điểm 1 TXĐ D = Giới hạn : lim y = +∞ I x →±∞ Sự biến thiên : y’ = 4x3 - 8x y’ = ⇔ x = 0, x = ± 025 Bảng biến thiên 025 x y’ y − −∞ +∞ - 0 + +∞ - + +∞ -1 -1 ( )( Hàm số đồng biến trên các khoảng − 2; , 025 ) 2; +∞ và nghịch biến trên các khoảng ( −∞; − ) , ( 0; ) Hàm số đạt cực đại x = 0, yCD = Hàm số đạt cực tiểu x = ± , yCT= -1 Đồ thị 025 Đồ thị hàm số y = x − x + Số nghiệm phương trình x − x + = log m số giao điểm đồ thị hàm số y = x − x + và đường thẳng y = log2m Vậy phương trình có nghiệm và log2m = < log m < hay m = 2<m<9 Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com Lop12.net (4) http://www.VNMATH.com ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -2 II x x −1 + Viết lại bất phương trình dạng + − 2 ≤ 2 x 025 x +1 −1 Đặt t = , t > đó = t Bất phương trình có dạng t + − 2 ≤ ⇔ t − 2t + ≤ t ⇔ −1 ≤ t ≤ + 025 025 x +1 ⇔ − ≤ ≤ + ⇔ log +1 ( − 1) ≤ x ≤ log +1 025 ( + 1) Điều kiện : x ≥ Phương trình tương đương với x − x( x − − 1) − x − − 2( x − 1) = 2 Đặt y = x − 1, y ≥ Khi đó (*) có dạng : x – x(y - 1) – 2y – 2y = ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = ⇔ x − y = 0(do x + y + ≠ 0) (*) 025 025 ⇒ x = x −1 ⇔ x2 − 4x + = 05 ⇔x=2 III e x −1 + tan( x − 1) − e x −1 − + tan( x − 1) 3 lim ( x + x + 1) = x →1 x →1 x −1 x −1 e x −1 − 3 tan( x − 1) 3 = lim ( x + x + 1) + lim ( x + x + 1)( x + 1) x →1 x − x →1 x2 − lim = lim( x + x + 1) + lim( x + x + 1)( x + 1) = x →1 x →1 025 05 025 Kẻ đường cao SI tam giác SBC Khi đó AI ⊥ BC Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com Lop12.net (5) http://www.VNMATH.com ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -(Định lí đường vuông góc) đó ∠SIA = β S 025 AI = a.cot β , AB = AD = S ABCD = AB AD.sin α = VS ABCD = a a cot β , SI = sin α sin β a cot β sin α 025 A a cot β 3sin α 025 Sxq = SSAB + SSAD SSBC + SSCD a cot β = (1 + ) sin α sin β B I IV C 025 a + b3 + c + 3abc ≥ a (b + c ) + b(c + a ) + c(a + b ) a + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 ⇔ + + ≤ 2ab 2bc 2ca ⇔ cos A + cos B + cos C ≤ Mặt khác cos A + cos B + cos C = (cos A + cos B).1 − (cos A cos B − sin A sin B) 1 ≤ [(cos A + cos B)2 + 12 ]+ [sin A+sin B]-cos A cos sB = 2 Do đó cos A + cos B + cos C ≤ Ta có Va 025 025 05 1 Gọi I là trung điểm AB, J là trung điểm IB Khi đó I(1 ; -2), J( ; −3 ) Ta có : MA + 3MB = ( MA + MB) + 2MB = 2MI + 2MB = 4MJ Vì MA + 3MB nhỏ M là hình chiếu vuông góc J trên đường thẳng ∆ 025 Đường thẳng JM qua J và vuông góc với ∆ có phương trình : 2x – y – = −2 x= x + y − = 19 −2 Tọa độ điểm M là nghiệm hệ ⇔ M( ; ) 19 5 2 x − y − = y = 025 025 025 Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com Lop12.net (6) http://www.VNMATH.com ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - Đường thẳng d1 qua A(1; 0; -2) và có vecto phương là u1 = (−1; 2;1) , đường thẳng d2 qua B(0; 1; 1) và có vecto phương là u2 = (1;3; −1) Gọi (α ), ( β ) là các mặt phẳng qua M và chứa d1 và d2 Đường thẳng cần tìm chính là giao tuyến hai mặt phẳng (α ) và ( β ) Ta có MA = (0;0; −3), MB = (−1;1;0) n1 = MA; u1 = (2;1; 0), n2 = − MB; u2 = (1;1; 4) là các vecto pháp tuyến (α ) và ( β ) 3 Đường giao tuyến (α ) và ( β ) có vectơ phương u = n1; n2 = (4; −8;1) và qua I M(1;0;1) nên có phương trình x= + 4t, y = 8t, z = + t 025 025 025 025 Gọi z = x + y.i Khi đó z = x – y + 2xy.i, z = x − yi 025 z + z = ⇔ x − y + x + 2( x − 1) yi = 025 2 x − y + 2x = ⇔ ⇔ ( x = 1; y = ± 3), ( x = 0; y = 0), ( x = −2; y = 0) 2( x − 1) y = Vậy có số phức thỏa mãn z = 0, z = - và z = ± 3i 2 Vb Gọi giao điểm thứ hai đường thẳng cần tìm với (C1) và (C2) là M và N Gọi M(x; y) ∈ (C1 ) ⇒ x + y = 13 (1) Vì A là trung điểm MN nên N(4 – x; – y) Do N ∈ (C2 ) ⇒ (2 + x)2 + (6 − y ) = 25 (2) x + y = 13 Từ (1) và (2) ta có hệ 2 (2 + x) + (6 − y ) = 25 −17 −17 ; y = ) Vậy M( ; ) Giải hệ ta (x = ; y = 3) ( loại) và (x = 5 5 Đường thẳng cần tìm qua A và M có phương trình : x – 3y + = 025 025 025 025 025 025 Gọi M (1- t ; 2t ; -2 + t) ∈ d1 , N(t’ ; 1+3t’ 1- t’) ∈ d Đường thẳng d1 có vecto phương là u1 = (−1; 2;1) , đường thẳng d2 có vecto phương là u2 = (1;3; −1) MN = (t '+ t − 1;3t '− 2t + 1; −t '− t + 3) MN là đoạn vuông góc chung d1 và d2 t'= MN u1 = 2t '− 3t + = ⇔ ⇔ O 11 ' − − = t t MN u = t = 025 025 Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com Lop12.net (7) http://www.VNMATH.com ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -Do đó M( −2 14 −3 14 ; ; ), N( ; ; ) 5 5 5 Mặt cầu đường kính MN có bán kính R = (x − 14 −1 MN = và tâm I( ; ; ) có phương trình 025 2 10 10 14 1 ) + ( y − ) + ( z + )2 = 10 10 025 Gọi z = x + yi, M(x ; y ) là điểm biểu diễn số phức z z + + 2i = ⇔ ( x + 1) + ( y + 2)2 = Đường tròn (C) : ( x + 1) + ( y + 2) = có tâm (-1;-2) Đường thẳng OI có phương trình y = 2x Số phức z thỏa mãn điều kiện và có môdun nhỏ và điểm Biểu diễn nó thuộc (C) và gần gốc tọa độ O nhất, đó chính là hai giao điểm đường thẳng OI và (C) 025 025 Khi đó tọa độ nó thỏa x = −1 − y = 2x mãn hệ ⇔ 2 ( x + 1) + ( y + 2) = y = −2 − Chon z = −1 + x = −1 + , y = −2 + 5 ) + i ( −2 + 5 025 025 ============================== Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com Lop12.net (8) http://www.VNMATH.com ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2011 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN-TIN MÔN: TOÁN- KHỐI A Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề ) - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I ( điểm) Cho hàm số y = x + (1 − 2m) x + (2 − m) x + m + (1) m là tham số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m=2 Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + = góc α , biết cos α = 26 Câu II (2 điểm) 2x log 21 −4 ≤ 4− x 2 Giải bất phương trình: sin x.(2 cos x + 1) + = cos x + cos x − cos x Giải phương trình: Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I = ∫ (1 + x +1 + 2x ) dx Câu IV(1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB = a Gọi I là trung điểm BC, hình chiếu vuông góc H S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: IA = −2 IH , góc SC và mặt đáy (ABC) 60 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K SB tới (SAH) Câu V(1 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x + y + z ≤ xyz Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: x y z + + x + yz y + zx z + xy P= PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chọn làm hai phần ( phần A phần B ) A Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình x + y + = , trung tuyến từ đỉnh C có phương trình: 2x-y-2=0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) Câu VII.a (1 điểm) 10 ( ) Cho khai triển: (1 + x ) x + x + B Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b (2 điểm) = a + a1 x + a x + + a14 x 14 Hãy tìm giá trị a6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích 11 và trọng tâm G thuộc đường thẳng d: x + y − = Tìm tọa độ đỉnh C 2.Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) x + y − z + = ,đường thẳng d: x − y −1 z −1 = = −1 −3 Gọi I là giao điểm d và (P) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (P), vuông góc với d và cách I khoảng Câu VII.b (1 điểm) z +i Giải phương trình: = i− z http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com Lop12.net (9) http://www.VNMATH.com ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011 MÔN:TOÁN, Khối A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I(2đ) ý Nội dung 1(1đ) Khảo sát hàm số m = Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x3 − 3x + a) TXĐ: R b) SBT •Giới hạn: lim y = −∞; lim y = +∞ x →−∞ Điểm 0,25 x →+∞ •Chiều biến thiên: Có y’ = 3x2 − 6x; y’=0 ⇔ x =0, x =2 x +∞ −∞ y’ + − + +∞ y −∞ Hàm số ĐB trên các khoảng (−∞ ; 0) và (2 ; +∞), nghịch biến trên (0 ; 2) •Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = y(0) = 4; y Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT = y(2) = c) Đồ thị: Qua (-1 ;0) Tâm đối xứng:I(1 ; 2) I 0,25 0,25 0,25 -1 x 2(1đ) Tìm m Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến ⇒ tiếp tuyến có véctơ pháp n1 = (k ;−1) d: có véctơ pháp n2 = (1;1) 0,5 k1 = Ta có cos α = ⇔ = ⇔ 12k − 26k + 12 = ⇔ 26 k +1 k = n1 n2 Yêu cầu bài toán thỏa mãn ⇔ ít hai phương trình: y / = k1 (1) và y / = k (2) có nghiệm x n1 n2 3x + 2(1 − 2m) x + − m = ⇔ 3x + 2(1 − 2m) x + − m = k −1 2 có nghiệm có nghiệm ∆/ ≥ ⇔ / ∆ ≥ - http://www.VNMATH.com Gv: Trần Quang Thuận Lop12.net 0,25 http://www.VNMATH.com Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 (10) http://www.VNMATH.com ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -1 m ≤ − ; m ≥ 8m − 2m − ≥ ⇔ m ≤ − m ≥ ⇔ ⇔ 0,25 m ≤ − ; m ≥ 4m − m − ≥ II(2đ) 1(1đ) Giải bất phương trình 2x 2x − ≤ log − x ≤ −2(1) log − x − ≥ 0,25 Bpt ⇔ ⇔ x x log ≤9 2 ≤ log − x ≤ 3(2) 12 − x 3x − − x ≥ 2x 16 ≤8⇔ ⇔ ≤x≤ Giải (1): (1) ⇔ ≤ 0,25 4−x x − 16 ≤ − x 17 x − − x ≥ 4 2x Giải (2): (2) ⇔ ≤ ≤ ⇔ ⇔ ≤x≤ 0,25 4− x 17 9x − ≤ − x 4 16 Vậy bất phương trình có tập nghiệm ; ∪ ; 0,25 17 2(1đ) Giải PT lượng giác Pt ⇔ sin x (2 cos x + 1) = (cos 3x − cos x) + (cos x − 1) − (2 cos x + 1) 0,5 ⇔ sin x(2 cos x + 1) = −4 sin x cos x − sin x − (2 cos x + 1) ⇔ (2 cos x + 1)( sin x + sin x + 1) = • sin x + sin x + = ⇔ sin x − cos x = −2 ⇔ sin(2 x − ⇔x=− π π ) = −1 0,25 + kπ 2π x = + k 2π • cos x + = ⇔ (k ∈ Z ) x = − 2π + k 2π π 2π 2π Vậy phương trình có nghiệm: x = + k 2π ; x = − + k 2π và x = − + kπ 3 0,25 III(1đ) 1(1đ) Tính tích phân - http://www.VNMATH.com Gv: Trần Quang Thuận Lop12.net http://www.VNMATH.com Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 (11) http://www.VNMATH.com ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -4 x +1 dx I= ∫ + + 2x 0,25 t − 2t dx •Đặt t = + + x ⇒ dt = ⇒ dx = (t − 1)dt và x = + 2x Đổi cận x t •Ta có I = 4 2 (t − 2t + 2)(t − 1) t − 3t + 4t − 2 dt = ∫ dt = ∫ t − + − dt 0,5 2 ∫ 22 22 2 t t t t ( = t2 2 − 3t + ln t + 2 t = ln − IV (1đ) ) 0,25 Tính thể tích và khoảng cách S •Ta có IA = −2 IH ⇒ H thuộc tia đối tia IA và IA = 2IH BC = AB = 2a ; AI= a ; IH= AH = AI + IH = 0,25 IA a = 2 3a K A B I H C •Ta có HC = AC + AH − AC AH cos 45 ⇒ HC = ∧ a 0,25 ∧ Vì SH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SC; ( ABC )) = SCH = 60 SH = HC tan 60 = • VS ABC = a 15 1 a 15 a 15 S ∆ABC SH = (a ) = 3 2 0,25 - http://www.VNMATH.com Gv: Trần Quang Thuận 10 Lop12.net http://www.VNMATH.com Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 (12) http://www.VNMATH.com ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -• BI ⊥ AH ⇒ BI ⊥ ( SAH ) BI ⊥ SH 0,25 d ( K ; ( SAH )) SK 1 a = = ⇒ d ( K ; ( SAH )) = d ( B; ( SAH ) = BI = d ( B; ( SAH )) SB 2 2 Tim giá trị lớn P Ta có V (1đ) x y z + + x + xy y + zx z + xy x y z Vì x; y; z > , Áp dụng BĐT Côsi ta có: P ≤ + + = 2 x yz y zx z xy P= = 0,25 2 + + yz zx xy 1 1 1 yz + zx + xy x + y + z + + + + + = ≤ y z z x x y xyz xyz 2 xyz = ≤ xyz ≤ Dấu xảy ⇔ x = y = z = Vậy MaxP = 0,5 0,25 PHẦN TỰ CHỌN: Câu VIa(2đ) ý Nội dung 1(1đ) Viết phương trình đường tròn… KH: d1 : x + y + = 0; d : x − y − = Điểm 0,25 d1 có véctơ pháp tuyến n1 = (1;1) và d có véctơ pháp tuyến n2 = (1;1) • AC qua điểm A( 3;0) và có véctơ phương n1 = (1;1) ⇒ phương trình AC: x − y − = x − y − = C = AC ∩ d ⇒ Tọa độ C là nghiệm hệ: ⇒ C (−1;−4) 2 x − y − = xB + y B ; ) ( M là trung điểm AB) 2 xB + yB + = Ta có B thuộc d1 và M thuộc d nên ta có: ⇒ B (−1;0) yB x B + − − = • Gọi B( x B ; y B ) ⇒ M ( 0,25 • Gọi phương trình đường tròn qua A, B, C có dạng: x + y + 2ax + 2by + c = Thay tọa độ ba điểm A, B, C vào pt đường tròn ta có: - http://www.VNMATH.com Gv: Trần Quang Thuận 11 Lop12.net http://www.VNMATH.com Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 (13) http://www.VNMATH.com ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -0,5 6a + c = −9 a = −1 ⇔ b = ⇒ Pt đường tròn qua A, B, C là: − a + c = −1 − 2a − 8b + c = −17 c = −3 x + y − x + y − = Tâm I(1;-2) bán kính R = 2 2(1đ) Viết phương trình mặt phẳng (P) •Gọi n = (a; b; c) ≠ O là véctơ pháp tuyến (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) ⇒ pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 0,25 Mà (P) qua B(0;0;-2) ⇒a-b-2c=0 ⇒ b = a-2c Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0 • d(C;(P)) = 3⇔ 2a + c 2 a + ( a − 2c ) + c = ⇔ 2a − 16ac + 14c = 0,5 a = c ⇔ a = 7c •TH1: a = c ta chọn a = c = ⇒ Pt (P): x-y+z+2=0 0,25 TH2: a = 7c ta chọn a =7; c = ⇒Pt (P):7x+5y+z+2=0 VII.a (1 đ) Tìm hệ số khai triển (2 x + 1) + nên 4 (1 + x )10 ( x + x + 1) = (1 + x)14 + (1 + x)12 + (1 + x)10 16 16 14 6 • Trong khai triển (1 + x ) hệ số x là: C14 • Ta có x + x + = 0,25 12 Trong khai triển (1 + x ) hệ số x là: C126 10 Trong khai triển (1 + x ) hệ số x là: C 6 10 6 6 C14 + C12 + C106 = 41748 16 16 1(1đ) Tìm tọa độ điểm C x y • Gọi tọa độ điểm C ( xC ; y C ) ⇒ G (1 + C ; C ) Vì G thuộc d 3 x y ⇒ 31 + C + C − = ⇒ y C = −3xC + ⇒ C ( xC ;−3xC + 3) • Vậy hệ số a = VI.b(2đ) 0,5 0,25 0,25 •Đường thẳng AB qua A và có véctơ phương AB = (1;2) - http://www.VNMATH.com Gv: Trần Quang Thuận 12 Lop12.net http://www.VNMATH.com Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 (14) http://www.VNMATH.com ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -⇒ ptAB : x − y − = xC + 3xC − − 11 11 11 AB.d (C ; AB ) = ⇔ d (C ; AB) = ⇔ = 2 5 xC = −1 ⇔ xC − = 11 ⇔ xC = 17 • S ∆ABC = • TH1: xC = −1 ⇒ C (−1;6) 17 17 36 TH2: xC = ⇒ C ( ;− ) 5 2(1đ) Viết phương trình đường thẳng 0,5 0,25 • (P) có véc tơ pháp tuyến n( P ) = (1;1;−1) và d có véc tơ phương u = (1;−1;−3) I = d ∩ ( P ) ⇒ I (1;2;4) 0,25 [ ] • vì ∆ ⊂ ( P); ∆ ⊥ d ⇒ ∆ có véc tơ phương u ∆ = n( P ) ; u = (−4;2;−2) = 2(−2;1;−1) • Gọi H là hình chiếu I trên ∆ ⇒ H ∈ mp(Q) qua I và vuông góc ∆ Phương trình (Q): − 2( x − 1) + ( y − 2) − ( z − 4) = ⇔ −2 x + y − z + = Gọi d1 = ( P) ∩ (Q) ⇒ d1 có vécto phương x = n( P ) ; n( Q ) = (0;3;3) = 3(0;1;1) và d1 qua I ⇒ ptd1 : y = + t z = + t [ ] Ta có H ∈ d1 ⇒ H (1;2 + t ;4 + t ) ⇒ IH = (0; t ; t ) 0,5 t = • IH = ⇔ 2t = ⇔ t = −3 x −1 y − z − = = −2 −1 x −1 y +1 z −1 TH2: t = −3 ⇒ H (1;−1;1) ⇒ pt∆ : = = −2 −1 Giải phương trình trên tập số phức ĐK: z ≠ i • TH1: t = ⇒ H (1;5;7) ⇒ pt∆ : VII.b 1đ • Đặt w = 0,25 z+i ta có phương trình: w = ⇔ ( w − 1)( w + w + 1) = i−z 0,5 - http://www.VNMATH.com Gv: Trần Quang Thuận 13 Lop12.net http://www.VNMATH.com Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 (15) http://www.VNMATH.com ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - w = w = −1+ i ⇔ ⇔ w = w + w + = w = − − i z+i • Với w = ⇒ =1⇔ z = i−z −1+ i z + i −1+ i • Với w = = ⇔ (1 + i ) z = − − 3i ⇔ z = − ⇒ i−z 0,5 −1− i z + i −1− i = ⇔ (1 − i ) z = − 3i ⇔ z = ⇒ • Với w = i−z Vậy pt có ba nghiệm z = 0; z = và z = − - - http://www.VNMATH.com Gv: Trần Quang Thuận 14 Lop12.net http://www.VNMATH.com Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 (16) http://www.VNMATH.com ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN – TIN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG 2010 MÔN: TOÁN - Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I( 2,0 điểm): Cho hàm số: (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C) cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hoành Câu II (2,0 điểm): Giải phương trình lượng giác Giải hệ phương trình Câu III(1,0 điểm): Tính tích phân sau π I= dx ∫ π sin x cos x Câu IV(1,0 điểm): Cho ba số thực thỏa mãn ,Chứng minh rằng: Câu V(1,0 điểm): Cho tứ diện ABCD có AC = AD = (ACD) , BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng Tính góc hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) Biết thể khối tứ diện ABCD II PHẦN RIÊNG (Thí sinh làm phần A B) A Theo chương trình chuẩn Câu VIa(2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm : A(1;2; 2) B(-1;2;-1) C(1;6;-1) D(-1;6;2) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm A trên mặt phẳng (BCD) Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C ) Viết PT đường thẳng (∆) vuông góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) A; B cho AB = Câu VIIa(1,0 điểm): Xác định hệ số x5 khai triển (2+x +3x2 )15 B Theo chương trình nâng cao Câu VIb(2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm : A(1;2; 2) B(-1;2;-1) C(1;6;-1) D(-1;6;2) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm A trên mặt phẳng (BCD) Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C ) Viết PT đường thẳng (∆ ) vuông góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) A; B cho AB = Câu VIIb(1,0 điểm):Giải phương trình: http://www.VNMATH.com Gv: Trần Quang Thuận 15 Lop12.net http://www.VNMATH.com 0912.676.613 – 091.5657.952 (17) http://www.VNMATH.com ĐÁP ÁN NỘI DUNG CÂU ĐIỂM I 2,0 1,0 0,25 • TXĐ: D= R\{1} • y’= Hàm số luông nghịch biến trên D và không có cực trị 0,25 • Giới hạn: • PT đường TCĐ: x=1; PT đường TCN: y=1 • 0,25 Bảng biên thiên: t f’(t) + - + + f(t) - 0,25 • Đồ thị: y f(x) = x+2 x-1 5/2 -2 O x -2 1,0 0,25 • Gọi k là hệ số góc đt qua A(0;a) PT đt d có dạng y= kx+a (d) http://www.VNMATH.com Gv: Trần Quang Thuận 16 Lop12.net http://www.VNMATH.com 0912.676.613 – 091.5657.952 (18) http://www.VNMATH.com có nghiệm • d là tiếp tuyến với ( C ) ⇔ hệ PT <=>Pt (1-a)x2 +2(a+2)x-(a+2)=0 (1) có nghiệm x ≠ • Theo bài qua A có tiếp tuyến thì pt (1) có nghiệm x1 ; x2 phân biệt Đk là : (*) • Khi đó theo Viet ta có : x1 +x2 = • Suy y1 = 1+ • Để tiếp điểm nằm phía trục Ox thì y1.y2 <0 ⇔ (1+ • 0,25 ) ; x1.x2 = 0,25 ; y2 = <0 ⇔ 0,25 Giải đk trên ta ⇔ -(3a+2) <0 ⇔ a>-2/3 Kết hợp với đk (*) ta có ≠ a>-2/3 II 2,0 1,0 0,25 • ĐK: • 0,5 Với ĐK trên PT đã cho tương đương với 0,25 • Đối chiếu ĐK ta nghiệm pt đã cho là 1,0 • • 0.25 Đặt : t = x + y ; ĐK: t Giải PT: 0,5 http://www.VNMATH.com Gv: Trần Quang Thuận 17 Lop12.net http://www.VNMATH.com 0912.676.613 – 091.5657.952 (19) http://www.VNMATH.com 0,25 Hệ đã cho trở thành Vậy hệ dã cho có nghiệm III 1,0 π 0,5 π 3 dx dx I=∫ = ∫ 2 π sin x cos x π sin x cos x 4 Đặt : t = tanx Đổi cận: x = x= Khi đó I = (1 + t ) dt ∫1 t = ∫( 1 t3 + + ) dt = ( − + t + ) t t t2 = 0,5 3−4 IV 1,0 • BĐT cần chứng minh tương đương với • Nhận xét: Do • Xét : A = • Chia tử và mẫu cho • Xét hàm số f(t) = • Ta có : f’(t) = • Bảng biên thiên: t ’ f (t) nên 0,25 là các số thực dương 0,5 với x,y > và đặt t = trên (0;+ ta A = với t > ) + + f(t) http://www.VNMATH.com Gv: Trần Quang Thuận 18 Lop12.net http://www.VNMATH.com 0912.676.613 – 091.5657.952 (20) http://www.VNMATH.com • Dựa vao bảng biến thiên ta có f(t) với t > • Từ đó A = với x,y > 0; dấu xảy t = nên x = y • Do vai trò • Áp dụng BĐT cô si ta có • Thay vào ta suy BĐT chứng minh, dấu đẳng thức xảy a = b = c = 0,25 là nên BĐT cần chứng minh tương đương V 1,0 Gọi E là trung điểm CD, kẻ BH ACD cân A nên CD Ta có Tương tự Mà BH CD AE suy BH Do đó BH = 0,25 A AE BCD cân B nên CD Suy CD (ABE) AE BE BH H (ACD) và góc hai mặt phẳng D (ACD) và (BCD) là E B C 0,25 Thể tích khối tứ diện ABCD là Mà Khi đó : là nghiệm pt: x2 - x+ trường hợp Xét BED vuông E nên BE = Xét BHE vuông H nên sin = = vì DE<a 0,25 Vậy góc hai mp(ACD) và (BCD) là http://www.VNMATH.com Gv: Trần Quang Thuận 19 Lop12.net http://www.VNMATH.com 0912.676.613 – 091.5657.952 (21)