2 Viết phương trình mp Q song song với mp P đồng thời tiếp xúc với mặt cầu S Câu Va 1,0 điểm: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:.. 2 Viết phương trình mặt cầu tâ[r]
(1)20 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐÁP ÁN CHI TIẾT Hoàng Anh Chung 0988 049 414 – 01672 105 819 Lop10.com (2) KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Đề số 01 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề - I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = (1 - x )2(4 - x ) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) giao điểm (C ) với trục hoành 3) Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm phân biệt: x - 6x + 9x - + m = Câu II (3,0 điểm): 1) Giải phương trình: 22x + - 3.2x - = 2) Tính tích phân: I = x ò (1 + x )e dx 3) Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số: y = ex (x - x - 1) trên đoạn [0;2] Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc cạnh bên và mặt đáy 600 Tính thể tích hình chóp II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chọn hai phần đây Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; - 1), B (1; - 2; 3),C (0;1;2) 1) Chứng minh điểm A,B,C không thẳng hàng Viết phương trình mặt phẳng (ABC ) 2) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc gốc toạ độ O lên mặt phẳng (ABC ) Câu Va (1,0 điểm): Tìm số phức liên hợp số phức z biết rằng: z + 2z = + 2i Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2; 0; - 1), B (1; - 2; 3),C (0;1;2) 1) Chứng minh điểm A,B,C không thẳng hàng Viết phương trình mặt phẳng (ABC ) 2) Viết phương trình mặt cầu tâm B, tiếp xúc với đường thẳng AC Câu Vb (1,0 điểm): Tính môđun số phức z = ( - i )2011 Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Lop10.com (3) BÀI GIẢI CHI TIẾT 2 Câu I : y = (1 - x ) (4 - x ) = (1 - 2x + x )(4 - x ) = - x - 8x + 2x + 4x - x = - x + 6x - 9x + y = - x + 6x - 9x + Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: y ¢= - 3x + 12x - éx = Cho y ¢= Û - 3x + 12x - = Û ê êx = ê ë Giới hạn: lim y = + ¥ ; lim y = - ¥ x® - ¥ x® + ¥ Bảng biến thiên x y¢ y – – + + + – – Hàm số ĐB trên khoảng (1;3), NB trên các khoảng (–;1), (3;+) Hàm số đạt cực đại yCÑ = xCÑ = ; đạt cực tiểu yCT = xCT = y ¢¢= - 6x + 12 = Û x = Þ y = Điểm uốn là I(2;2) y éx = ê Giao điểm với trục hoành: y = Û - x + 6x - 9x + = Û ê x= ê ë Giao điểm với trục tung: x = Þ y = Bảng giá trị: x y 4 O Đồ thị hàm số: nhận điểm I làm trục đối xứng hình vẽ bên đây (C ) : y = - x + 6x - 9x + Viết pttt giao điểm (C ) với trục hoành Giao điểm (C ) với trục hoành: A(1; 0), B (4; 0) pttt với (C ) A(1; 0) : x = vaøy0 = ïü ï Þ pt t t t aïi A : y - = 0(x - 1) Û y = ý ¢ ¢ f (x ) = f (1) = 0ïï þ pttt với (C ) B (4; 0) : ïï x = vaøy0 = ü ý Þ pt t t t aïi B : y - = - 9(x - 4) Û y = - 9x + 36 f ¢(x ) = f ¢(4) = - 9ïï þ Vậy, hai tiếp tuyến cần tìm là: y = và y = - 9x + 36 3 Ta có, x - 6x + 9x - + m = Û - x + 6x - 9x + = m (* ) (*) là phương trình hoành độ giao điểm (C ) : y = - x + 6x - 9x + và d : y = m nên số nghiệm phương trình (*) số giao điểm (C ) và d Dựa vào đồ thị ta thấy (*) có nghiệm phân biệt và 0< m < Vậy, với < m < thì phương trình đã cho có nghiệm phân biệt Câu II 22x + - 3.2x - = Û 2.22x - 3.2x - = (*) Đặt t = 2x (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành Lop10.com x (4) ét = (nhan) 2t - 3t - = Û ê êt = - (loai) ê ë Với t = 2: 2x = Û x = Vậy, phương trình (*) có nghiệm x = 1 I = x ò (1 + x )e dx ïìï u = + x ïìï du = dx Þ Đặt í Thay vào công thức tích phân phần ta được: í ïï dv = exdx ïï v = ex ïî îï I = (1 + x )ex - 1 ò0 exdx = (1 + 1)e1 - (1 + 0)e0 - ex = 2e - - (e1 - e0 ) = e Vậy, I = x ò (1 + x )e dx = e Hàm số y = ex (x - x - 1) liên tục trên đoạn [0;2] y ¢= (ex )¢(x - x - 1) + ex (x - x - 1)¢= ex (x - x - 1) + ex (2x - 1) = ex (x + x - 2) éx = Î [0;2] (nhan) Cho y ¢= Û ex (x + x - 2) = Û x + x - = Û ê êx = - Ï [0;2] (loai) ê ë Ta có, f (1) = e (1 - - 1) = - e f (0) = e0(02 - - 1) = - f (2) = e2(22 - - 1) = e2 Trong các kết trên, số nhỏ là - e và số lớn là e2 Vậy, y = - e x = 1; max y = e2 x = [0;2] Câu III [0;2] Gọi O là tâm mặt đáy thì SO ^ (ABCD ) đó SO là đường cao hình chóp và hình chiếu SB lên mặt đáy là BO, · đó SBO = 600 (là góc SB và mặt đáy) A · · · SO BD Þ SO = BO t an SBO = t an SBO Ta có, t an SBO = 60 BO = a t an 600 = a Vậy, thể tích hình chóp cần tìm là B 2a S D O C 1 4a B h = AB BC SO = 2a.2a.a = 3 3 THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu IVa: Với A(2; 0; - 1), B (1; - 2; 3),C (0;1;2) uuur uuur Ta có hai véctơ: AB = (- 1; - 2; 4) , AC = (- 2;1; 3) æ- 4 - - - ö uuur uuur r ÷ ç ÷ ; ; = ( 10; 5; 5) ¹ Þ A, B ,C không thẳng hàng [AB , AC ] = çç ÷ ÷ ç 3 2 ÷ ç è ø Điểm trên mp (ABC ) : A(2; 0; - 1) uuur uuur r vtpt mp (ABC ) : n = [AB , AC ] = (- 10; - 5; - 5) V = Vậy, PTTQ mp (ABC ) : A(x - x ) + B (y - y0 ) + C (z - z0 ) = Lop10.com (5) Û - 10(x - 2) - 5(y - 0) - 5(z + 1) = Û - 10x - 5y - 5z + 15 = Û 2x + y + z - = r Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (a ) , có vtcp u = (2;1;1) ïìï x = 2t ï PTTS d : ïí y = t Thay vào phương trình mp (a ) ta được: ïï ïï z = t î 2(2t ) + (t ) + (t ) - = Û 6t - = Û t = 21 Vậy, toạ độ hình chiếu cần tìm là H (1; 21 ; 21 ) Câu Va: Đặt z = a + bi Þ z = a - bi , thay vào phương trình ta a + bi + 2(a - bi ) = + 2i Û a + bi + 2a - 2bi = + 2i Û 3a - bi = + 2i ìï 3a = ìï a = Û ïí Û ïí Þ z = - 2i Þ z = + 2i ïï - b = ïï b = - î î Vậy, z = + 2i THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu IVb: Với A(2; 0; - 1), B (1; - 2; 3),C (0;1;2) Bài giải hoàn toàn giống bài giải câu IVa (phần ban bản): đề nghị xem lại phần trên uuur r Đường thẳng AC qua điểm A(2; 0; - 1) , có vtcp u = AC = (- 2;1; 3) uuur Ta có, AB = (- 1; - 2; 4) æ- 4 - - - ö uuur r r uuur ÷ ç ÷ ; ; = (- 10; - 5; - 5) u = AC = (- 2;1; 3) Suy [AB , u ] = çç ÷ ÷ ç 3 2 ÷ ç è ø Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC ta uuur r [AB , u ] (- 10)2 + (- 5)2 + (- 5)2 15 d(B , AC ) = = = r u 14 (- 2)2 + (1)2 + (32 ) 15 Mặt cầu cần tìm có tâm là điểm B (1; - 2; 3) , bán kính R = d(B , AC ) = nên có pt 14 225 (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 14 Câu Vb: Ta có, ( - i )3 = ( 3)3 - 3.( 3)2.i + 3.i - i = 3 - 9i - 3 + i = - 23.i 670 3ù 670 2010 670 Do đó, ( - i )2010 = é (ê i ) = 22010.(i )167 i = - 22010 ú ë û = (- i ) = i Vậy, z = ( - i )2011 = - 22010.( - i ) Þ z = 22010 ( 3)2 + 12 = 2011 Lop10.com (6) KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Đề số 02 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề - I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = x - 3x + 3x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y = 3x Câu II (3,0 điểm): 1) Giải phương trình: 6.4x - 5.6x - 6.9x = p 2) Tính tích phân: I = ò (1 + cosx )xdx 3) Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số: y = ex (x - 3) trên đoạn [–2;2] Câu III (1,0 điểm): Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (BA = BC), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là a , cạnh bên SB tạo với đáy góc 600 Tính diện tích toàn phần hình chóp II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chọn hai phần đây Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyzcho điểm A(2;1;1) và hai đường thẳng d: x- = y+ = z+ , d ¢: x- = y- = z+ 1 - 2 - - 1) Viết phương trình mặt phẳng (a ) qua điểm A đồng thời vuông góc với đường thẳng d 2) Viết phương trình đường thẳng D qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cắt đường thẳng d ¢ Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình sau đây trên tập số phức: (z )4 - 2(z )2 - = Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz cho mp(P) và mặt cầu (S) có phương trình (P ) : x - 2y + 2z + = và (S) : x + y + z2 – 4x + 6y + 6z + 17 = 1) Chứng minh mặt cầu cắt mặt phẳng 2) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn giao tuyến mặt cầu và mặt phẳng Câu Vb (1,0 điểm): Viết số phức sau dạng lượng giác z = + 2i Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Chữ ký giám thị 1: Số báo danh: Chữ ký giám thị 2: Lop10.com (7) BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu I : y = x - 3x + 3x Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: y ¢= 3x - 6x + Cho y ¢= Û 3x - 6x + = Û x = Giới hạn: lim y = - ¥ ; lim y = + ¥ x® - ¥ x® + ¥ Bảng biến thiên x y¢ – + y – + + + y Hàm số ĐB trên tập xác định; hàm số không đạt cực trị y ¢¢= 6x - = Û x = Þ y = Điểm uốn là I(1;1) Giao điểm với trục hoành: I Cho y = Û x - 3x + 3x = Û x = Giao điểm với trục tung: Cho x = Þ y = O Bảng giá trị: x y Đồ thị hàm số (như hình vẽ bên đây): (C ) : y = x - 3x + 3x Viết (C ) song song với đường thẳng D : y = 3x Tiếp tuyến song song với D : y = 3x nên có hệ số góc k = f ¢(x ) = éx = 0 Do đó: 3x 02 - 6x + = Û 3x 02 - 6x = Û ê êx = ê ë0 Với x = thì y0 = 03 - 3.02 + 3.0 = và f ¢(x ) = nên pttt là: y - = 3(x - 0) Û y = 3x (loại vì trùng với D ) Với x = thì y0 = 23 - 3.22 + 3.2 = và f ¢(x ) = nên pttt là: y - = 3(x - 2) Û y = 3x - Vậy, có tiếp tuyến thoả mãn đề bài là: y = 3x - Câu II 6.4x - 5.6x - 6.9x = Chia vế pt cho 9x ta 2x x æ2ö æ2ö ÷ ÷ ç ç x - x - = Û çç ÷ - çç ÷ - = (*) è3÷ ø è3÷ ø 9 4x 6x x æ2ö ÷ ç Đặt t = çç ÷ (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành è3÷ ø 6t - 5t - = Û t = (nhan) , t = - (loai) x x - æ2ö æ2ö æ 2ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç = Û çç ÷ = çç ÷ Û x= - Với t = : çç ÷ ø è3÷ ø è3÷ ø è3÷ Vậy, phương trình đã cho có nghiệm x = - p I = p p ò (1 + cosx )xdx = ò xdx + ò x cosxdx 0 Lop10.com x (8) p ò xdx = Với I = x2 p p2 02 p2 = = 2 p Với I = ò x cosxdx ïì u = x ïì du = dx Đặt ïí Thay vào công thức tích phân phần ta được: Þ ïí ïï dv = cosxdx ïï v = sin x î î p I = x sin x Vậy, I = I + I = p ò0 p p sin xdx = - (- cosx ) = cosx = cos p - cos0 = - p2 - 2 Hàm số y = ex (x - 3) liên tục trên đoạn [–2;2] y ¢= (ex )¢(x - 3) + ex (x - 3)¢= ex (x - 3) + ex (2x ) = ex (x + 2x - 3) éx = Î [- 2;2] (nhan) x 2 ¢ Cho y = Û e (x + 2x - 3) = Û x + 2x - = Û ê êx = - Ï [- 2;2] (loai) ê ë Ta có, f (1) = e (1 - 3) = - 2e f (- 2) = e- 2[(- 2)2 - 3] = e- f (2) = e2(22 - 3) = e2 Trong các kết trên, số nhỏ là - 2e và số lớn là e2 Vậy, y = - 2e x = 1; max y = e2 x = [- 2;2] Câu III [- 2;2] Theo giả thiết, SA ^ AB , SA ^ AC , BC ^ AB , BC ^ SA Suy ra, BC ^ (SAB ) và BC ^ SB S Do đó, tứ diện S.ABC có mặt là các tam giác vuông · Ta có, AB là hình chiếu SB lên (ABC) nên SBA = 600 a · SA SA a t an SBA = Þ AB = = = a (= BC ) · AB t an SBO AC = SB = AB + BC = 2 SA + AB = C A a2 + a2 = a 60 B (a 3) + a = 2a Vậy, diện tích toàn phần tứ diện S.ABC là: STP = SD SAB + SD SBC + SD SAC + SD ABC (SA.AB + SB BC + SA.AC + AB BC ) 3+ + = (a 3.a + 2a.a + a 3.a + a.a) = 2 THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu IVa: Điểm trên mp (a ) : A(2;1;1) r r vtpt (a ) là vtcp d: n = ud = (1; - 3;2) = ×a2 d Vậy, PTTQ mp (a ) : A(x - x ) + B (y - y0 ) + C (z - z0 ) = A Lop10.com d' B (9) Û 1(x - 2) - 3(y - 1) + 2(z - 1) = Û x - - 3y + + 2z - = Û x - 3y + 2z - = ìï x = + 2t ïï ¢ PTTS d : ïí y = - 3t Thay vào phương trình mp (a ) ta được: ïï ïï z = - - 2t î (2 + 2t ) - 3(2 - 3t ) + 2(- - 2t ) - = Û 7t - = Û t = Giao điểm (a ) và d ¢ là B (4; - 1; - 3) r uuur Đường thẳng D chính là đường thẳng AB, qua A(2;1;1) , có vtcp u = AB = (2; - 2; - 4) nên ìï x = + 2t ïï có PTTS: D : ïí y = - 2t (t Î ¡ ) ïï ïï z = - 4t î Câu Va: (z ) - 2(z ) - = Đặt t = (z )2 , thay vào phương trình ta é(z )2 = ét = ê t - 2t - = Û ê Û Û ê êt = - ( z ) = ê ê ë ë Vậy, phương trình đã cho có nghiệm: éz = ± éz = ± ê ê Û ê ê z = ±i z = mi ê ê ë ë I z1 = ; z2 = - ; z3 = i ; z4 = - i THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu IVb: Từ pt mặt cầu (S) ta tìm hệ số : a = 2, b = –3, c = –3 và d = 17 Do đó, mặt cầu (S) có tâm I(2;–3;–3), bán kính R = Khoảng cách từ tâm I đến mp(P): d = d(I ,(P )) = 22 + (- 3)2 + (- 3)2 - 17 = - 2(- 3) + 2(- 3) + = 1< R 12 + (- 2)2 + 22 Vì d(I ,(P )) < R nên (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) Gọi d là đường thẳng qua tâm I mặt cầu và vuông góc mp(P) thì d có vtcp ìï x = + t ïï r u = (1; - 2;2) nên có PTTS d : ïí y = - - 2t (*) Thay (*) vào pt mặt phẳng (P) ta ïï ïï z = - + 2t î (2 + t ) - 2(- - 2t ) + 2(- + 2t ) + = Û 9t + = Û t = æ5 11ö ÷ ÷ Vậy, đường tròn (C) có tâm H ç và bán kính r = R - d = - = çç ; - ; ÷ è3 ø Câu Vb: - 2i + 2i + 2i 1 = = = = + i z= 2 + 2i (2 + 2i )(2 - 2i ) - 4i 4 ö ö 1 2æ ÷ 2æ çç ççcos p + sin p i ÷ ÷ ÷ + i = Vậy, z = + i = ÷ ÷ ø 4 çè 2 ÷ çè 4 ø Lop10.com Þ z = æ1ö çç ÷ + ÷ çè4÷ ø æ1÷ ö2 çç ÷ = çè4÷ ø (10) KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Đề số 03 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề - I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = - x + 4x - 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho 2) Dựa vào (C ) , hãy biện luận số nghiệm phương trình: x - 4x + + 2m = 3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) điểm trên (C ) có hoành độ Câu II (3,0 điểm): 1) Giải phương trình: 7x + 2.71- x - = 2) Tính tích phân: I = e2 òe (1 + ln x )xdx 3) Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số: y = x + 2x + trên đoạn [x+1 ;2] Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SA = 2a Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chọn hai phần đây Theo chương trình chuẩn uur r r r r r r Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ (O, i , j , k ) , cho OI = 2i + 3j - 2k và mặt phẳng (P ) có phương trình: x - 2y - 2z - = 1) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P ) 2) Viết phương trình mp (Q ) song song với mp (P ) đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S) Câu Va (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau đây: y = x - 4x + 3x - và y = - 2x + Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(–1;2;7) và đường thẳng d có x- y- z = = phương trình: 1) Hãy tìm toạ độ hình chiếu vuông góc điểm A trên đường thẳng d 2) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng d ìï log x + log y = + log 4 Câu Vb (1,0 điểm): Giải hệ pt ïí ïï x + y - 20 = î Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: Lop10.com (11) BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu I : y = - x + 4x - Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: y ¢= - 4x + 8x é4x = Cho y ¢= Û - 4x + 8x = Û 4x(- x + 2) = Û ê ê- x + = Û ê ë Giới hạn: lim y = - ¥ ; lim y = - ¥ x® - ¥ éx = ê êx = Û ê ë éx = ê ê x= ± ê ë x® + ¥ Bảng biến thiên x – y¢ y + 2 0 – – + + – –3 Hàm số ĐB trên các khoảng (- ¥ ; - – 2),(0; 2) , NB trên các khoảng (- 2; 0),( 2; + ¥ ) Hàm số đạt cực đại yCĐ = xCÑ = ± , đạt cực tiểu yCT = –3 xCT = éx = Û Giao điểm với trục hoành: cho y = Û - x + 4x - = Û ê ê2 x = ê ë Giao điểm với trục tung: cho x = Þ y = - Bảng giá trị: x y Đồ thị hàm số: - - 2 –3 y -1 - - éx = ± ê ê x= ± ê ë O -3 2m x y = 2m x - 4x + + 2m = Û - x + 4x - = 2m (*) Số nghiệm pt(*) với số giao điểm (C ) : y = - x + 4x - và d: y = 2m Ta có bảng kết quả: Số giao điểm Số nghiệm M 2m (C) và d pt(*) m > 0,5 2m > 0 m = 0,5 2m = 2 –1,5< m < 0,5 –3< 2m < 4 m = –1,5 2m = –3 3 m < –1,5 2m < –3 2 x = Þ y0 = g f ¢(x ) = f ¢( 3) = y ¢= - 4x + 8x = - Vậy, pttt cần tìm là: y - = - 3(x - 3) Û y = - 3x + 12 Câu II 7x + 2.71- x - = Û 7x + x - = (*) x Đặt t = (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành 10 Lop10.com (12) ét = 2( nhan) - = Û t + 14 - 9t = Û t - 9t + 14 = Û ê êt = 7( nhan) t ê ë x Với t = : = Û x = log7 t+ 14 Với t = : 7x = Û x = Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm : x = và x = log7 I = e2 òe (1 + ln x )xdx ìï ïï du = dx ìï u = + ln x x Thay vào công thức tích phân phần ta được: Þ íï Đặt ïí ïï dv = xdx ïï x2 î ïï v = ïî I = x (1 + ln x ) e2 e e2 òe x dx = e (1 + 2) 2 - e (1 + 1) x e2 4e 3e e e 5e4 3e2 = - e + = 4 4 4 - 2 5e4 3e2 4 x + 2x + Hàm số y = liên tục trên đoạn [- 21 ;2] x+1 (x + 2x + 2)¢(x + 1) - (x + 2x + 2)(x + 1)¢ (2x + 2)(x + 1) - (x + 2x + 2)1 x + 2x y ¢= = = (x + 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2 éx = Î [- ;2] (nhan) Cho y ¢= Û x + 2x = Û ê êx = - Ï [- ;2] (loai) ê ë æ 1ö 10 ÷ f ççç- ÷ = f (2) = Ta có, f (0) = ÷ è 2ø 10 Trong các kết trên, số nhỏ là và số lớn là 10 Vậy, y = x = 0; max y = x = [- ;2] [- ;2] 2 Câu III Theo giả thiết, SA ^ AC , SA ^ AD , BC ^ AB , BC ^ SA Suy ra, BC ^ (SAB ) và BC ^ SB S Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh CD ^ SD A,B,D cùng nhìn SC góc vuông nên A,B,D,S,C cùng thuộc đường tròn đường kính SC, có tâm là trung điểm I SC 2a I Vậy, I = Ta có, SC = SA + AC = Bán kính mặt cầu: R = SC = A (2a)2 + (a 2)2 = a a B D a æa ö ÷ ç ÷ = 6pa2 Vậy, diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD là: S = 4pR = 4p ç ÷ çè ÷ ø THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu IVa: uur r r r OI = 2i + 3j - 2k Þ I (2; 3; - 2) Tâm mặt cầu: I (2; 3; - 2) 11 Lop10.com C (13) Bán kính mặt cầu: R = d(I ,(P )) = - 2.3 - 2.(- 2) - 12 + (- 2)2 + (- 2)2 = = 3 Vậy, pt mặt cầu (S) là: (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R Û (x - 2)2 + (y - 3)2 + (z + 2)2 = r r (Q ) || (P ) : x - 2y - 2z - = nên (Q) có vtpt n = n( P ) = (1; - 2; - 2) Do đó PTTQ mp(Q) có dạng (Q ) : x - 2y - 2z + D = (D ¹ - 9) Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên - 2.3 - 2.(- 2) + D d(I ,(Q )) = R Û = 3Û 12 + (- 2)2 + (- 2)2 Vậy, PTTQ mp(Q) là: (Q ) : x - 2y - 2z + = éD = (nhan) = 3Û D = 9Û ê êD = - 9( loai) ê ë D éx = Câu Va: Cho x - 4x + 3x - = - 2x + Û x - 4x + 5x - Û ê êx = ê ë Diện tích cần tìm là: S = ò1 x - 4x + 5x - dx æx 4x 5x ö 1 ÷ ÷ ç hay S = ò (x - 4x + 5x - 2)dx = ç (đvdt) + x = = ÷ ç è4 ø1 12 12 THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu IVb: uuur Gọi H là hình chiếu A lên d thì H (2 + t ;1 + 2t ; t ) , đó AH = (3 + t ;2t - 1; t - 7) uuur r Do AH ^ d nên AH ud = Û (3 + t ).1 + (2t - 1).2 + (t - 7).1 = Û 6t - = Û t = Vậy, toạ độ hình chiếu A lên d là H (3; 3;1) Tâm mặt cầu: A(–1;2;7) Bán kính mặt cầu: R = AH = 42 + 12 + (- 6)2 = 53 Vậy, phương trình mặt cầu là: (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 7)2 = 53 Câu Vb: ĐK: x > và y > ìï log x + log y = + log ìï log xy = log 36 ìï xy = 36 4 4 ïí Û ïí Û ïí ïï x + y - 20 = ïï x + y - 20 = ïï x + y = 20 î î î éX = 18 > x và y là nghiệm phương trình: X - 20X + 36 = Û ê êX = > ê ë ìï x = 18 ìï x = Vậy, hệ pt đã cho có các nghiệm: ïí ; ïí ïï y = ïï y = 18 î î 12 Lop10.com (14) KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề - ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Đề số 04 I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) 2x - x- 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = 2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc – Câu II (3,0 điểm): 1) Giải phương trình: log22 x - log4(4x ) - = p 2) Tính tích phân: I = ò03 sin x + cosx dx cosx 3) Tìm các giá trị tham số m để hàm số sau đây đạt cực tiểu điểm x = y = x - 3mx + (m - 1)x + Câu III (1,0 điểm): · Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông B, BAC = 300 ,SA = AC = avà SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Tính VS.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chọn hai phần đây Theo chương trình chuẩn uuur r r r r r Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ (O, i , j , k ) , cho OM = 3i + 2k , mặt cầu (S) có phương trình: (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 1) Xác định toạ độ tâm I và bán kính mặt cầu (S) Chứng minh điểm M nằm trên mặt cầu, từ đó viết phương trình mặt phẳng (a ) tiếp xúc với mặt cầu M 2) Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I mặt cầu, song song với mặt phẳng (a ) , x + y- z- = = đồng thời vuông góc với đường thẳng D : - 1 Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình sau đây trên tập số phức: - z2 + 2z - = Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có toạ độ các đỉnh là A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2) , D(2;2;1) 1) Viết phương trình đường vuông góc chung AB và CD 2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Câu Vb (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau đây y = ln x , trục hoành và x = e Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: 13 Lop10.com (15) BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu I: 2x - x- Tập xác định: D = ¡ \ {1} y= Đạo hàm: y ¢= - < 0, " x Î D (x - 1)2 Hàm số đã cho NB trên các khoảng xác định và không đạt cực trị Giới hạn và tiệm cận: lim y = ; lim y = Þ y = là tiệm cận ngang x® - ¥ x® + ¥ lim y = - ¥ ; lim y = + ¥ x ® 1- x ® 1+ Þ x = là tiệm cận đứng Bảng biến thiên x – y¢ – y + – y + – Giao điểm với trục hoành: y = Û 2x - = Û x = Giao điểm với trục tung: cho x = Þ y = Bảng giá trị: x –1 y 3/2 || 5/2 Đồ thị hàm số hình vẽ bên đây: 2x - (C ) : y = x- Tiếp tuyến có hệ số góc –4 nên f ¢(x ) = - 2,5 -1 O é êx - = - 1 ê0 2 Û Û = Û ( x 1) = Û ê êx - = - (x - 1)2 ê0 ë æ 3ö - ÷ Với x = Þ y0 = = pttt là: y - = - çççx - ÷ ÷Û y = è ø 2 2 é êx = ê0 ê êx = ê0 ë 4x + 10 æ 1ö 21 - 1 ÷ Với x = Þ y0 = = pttt là: y - = - çççx - ÷ ÷ Û y = - 4x + è ø 2 Vậy, có tiếp tuyến thoả mãn ycbt là : y = - 4x + và y = - 4x + 10 Câu II: Điều kiện: x > Khi đó, phương trình đã cho tương đương với log22 x - (log4 + log4 x ) - = Û log22 x - log2 x - = (*) Đặt t = log2 x , phương trình (*) trở thành éx = 23 ét = élog x = ê ê (nhận hai nghiệm) t - t - 6= 0Û ê Û ê Û ê ê - tê = - log x = x = ê ê ë ë ë Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm : x = và x = p p p p æ ö sin x + cosx sin x cosx ÷ sin x ç 3 ÷dx = ò dx = ò çç + dx + ò 1.dx I = ò ø 0 ècosx cosx cosx cosx ÷ p Với I = ò03 sin x.dx , ta đặt t = cosx Þ dt = - sin x.dx Þ sin x.dx = - dt cosx 14 Lop10.com x (16) Đổi cận: x p t æ- dt ö ÷ ÷ Thay vào: I = ò ççç ÷= è t ø p Với I = ò0 1.dx t = ln t 1 = ln - ln = ln 2 p p = x 03 = Vậy, I = I + I = ln + ò dt p y = x - 3mx + (m - 1)x + có TXĐ D = ¡ y ¢= 3x - 6mx + m - y ¢¢= 6x - 6m ïìï 3.22 - 6m.2 + m - = ïìï f ¢(2) = Û í Hàm số đạt cực tiểu x = Û í ïï f ¢¢(2) > ïï 6.2 - 6m > î ïî ïìï m - 12m + 11 = ïì m = hoac m = 11 Û í Û ïí Û m= ïï 12 - 6m > ïï m < î ïî Vậy, với m = thì hàm số đạt cực tiểu x = 2 Câu III Theo giả thiết, SA ^ AB , BC ^ AB , BC ^ SA Suy ra, BC ^ (SAB ) và BC ^ SB Ta có, AB = AC cos300 = SB = SD ABC = SD SBC 2 a SA + AB = và BC = AC sin 300 = 2 3a a a + = 2 S a a a A B 1 a a a a AB BC = × × = Þ VS.ABC = SA ×SD ABC = 2 2 24 1 a a a2 = SB BC = × × = 2 2 3VS.ABC a3 a 21 VS.ABC = d(A,(SBC )).SD SBC Þ d(A,(SBC )) = = 3× × = SD SBC 24 a 7 THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu IVa: uuur r r OM = 3i + 2k Þ M (3; 0;2) và (S) : (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = Mặt cầu có tâm I (1; - 2; 3) và bán kính R = Thay toạ độ điểm M vào phương trình mặt cầu: (3 - 1)2 + (0 + 2)2 + (2 - 3)2 = là đúng Do đó, M Î (S) uuur r (a ) qua điểm M, có vtpt n = I M = (2;2; - 1) Vậy, PTTQ (a ) là: 2(x - 3) + 2(y - 0) - 1(z - 2) = Û 2x + 2y - z - = Điểm trên d: I (1; - 2; 3) r r (a ) có vtpt n = (2;2; - 1) và D có vtcp uD = (3; - 1;1) nên d có vtcp æ - - 2 2ö ÷ ÷ ; ; = (1; - 5; - 8) ÷ ÷ ç 1 3 ÷ ç è ø r r r ç u = [n, uD ] = çç 15 Lop10.com C (17) ìï x = + t ïï Vậy, PTTS d là: ïí y = - - 5t (t Î ¡ ) ïï ïï z = - 8t î Câu Va: - z + 2z - = (*) Ta có, D = 22 - 4.(- 1).(- 5) = - 16 = (4i )2 Vậy, pt (*) có nghiệm phức phân biệt - - 4i - + 4i z1 = = + 2i và z2 = = - 2i - - THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu IVb: uuur uuur Ta có, AB = (0;1; 0) và CD = (1;1; - 1) Gọi M,N là điểm nằm trên AB và CD thì toạ độ M,N có dạng M (1;1 + t ;1), N (1 + t ¢;1 + t ¢;2 - t ¢) uuuur Þ MN = (- t ¢; t - t ¢; t ¢- 1) MN là đường vuông góc chung AB và CD và uuur uuuur ìï ìï t - t ¢= ïï AB MN = uuu r uuu u r Û ïí Û t = t ¢= í ¢ ¢ ¢ ïï CD MN = ïï - t + t - t - t + = î ïî uuuur æ æ3 ö æ3 3ö 1ö r çç ; ; ÷ ÷ ÷ ÷ , N Þ MN = ççç- ; 0; - ÷ Vậy, M ç hay u = (1; 0;1) là vtcp d cần tìm çç1; ;1÷ ÷ ÷ ÷ ç è ø è2 2ø è 2ø ìï x = + t ïï ïï (t Î ¡ ) PTCT đường vuông góc chung cần tìm là: í y = ïï ïï z = + t ïî 2 Phương trình mặt cầu (S) có dạng: x + y + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = Vì A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2) , D(2;2;1) thuộc (S) nên: ìï - 2a - 2b - 2c + d = ìï 2a + 2b + 2c - d = ìï d = 2a + 2b + 2c - ïï ïï ïï ïï - 2a - 4b - 2c + d = ïï 2a + 4b + 2c - d = ïï - 2b = - ïí Û ïí Û ïí Û ïï - 2a - 2b - 4c + d = ïï 2a + 2b + 4c - d = ïï 2b - 2c = ïï ïï ïï ïîï - 4a - 4b - 2c + d = ïîï 4a + 4b + 2c - d = ïîï - 2a - 2b + 2c = - Vậy, phương trình mặt cầu là: x + y + z2 - 3x - 3y - 3z + = Câu Vb: Cho y = ln x = Û x = Diện tích cần tìm là: S= e ò1 ln x dx = e ò1 ln xdx ìï ìï u = ln x ï du = dx ï Þ ïí Đặt í Thay vào công thức tính S ta được: ïï dv = dx ïï v = x x î ïïî e S = x ln x - e ò1 dx e = e ln e - 1ln - x = e - - e + = (đvdt) Vậy, diện tích cần tìm là: S = (đvdt) 16 Lop10.com ìï d = ïï ïï b = ïí ïï c = ïï ïïî a = 3/ 3/ 3/ (18) ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông Đề số 05 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề - I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = x 2(4 - x ) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho 2) Tìm điều kiện tham số b để phương trình sau đây có nghiệm phân biệt: x - 4x + logb = 3) Tìm toạ độ điểm A thuộc (C ) biết tiếp tuyến A song song với d : y = 16x + 2011 Câu II (3,0 điểm): 1) Giải phương trình: log2(x - 3) + log2(x - 1) = p 2) Tính tích phân: I = sin x òp2 + 2cosx dx 3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y = ex + 4e- x + 3x trên đoạn [1;2] Câu III (1,0 điểm): Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi vuông góc với nhau, SB =SC = 2cm, SA = 4cm Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, từ đó tính diện tích mặt cầu đó II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chọn hai phần đây Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz , cho điểm A(- 3;2; - 3) và hai đường thẳng x - y + z- x - y- z- d1 : = = = = và d2 : 1 - 1 1)Chứng minh d1 và d2 cắt 2)Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và d2 Tính khoảng cách từ A đến mp(P) Câu Va (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau đây: y = x + x - và y = x + x - Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x - y + z- x y- z- và d2 : = d1 : = = = 1 - 1 1) Chứng minh d1 và d2 chéo 2) Viết phương trình mp(P) chứa d1 và song song với d2 Tính khoảng cách d1 và d2 Câu Vb (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau đây: y= 2x , x + y = và trục hoành Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Chữ ký giám thị 1: Số báo danh: Chữ ký giám thị 2: 17 Lop10.com (19) BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu I: y = x 2(4 - x ) = - x + 4x Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: y ¢= - 4x + 8x é4x = Cho y ¢= Û - 4x + 8x = Û 4x(- x + 2) = Û ê ê- x + = Û ê ë Giới hạn: lim y = - ¥ ; lim y = - ¥ x® - ¥ éx = ê êx = Û ê ë éx = ê ê x= ± ê ë x® + ¥ Bảng biến thiên x – y¢ y + – Hàm số ĐB trên các khoảng (- ¥ ; - – 0 + + – – 2),(0; 2) , NB trên các khoảng (- y Hàm số đạt cực đại yCĐ = xCÑ = ± , đạt cực tiểu yCT = xCT = 2; 0),( 2; + ¥ ) Giao điểm với trục hoành: y = logm éx = éx = ê Û cho y = Û - x + 4x = Û ê ê2 êx = ± x = ê ê ë ë Giao điểm với trục tung: cho x = Þ y = Bảng giá trị: x - - 2 -2 - y 0 Đồ thị hàm số hình vẽ bên đây: x - 4x + logb = Û - x + 4x = logb (*) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm (C) và d: y = logb Dựa vào đồ thị, (C) cắt d điểm phân biệt và < logb < Û < b < 104 O 2x Vậy, phương trình (*) có nghiệm phân biệt và < b < 104 Giả sử A(x 0; y0 ) Do tiếp tuyến A song song với d : y = 16x + 2011 nên nó có hệ số góc f ¢(x ) = 16 Û - 4x 03 + 8x = 16 Û 4x 03 - 8x + 16 = Û x = - x = - Þ y0 = Vậy, A(- 2; 0) Câu II: log2(x - 3) + log2(x - 1) = ìï x - > ìï x > ï Điều kiện: í Û ïí Û x > Khi đó, ïï x - > ïï x > î î ù log2(x - 3) + log2(x - 1) = Û log2 é ë(x - 3)(x - 1)û= Û (x - 3)(x - 1) = éx = - (loai ) Û x - x - 3x + = Û x - 4x - = Û ê êx = (nhan) ê ë Vậy, phương trình đã cho có nghiệm nhất: x = p sin x dx I = òp2 + 2cosx 18 Lop10.com (20) Đặt t = + 2cosx Þ dt = - 2sin x.dx Þ sin x.dx = Đổi cận: x p p 11 æ - dx ö ÷ ÷ Thay vào: I = ò ×ç çç ÷= è t ø t 2 dt ò1 = ln t 2t 2 = - dt ln = ln 2 Vậy, I = ln Hàm số y = ex + 4e- x + 3x liên tục trên đoạn [1;2] Đạo hàm: y ¢= ex - 4e- x + Cho y ¢= Û ex - 4e- x + = Û ex - x e + = Û e2x + 3ex - = (1) x Đặt t = e (t > 0), phương trình (1) trở thành: ét = (nhan) x t + 3t - = Û ê êt = - (loai) Û e = Û x = Ï [1;2] (loại) ê ë 4 f (1) = e + + và f (2) = e2 + + e e Trong kết trên số nhỏ là: e + Vậy, y = e + [1;2] e + , số lớn là e2 + e + x = và max y = e2 + [1;2] Câu III e2 e2 + + x = A Gọi H,M là trung điểm BC, SA và SMIH là hbh Ta có, I H || SA ^ (SBC ) Þ I H ^ SH Þ SMIH là hình chữ nhật M I Dễ thấy IH là trung trực đoạn SA nên IS = IA S C H là tâm đường tròn ngoại tiếp D SBC và I H ^ (SBC ) nên H I S = I B = I C (= I A) Þ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp B 1 1 Ta có, SH = BC = SB + SC = + 22 = (cm) và I H = SM = SA = (cm) 2 2 Bán kính mặt cầu là: R = I S = SH + I H = ( 2)2 + 22 = Diện tích mặt cầu : S = 4pR = 4p( 6)2 = 24p(cm) THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu IVa: r d1 qua điểm M 1(1; - 2; 3) , có vtcp u1 = (1;1; - 1) r d2 qua điểm M 2(3;1;5) , có vtcp u2 = (1;2; 3) r r Ta có [u1, u2 ] = æ1 - - 1 1 ö ÷ ç ÷ ç ; ; = (5; - 4;1) ÷ ç ÷ ç 3 1 ÷ ç è ø uuuuuur và M 1M = (2; 3;2) r r uuuuuur Suy ra, [u1, u2 ].M 1M = 5.2 - 4.3 + 1.2 = , đó d1 và d2 cắt Mặt phẳng (P) chứa d1 và d2 Điểm trên (P): M 1(1; - 2; 3) r r r vtpt (P): n = [u1, u2 ] = (5; - 4;1) Vậy, PTTQ mp(P) là: 5(x - 1) - 4(y + 2) + 1(z - 3) = Û 5x - 4y + z - 16 = Khoảng cách từ điểm A đến mp(P) là: 19 Lop10.com (21)