Nhiều khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần thêm, bớt 1 hạng tử để làm xuất hiện hằng đẳng thức và mới phân tích được.. Mét sè øng dông cña ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.[r]
(1)Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö vµ mét sè øng dông Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 1.1 Các phương pháp đã học 1.2 Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử VÝ dô Ph©n tÝch ®a thøc 3x2 -7x +4 thµnh nh©n tö Gi¶i: 3x2 – 7x + = 3x2 – 3x – 4x + = (3x2 – 3x) – ( 4x – 4) = 3x(x – 1) – 4(x – 1) = (3x – 4)(x – 1) VÝ dô Ph©n tÝch ®a thøc 4x2 - 4x - 15 thµnh nh©n tö Gi¶i 4x2 - 4x - 15 = 4x2 - 4x + – 16 = (2x – 1)2 – 16 = [(2x – 1) – 4][(2x – 1) +4] = (2x – 5)(2x + 3) Tổng quát: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c ta thường thực tách b c cho cã thÓ nhãm thµnh nhãm vµ xuÊt hiÖn hoÆc h»ng d¼n thøc hoÆc nh©n tö chung råi ph©n tÝch tiÕp + T¸ch b ViÕt tÝch a.c b»ng mäi c¸ch cã thÓ, chän c¸ch cho a.c = b1.b2 vµ tho¶ mãn b1 + b2 = b Khi đó viết ax2 + bx + c = ax2 + (b1 + b2 )x + c và phân tích tiếp Hạn chế: Phương pháp này nên áp dụng cho trường hợp đa thức có nghiệm hữu tỉ + Tách c Tìm số để thêm vào ax2 + bx để xuất đẳng thức bình phương tổng (hoặc hiệu) từ đó tách c theo số đó Lưu ý: Khi a không phải là số chính phương, ta có thể nhân hoắc chia đa thức cho số 7 49 x + ) = 3(x2 – 2x + - ) 3 36 36 7 = 3[(x - )2 ] = 3[(x - ) - ][(x - ) + ] = 3(x - )(x – 1) = (3x – 4)(x 36 6 6 để xuất Ví dụ: 3x2 -7x + = 3(x2 - – 1) 1.3 Phương pháp thêm, bớt hạng tử Nhiều phân tích đa thức thành nhân tử ta cần thêm, bớt hạng tử để làm xuất đẳng thức và phân tích VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc: x4 + thµnh nh©n tö Gi¶i: x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = [(x2 + 2) + 2x][(x2 + 2) – 2x] = (x2 + 2x + 2)( x2 – 2x + 2) Mét sè øng dông cña ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 2.1 Giải phương trình bậc lớn Ví dụ Giải phương trình: 3x2 x 3 x 3 x -7x + = (3x – 4)(x – 1) = x x x Ví dụ Giải phương trình: (x + 1)(2x – 3) = - 2.2 Bài toán số chính phương Ví dụ a CMR: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + là số chính phương với x € Z b Ph¸t biÓu bµi to¸n b»ng lêi vµ tæng qu¸t bµi to¸n (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 là số chính phương với x € Z, a € N 2.3 Bµi to¸n vÒ hîp sè, sè nguyªn tè VÝ dô a, T×m sè tù nhiªn x cho x4 + lµ sè nguyªn tè b CMR víi mäi sè tù nhiªn k ta cã: k4 + 64 lµ hîp sè VÝ dô a T×m sè tù nhiªn x cho: x7 + x2 + lµ sè nguyªn tè b T×m sè tù nhiªn x cho x2009 + x2008 + lµ sè nguyªn tè 2.4 Bµi to¸n vÒ tÝnh chia hÕt Z Lop8.net (2) VÝ dô: a Víi mäi p nguyªn tè, p > CMR: p2 – 24 b Víi mäi p, q nguyªn tè lín h¬n CMR: p2 – q2 24 c cho a + b + c = 2010 CMR: a3 + b3 + c3 Lop8.net (3)