“ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN... “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN[r]
(1)WWW.VNMATH.COM Nguyễn Hồ Hưng – THPT Tràm Chim - Năm học 2010 - 2011 PHẦN ÔN TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN 12 Dùng cho ôn thi TN , Chủ đề I,II,III) Chủ đề I : A/SƠ ĐỒ CHUNG KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ: bước( dấu :+ ) I / Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) 1) Tập xác định : +/ D = R 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : y’ = 3ax2 + 2bx + c y’ = <=> xi = ? ; f(xi) = ? +/ trên các khoảng (….) và (… ) : y’ > , : Hàm số đồng biến Trên khoảng (….) : y’ < , : Hàm số Nghịch biến +/ Cực trị : Kết luận cực trị hàm số Hàm số đạt cực tiểu x = …., yCT = … Hàm số đạt cực Đại x = …., yCĐ = … + / Giới hạn Vô cực : ; lim y ? x lim y ? x +/ Bảng biến thiên : x -∞ ? y’ ? y ? ? ? ? ? ? ? +∞ 3) Đồ thị : + ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = => y = d Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = => x = ? , Các điểm khác : … +) Đồ thị : y “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Lop12.net x 13 (2) WWW.VNMATH.COM Nguyễn Hồ Hưng – THPT Tràm Chim - Năm học 2010 - 2011 II / Hàm số y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0) 1) Tập xác định : +/ D = R 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b ) x f (0) c y’ = <=> x ? f ( x) x ? f ( x) +/ trên các khoảng (….) và (… ) : y’ > , : Hàm số đồng biến Trên khoảng (….) : y’ < , : Hàm số Nghịch biến +/ Cực trị : Kết luận cực trị hàm số Hàm số đạt cực tiểu x = …., yCT = … Hàm số đạt cực đại x = …., yCĐ = … + / Giới hạn Vô cực : ; lim y ? x lim y ? x +/ Bảng biến thiên : x -∞ ? y’ ? ? y ? ? ? ? ? ? +∞ 3) Đồ thị : Hàm số đã cho là hàm số chẵn, đó đồ thị nhận trục 0y làm trục đối xứng Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = => x = ? Các điểm khác … Đồ thị : y “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Lop12.net x 14 (3) WWW.VNMATH.COM Nguyễn Hồ Hưng – THPT Tràm Chim - Năm học 2010 - 2011 III / Hàm số : y 1) Tập xác định : +/ D = R /{ - ax b cx d d } c 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : y’ = ad bc (cx d ) y’ > ( y < ) , x D +/ : Hàm số đồng biến ( Nghịch biến ) trên các khoảng (….) và (… ) +/ Cực trị : Hàm số không có cực trị + / Tiệm cận và Giới hạn : lim y x lim y ? x a c a và c lim y Và lim y ? x x a a => tiệm cận ngang : y = c c => tiệm cận đứng : x= a c +/ Bảng biến thiên : x -∞ ? y’ ? ? y d c ? ? ? 3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = => y = Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = => x = +∞ b d d a b , Đồ thị nhận giao điểm I( ; ) hai c c a đường tiệm cận làm tâm đối xứng y x “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Lop12.net 15 (4) WWW.VNMATH.COM Nguyễn Hồ Hưng – THPT Tràm Chim - Năm học 2010 - 2011 B/ CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1/ y = ax3 + bx2 + cx + d ( C ) 2/ y = ax4 + bx2 + c (C) BÀI : Biện luận theo m số nghiệm phương trình: a’x3 + b’x2 + c’x + n = (2) (2) ax3 + bx2 + cx + d = k.m ; ( ax4 + bx2 + c = k.m ) Số nghiệm phương trình (2) số giao điểm đồ thị ( C) với đường thẳng d: y = k.m (vẽ d) Nhận xét số giao điểm d: với ( C ) , theo yCT và yCĐ ( C ) Bài : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) : 1) Đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) € ( C ) 2) Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ) 3) Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p HƯỚNG DẪN : 1/ Đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) € ( C ) : Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 (*) k = f’(x0) ; k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm 2/ Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 (*) k = f’(x0 ) giải phương trình tìm x0 ; x0 vừa tìm vào ( C ) tìm y0 Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm 3/ Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 (*) Trong đó k.k’ = -1 k = 1 k' k = f’(x0 ) giải phương trình tìm x0 ; x0 vừa tìm vào ( C ) tìm y0 Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm 4/ Các dạng khác : cho biết x0 y0 tìm các yếu tố còn lại suy có (*) 3/ y ax b cx d (C) Bài toán : Tìm m để y = f(x ; m ) cắt đồ thị ( C ) t đểm phân biệt ? Hướng dẫn : Số giao điểm f(x;m ) với ( C ) , số nghiệm phương trình : f( x ) = f ( x ; m ) Từ đó ta tìm điều kiện m cần tìm “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Lop12.net 16 (5) WWW.VNMATH.COM Nguyễn Hồ Hưng – THPT Tràm Chim - Năm học 2010 - 2011 Chủ đề II : C/ Hàm sô lũy thừa, Mũ và logarit 1)Phương trình, Bất phương trình mũ và Lô ga rít a)Phương trình mũ : Bước 1/ Dùng tính chất luỹ thừa, đưa phương trình mũ đã cho phương trình đặt ẩn phụ với luỹ thừa phù hợp ( t = aX , t > ) Bước 2/ Giải phương trình với ẩn t, tìm nghiệm biến t Bước 3/ Dựa vào cách đặt và điều kiện để tìm nghiệm bài toán Và kết luận nghiệm b)Phương trình logarít: Bước 1/ Dùng tính chất lô ga rít, đưa phương trình lô ga rít đã cho phương trình đặt ẩn phụ với luỹ thừa phù hợp ( t = logaX , điều kiện X > ) Bước 2/ Giải phương trình với ẩn t, tìm nghiệm biến t Bước 3/ Dựa vào cách đặt và điều kiện để tìm nghiệm bài toán Và kết luận nghiệm c) Bất phương trình : Biến đổi tương tự các bước giải phương trình chứa ẩn số luỹ thừa hay dấu lô ga rít 2) Gía trị lớn nhất, nhỏ hàm số: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số : y = f(x) trên đoạn [ a ; b ] ? Bước 1: Tìm tập xác định D f(x) : D = ?, xét xem [a ; b ] D ? Bước : */Tìm đạo hàm y’ = f’(x) = ? */ Giải phương trình y’ = => xi = ? loại các giá trị xi [ a ; b ] */ Tính các giá trị : f(a) ; f(b) ; f(xi) Bước : So sánh các giá trị vừa tìm Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Lop12.net 17 (6) WWW.VNMATH.COM Nguyễn Hồ Hưng – THPT Tràm Chim - Năm học 2010 - 2011 Chủ đề III: D/ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN: I/ Tìm thể tích hình chóp: 1/ Các loại bài toán : a) Cho hình chóp S.ABC ( Đáy tam giác : thường, vuông, đều, cân, hinh vuông, thoi, chữ nhật, hình bình hành …) Có SA ┴ ( ABC) ( SO ┴ (ABC)… ) biết cạnh SA , góc SB và đáy ( (ABC) và đáy ) là α 1) Tính thể tích S.ABC 2) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC Cách giải : gồm bước: Bước : Vẽ hình : Mục đích : Xác định các yếu tố giả thiết bài toán Tìm các yếu tố : Góc , đường cao Vẽ từ đáy vẽ lên Xây dựng hình vẽ đã cho 0.25đến 0.5 đ) Bước 2: Tính toán: a)Tính Thể tích hình chóp VS.ABC = 1/3B.h Trong đó B = SABC ; h = SO ( SH: đường cao ) b)Tìm tâm và bán kính: + Xác định tâm đáy ( tam giác : tâm đường tròn ngoại tiếp, tứ giác(hcn): giao điểm đường chéo ) Xác định trục d đáy : vuông góc đáy qua tâm + Xác định mặt phẳng trung trực: cạnh bên, trung trực đường cao Giao trục d và mp vừa vẽ, ký hiệu I : là tâm mặt cầu cần tìm Khoảng cách IA = IB = IC = IS = R là bán kính Tìm vị trí I , R Kết luận Chú ý : Các bài toán đã học phải giải đúng sơ đồ trên đạt điểm tối đa Giaỉ cách khác, đúng , đạt điểm tối đa phần Phần kết luận kết bài toán ( đáp số ) chiếm 0.25 điểm bài II/ Bài toán hình hộp, lăng trụ: Các bước giải tương tự bài toán hình chóp “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Lop12.net 18 (7) WWW.VNMATH.COM Nguyễn Hồ Hưng – THPT Tràm Chim - Năm học 2010 - 2011 ÔN TẬP CHỦ ĐỀ IV : NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN A/Nguyên hàm: I Định nghĩa và ký hiệu: Định nghĩa : F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) F’(x) = f(x) Ký hiệu: f ( x).dx F ( x) Định lí : f ( x).dx F ( x) + C II Tính chất: f ' ( x).dx f(x) +C k f ( x).dx k. f ( x).dx [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx Chú ý : Nguyên hàm dạng tích , và hữu tỷ không có công thức phải biến đổi đưa tổng hiệu: Ví dụ : Tìm Nguyên hàm : A = sin 3x cos xdx Ví dụ : Tìm Nguyên hàm : B = x 2x 3.x III Công thức: Nhóm 1: Hàm số lũy thừa 1.1 / kdx k x C k R 1.3 / 1.2 / x dx = x 1 C 1 1 dx = ln x + C x Nhóm II: Hàm số lượng giác 2.1 / sin xdx cos x C 2.3 / tan xdx ln cos x C 2.2 / cos xdx sin x C dx 2.5 / cos 2.6 / sin x dx x 2.4 / cot xdx ln sin x C dx tan x C 2.7 / tan cot x C 2.8 / cot x dx x x cot x C x tan x C Nhóm III: Hàm số Mũ : 3.1 / x a dx ax C ln a 3.2/ e x dx e x C Chú ý : Nếu : F(x)’ = f(a) , thì : f (ax b)dx a F (ax b) C “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Lop12.net 19 (8) WWW.VNMATH.COM Nguyễn Hồ Hưng – THPT Tràm Chim - Năm học 2010 - 2011 B/ Phương pháp tính tích phân: Công thức : b f ( x).dx F ( x) b a F (b) F (a ) a I/ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Dạng 1: Tính : I b f u ( x).u ' ( x).dx a Phương pháp chung : Bước : Đặt : t=u(x) Bước : Đổi cận : Bước : Tính I : dt = u’(x).dx x t a u(a) b u(b) u (b ) I= f (t )dt F (t ) F [u (b)] F [u (a )] u (b ) u(a) u(a) CÁC DẠNG CƠ BẢN THƯỜNG GẶP : b ; Với f(x) = x (a.x 1 b) R* f ( x).dx Dạng : Tính : I = a Phương pháp: Bước : Đặt t = (a.x 1 b) dt = a ( 1).x dx x dx Bước : Đổi cận : x t a u(a) dt ( 1).a b u(b) Bước : Tính I : u (b ) t dt t ( 1) I= ( 1).a ( 1).( 1).a u(a) u (b ) u(a) Ví dụ 3: Tính các tích phân sau : 2 x3 1 (2 x 1) dx A = x (2 x 1) dx ;B= C = x (2 x 1) dx ( Ta đặt t = (2 x 1)5 ) Dạng : Tính : I = b f ( x).dx ; Với f(x) = cos x.(a sin x b) a “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Lop12.net 20 (9) WWW.VNMATH.COM Nguyễn Hồ Hưng – THPT Tràm Chim - Năm học 2010 - 2011 Phương pháp: Bước : Đặt t = (a sin x b) dt = a cos x.dx cosx.dx = f(x)dx = dt a t dt ta đưa bài toán quen thuộc a Ví dụ : Tính các tích phân sau : 4.D= 3 cos x(2 sin x 3) dx ;5.E= cos x dx (2 sin x 3) 6.G= cos x ; Ta đặt t = (2 sin x 3)3 (2 sin x 3) dx Dạng : Tính : I = b f ( x).dx ; Với f(x)dx = a dx b x2 Phương pháp: b dt b(1 tan t ) dt cos t b2 + x2 = b2.( + tan2t) f(x).dx = dt b Bước : Đặt x = b.tant , dx = Bước 2: Đổi cận, tính kết Dạng : Tính : I = b f ( x).dx ; Với a f ( x)dx = dx a2 x2 dx (a> 0) Phương pháp: Bước : Đặt x = a.sint dx = a.cost.dt ; a x a (sin t ) a cos t Bước 2: Đổi cận, tính kết II/ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 2.1Dạng áp dụng phương pháp tích phân phần : b I = U.dV a Phương pháp: u u ( x) dv v'.dx Đặt : du u ' ( x).dx v v'.dxv' ; “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Lop12.net 21 (10) WWW.VNMATH.COM Nguyễn Hồ Hưng – THPT Tràm Chim - Năm học 2010 - 2011 b U.dV = U.V a b b a V dU a 2.2Các dạng tích phân thường gặp : Dạng : Tính : I = b f ( x).dx ; Với f(x)dx = P(x) cosx.dx , P(x).sinx.dx a Ta đặt : U = P(x) ; dv = sinx.dx Dạng : Tính : I = b f ( x).dx ; Với f(x)dx = P(x) ex.dx a Ta đặt : U = P(x) ; dv = ex.dx Dạng : Tính : I = b f ( x).dx ; Với f(x)dx = P(x) ln(x).dx a Ta đặt : U = ln(x) ; dv = P(x).dx Chú ý : Thông thường bài toán tích phân cho dạng : b I = [ f ( x) h( x)].g ( x).dx , a ta khai triển thành tổng hai tích phân, áp dụng các phương pháp trên để tính , xong cộng kết lại Ví dụ 5: Tính các tich phân sau : e I x(1 ln x) dx ; I (sin x x).cos xdx ; I 1 x x 1 sin cos dx ; 2 I e x (e x x) dx C / Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích: 1) Diện tích hình phẳng: Cơ sở lí thuyết: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= b a; x= b và y = (trục hoành) tính bởi: S = f ( x) dx (1) a Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên b tục); x = a; x= b tính bởi: S = f ( x) g ( x) dx (2) a Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Lop12.net 22 (11) WWW.VNMATH.COM Nguyễn Hồ Hưng – THPT Tràm Chim - Năm học 2010 - 2011 b Giải: Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S = f ( x) dx a thì S = x 1dx Phương trình: x2 -1= x = , nghiệm x = [0;2] 1 2 x3 x3 Vậy S = ( x 1)dx + ( x 1)dx = ( x) + ( x) = (đvdt) 3 1 2 Vídụ 7:Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y = – x2 và y =x Giải: Cận a,b là nghiệm phương trình: – x2 = x x2 + x – = x = và x = -2 Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức b S= f ( x) g ( x) dx thì S = x x dx 2 a Vậy S = 2 1 x3 x 2x = (đvdt) x x dx = ( x x 2)dx = 2 2 2 2 * Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ngoài tích phân hàm số dấu tích phân không đổi dấu trên [a; b] 2) Thể tích vật thể tròn xoay: Cơ sở lí thuyết: Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn các đường y = f(x); x = a; x = b; y = b xoay quanh trục Ox tính bởi: V = f ( x)dx (3) a Ví dụ 8: a) Cho hình phẳng giới hạn các đường y = 2x – x2 và y = Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng đó nó quay quanh trục Ox., Giải: Phương trình 2x – x2 = x = và x = b Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng công thức: V = f ( x)dx a 0 Ta có V = (2 x x ) dx (4 x x3 x )dx = ( x3 x x5 16 ) = (đvtt) 15 b) Cho hình phẳng giới hạn các đường y = – x2 và y = x3 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng đó nó quay quanh trục Ox Giải: Phương trình – x2 = x3 x = và x = –1 “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Lop12.net 23 (12) WWW.VNMATH.COM Nguyễn Hồ Hưng – THPT Tràm Chim - Năm học 2010 - 2011 Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn các đường y = – x2, x = 0, x = –1 và trục Ox hình phẳng đó quay quanh Ox: Có V1 = ( x ) dx = 1 Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn các đường y = x3, x = 0, x = -1 và trục Ox…: Có V2 = ( x3 ) dx = 1 Vậy thể tích V cần tính là: V = V1 V2 = (đvtt) 35 Chú ý:4 Khi tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hai đường y = f(x) và y = g(x) nó quay quanh trục Ox, học sinh có thể ngộ nhận và dùng công thức b V ( f ( x) g ( x)) dx dẫn đến kết sai KQs : V = a đvtt 105 Các bài tập tự luyện: 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P): y = – x2 + 4x và trục hoành KQ: S = 32 ñvdt 2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường (P): y = – x2 và y = – x – KQ: S = ñvdt 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 5x4 – 3x2 – 8, trục Ox treân [1; 3] KQs: S = 200 ñvdt 4) Tính thể tích các hình tròn xoay sinh các hình phẳng giới hạn các đường sau đây quay quanh trục Ox: a) (P): y = 8x vaø x = KQ: 16 ñvtt b) y = x2 vaø y = 3x x c) y = sin ; y = 0; x = 0; x = KQ: KQ: 2 162 ñvtt ñvtt D/ Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y2 = 2x +1 và y = x (TNTHPT năm 2001 – 2002 ) “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Lop12.net 24 (13) WWW.VNMATH.COM Nguyễn Hồ Hưng – THPT Tràm Chim - Năm học 2010 - 2011 x 3x 3x , bieát F(1) = x 2x 2x 10x 12 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= x2 Bài 2: 1.Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá y = và trục hoành Ox (TNTHPT năm 2002 – 2003 ) Bài 3: Cho haøm soá y = x – x2 (C) Tính theå tích vaät theå troøn xoay hình phẳng giới hạn (C) và các đường y = 0, x =0, x = quay quanh trục Ox (TNTHPT năm 2003 – 2004 ) Bài 4: Tính tích phaân: I = /2 ( x sin (TNTHPT năm 2004 – x) cos x.dx 2005 ) Bài 5: a Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số : y = ex, y = và đường thẳng x = b Tính tích phaân: I = /2 sin x dx cos x (TNTHPT năm 2005– 2006) e ln x dx Bài 6:Tính tích phân J = x Bài 7: Tính tích phân I x (1 x ) (TNTHPT năm 2006– 2007) (TNTHPT năm 2007– 2008) dx 1 Bài 8: Tính tích phân I = x(1 cos x)dx (TNTHPT năm 2008– 2009) Bài 9: Tính tích phân (TNTHPT năm 2009– 2010) 2 I x ( x 1) dx “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Lop12.net 25 (14) WWW.VNMATH.COM Nguyễn Hồ Hưng – THPT Tràm Chim - Năm học 2010 - 2011 ÔN TẬP CHỦ ĐỀ IV CÁC DẠNG BÀI TOÁN CƠ BẢN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN Dạng I : Viết phương trình : Mặt Cầu, mặt phẳng, đường thẳng Bài toán 1.1/ Viết phương trình mặt cầu (S): Tâm I(a, b , c), bán kính R: (S): x2 + y2 + z2 – 2ax + 2by + 2cz + D = (1) Thường cho dạng : a) Cho điểm A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ): Viết phương trình mặt cầu (S), nhận AB làm đường kính Cách giải : Gọi I(a ; b ; c ) là tâm mặt cầu (S), bán kính R : Ta có I là trung điểm AB : x A xB a y A yB b z A zB c ;R= AB = 2 ( xB x A ) ( yB y A ) ( z B z A ) Thay kết vừa tìm vào (1), ta có kết cầm tìm b) Cho điểm : A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ) Tìm trọng tâm G tam giác ABC, Viết phương trình mặt cầu (S) Tâm G, qua A Cách giải : Gọi G(a ; b ; c) là tâm mặt cầu (S), bán kính R : Ta có G là trọng tâm Δ ABC : x A x B xC a y A y B yC b z A z B zC c ; R = AG = ( xG x A ) ( y G y A ) ( z G z A ) 1.2/ Tìm tâm, bán kính mặt cầu (S) có phương trình : (S): x2 + y2 + z2 + mx + ny + pz + D = (1) Cách giải : Gọi I(a ; b ; c) , R là tâm và bán kính mặt cầu (S), có phương trình (1), ta có : “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Lop12.net 26 (15) WWW.VNMATH.COM Nguyễn Hồ Hưng – THPT Tràm Chim - Năm học 2010 - 2011 a m 2b n 2c p m a n ; b p c R = a2 b2 c2 D Kết luận : I(a ; b ; c ) ; R 1.3/ Cho điểm A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ) D(xD ; yD ; zD ) Viết phương trình mặt cầu (S )đi qua A,B,C,D Cách giải : phương trình mặt cầu (S) có dạng (S): x2 + y2 + z2 – 2ax + 2by + 2cz + D = (1) Trong đó gọi I(a ; b ; c) là tâm mặt cầu (S) Lần lượt thay tọa độ A, B, C, D vào (1), ta có hệ phương trình : X A Y A Z A 2 X B Y B Z B 2 X C Y C Z C X D Y D Z D 2ax A 2bYA 2cZ A D 0, 2aX B 2bYA 2cZ A D 2aX C 2bYC 2cZ C D ( 2) 2aX D 2bYD 2cZ D D Giải hệ ( ) , với ẩn số :a , b , c , D vào (1) ta có phương trình (S) cần tìm Chú ý : bài toán đơn giản A(xA ; ; ) , B(0 ; yB ; ) , C(0 ; ; zC ) D(xC ; yD ; zD ) Áp dụng : 1/ bài thi TN THPT năm 2010: Câu 4.a/1: “… Cho điểm A(1 ; ; 0), B(0 ; 2; 0) và C(0 ; ; 3) Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC “ 2/ Bài 9.b/ trang 100- sgk hh 12 Bài toán 2.1/ Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ pháp tuyến n (A ; B ; C) Ta có : (α ) : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = Ax + By + Cz + D = (2) Chú ý 1: véc tơ pháp tuyến n (A ; B ; C) , xác định tùy trường hợp cụ thể “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Lop12.net 27 (16) WWW.VNMATH.COM Nguyễn Hồ Hưng – THPT Tràm Chim - Năm học 2010 - 2011 a Viết phương trình mặt phẳng qua điểm không thẳng hàng : A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ) Cách giải : Khi đó ta chọn M0 là điểm A n = [ AB , AC ] = ( A ; B; C ) Chú ý rèn luyện cách tính tích có hướng véc tơ [ AB , AC ] Với : AB = (a1 ; b1 ; c1 ) AC = (a2 ; b2 ; c2 ) Ta có n = [ AB , AC ] n = a1 ; b1 ; c1 a1 = (b1.c2 – b2.c1 ; c1.a2 – c2.a1 ; a1.b2 – a2.b1 ) a ; b2 ; c a Tính theo tích chéo : “ Giữa – Cuối ; Cuối – Đầu ; Đầu – Giữa “ b Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A(xA ; yA ; zA ) , và vuông góc đường thẳng : x x a t Δ : y y a t ; z z a t Cách giải : (α ) qua điểm A(xA ; yA ; zA ) và vuông góc với đường thẳng Δ nên (α ) nhận véc tơ phương Δ : a = ( a1 ; a2 ; a3 ) làm véc tơ pháp tuyến n = a = ( a1 ; a2 ; a3 ) Ta có : (α ) : a1.( x – xA ) + a2 (y – yA ) + a3 (z – zA ) = a1.( x ) + a2.(y ) + a3.(z ) + D = Chú ý : Nếu đường thẳng Δ cho dạng chính tắc : Δ: x x0 y y z z ; a1 b1 c1 Thì giải chú ý dạng chính tắc các ẩn số x , y , z có hệ số là + 1, Nếu đề chưa cho đúng thì phải biến đổi xếp dạng chính tắc đã nêu Ta cho phân số trên = t, chuyển dạng tham số Δ, ta tìm véc tơ phương Δ : a = ( a1 ; b1 ; c1 ) Ví dụ: Cho đường thẳng Δ có phương trình : Δ: x 1 y z ; và điểm I( -1 , ; 2) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua I và (α ) vuông góc Δ Giải: x t x 5 2t x 1 y z 1 y t y 3t ; Cho : =t z 2 2t z t “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Lop12.net 28 (17) WWW.VNMATH.COM Nguyễn Hồ Hưng – THPT Tràm Chim - Năm học 2010 - 2011 Ta có véc tơ phương Δ là a = ( ; - ; ) Mặt phẳng (α ) qua I ( -1 , ; 2), và (α ) vuông góc Δ : (α ) : -1(x – 2) + 3( y + 3) + 2( z - 2) = (α ) : -x + 3y + 2z + =0 c) Cho tứ diện A.BCD , Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua AB và song song CD Ta có : véc tơ pháp tuyến : n = [ AB , CD ] d) Cho mặt phẳng ( β ) : A( x – a) + B ( y – b ) + C ( z – c ) = ( * ) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) và song song mp ( β ) Ta có : véc tơ pháp tuyến : n = [ A ; B ; C ] Áp dụng giải bài tập trang 80, 81 skg hh12 Bài toán 3.1/ Viết phương trình tham số đường thẳng Δ qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ phương a (a1 ; a2 ; a3 ) Giải : Gọi M(x ; y ; z ) Δ, ta có : phương trình tham số đường thẳng qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ phương a (a1 ; a2 ; a3 ) : x x0 a1 t Δ : y y a t ; z z a t Các dạng bài tập : 3.1/a : Viết phương trình tham số đường thẳng Δ qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) , và vuông góc mặt phẳng : (α ) : Ax + By + Cz + D = (1) Giải : Ta có véc tơ phương a đường thẳng Δ , là véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (α ) : a đường thẳng Δ là : = n = (A ; B ; C) Vậy phương trình tham số x x0 A.t Δ : y y B.t ; z z C.t 3.1/b : (2) Viết phương trình tham số đường thẳng Δ qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) , và song song với đường thẳng d: “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Lop12.net 29 (18) WWW.VNMATH.COM Nguyễn Hồ Hưng – THPT Tràm Chim - Năm học 2010 - 2011 x x0 a1 t d: y y a t ; z z a t Giải : Ta có véc tơ phương a đường thẳng Δ , là véc tơ phương đường thẳng d : a = (a1 ; a2 ; a3) Vậy phương trình tham số đường thẳng Δ là ( ) 3.1/c : Viết phương trình tham số đường thẳng Δ qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) ; M1(x1 ; y1 ;z1 ) Giải : Ta có véc tơ phương a đường thẳng Δ , là véc tơ : a= M M = (x1 – x0 ; y1 – y0 ; z1 – z0 ) phương trình tham số đường thẳng Δ là ( ) = (a1 ; a2 ; a3) Vậy Vậy Áp dụng giải bài tập trang 89 SGK HH 12 CB Bài tập trang 92 Dạng II : Xét vị trí tương đối : Mặt Cầu, mặt phẳng, đường thẳng Bài 2.1.a / Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình : x x0 a1 t d1: y y a t z z a t (1) ; x x1 b1 t ' d2 : y y1 b2 t ' ; ( ) z z b t ' Cách giải : Bước : Đường thẳng d1 qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) ; có véc tơ phương a = (a1 ; a2 ; a3 ) Đường thẳng d2 có véc tơ phương : b = ( b1 ; b2 ; b3 ) Nếu : a = k b : Đúng (Đ) , và M0(x0 ; y0 ; z0 ) d2 Ta có d1 // d2 : a = k b : Sai ( S ) , Bước : ta xét hệ : x0 a1 t x1 b1 t ' y a t y1 b2 t ' z a t z b t ' 3 (*); “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Lop12.net 30 (19) WWW.VNMATH.COM Nguyễn Hồ Hưng – THPT Tràm Chim - Năm học 2010 - 2011 Ta lấy phương trình ( * ), giải tìm t và t’ , vào phương trình còn lại Nếu Đ thì hệ ( * ) có đúng nghiệm thì d1 cắt d2 Nếu S hệ ( * ) vô nghiệm thì d1 chéo d2 Kết luận: Bài 2.1.b / Xét vị trí tương đối đường thẳng Δ và mặt phẳng (α ), có phương trình : x x0 a1 t Δ : y y a t ; (1) ; z z a t (α ) : Ax + By + Cz + D = (2) Cách giải : Gỉa sử Δ cắt (α ) M( x ; y ; z ) , tọa độ M (1 ) vào ( ) A ( x0 a1.t ) + B ( y0 a2 t ) + C( z0 a3 t ) = ( ) Nếu : + Phương trình ( ) có nghiệm t , thì Δ cắt (α ) + Phương trình ( ) có vô số nghiệm t , thì Δ (α ) + Phương trình ( ) vô số nghiệm t , thì Δ // (α ) Bài 2.1.c / Xét vị trí tương đối mặt phẳng ( α ) và mặt cầu ( S ), có phương trình : (α ) : Ax + By + Cz + D = (1) 2 (S): x + y + z – 2ax + 2by + 2cz + D = ( ) Cách giải : Bước : Tìm tọa độ tâm I ( a ; b ; c ) và bán kính R mặt cầu ( S ); ( bài toán 1.2/ ) Bước : Tìm khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( α ) : d(I ; (α )) = A.a B.b C.c D A2 B C =m Bước : So sánh và kết luận : Nếu m > R : mặt phẳng (α ) không cắt mặt cầu (S) Nếu m = R , mặt phẳng (α ) tiếp xúc mặt cầu (S) Nếu m < R , mặt phẳng (α ) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là đường tròn ( C ), Tâm H, bán kính r = IH Trong đó H là hình chiếu I trên (α ) Áp dụng : Bài tập 5, trang 92 Đề thi TN THPT 4a.1 năm 2009 Đề thi CĐ Khối B năm 2010 -“ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Lop12.net 31 (20) WWW.VNMATH.COM Nguyễn Hồ Hưng – THPT Tràm Chim - Năm học 2010 - 2011 Dạng III : 1)Tìm hình chiếu vuông góc H điểm M trên mặt phẳng (α) , 2)Trên đường thẳng Δ Bài : 3.1 : cho điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) Tìm hình chiếu vuông góc H M trên mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = (1) Cách giải : Gọi H (x ; y ; z ) là hình chiếu vuông góc M trên mặt phẳng (α) H (α) , và H MH vuông góc (α) Đường thẳng MH qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc (α) , nên nhận véc tơ pháp tuyến (α) làm véc tơ phương a = n = (A ; B ; C): x x0 A.t MH : y y B.t ( ) ; z z C.t Thay ( ) vào ( ) ta tìm t , thay vào ( ) ta tìm tọa độ H Áp dụng Bài tập trang 91 sgk ; Bài trang 93 sgk Đề thi CĐ Khối B năm 2010 Bài : 3.2 : cho điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) Tìm hình chiếu vuông góc H M trên đường thẳng Δ có phương trình : x x0 a1 t Δ : y y a t z z a t (1); Cách giải : Gọi H (x ; y ; z ) là hình chiếu vuông góc M trên đường thẳng Δ: H Δ H (α )qua M0 , và (α ) vuông góc đường thẳng Δ Mặt phẳng (α ) qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc (α) , nên nhận véc tơ véc tơ phương a = (a1 ; a2 ; a3) Δ làm véc tơ pháp tuyến (α) : n = a = (a1 ; a2 ; a3) Ta có (α) : a1(x – x0 ) + a2 (y – y0 ) + a3(z – z0 ) = ( ) Thế ( 1) vào ( ) , ta tìm t Thế t vào ( ) ta tìm toa độ H Kết luận Áp dụng Bài tập trang 91 sgk ; Bài 12 trang 93 sgk Dạng IV : Bài toán tổng hợp : Cho điểm : A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ) D(xD ; yD ;zD ) “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Lop12.net 32 (21)