a Tìm tọa độ tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục lớn trục nhỏ của E b Tìm trên E những điểm M sao cho M nhìn đoạn thẳng nối hai tiêu điểm dưới một góc vuông... Bài 3: Lập phương trình chính[r]
(1)PHÇN §¹I Sè BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN A TÓM TẮT LÍ THUYẾT: Các phép biến đổi bất phương trình: a) Phép cộng: Nếu f(x) xác định trên D thì P(x) < Q(x) P(x) + f(x) < Q(x) + f(x) b) Phép nhân: * Nếu f(x) >0, x D thì P(x) < Q(x) P(x).f(x) < Q(x).f(x) * Nếu f(x) <0, x D thì P(x) < Q(x) P(x).f(x) > Q(x).f(x) c) Phép bình phương: Nếu P(x) và Q(x) 0, x D thì P(x) < Q(x) P ( x) Q ( x) B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Bài 1: Tìm điều kiện các phương trình sau đây: a) x2 x2 ( x 3) b) x2 x3 x 3x Bài 2: Giải bất phương trình sau: x x 10 a) d) 3x x2 1 x b) ( x 2) x 2 x 1 c) x2 x 1 x 3 f) ( x 4) ( x 1) e) ( x 3)(2 x 5) x Bài 3: Giải các hệ phương trình: 5x x a) x 3x 13 x 1 2x c) 3 x x 3x x 3 DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT 4x x b) 3x x 3(2 x 7) 2 x d) 5(3 x 1) x 2 A TÓM TẮT LÍ THUYẾT: Dấu nhị thức bậc f(x) = ax + b x – f(x) (Trái dấu với hệ số a) * Chú ý: Với a > ta có: b a + (Cùng dấu với hệ số a) f ( x) a f ( x) a f ( x) a f ( x) a a f ( x) a B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Dạng 1: Xét dấu biểu thức Bài 1: Xét dấu các biểu thức a) f(x) = 3x(2x + 7) c) h(x) = b) g(x) = (–2x + 3)(x – 2)(x + 4) ( x 1)(4 x) 1 2x d) k(x) = 1 3 x 3 x Dạng 2: Giải các phương trình và bất phương trình Bài 1: Giải các bất phương trình a) x(x – 1)(x + 2) < 4 x 3 3x g) x x d) b) (x + 3)(3x – 2)(5x + 8)2 < x 3x x 2 x h) x x e) -1Lop10.com c) 1 3 x f) x k) x x x (2) BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BPT BẬC NHẤT HAI ẨN A TÓM TẮT LÍ THUYẾT: Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình ax + by c (1) ( a b ) Bước 1: Trong mp Oxy, vẽ đường thẳng ( ) : ax + by c Bước 2: Lấy M o ( xo ; yo ) ( ) (thường lấy M o O ) Bước 3: Tính axo + byo và so sánh axo + byo và c Bước 4: Kết luận Nếu axo + byo < c thì nửa mp bờ ( ) chứa Mo là miền nghiệm ax + by c Nếu axo + byo > c thì nửa mp bờ ( ) không chứa Mo là miền nghiệm ax + by c Bỏ bờ miền nghiệm bpt (1) ta miền nghiệm bpt ax + by < c Miền nghiệm các bpt ax + by c và ax + by c xác định tương tự Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc ẩn: Với bất phương trình hệ, ta xác định miền nghiệm nó và gạch bỏ miền còn lại Sau làm trên tất các bpt hệ trên cùng mp tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm hệ bpt đã cho B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Bài 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm các bất phương trình sau: a) 2x + 3y + 1>0 b) x – 5y < c) 4(x – 1) + 5(y – 3) > 2x – d) 3x + y > Bài 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình: 3 x y x y a) x 3y c) x y 3 y x 3 x 2 x y b) y x 1 e) y x y x DẤU TAM THỨC BẬC HAI A TÓM TẮT LÍ THUYẾT: Định lí dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a 0, = b2 – 4ac * Nếu < thì f(x) cùng dấu với hệ số a (a f(x)>0), x R * Nếu = thì f(x) cùng dấu với hệ số a (a f(x)>0), x b 2a * Nếu > thì f(x) cùng dấu với hệ số a x < x1 x > x2; f(x) trái dấu với hệ số a x1 < x < x2.( Với x1, x2 là hai nghiệm f(x) và x1< x2) Bảng xét dấu: f(x) = ax2 + bx + c, a 0, = b2– 4ac > x – x1 x2 + f(x) (Cùng dấu với hệ số a) (Trái dấu với hệ số a) (Cùng dấu với hệ số a) Một số điều kiện tương đương: Cho f(x) = ax2 +bx +c, a a) ax2 +bx +c = có nghiệm = b2– 4ac b) ax2 +bx +c = có nghiệm trái dấu a.c < c c) ax2 +bx +c = có các nghiệm dương a b a a e) ax2 +bx +c >0, x a g) ax2 +bx +c <0, x c d) ax2 +bx +c = có các nghiệm âm a b a a f) ax2 +bx +c 0, x a h) ax2 +bx +c 0, x -2Lop10.com (3) B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Dạng 1: Xét dấu các tam thức bậc hai Bài 1: Xét dấu các tam thức bậc hai: a) 3x2 – 2x +1 b) – x2 – 4x +5 d) x2 +( )x – Bài 2:Xét dấu các biểu thức sau: f) x2 – ( )x + x2 +( +1)x +1 e) 1 7 a) A = x x x 2 2 11x c) C = x2 5x c) 2x2 +2 x +1 b) B = 3x x x2 x 3x d) D = x2 x 1 Bài 3: Tìm các giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm: a) 2x2 + 2(m+2)x + + 4m + m2 = b) (m–1)x2 – 2(m+3)x – m + = Bài 4: Tìm các giá trị m để phương trình: a) x2 + 2(m + 1)x + 9m – = có hai nghiệm âm phân biệt b) x2 – 6m x + – 2m + 9m2 = có hai nghiệm dương phân biệt c) (m2 + m + 1)x2 + (2m – 3)x + m – = có hai nghiệm dương phân biệt Dạng 2: Tìm giá trị tham số để biểu thức không đổi dấu Bài 1:Xác định m để tam thức sau luôn dương với x: a) x2 +(m+1)x + 2m +7 b) x2 + 4x + m –5 Bài 2: Xác định m để tam thức sau luôn âm với x: a) mx2 – mx – c) (m + 2)x2 + 4(m + 1)x + 1– m2 c) (3m+1)x2 – (3m+1)x + m +4 d) mx2 –12x – b) (2 – m)x2 + 2(m – 3)x + 1– m d) (m – 4)x2 +(m + 1)x +2m–1 Bài 3: Xác định m để hàm số f(x)= mx x m xác định với x Bài 4: Tìm giá trị tham số để bpt sau nghiệm đúng với x a) 5x2 – x + m > b) mx2 –10x –5 < c) m(m + 2)x + 2mx + >0 d) (m + 1)x2 –2(m – 1)x +3m – < Bài 5: Tìm giá trị tham số để bpt sau vô nghiệm: a) 5x2 – x + m b) mx2 –10x –5 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa: Bất phương trình bậc là bpt có dạng f(x) > (Hoặc f(x) 0, f(x) < 0, f(x) 0), đó f(x) là tam thức bậc hai ( f(x) = ax2 + bx + c, a ) Cách giải: Để giải bất pt bậc hai, ta áp dụng định lí vầ dấu tam thức bậc hai Bước 1: Đặt vế trái f(x), xét dấu f(x) Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu và chiều bpt để kết luận nghiệm bpt B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng 1: Giải bất phương trình bậc hai Bài 1: Giải các bất phương trình sau: a) x2 + x +1 b) x2 – 2(1+ )x+3 +2 >0 c) x2 – 2x +1 d) x(x+5) 2(x2+2) e) x2 – ( +1)x + > f) –3x2 +7x – g) 2(x+2)2 – 3,5 2x g) x2 – 3x +6<0 Dạng 2: Giải các bất phương trình tích Bài 1: Giải các bất phương trình sau: a) (x–1)(x2 – 4)(x2+1) c*) x3 –13x2 +42x –36 >0 b) (–x2 +3x –2)( x2 –5x +6) d) (3x2 –7x +4)(x2 +x +4) >0 -3Lop10.com (4) Dạng 3: Giải các bất phương trình chứa ẩn mẫu Bài 1: Giải các bất phương trình sau: 10 x a) 5 x2 x 10 x 0 x2 4x x2 5x x g) x 5x x d) 2x b) 2x 1 2x x 1 x x 2 1 0 h) x x 1 x 1 e) x2 x 0 c) x 4x f) 2x x 6x x THỐNG KÊ A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ I BẢNG PHÂN BỐ TÂN SỐ TẦN SUẤT (Xem SGK) II BIỂU ĐỒ (Xem SGK) III.SỐ TRUNG BÌNH CỘNG SỐ TRUNG VỊ MỐT (Xem SGK) IV PHƯƠNG SAI ĐỘ LỆCH CHUẨN (Xem SGK) B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Cho bảng thống kê: Năng suất lúa hè thu (tạ/ha) năm 1998 31 tỉnh từ Nghệ An trở vào là: 30 30 25 25 35 45 40 40 35 45 35 25 45 30 30 30 40 30 25 45 45 35 35 30 40 40 40 35 35 35 35 a) Dấu hiệu điều tra là gì? Đơn vị điều tra? b) Hãy lập: o Bảng phân bố tần số o Bảng phân bố tần suất c) Dựa vào kết câu b) Hãy nhận xét xu hướng tập trung các số liệu thống kê Bài 2: Đo khối lượng 45 táo (khối lượng tính gram), người ta thu mẫu số liệu sau: 86 86 86 86 87 87 88 88 88 89 89 89 89 90 90 90 90 90 90 91 92 92 92 92 92 92 93 93 93 93 93 93 93 93 93 94 94 94 94 95 96 96 96 97 97 a) Dấu hiệu điều tra là gì? Đơn vị điều tra? Hãy viết các giá trị khác mẫu số liệu trên b) Lập bảng phân bố số và tần suất ghép lớp gồm lớp với độ dài khoảng là 2: Lớp khoảng [86;88] lớp khoảng [89;91] Bài 3: Cho mẫu số liệu có bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau: Nhóm Khoảng Tần số(ni) Tần suất (fi) [86;88] 20% [89;91] 11 24.44% [92;94] 19 42.22% [95;97] 13.34% Tổng N = 45 100% a) Vẽ biểu đồ hình cột tần số b) Vẽ biểu đồ hình cột tần suất c) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số d) Vẽ biểu đồ hình quạt Bài 4: Đo độ dài chi tiết máy (đơn vị độ dài là cm) ta thu mẫu số liệu sau: 40.4 40.3 42.0 44.5 49.8 50.6 51.2 53.4 55.5 56.0 56.4 57.2 57.4 58.0 58.7 58.8 58.9 59.1 59.3 59.4 60.0 60.3 60.5 62.8 a) Tính số trung bình, số trung vị và mốt b) Lập bảng số ghép lớp gồm lớp với độ dài khoảng là 4: nhóm đầu tiên là [40;44) nhóm thứ hai là [44;48); -4Lop10.com (5) Bài 5: Thành tích nhảy xa 45 hs lớp 10D1 trường THPT Trần Quang Khải: Lớp thành tích Tần số [2,2;2,4) [2,4;2,6) [2,6;2,8) [2,8;3,0) [3,0;3,2) [3,2;3,4) Cộng 12 11 45 1) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp, với các lớp bảng bên 2) Vẽ biểu đồ tần số hình cột thể bảng bên Nhận xét thành tích nhảy xa 45 học sinh lớp 10D1 Bài 6: Khối lượng 85 lợn (của đàn lợn I) xuất chuồng (ở trại nuôi lợn N) Lớp khối lượng Tần số [45;55) [55;65) [65;75) [75;85) [85;95) Cộng 10 20 35 15 85 1) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp, với các lớp bảng bên 2) Vẽ biểu đồ tần số hình cột thể bảng bên 3) Biết sau đó tháng, trai N cho xuất thêm hai đàn lợn, đó: Đàn lợn II có khối lượng TB là 78kg và phương sai 100 Đàn lợn III có khối lượng TB là 78kg và phương sai 110 Hãy so sánh khối lượng lợn đàn II và III trên Bài 7: Thống kê điểm toán lớp 10D1 kết sau: Điểm 10 Tần số 3 13 Tìm mốt ?Tính số điểm trung bình, trung vị và độ lệch chuẩn? Bài 8: Sản lượng lúa( đơn vị tạ) 40 ruộng thí nghiệm có cùng diện tích trình bày bảng tần số sau đây: Sản lượng (x) 20 21 22 23 24 Tấn số (n) 11 10 N=40 a) Tìm sản lượng trung bình 40 ruộng b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Quan hệ độ và rađian 180 0 ’ ’’ = rad, rad = Với 3,14 thì 0,0175 rad và ngược lại rad 57 17 45 180 Bảng đổi độ sang rad và ngược lại số góc (cung ) thông dụng: Độ 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 2 3 5 2 Radian 3 10 Độ dài l cung tròn có số đo rad, bán kính R là l =R Số đo các cung tròn có điểm đầu A, điểm cuối B là: sđ A AB k 2 , k Z , Trong đó là số đo cung lượng giác tùy ý có điểm đầu tiên là A, điểm cuối B Mỗi giá trị K ứng với cung Nếu viết số đo độ thì ta có: sđ A AB k 3600 , k Z Để biểu diễn cung lượng giác có số đo trên đường tròn lượng giác, ta chọn điểm A(1; 0) làm điểm đầu cung AM có số đo AAM vì ta cần xác định điểm cuối M trên đường tròn lượng giác cho cung A A ứng với góc lượng giác (OC, OD) và ngược lại Số đo cung lượng giác và góc Mỗi cung lượng giác CD lượng giác tương ứng là trùng B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Đổi các số đo góc sau độ: 2 3 3 2 3 ; ; 1; ; ; ; 10 16 Bài 2: Đối các số đo góc sau rađian: 350; 12030’; 100; 150; 22030’; 2250 -5Lop10.com (6) Bài 3: Một cung tròn có bán kính 15cm Tìm độ dài các cung trên đường tròn đó có số đo: a) b) 250 16 c) 400 d) AM có các số đo: Bài 4: Trên đường tròn lượng giác, xác định các điểm M khác biết cung A 2 (k Z ) GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG a) k b) k c) k d) k (k Z ) A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ AM có sđ AAM = Trên đường tròn lượng giác gốc A cho cung A sin = OK = yM ; cos = OH xM sin tan = (cos ); cos cos cot = ( sin ) sin Các tính chất Với ta có : sin hay sin A’ H A O B’ cotg xaùc ñònh k K cos hay cos tg xaùc ñònh B M k Các đẳng thức lượng giác sin2 + cos2 = sin cos tan ( 90 ) ; cot ( 0 ,180 ) ; cos sin 1 cot = ; tan = ; + tan2 = ; tan cot cos Giá trị lượng giác các cung đối ( vaø - ) cos( ) cos ; sin( ) sin ; tg( ) tg ; ( Đối cos) vaø Giá trị lượng giác các cung bù ( cos( ) cos ; - ) sin( ) sin ; cos( ) cos ; cos( ) sin ; ( vaø sin( ) cos ; Giá trị lượng giác các cung phụ ( vaø cos( ) sin ; sin( ) sin ; Giá trị lượng giác các cung kém + cot2 = tg( ) tg ; cot g( ) cot g ) tg( ) cotg ; cot g( ) t g ) sin( ) cos ; tg( ) cotg ; cot g( ) t g (Phụ chéo) B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Tính giá trị các hám số lượng giác các cung có số đo: a) -6900 b) 4950 sin cot g( ) cot g ) cot g( ) cot g tg( ) tg ; (Bù sin) Giá trị lượng giác các cung kém ( vaø (Hơn kém tan, cot) tan cot = c) 17 3 và 1800 < x < 2700 tính sinx, tanx, cotx 3 b) Cho tan = và Tính cot , sin , cos Bài 2: a) Cho cosx = -6Lop10.com d) 15 (7) Bài 3: Cho tanx –cotx = và 00<x<900 Tính giá trị lượng giác sinx, cosx, tanx, cotx Bài 4: a) Xét dấu sin500.cos(-3000) c) Cho 00< <900 xét dấu sin( +900) Bài 5: Cho 0< < Xét dấu các biểu thức: a)cos ( ) b) tan ( ) c) sin 2 d) cos 3 Bài 6: Rút gọn các biểu thức a) A cos sin x cos x b) B sin x(1 cot x) cos (1 tan x) Bài 7: Tính giá trị biểu thức: cot tan biết sin = và < < cot tan 2sin 3cos 3sin cos b) Cho tan Tính ; 4sin 5cos 5sin cos3 a) A Bài 8: Chứng minh các đẳng thức sau: a) sin x cos x cos x sin x sin x b) sin4x + cos4x = – 2sin2x.cos2x + cos6x = – 3sin2x.cos2x e) c) cos x sin x sin x.cos x 2 cot x tan x cos x tan x cos x sin x sin x tan x f) sin x CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Công thức cộng: cos( ) cos cos sin sin ; sin( ) sin cos sin cos ; tg +tg tg( + ) = ; tg tg cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos sin cos tg tg tg( ) = tg tg Công thức nhân đôi: sin 2 2sin cos cos 2 cos2 sin cos2 2sin 2tg tg2 tg2 Công thức hạ bậc: cos cos 2 ; sin cos 2 ; tg 2 cos 2 cos 2 Công thức biến đổi tích thành tổng: cos( ) cos( ); sin cos sin( ) sin( ) cos cos Công thức biến đổi tổng thành tích: cos cos cos .cos sin sin 2sin cos ; 2 sin( ) tg tg ; cos cos ; sin sin cos( ) cos( ) cos cos 2sin sin sin cos sin( ) tg tg cos cos -7Lop10.com .sin .sin d) sin6x (8) B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Tính giá trị lượng giác các cung: 5 a) b) 12 12 Bài 2: Chứng minh rằng: c) 7 12 a)sin cos cos( ) sin( ); b)sin cos sin( ) cos( ) 4 4 Bài 3: a) Biến đổi thành tổng biểu thức: A cos x cos x 5 7 B cos sin b Tính giá trị biểu thức: 12 12 Bài 4: Biến đổi thành tích biểu thức: A sin x sin 2x sin 3x 12 3 2 Bài 5: Tính cos sin và 13 3 Bài 6: Chứng minh rằng: tan x tan x tan x tan x a) b) tan x tan x 4 4 Bài 7: Tính giá trị các biểu thức c) C cos150 sin150 cos150 sin150 24 24 12 b) B cos 750 Bài 8*: Không dùng bảng lượng giác, tính các giá trị các biểu thức sau: 2 3 2 4 6 cos cos cos a) P cos cos b) Q cos 7 7 7 Bài 9: Rút gon biểu thức: sin 2 sin cos sin 4sin a) A b) B c) cos 2 cos cos sin cos 2 Bài 10: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào , a) sin 6 cot 3 cos 6 b) (tan tan ) cot( ) tan tan 2 c) cot tan tan 3 a) A sin .cos .cos .cos -8Lop10.com (9) PhÇn h×nh häc HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC, GIẢI TAM GIÁC A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Các hệ thức lượng tam giác: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c , trung tuyến AM = ma , BM = mb , CM = mc Định lý cosin: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB; c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC Hệ quả: cosA = b2 c2 a2 2bc cosB = a2 c2 b2 2ac cosC = a2 b2 c2 2ab Định lý sin: a b c = 2R (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ) sin A sin B sin C Độ dài đường trung tuyến tam giác: ma 2 b c a 2(b c ) a ; 4 mc mb a c b 2(a c ) b 4 b a c 2(b a ) c 4 Các công thức tính diện tích tam giác: 1 aha = bhb = chc 2 abc S= S = pr 4R S= S= S= 1 ab.sinC = bc.sinA = ac.sinB 2 p ( p a )( p b)( p c) với p = (a + b + c) B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Bài 1: Cho ABC có c = 35, b = 20, A = 600 Tính ha; R; r Bài 2: Cho ABC có AB =10, AC = và A = 600 Tính chu vi ABC , tính tanC Bài 3: Cho ABC có A = 600, cạnh CA = 8cm, cạnh AB = 5cm a) Tính BC b) Tính diện tích ABC c) Xét xem góc B tù hay nhọn? b) Tính độ dài đường cao AH e) Tính R Bài 4: Trong ABC, biết a – b = 1, A = 30 , hc = Tính Sin B Bài 5: Cho ABC có a = 13cm, b = 14cm, c = 15cm a) Tính diện tích ABC b) Góc B tù hay nhọn? Tính B c) Tính bánh kính R, r d) Tính độ dài đường trung tuyến mb Bài 6: Cho ABC có a = 13cm, b = 14cm, c = 15cm a) Tính diện tích ABC b) Góc B tù hay nhọn? Tính B c) Tính bán kính đường tròn R, r d) Tính độ dài đường trung tuyến Bài 7: Cho ABC có BC = 12, CA = 13, trung tuyến AM = Tính diện tích ABC ? Tính góc B? Bài 8: Cho ABC có cạnh 9; 5; và Tính các góc tam giác ? Tính khoảng cách từ A đến BC Bài 9: Chứng minh ABC luôn có công thức cot A b2 c2 a 4S Bài 10: Cho ABC a)Chứng minh SinB = Sin(A+C) b) Cho A = 600, B = 750, AB = 2, tính các cạnh còn lại ABC Bài 11: Cho ABC có G là trọng tâm Gọi a = BC, b = CA, c = AB Chứng minh rằng: GA2 + GB2 +GC2 = (a b c ) Bài 12: Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh rằng: a = b.cosC +c.cobB Bài 13: Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và đường trung tuyến AM = c = AB Chứng minh rằng: a) a2 = 2(b2 – c2) b) Sin2A = 2(Sin2B – Sin2C) Bài 14: Chứng minh tam giác ABC ta có: a) b2 – c2 = a(b.cosC – c.cosB) b) (b2 – c2)cosA = a(c.cosC – b.cosB) c) sinC = SinAcosB + sinBcosA a b2 c2 R Bài 15: Chứng minh tam giác ABC ta có: cotA + cotB + cotC = abc -9Lop10.com (10) A Bài 16: Một hình thang cân ABCD có hai đáy AB = a, CD = b và BCD Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp hình thang A = 450, B A = 600 Bài 17: Tính diện tích ABC, biết chu vi tam giác 2p, các góc A Bài 18*: Chứng minh các góc ABC thỏa mãn điều kiện sinB = 2sinA.cosC, thì đó cân Bài 19*: Chứng minh đẳng thức đúng với ABC : a) a b c S cot A b) a (sin B sin C ) b( sinC sinA) C ( sinA sinB ) c) bc(b c ).cosA + ca(c a ).cosB + ab(a b ).cosC = A Bài 20: Tính độ dài ma, biết b = 1, c =3, BAC = 600 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A TÓM TẮT LÍ THUYẾT: Phương trình tham số đường thẳng : x x0 tu1 với M ( x0 ; y ) và u (u1 ; u ) là vectơ phương (VTCP) y y tu 2 Phương trình tổng quát đường thẳng : a(x – x0 ) + b(y – y ) = hay ax + by + c = (với c = – a x0 – b y và a2 + b2 0) đó M ( x0 ; y ) và n ( a; b) là vectơ pháp tuyến (VTPT) x y Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ hai điểm A(a ; 0) và B(0 ; b) là: a b Phương trình đường thẳng qua điểm M ( x0 ; y ) có hệ số góc k có dạng : y – y = k (x – x0 ) Khoảng cách từ mội điểm M ( x0 ; y ) đến đường thẳng : ax + by + c = tính theo công thức : ax0 bx0 c d(M; ) = a2 b2 Vị trí tương đối hai đường thẳng : và = a x b2 y c = 1 = a1 x b1 y c1 = a x b1 y c1 =0 a1 b1 ; Tọa độ giao điểm 1 và là nghiệm hệ a2 b2 a2 x b2 y c2 =0 a b c a b c (với a , b2 , c khác 0) 1 ; 1 a2 b2 c2 a2 b2 c2 1 cắt B.CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng Bài 1: Lập phương trình tham số và tổng quát đường thẳng ( ) biết: a) ( ) qua M (–2;3) và có VTPT n = (5; 1) b) ( ) qua M (2; 4) và có VTCP u (3; 4) Bài 2: Lập phương trình đường thẳng ( ) biết: ( ) qua M (2; 4) và có hệ số góc k = Bài 3: Cho điểm A(3; 0) và B(0; –2) Viết phương trình đường thẳng AB Bài 4: Cho điểm A(–4; 1), B(0; 2), C(3; –1) a) Viết pt các đường thẳng AB, BC, CA b) Gọi M là trung điểm BC Viết pt tham số đường thẳng AM c) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A và tâm đường tròn ngoại tiếp Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d qua giao điểm hai đường thẳng d1, d2 có phương trình là: 13x – 7y +11 = 0, 19x +11y – = và điểm M(1; 1) Bài 6: Lập phương trình đường thẳng ( ) biết: ( ) qua A (1; 2) và song song với đường thẳng x + 3y –1 = Bài 7: Lập phương trình đường thẳng ( ) biết: ( ) qua C ( 3; 1) và song song đường phân giác thứ (I) mặt phẳng tọa độ Bài 8: Cho biết trung điểm ba cạnh tam giác là M1(2; 1); M2 (5; 3); M3 (3; –4) Lập phương trình ba cạnh tam giác đó Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác với M (–1; 1) là trung điểm cạnh, hai cạnh có phương trình là: x + y –2 = 0, 2x + 6y +3 = Xác định tọa độ các đỉnh tam giác Bài 10: Lập phương trình đường thẳng (D) các trường hợp sau: - 10 Lop10.com (11) a) (D) qua M (1; –2) và vuông góc với đt : 3x + y = x 5t y 1 t b) (D) qua gốc tọa độ và vuông góc với đt Bài 11: Viết pt đường thẳng qua gốc tọa độ và cách điểm M(3; 4) khoảng lớn Bài 12: Cho tam giác ABC có đỉnh A (2; 2) a) Lập phương trình các cạnh tam giác biết các đường cao kẻ từ B và C có phương trình: 9x –3y – = và x + y –2 = b) Lập phương trình đường thẳng qua A và vuông góc AC Bài 13: Cho ABC có phương trình cạnh (AB): 5x –3y + = 0; đường cao qua đỉnh A và B là: 4x –3y +1 = 0; 7x + 2y – 22 = Lập phương trình hai cạnh AC, BC và đường cao thứ ba Dạng 2: Chuyển đổi các dạng phương trình đường thẳng x 2t , t là tham số Hãy viết phương trình tổng quát d y 1 t Bài 1: Cho đường thẳng d : Bài 2: Viết phương trình tham số đường thẳng: 2x – 3y – 12 = Bài 3: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) các trục tọa độ Bài 4: Viết phương trình tham số các đường thẳng y + = và x – = Dạng 3: Vị trí tương đối hai đường thẳng Bài 1: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau: a) d1: 2x – 5y +6 = và d2: – x + y – = b) d1: – 3x + 2y – = và d2: 6x – 4y – = x 1 5t x 6 5t và d2: y 4t y 4t x 6 5t y 4t c) d1: d) d1: 8x + 10y – 12 = và d2: Dạng 4: Góc và khoảng cách Bài 1: Tính góc hai đường thẳng x 6 5t y 4t b) d1: 8x + 10y – 12 = và d2: a) d1: 2x – 5y +6 = và d2: – x + y – = c)d1: x + 2y + = và d2: 2x – y + = Bài 2: Cho điểm M(1; 2) và đường thẳng d: 2x – 6y + = Viết phương trình đường thẳng d’ qua M và hợp với d góc 450 Bài 3: Viết pt đường thẳng qua gốc tọa độ và tạo với đt Ox góc 600 Bài 4: Viết pt đường thẳng M(1; 1) và tạo với đt Oy góc 600 Bài 5: Điểm A(2; 2) là đỉnh tam giác ABC Các đường cao tam giác kẻ từ đỉnh B, C nằm trên các đường thẳng có các pt tương ứng là: 9x – 3y – = 0, x + y – = Viết pt đường thẳng qua A và tạo với AC góc 450 Bài 6: Cho điểm M(2; 5) và N(5; 1) Viết phương trình đường thẳng d qua M và cách điểm N khoảng Bài 7: Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ và cách điểm M(1; 2) khoảng Bài 8: Viết phương trình đường thẳng song2 và cách đường thẳng x + 2y – = và x + 2y + = Bài 9*: (ĐH Huế khối D –1998) Cho đường thẳng d: 3x – 4y + viết pt đt d’song2 d và khoảng cách đường thẳng đó Bài 10: Viết pt đường thẳng vuông góc với đường thẳng d: 3x – 4y = và cách điểm M(2; –1) khoảng Bài 11*: Cho đường thẳng : 2x – y – = và điểm M(1; 2) a) Viết phương trình đường thẳng ( ’) qua M và vuông góc với b) Tìm tọa độ hình chiếu H M trên c) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua ĐƯỜNG TRÒN A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Phương trình đường tròn tâm I(a ; b) bán kính R có dạng : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1) hay x2 + y2 – 2ax – 2by + c = (2) với c = a2 + b2 – R2 Với điều kiện a2 + b2 – c > thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = là phương trình đường tròn tâm I(a ; b) bán kính R Đường tròn (C) tâm I (a ; b) bán kính R tiếp xúc với đường thẳng : x + y + = và : d(I ; ) = a b 2 2 =R - 11 Lop10.com (12) cắt ( C ) d(I ; ) < R tiếp xúc với ( C ) d(I ; ) = R B.CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: không có điểm chung với ( C ) d(I ; ) > R Dạng 1: Nhận dạng pt đường tròn Tìm tâm và bán kính đường tròn Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính có: a) x2 + 3y2 – 6x + 8y +100 = b) 2x2 + 2y2 – 4x + 8y – = 2 c) (x – 5) + (y + 7) = 15 d) x2 + y2 + 4x + 10y +15 = Bài 2: Cho phương trình x2 + y2 – 2mx – 2(m– 1)y + = (1), m là tham số a) Với giá trị nào m thì (1) là phương trình đường tròn? b) Nếu (1) là đường tròn hãy tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn theo m Dạng 2: Lập phương trình đường tròn Bài 1: Viết phương trình đường tròn các trường hợp sau: a) Tâm I(2; 3) có bán kính b) Tâm I(2; 3) qua gốc tọa độ c) Đường kính là AB với A(1; 1) và B( 5; – 5) d) Tâm I(1; 3) và qua điểm A(3; 1) Bài 2: Viết phương trình đường tròn qua điểm A(2; 0); B(0; – 1) và C(– 3; 1) Bài 3: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(2; 0); B(0; 3) và C(– 2; 1) Bài 4: a) Viết phương trình đường tròn tâm I(1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng D: x – 2y – = b) Viết phương trình đường tròn tâm I(3; 1) và tiếp xúc với đường thẳng D: 3x + 4y + = x 2t và đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16 y t Bài 5: Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng : Bài 6*: Viết phương trình đường tròn qua A(1; 1), B(0; 4) và có tâm đường thẳng d: x – y – = Bài 7*: Viết phương trình đường tròn qua A(2; 1), B(–4;1) và có bán kính R=10 Bài 8*: Viết phương trình đường tròn qua A(3; 2), B(1; 4) và tiếp xúc với trục Ox Bài 9*: Viết phương trình đường tròn qua A(1; 1), có bán kính R= 10 và có tâm nằm trên Ox Bài 10: Cho I(2; – 2) Viết phương trình đường tròn tâm I và tiếp xúc với d: x + y – = Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến Bài 1: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) : ( x 1) ( y 2) 36 điểm Mo(4; 2) thuộc đường tròn Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C ) : ( x 2) ( y 1) 13 điểm M thuộc đường tròn có hoành độ xo = Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) : x y x y và qua điểm M(2; 3) Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C) : ( x 4) y kẻ từ gốc tọa độ Bài 5: Cho đường tròn (C) : x y x y và đường thẳng d: 2x + y – = Viết phương trình tiếp tuyến biết // d; Tìm tọa độ tiếp điểm Bài 6: Cho đường tròn (C) : ( x 1) ( y 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ), biết tiếp tuyến đó // d có phương trình: x + y – = Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C ): x y , biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng x – 2y = Bài 8: Cho đường tròn (C): x y x y và điểm A(1; 3) a) Chứng minh A nằm ngoài đường tròn b) Viết pt tiếp tuyến (C) kẻ từ A b) Viết pt tiếp tuyến (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): 3x – 4y + = Bài 9*: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết phương trình các cạnh AB: 3x + 4y – =0; AC: 4x + 3y – = 0; BC: y = Bài 10*: Xét vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn (C) sau đây: 3x + y + m = và x2 + y2 – 4x + 2y + = Bài 11*: Viết pt đường tròn (C ) qua điểm A(1, 0) và tiếp xúc với đt d1: x + y – = và d2: x + y + = - 12 Lop10.com (13) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP A TÓM TẮT LÍ THUYẾT: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) và F1F2 = 2a (a > c > 0, a = const) Elip (E) là tập hợp các điểm M : F1M + F2M = 2a Hay (E) = {M / F1M F2 M 2a} Phương trình chính tắc elip (E) là: x2 y (a2 = b2 + c2) a b2 Các thành phần elip (E) là: Hai tiêu điểm : F1(-c; 0), F2(c; 0) Bốn đỉnh : A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(-b; 0), B2(b; 0) Độ dài trục lớn: A1A2 = 2b Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b Tiêu cự F1F2 = 2c Hình dạng elip (E); (E) có trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc tọa độ Mọi điểm (E) ngoại trừ đỉnh nằm hình chữ nhật có kích thức 2a và 2b giới hạn các đường thẳng x = a, y = b Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật sở elip B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Dạng 1: Xác định các yếu tố elip Bài 1: Tìm độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh (E) có các phương trình sau: a) x 16 y 112 b) x y 16 c) x y d) mx ny 1(n m 0, m n) Bài 2: Cho (E) có phương trình x2 y 1 a) Tìm tọa độ tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục lớn trục nhỏ (E) b) Tìm trên (E) điểm M cho M nhìn đoạn thẳng nối hai tiêu điểm góc vuông x2 y Hãy viết phương trình đường tròn(C ) có đường kính F1F2 đó F1 và F2 Bài 3: Cho (E) có phương trình 25 là tiêu điểm (E) Bài 4: Tìm tiêu điểm elip (E): x cos y sin (450 900 ) Dạng 2: Lập phương trình elip Bài 1: Lập phương trình chính tắc elip (E) biết: a) Một đỉnh trên trục lớn là A(-2; 0) và tiêu điểm F(- ; 0) b) Hai đỉnh trên trục lớn là M( 2; 3 ), N (1; ) 5 Bài 2: Lập phương trình chính tắc elip (E) biết: a) Phương trình các cạnh hình chữ nhật sở là x 4, y = b) Đi qua điểm M (4; 3) và N (2 2; 3) c) Tiêu điểm F1(-6; 0) và tỉ số c a Bài 3: Lập phương trình chính tắc elip (E) biết: a) Tiêu cự 6, tỉ số c a b) Đi qua điểm M ( ; ) và MF1F2 vuông M 5 b) Hai tiêu điểm F1(0; 0) và F2(1; 1), độ dài trục lớn Dạng 3: Điểm M di động trên elip x cos t , đó t là tham y 5sin t Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(x; y) di động có tọa độ luôn thỏa mãn số Hãy chứng tỏ M di động trên elip Bài 2: Tìm điểm trên elip (E) : x2 y thỏa mãn a) Nhìn tiêu điểm góc vuông Bài 3: Cho (E) có phương trình x2 y Tìm c) Nhìn tiêu điểm góc 60o điểm trên elip cách điểm A(1; 2) và B(-2; 0) - 13 Lop10.com (14) Bài 4: Cho (E) có phương trình điểm đó đến d x2 y và đường thẳng d: y = 2x Tìm điểm trên (E) cho khoảng cách từ - 14 Lop10.com (15)