Bài 4 3,0 điểm Cho đường tròn O;R có đường kính AB; điểm I nằm giữa hai điểm A và O.Kẻ đường thẳng vuong góc với AB tại I, đường thẳng này cắt đường tròn O;R tai M và N.Gọi S là giao đi[r]
(1)Tài liệu luyện thi vào lớp 10 THPT chuyên toán ĐỀ SỐ I: (22 – 04 – 2010) a b Bài : (2 điểm) Cho biểu thức P = a ab b : ab a b b a a/ Xác định a ; b để biểu thức có nghĩa và hãy rút gọn P b/ Tính giá trị P a = 15 6 33 12 và b = Hướng dẫn: a) P có nghĩa a > ; b > và a b P= a ab b ab a b ab ( a b) ab a b ( 24 = a 3 b) Với a = 15 6 33 12 = b a b) = a b 3 = 3 + 3 = + = Với b = 24 = Do đó P = a b = = Bài : (2 điểm) = x my 3m a/ Cho hệ phương trình mx y m Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x2 2x y > b/ Giải phương trình x2 x Hướng dẫn: a) 1 + 10 = x x x my 3m Cho hệ phương trình (1) mx y m (2) Từ(1) ta có x = 3m my (3) Thay (3) vào (2): m(3m my) y = m-2 3m2 m2y y = 2(m2 + 1) (m2 + 1)y = 2(m2 + 1) Vì m2 + > với m nên y = 2(m 1) = m2 Thay y = vào (3) ta có x = 3m m.2 = m Vậy nghiệm (x ; y) hệ phương trình là (x = m ; y = 2) Để x2 2x y > thì m2 m > (m 1)2 ( )2 > (m ).(m 1+ ) > m m m m 1 1 1 1 m m m m 1 1 1 m 1 m 1 Vậy m > + m < thì hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x2 2x y > 1 + 10 = (1) Điều kiện x x x 1 1 Phương trình (1) (x2 + ) (x + ) 10 = (x2 + + ) (x + ) 12 = x x x x b) Giải phương trình x2 x Trang Lop10.com (2) x x (x + )2 (x + ) 12 = (*) x Đặt y = x + Phương trình (*) trở thành : y2 y 12 = y1 = ; y2 = Với y = x + Với y = x + 3 3 = x2 + 3x + = x1 = ; x1 = 2 x = x2 4x + = x3 = + x ; x4 = Các giá trị x vừa tìm thỏa mãn x Vậy nghiệm số (1) là : x1 = 3 3 ; x1 = ; x3 = + 2 ; x4 = Bài : (2 điểm) Một ô tô quãng đường AB dài 80 km thời gian đã định, ba phần tư quãng đường đầu ô tô chạy nhanh dự định 10 km/h, quãng đường còn lại ô tô chạy chậm dự định 15 km/h Biết ô tô đến B đúng quy định Tính thời gian ô tô hết quãng đường AB Hướng dẫn : Gọi x (km/h) là vận tốc dự định ô tô từ A đến B ( x> 15) Thời gian ô tô dự định từ A đến B 80 (h) x Vận tốc ô tô ba phần tư quãng đường AB là x + 10 (km/h) Thời gian ô tô ba phần tư quãng đường AB là 60 (h) x 10 Vận tốc ô tô phần tư quãng đường AB là x 15 (km/h) 20 (h) x 15 60 20 80 Ô tô đến B đúng quy định nên ta có phương trình : + = x 10 x 15 x Thời gian ô tô phần tư quãng đường AB là + = 3x(x 15) + x(x + 10) = 4(x + 10)(x 15) x 10 x 15 x 4x2 35x = 4x2 20x 600 15x = 600 x = 40 (thỏa mãn điều kiện) Do đó vận tốc dự định ô tô là 40 km/h Vậy thời gian ô tô hết quãng đường AB là 80 : 40 = (giờ) Bài : (3 điểm) Gọi C là điểm nằm trên đoạn thẳng AB (C A, C B) Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax và By cùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I (I A), tia vuông góc với CI C cắt tia By K Đường tròn đường kính IC cắt IK P 1/ Chứng minh: a/ Tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn đó b/ AI.BK = AC.BC c/ APB vuông 2/ Cho A, I, B cố định Tìm vị trí điểm C cho diện tích tứ giác ABKI đạt giá trị lớn Hướng dẫn: a/ P nằm trên đường tròn tâm O1 đường kính IC IPC = 900 Trang Lop10.com (3) y x Mà IPC + CPK = 1800 (góc kề bù) CPK = 900 Do đó CPK + CBK = 900 + 900 = 1800 Nên CPKB nội tiếp đường tròn tâm O2 đường kính CK b/ Vì ICK = 900 C1 + C2 = 900 AIC vuông A C1 + A1 = 900 A1 + C2 và có A = B = 900 Nên AIC BCK (g.g) K P I O 11 A AI AC AI BK = AC BC (1) BC BK 2 C B c/ Trong (O1) có A1 = I2 (gnt cùng chắn cung PC) Trong (O2) có B1 = K1 (gnt cùng chắn cung PC) Mà I2 + K1 = 900 (Vì ICK vuông C) A1 + B1 = 900, nên APB vuông P 2/ Ta có AI // BK ( vì cùng vuông góc với AB, nên ABKI là hình thang vuông Do đó SABKI = AB.(AI + BK) Vì A, B, I cố định nên AB, AI không đổi Suy SABKI lớn BK lớn Từ (1) có AI BK = AC BC BK = AC BC AI Nên BK lớn AC BC lớn Ta có AC BC AC + BC 2 AC BC AC BC AC BC AB2 AB AC BC AB2 AB Vậy AC BC lớn AC BC = AC = BC = C là trung điểm AB AC BC Vậy SABKI lớn C là trung điểm AB Bài : (1 điểm) Tìm x ; y nguyên dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008 Hướng dẫn: Tìm x ; y nguyên dương thỏa mãn : 1003x + 2y = 2008 Cách : Từ 1003x + 2y = 2008 2y = 2008 1003x y = 1004 1003x 1003x 2008 >0 x< 1003 2008 Suy < x < và x nguyên x {1 ; 2} 1003 1003 Với x = y = 1004 Z nên x = loại 1003 Với x = y = 1004 = Z+ nên x = thỏa mãn Vì y > 1004 Vậy x ; y nguyên dương phải tìm là x = ; y =1 Cách : Vì x ; y là các số dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008 1003x < 2008 x< 2008 < Do x Z+ x {1 ; 2} 1003 Trang Lop10.com (4) Với x = 2y = 2008 1003 = 1005 y = 1005 Z+ nên x = loại Với x = 2y = 2008 2006 = y = Z+ nên x = thỏa mãn Vậy x ; y nguyên dương phải tìm là x = ; y =1 ĐỀ SỐ2 :(26 – 04 – 2010) Bài : (2 điểm) Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình y = 4mx + 10 a/ Chứng minh với m, (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt b/ Giả sử (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x12 + x22 + x1x2 m thay đổi Bài : (2 điểm) a/ Giải phương trình : x 15 x x 3 x 1 b/ Chứng minh : Với a ; b không âm ta có a3 + b3 2ab ab Khi nào xảy dấu đẳng thức? Bài : (2 điểm) Một phòng họp có 360 ghế ngồi, xếp thành hàng và hàng có số ghế ngồi Nhưng số người đến dự họp là 400 nên đã phải kê thêm hàng ghế ngồi và thêm hàng đủ chỗ Tính xem lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và hàng có bao nhiêu ghế ngồi Bài : (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) Gọi H là giao điểm hai đường cao BD và CE tam giác ABC a/ Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp và xác định tâm I đường tròn này b/ Vẽ đường kính AK đường tròn (O ; R) Chứng minh ba điểm H , I , K thẳng hàng c/ Giả sử BC = AK Tính tổng AE.CK + AC.BK theo R Bài : (1 điểm) Cho y = x2 x , Tìm tất giá trị x nguyên để y có giá trị nguyên x 1 Gợi ý và cách giải: Bài 1: a/ Hoành độ giao điểm Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 là nghiệm số phương trình: x2 = 4mx + 10 x2 4mx 10 = (1) Phương trình (1) có ’ = 4m2 + 10 > nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Do đó Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 luôn cắt hai điểm phân biệt b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình (1), ta có x1 + x2 = 4m ; x1,x2 = 10 F = x12 + x22 + x1x2 = [(x1 + x2)2 2x1x2] + x1x2 = (x1 + x2)2 x1x2 = 16m2 + 10 10 Dấu “ = ” xảy và 16m2 = m = Vậy GTNN F = 10 m = Bài 2: a/ Giải phương trình: x 15 x x x Điều kiện x Trang Lop10.com (5) x x 16 x 1 x x 1.2 x 4 x 2 x 1 x x x = x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm phương trình là x = b/ Với a , b ta có: a b a + b ab Ta có a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2 ab) = (a + b).[(a + b)2 3ab] ab [(2 ab )2 3ab] a3 + b3 ab (4ab 3ab) = ab ab = 2ab ab Dấu “ = ” xảy và a = b Vậy với a, b không âm ta có a3 + b3 2ab ab Bài 3: Gọi x (hàng) là số hàng ghế ban đầu phòng họp (x nguyên, dương) Do đó 360 (ghế) là số ghế ban đầu hàng x x + (hàng) là số hàng ghế lúc dự họp phòng họp Do đó 400 (ghế) là số ghế lúc dự họp hàng x 1 Khi dự họp hàng kê thêm ghế ngồi, ta có phương trình : 400 360 = x2 39x + 360 = x 1 x Giải phương trình x1 = 24 ; x2 = 15 Cả hai giá trị x thỏa mãn điều kiện Vậy ban đầu phòng họp có 24 hàng ghế, hàng có 15 ghế ngồi Hoặc ban đầu phòng họp có 15 hàng ghế, hàng có 24 ghế ngồi Bài 4: a/ Ta có BD và CE là hai đường cao cua ABC A Nên BEC = BDC = 900 D Suy BCDE nội tiếp đường tròn b/ Ta có BH // CK (cùng vuông góc với AC) E O Và CH // BK (cùng vuông góc với AB) H Nên BHCK là hình bình hành C F B I Do đó hai đường chéo BC và HK giao trung điểm đường K Mà I là trung điểm BC I là trung điểm củaHK Nên H, I, K thẳng hàng c/ Gọi F là giao điểm AH và BC AB BF AB KC = AK BF AK KC AC CF Và ACF ∽ AKB (g.g) AC KB = AK CF AK KB Ta có ABF ∽ AKC (g.g) (1) (2) Cộng (1) và (2) theo vế ta có: AB KC + AC KB = AK BF + AK CF = AK.(BF + CF) = AK.BC Mà BC = 3 3 AK AB KC + AC KB = AK AK = AK2 = (2R)2 = 3R2 4 4 Bài 5: x2 x 1 Với x ta có y = =x2+ x 1 x 1 Trang Lop10.com (6) Với x Z thì x + Z Để y Z thì Z x + { ; 1} x 1 x + = x = (thỏa mãn điều kiện) x + = x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy y có giá trị nguyên x = ; x = Đề số (28 – 04 – 2010) Câu I: (3 điểm) 1) Giải các phương trình sau: x b) Điểm M 2) Cho hàm số y = f(x) = a) Tính f(-1) ; a) 5.x 45 b) x(x + 2) – = 2;1 có nằm trên đồ thị hàm số không ? Vì ? Câu II: (2 điểm) 1) Rút gọn biểu thức a 1 a 1 với a > và a a a 2 P = 1 a Câu III: (1 điểm) Tổng số công nhân hai đội sản xuất là 125 người Sau điều 13 người từ đội thứ sang đội thứ hai thì số công nhân đội thứ số công nhân đội thứ hai Tính số công nhân đội lúc đầu Câu IV: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O Lấy điểm A ngoài đường tròn (O), đường thẳng AO cắt đường tròn (O) điểm B, C (AB < AC) Qua A vẽ đường thẳng không qua O cắt đường tròn (O) hai điểm phân biệt D, E (AD < AE) Đường thẳng vuông góc với AB A cắt đường thẳng CE F 1) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp 2) Gọi M là giao điểm thứ hai đường thẳng FB với đường tròn (O) Chứng minh DM AC 3) Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2 Câu V: (1 điểm)Cho biểu thức : B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008 Tính giá trị B x = 2 1 1 ĐÁP ÁN VÀ BÀI LÀM Câu I: 1) a) 5.x 45 5.x 45 x 45 : x b) x(x + 2) – = x2 + 2x – = ’ = + = ' Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1,2 = 1 2) a) Ta có f(-1) = (1) 2 x b) Điểm M 2;1 có nằm trên đồ thị hàm số y = f(x) = Vì f 2 2 Câu II: Trang Lop10.com (7) a 1 a 1 a4 = a a 2 a 2 1) Rút gọn: P = 1 a a 1 a 2 a 1 a 2 a 2 a 2 a 4 a 3 a a 3 a 6 a 6 = a a4 a a 2) ĐK: ’ > + 2m > m > 2 2 Theo đề bài : 1 x1 1 x x1x x12 x 22 = x1x x1 x 2x1 x 2 Theo Vi-ét : x1 + x2 = ; x1.x2 = -2m + 4m2 + + 4m = 4m2 + 4m = 4m(m + 1) = m = m = -1 Đối chiếu với ĐK m = -1 (loại), m = (t/m) Vậy m = Câu III: Gọi số công nhân đội thứ là x (người) ĐK: x nguyên, 125 > x > 13 Số công nhân đội thứ hai là 125 – x (người) Sau điều 13 người sang đội thứ hai thì số công nhân đội thứ còn lại là x – 13 (người) Đội thứ hai đó có số công nhân là 125 – x + 13 = 138 – x (người) Theo bài ta có phương trình : x – 13 = (138 – x) 3x – 39 = 276 – 2x 5x = 315 x = 63 (thoả mãn) Vậy đội thứ có 63 người Đội thứ hai có 125 – 63 = 62 (người) Câu V: 1 1 1 Ta có x = 2 1 1 2 1 3 2 7 17 12 29 41 ; x3 = x.x2 = ; x4 = (x2)2 = ; x5 = x.x4 = 16 32 29 41 17 12 7 1 Xét 4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – = + - + -2 32 16 29 41 34 24 25 35 20 20 16 = = -1 A 1) Ta có FAB 900 (Vì FA AB) A Vậy B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008 = BEC 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường A 900 (-1)2 + 2008 = + 2008 = 2009 tròn (O)) BEF x2 = A A 1800 FAB FEB Vậy tứ giác ABEF nội tiếp (vì có tổng hai góc đối 1800) 2) Vì tứ giác ABEF nội tiếp nên A A A AFB AEB sđ AB Trong đường A A A BMD sđ BD tròn (O) ta có AEB A A Do đó AFB BMD Mà hai góc này Trang Lop10.com vị trí so le nên AF // DM Mặt khác AF AC nên DM AC (8) F E D A O B C M Câu IV: A E A 900 Do đó hai tam giác ACF và ECB đồng dạng 3) Xét hai tam giác ACF và ECB có góc C chung , A AC EC CE.CF AC.CB (1) CF CB A A ADB A A Tương tự ABD và AEC đồng dạng (vì có BAD chung, C ) 1800 BDE AB AE AD.AE AC.AB (2) AD AC Từ (1) và (2) AD.AE + CE.CF = AC.AB + AC.CB = AC(AB + CB) = AC2 Trang Lop10.com (9) Bài tập làm chơi !!! C©u 1: (2 ®iÓm) cho biÓu thøc x y x y x3 y 2y P= x y y x x y y x x y x y Chng minh P lu«n nhËn gi¸ trÞ nguyªn v¬Ý mäi x,y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x> 0,y> 0,vµ x≠y C©u 2: (3 ®iÓm ) 1) Gi¶i PT: x x x 3x 2) Tìm x,y là các số nguyên thảo mãn đẳng thức x - xy –y +2 = C©u : (3 ®iÓm ) Cho nöa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB Gäi K lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BC §êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ K c¾t (O)t¹i ®iÓm M ( M≠A ) KÎ CH vu«ng gãc víi AM t¹i H §¬ng th¼ng OH c¾t ®êng th¼ng BC t¹i N , ®êng th¼ng MN c¾t (O) t¹i D (D≠M ) 1) CM : Tø gi¸c BHCM lµ h×nh b×nh hµnh 2) CM: ΔOHC vµ ΔOHM b»ng 3) CM : ®iÓm B,H,D th¼ng hµng C©u 4: ( ®iÓm ) T×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm nhá h¬n -1 cña PT x2 x2 8 ( x 1) C©u :( 1®iÓm ) Cho a,b lµ c¸c sè kh«ng ©m tho¶ m·n a b > T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc M a 3b( a 2b) b 3a (b 2a ) HÕT SỞ GD- ĐT LONG AN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2007-2008 Môn thi: Toán Ngày thi: 27/6/2007 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 30 phút (không kể phát đề) PHẦN THI TRẮC NGHIỆM: Hai đường thẳng: y (2 m ) x m và y mx 3m song song với giá trị m là: a/1 b/ c/ –2 d/ –1 2 Phương tình bậc hai 3x x m có hai nghiệm x1 , x2 thoả x1 3x2 thì giá trị m là: a/ m = b/ m = c/ m = d/ m=2 Phương trình x x x x có nghiệm là: 2007 2006 2005 2004 Trang Lop10.com (10) a/ x 2007 b/ x 2007 c/ x 2008 d/ x 2008 Cho hàm số y = ax , có điểm E(2;-2) thuộc đồ thị hàm số Điểm nào sau đây là điểm thuộc đồ thị hàm số trên? a/ A(1; ) b/ B(1; ) c/ C( ;1) d/ D( ;1) 2 2 Đồ thị hàm số y = ax +b qua hai điểm A(1;-1) , B(2;1) thì giá trị a và b là: a/ a = -2; b = b/ a = -2; b = -3 c/ a = 2; b = d/ a =2;b = -3 Phương trình bậc hai x 1 x có hai nghiệm là: a/ 2; 1 b/ Giá trị biểu thức a/ 1; 74 b/ -4 Hệ phương trình a/ c/ 2;1 2007 Cho hàm số 74 c/ x 2007 y x y 2007 2;1 2 2006 2006 d/ 2 có nghiệm là: 2007 1;1 c/ 2007;1 y 1 2007 x 2008 , x x b/ -2 10 2006 2007x xác định a/ x 2007 b/ x 2007 2; 1 bằng: d/ 1; b/ a/ d/ 2007 2007 thì giá trị y là: c/ 2 2007 d/ 2007 c/ x 2006 2007 d/ x 2006 2007 11.Cho đường tròn (O; cm), dây AB = cm Gọi OH là khoảng cách từ tâm O đến dây AB Độ dài đoạn thẳng OH là: a/ cm b/ cm c/ cm d/ cm 12.Cho đường thẳng a và điểm O cách a là cm Vẽ đường tròn tâm O bán kính cm Số điểm chung đường thẳng a và đường tròn (O) là: a/ b/ c/ d/ ˆ ˆ 13.Một hình thang ABCD (AB // CD) có B 2C thì số đo B̂ là: a/ 800 b/ 1000 c/ 1200 d/ 600 14.Cho tam giác ABC vuông A có AB AC Ta có sin B̂ bằng: a/ 3 b/ c/ d/ 2 Aˆ 800 15.Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và Số đo Ĉ bằng: 0 a/ 80 b/ 60 c/ 120 d/ 1000 16.Biết O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và AB=BC=AC Số đo góc AOB bằng: a/ 900 b/ 1200 c/ 600 d/ 300 17.Một hình trụ có bán kính đáy cm, chiều cao cm Diện tích xung quanh hình trụ đó là: a/ 24 cm b/ 96 cm c/ 12 cm d/ 48 cm 18.Biết điểm A thuộc đường tròn đường kính BC Khi đó số góc BAC bằng: a/ 900 b/ 300 c/ 1800 d/ 600 19.Biết độ dài đường tròn là 12 cm Vậy diện tích hình tròn đó bằng: a/ 36 cm b/ 24 cm c/ 144 cm d/ 36 cm 20.Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? a/ Trong đường tròn, hai dây thì cách tâm b/ Trong đường tròn, dây nào nhỏ thì dây đó gần tâm c/ Trong đường tròn, dây nào gần tâm thì dây đó nhỏ Trang 10 Lop10.com (11) d/ Trong đường tròn, đường kính qua trung điểm dây thì vuông góc với dây âý PHẦN THI TỰ LUẬN Câu 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức A 1 x x : với x và x x x x x x x a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tính giá trị biểu thức A x c/ Tìm giá trị x để A > Câu 2: (1,5 điểm) Cho hai hàm số: y = x2 và y = –x +2 a/ Vẽ đồ thị các hàm số này trên cùng mặt phẳng toạ độ b/ Tìm toạ độ giao điểm các đồ thị đó Câu 3: (1 điểm) Cho phương trình bậc hai x2 + (m – 2)x – (m2 +1)=0 a/ Chứng minh phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm với m b/ Xác định m để hai nghiệm phương trình đã cho thoả hệ thức x12 x2 10 Câu 4: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = cm Lấy điểm C trên đường thẳng AB cho B là trung điểm đoạn thẳng OC Kẻ các tiếp tuyến CD, CE đường tròn (O) M và N a/ chứng minh tứ giác CDOE là tứ giác nội tiếp Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác này b/ chứng minh tam giác CDE là tam giác c/ Chứng minh CD2 = CM.CN d/ Tính đọ dài cung DOE và diện tích hình tròn ngoại tiếp tư giác ĐỀ Bài 1( 2,0 điểm) Các câu đây,sau câu có nêu phương án trả lời ( A,B,C,D) Bài 2( 1,5 điểm) Cho biểu thức P = 1 x x x 1 với x : x x 1 x x 1 Rút gọn P Tìm x để P < Bài (2,0 điểm) Cho phương trình x2 + 2mx + m – = Giải phương trình m = 2 Chứng minh: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt,với m Hãy xác định m để phương trình có nghiệm dương Bài ( 3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB; điểm I nằm hai điểm A và O.Kẻ đường thẳng vuong góc với AB I, đường thẳng này cắt đường tròn (O;R) tai M và N.Gọi S là giao điểm đường thẳng BM và AN.Qua S kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AM K và H Hãy chứng minh: Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK = HA.HM KM là tiếp tuyến đường tròn (O;R) Ba điểm H,N,B thẳng hàng Trang 11 Lop10.com (12) Bài ( 1,5 điểm) xy 12 y xy x x x4 = 2x4 – 2008x + 2008 Giải hệ phương trình 2.Giải phương trình ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 25/06/2008 Bài 1: (2 điểm) x 2x x x x 2x 15 2x y y x y 2) Giải hệ phương trình: 2 y x x y 4x Bài 2: (2 điểm) 1) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 20 và ab + bc + ca ≤ Chứng minh rằng: < a + b + c ≤ 2) Cho số nguyên dương n Chứng minh A = + 28n là số nguyên thì A là số chính phương Bài 3: (2 điểm) 1) Cho các số thực x, y, z thỏa điều kiện: x + y + 2z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 2x2 + 2y2 – z2 2) Cho phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm số là x1 và x2 thỏa mãn ax1 + bx2 + c = Tính giá trị biểu thức: A = a2c + ac2 + b3 – 3abc + Bài 4: (4 điểm) Cho hai đường tròn (O1; R1) và (O2; R2) với R1>R2 cắt hai điểm A và B cho số đo góc O1AO2 lớn 900.Tiếp tuyến đường tròn (O1) A cắt đường tròn (O2) C khác A, tiếp tuyến đường tròn (O2) A cắt đường tròn (O1) D khác A Gọi M là giao điểm AB và CD BA BC AC 1) Chứng minh: BD BA AD 2) Gọi H, N là trung điểm AD, CD Chứng minh tam giác AHN đồng dạng với tam giác ABC MC 3) Tính tỉ số theo R1 và R2 MD 4) Từ C kẻ tiếp tuyến CE với đường tròn (O1) (E là tiếp điểm, E khác A) Đường thẳng CO1 cắt đường tròn (O1) F (O1 nằm C và F) Gọi I là hình chiếu vuông góc A trên đường thẳng EF và J là trung điểm AI Tia FJ cắt đường tròn (O1) K Chứng minh đường thẳng CO1 là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC 1) Giải phương trình: ĐỀ giải ngày 1-05-2010 Trang 12 Lop10.com (13) Bµi 1: Rót gän biÓu thøc sau : x 3 P= 2x x 2x 2x x Bài 2: Giải các phương trình và hệ phương trình sau: 2 x y a) xy x b) x x Bµi 3: Chøng minh r»ng : 31 5 7 2007 4015 2007 2008 2009 Bài : BC là dây cung không là đường kính đường tròn tâm O Một điểm A di động trên cung lín BC cho t©m O lu«n n»m tam gi¸c ABC, c¸c ®êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC c¾t t¹i H a) Chứng minh các tam giác AEF và ABC đồng dạng b) Gäi A' lµ trung ®iÓm cña BC, chøng minh AH = 2OA' c) Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, chøng minh : R.AA1 = AA'.OA' d) Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC từ đó tìm vị trí A để tổng (EF + FD + DE) lớn nhÊt Bài : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + 2abc < ĐÁP ÁN, HƯỚNG CHẤM Bµi 1: (2,5 ®iÓm) x 3 Cã : A = x x A= x 3 x 2 3 2 x 3 2 x 3 cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm Tương tự có: 2x B= 2x 2x x x 3 2 Từ đó Tập xác định là x và x Ta cã P = A+B = x 3 cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm 2x 2 x 3 x 32 2 x x 3 x 6 x 3 = x 3 x 32 = x x x x x x 18 x 92 Trang 13 Lop10.com cho 0,5 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm (14) = x 92 x 92 x 2 x Cho 0,25 ®iÓm x9 Víi x vµ x x9 Bµi ( 4,5 ®iÓm) 2 x y a, Tõ hÖ xy x xy +x x y x xy y (*) x ®îc : hÖ nµy v« nghiÖm x VËy P= Cho 0, 25 ®iÓm - NÕu y = ta cho 0,25 ®iÓm x x - NÕu y ≠ ta cã : (*) y y x y 1 x y x y hay 2 x 2x y 2 2 x y y 3 ta ®îc (x; y) = (1; 1) hay (x ; y) = (-1 ; -1) HÖ sau v« nghiÖm Vậy hệ đã cho có nghiệm là x = y = x = y = -1 Phương trình tương đương với : (vì vế không âm) cho 0,25 ®iÓm Gi¶i hÖ ®Çu b) §iÒu kiÖn -4x1 3x x 3x x x(x + 3) = phương trình có nghiệm x = x = -3 Bµi : (3®iÓm) Ta cã víi n th× 2 n 1 n 2n 1 n n 4n 4n < n 1 n 4- 3x - x2 = x2 +3x = x = hoÆc x = -3 cho 0,5 ®iÓm cho 0,5 ®iÓm n nn 1 n 1 Từ đó ta có : 1 Sn = 2n 1 n n 31 2 1 1 < 1cho 0,75 ®iÓm n 1 4n n 4n n = 1cho 0,5 ®iÓm n2 n2 n VËy Sn < cho 0,25 ®iÓm n2 2007 ¸p dông cho n = 2007 ta cã S2007 < lµ ®iÒu ph¶i chøng minh ( 0,5 ®iÓm) 2009 Bài : Hình vẽ đúng cho 0,25 điểm Trang 14 Lop10.com VËy (15) x A F B A E H O D A' C K a) Chứng minh AEF đồng dạng ABC Có E, F cùng nhìn BC góc vuông nên E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC Cho 0,25 ®iÓm gãc AFE = gãc ACB (cïng bï gãc BFE) cho 0,25 ®iÓm AEF đồng dạng ABC (g.g) cho 0,25 ®iÓm b) VÏ ®êng kÝnh AK Cã BE AC (gt) KC AC (V× gãc ACK = 90 ) cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm BE // KC Tương tự CH // BK cho 0,25 ®iÓm Do đó tứ giác BHCK là hình bình hành cho 0,25 ®iÓm HK lµ ®êng chÐo nªn ®i qua trung ®iÓm A' cña ®êng chÐo BC H, A', K th¼ng hµng cho 0,25 ®iÓm XÐt tam gi¸c AHK cã A'H = A'K OA = OK cho 0,25 ®iÓm Nªn OA' lµ ®êng trung b×nh cho 0,25 ®iÓm AH = A'O c, áp dụng tính chất: tam gác đồng dạng thì tỉ số trung tuyến tương ứng, tỉ số bán kính các đường tròn ngoại tiếp tỉ số đồng dạng nên ta có: cho 0,25 ®iÓm AA' R AEF đồng dạng ABC = cho 0,25 ®iÓm AA1 R' Trong đó R là bán kính đường tròn tâm O R' lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp AEF cho 0,25 ®iÓm còng lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c AEHF cho 0,25 ®iÓm AH AA' cho 0,5 ®iÓm R AA = R' AA' = 2OA' = AA' = AA' OA' cho 0,25 ®iÓm VËy R.AA1 = AA' OA' cho 0,25 ®iÓm d, Trước hết ta chứng minh OA EF vÏ tiÕp tuyÕn Ax cña ®êng trßn t©m O Ta cã OA Ax cho 0,25 ®iÓm V× gãc xAB = Gãc BCA mµ gãc BCA = gãc EFA (cmt) cho 0,25 ®iÓm gãc EFA = gãc xAB cho 0,25 ®iÓm EF// Ax cho 0,25 ®iÓm OA EF Chứng minh tương tự có OB DF và OC ED Ta cã S ABC = S OEAF + S OFBD +S ODCE Trang 15 Lop10.com (16) 1 OA EF + OB FD + OC.DE cho 0,25 ®iÓm 2 = R( EF + FD + DE ) (v× OA = OB = OC = R) cho 0,25 ®iÓm R (EF + FD + DE) = S ABC = S ABC R Nªn EF + FD + DE lín nhÊt S ABC lín nhÊt cho 0,25 ®iÓm Lại có S ABC = BC.h (h là đường vuông góc hạ từ A đến BC) S ABC lớn h lớn ABC lµ tam gi¸c c©n A lµ ®iÓm chÝnh gi· cña cung AB lín cho 0,25 ®iÓm Bµi 5: (3 ®iÓm) V× a, b, c lµ c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi lµ nªn ta cã: < a; b, c 1 (cho 0,25 ®iÓm) a - ; b - 0; c-1 cho 0,25 ®iÓm ( a -1) (b -1) (c -1) ( ab - a - b +1) ( c -1) cho 0,25 ®iÓm abc - (ab + ac + bc) + (a + b + c) - cho 0,25 ®iÓm 2abc - 2(ab + ac + bc) + 2( a + b +c) cho 0,25 ®iÓm 2abc - 2(ab + ac + bc) +2.2 cho 0,25 ®iÓm EF + FD + DE = 2abc - 2(ab + ac + bc) + (a +b +c) cho 0,5 ®iÓm 2abc - 2(ab + ac + bc) + a + b + c +2(ab + ac + bc) (cho 0,25 ®iÓm) 2abc + a + b + c (®pcm) cho 0,25 ®iÓm ĐỀ TỰ GIẢI 5-05-2010 Câu 1: Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) 2x2 + 3x – = (1) b) x4 – 3x2 – = (2) 2x y 3x 4y 1 c) (a) (b) (3) Câu 2: a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y = –x2 và đường thẳng (D): y = x – trên cùng cùng toạ độ b) Tìm toạ độ các giao điểm (P) và (D) câu trên phép tính Câu 3: Thu gọn các biểu thức sau: 74 74 a) A = x 1 x x x 2x x (x > 0; x ≠ 4) x x x x b) B = Câu 4: Cho phương trình x2 – 2mx – = (m là tham số) a) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm phân biệt b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình trên Tìm m để x12 x22 x1x2 Trang 16 Lop10.com hệ trục (17) Câu 5: Từ điểm M ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O), đây A, B là các tiếp điểm và C nằm M, D a) Chứng minh MA2 = MC.MD b) Gọi I là trung điểm CD Chứng minh điểm M, A, O, I , B cùng nằm trên đường tròn c) Gọi H là giao điểm AB và MO Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn Suy AB là phân giác góc CHD d) Gọi K là giao điểm các tiếp tuyến C và D đường tròn (O) Chứng minh A, B, K thẳng hàng MỘT SỐ BÀI TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP CHUYÊN, CHỌN HAY VÀ KHÓ Chøng minh lµ sè v« tØ a) Chøng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chøng minh bÊt d¼ng thøc Bunhiac«pxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : S = x2 + y2 a) Cho a 0, b Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chøng minh r»ng : ab ab bc ca ab abc a b c c) Cho a, b > vµ 3a + 5b = 12 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña tÝch P = ab Cho a + b = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : N = a + b Cho a, b, c là các số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) T×m liªn hÖ gi÷a c¸c sè a vµ b biÕt r»ng : a b a b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 4a b) Cho a, b, c > vµ abc = Chøng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 10 Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) 11 T×m c¸c gi¸ trÞ cña x cho : a) | 2x | = | x | b) x2 4x c) 2x(2x 1) 2x 2 12 T×m c¸c sè a, b, c, d biÕt r»ng : a + b + c + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 3a 3b + 2001 Với giá trị nào a và b thì M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ đó 14 Cho biÓu thøc P = x2 + xy + y2 3(x + y) + CMR gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P b»ng 15 Chứng minh không có giá trị nào x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 2a + 8y 6z + 15 = 16 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : A x 4x 17 So s¸nh c¸c sè thùc sau (kh«ng dïng m¸y tÝnh) : a) 15 và b) 17 và c) 23 19 và 27 d) 18 H·y viÕt mét sè h÷u tØ vµ mét sè v« tØ lín h¬n và 45 nhng nhá h¬n 19 Giải phương trình : 3x 6x 5x 10x 21 2x x 20 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = x2y víi c¸c ®iÒu kiÖn x, y > vµ 2x + xy = 21 Cho S 1 1 1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 Trang 17 Lop10.com (18) H·y so s¸nh S vµ 1998 1999 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì 23 Cho c¸c sè x vµ y cïng dÊu Chøng minh r»ng : a lµ sè v« tØ x y 2 y x x y2 x y b) x y x y a) x y4 x y2 x y y x y x y x c) 24 Chøng minh r»ng c¸c sè sau lµ sè v« tØ : a) 1 b) m víi m, n lµ c¸c sè h÷u tØ, n n 25 Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ? x y x y2 26 Cho c¸c sè x vµ y kh¸c Chøng minh r»ng : y x y x 27 Cho c¸c sè x, y, z d¬ng Chøng minh r»ng : x y2 z2 x y z y2 z2 x y z x 28 Chøng minh r»ng tæng cña mét sè h÷u tØ víi mét sè v« tØ lµ mét sè v« tØ 29 Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + + an)2 n(a12 + a22 + + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chøng minh r»ng a + b 31 Chøng minh r»ng : x y x y x 6x 17 x y z 33 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : A víi x, y, z > y z x 32 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : A 34 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : A = x2 + y2 biÕt x + y = 35 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) víi x, y, z ; x + y + z = 36 XÐt xem c¸c sè a vµ b cã thÓ lµ sè v« tØ kh«ng nÕu : a lµ sè v« tØ b a b) a + b vµ lµ sè h÷u tØ (a + b 0) b a) ab vµ c) a + b, a2 vµ b2 lµ sè h÷u tØ (a + b 0) 37 Cho a, b, c > Chøng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) a b c d 2 bc cd da ab 39 Chøng minh r»ng 2x b»ng x hoÆc x 38 Cho a, b, c, d > Chøng minh : Trang 18 Lop10.com (19) 40 Cho số nguyên dương a Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n Chứng minh các số đó, tồn hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96 41 Tìm các giá trị x để các biểu thức sau có nghĩa : A= x B C x 4x D x 2x 1 1 x E x 2x x G 3x 5x x x 42 a) Chøng minh r»ng : | A + B | | A | + | B | DÊu = ” x¶y nµo ? b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau : M c) Giải phương trình : x 4x x 6x 4x 20x 25 x 8x 16 x 18x 81 43 Giải phương trình : 2x 8x x 4x 12 44 Tìm các giá trị x để các biểu thức sau có nghĩa : A x2 x E 1 3x B 2x x G C 9x x x2 x 4 D x 5x H x 2x x 2 x 3x 45 Giải phương trình : 0 x 3 46 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A x x 47 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : B x x 1 48 So s¸nh : a) a và b= b) 13 và c) n n và n+1 n (n là số nguyên dương) 1 49 Với giá trị nào x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A 6x 9x (3x 1) 50 TÝnh : a) 42 b) 11 d) A m 8m 16 m 8m 16 51 Rót gän biÓu thøc : M c) 27 10 e) B n n n n (n 1) 41 45 41 45 41 52 Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x y) (y 2) (x y z) 53 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : P 25x 20x 25x 30x 54 Giải các phương trình sau : a) x x x d) x x 2x b) x x e) x 4x x h) x 2x x 6x k) x x x x c) x x x x g) x x 5 i) x x x 25 l) 8x 3x 7x 2x 55 Cho hai sè thùc x vµ y tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn : xy = vµ x > y CMR: 56 Rót gän c¸c biÓu thøc : Trang 19 Lop10.com x y2 2 xy (20) a) 13 30 b) m m m m 57 c) Chøng minh r»ng a) C 62 6 2 2 58 Rót gän c¸c biÓu thøc : d) 227 30 123 22 3 62 6 3 96 b) D 59 So s¸nh : a) 20 và 1+ b) 17 12 và 1 c) 28 16 và 60 Cho biÓu thøc : A x x 4x a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rót gän biÓu thøc A 61 Rót gän c¸c biÓu thøc sau : a) c) 11 10 b) 14 11 10 1 1 1 2 a b c a b c 62 Cho a + b + c = ; a, b, c Chứng minh đẳng thức : 63 Giải bất phương trình : x 16x 60 x 64 T×m x cho : x x 65 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = x2 + y2 , biÕt r»ng : x2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A 67 Cho biÓu thøc : A x x 2x x x 2x b) B x 2x x x 2x 16 x x 8x 2x x x 2x a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 T×m 20 ch÷ sè thËp ph©n ®Çu tiªn cña sè : 0,9999 (20 ch÷ sè 9) 69 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña : A = | x - | + | y | víi | x | + | y | = 70 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x4 + y4 + z4 biÕt r»ng xy + yz + zx = 71 Trong hai số : n n và n+1 (n là số nguyên dương), số nào lớn ? 72 Cho biÓu thøc A TÝnh gi¸ trÞ cña A theo hai c¸ch 73 TÝnh : ( 5)( 5)( 5)( 5) 74 Chøng minh c¸c sè sau lµ sè v« tØ : 3 ; 3 ; 2 3 75 H·y so s¸nh hai sè : a 3 và b=2 ; 76 So s¸nh và vµ sè Trang 20 Lop10.com 1 (21)