Trong đó là phần nguyên của thương a:b, lấy được sau khi ấn dấu bằng lần đầu + Trường hợp 2: Đối với các số lớn hơn, việc tính như trên sẽ không chính xác.. Ta lấy từ trái qua m chữ [r]
(1)§1 KIỂM TRA KỸ NĂNG TÍNH TOÁN THỰC HAØNH −−− Tính chính xaùc tích a) Phöông phaùp tính: Nhân các số lớn trên máy tính chắn làm tràn màn hình, đó kết không chính xác Mặt khác, bài toán đòi hỏi phải có đáp số nguyên nên việc tính toán trên máy cách trực tiếp là không khả thi Để tính kết chính xác phải tính nhiều giai đoạn, máy tính lúc này thực các phép tính trung gian, phần tính kết thực giấy nháp Caùch 1: Ta áp dụng tính chất (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D, tính các tích và coäng laïi Ví duï: Tính 222223333×222225555 Giaûi: Ta coù: 222223333 = 22222.104 + 3333 222225555 = 22222.104 + 5555 ⇒ 222223333×222225555 = (22222.104 + 3333)( 22222.104 + 5555) = 222222.108 + 22222.104(3333+5555) + 3333x5555 = 493817284.108 + 197509136.104 + 18514815 = 49381728400000000 + 1975091360000 + 18514815 = 49383703509874815 Caùch 2: Ta lấy A nhân với B trên máy để xác định tích có bao nhiêu chữ số, đồng thời thu chữ số phía trước tích Ta tiếp tục tìm các chữ số phía sau sau: + Lấy chữ số cuối A nhân chữ số cuối B ta kết có chữ số cuối là chữ số cuối tích + Lặp lại bước trên với chữ số cuối, ta thêm chữ số nữa, cho đủ hết các chữ số còn lại Ví duï: Tính 222223333×222225555 Laáy 222223333×222225555 = 4.938370351x1016 Ta biết tích có 17 chữ số và chữ số phía trước là 493837035, ta cần tìm chữ số còn lại Lấy 3333x5555 = 18514815, ta chữ số cuối tích là 4815 Lấy 23333x25555 = 596274815, ta chữ số cuối tích là 74815 Lấy 223333x225555 = 5.037387482x1010, ta chữ số cuối tích là 874815 Lấy 2223333x2225555 = 4.948149875x1012, ta chữ số cuối tích là 9874815 Lấy 22223333x22225555 = 4.939259099x1014, ta chữ số cuối tích là 09874815 Vaäy tích caàn tìm laø 222223333×222225555 = 49383703509874815 b) Baøi taäp: Baøi 1: Tính chính xaùc caùc tích sau: M = 222 255 555 x 222 266 666 N = 20 082 008 x 20 092 009 O = 13 032 006 x 13 032 007 P = 333 355 555 x 333 377 777 Baøi 2: Tính chính xaùc soá sau: A = 414 213 5622 B = 732 050 8082 Baøi 3: Tính chính xaùc caùc tích sau: X = 895 489 x 56 326 Y = 99 887 456 752 x 89 685 Z = 123 456 789 104 563 456 x 98 761 Trang Lop12.net (2) Tìm dö pheùp chia a) Phöông phaùp tính: Giả sử cần tìm số dư phép chia a:b, ta có thể: + Trường hợp 1: Đối với các số tương đối nhỏ (Phần nguyên thương ít chữ số) ta có thể tính chính xác số dư cách lấy thương a:b nhân với b trừ cho tích phần nguyên a:b với b Trên máy fx−570MS, ta thực sau: a÷ b = × b − a × b = b a b (Trong đó là phần nguyên thương a:b, lấy sau ấn dấu lần đầu) + Trường hợp 2: Đối với các số lớn hơn, việc tính trên không chính xác Ta làm nhö sau: − Giả sử a có k chữ số Ta lấy từ trái qua m chữ số (gọi là a1) cho a1 chia b thương có phần nguyên không quá chữ số a = p1p p m p m +1 p n ⇒ a1 = p1p p m − Tìm số dư phép chia a1:b phương pháp trên, gọi số dư đó là r1 − Thêm vào bên phải r1 các chữ số a (từ vị trí m + đến cuối) cho đủ m chữ số, gọi là a2 a2 = r1p m +1p m +2 có m chữ số − Tìm số dư phép chia a2:b phương pháp trên, gọi số dư đó là r2 Lặp lại quy trình đến a không còn chữ số nào Số dư cuối cùng là số dư a:b Lưu ý: Khi tính có thể kết có thể có dạng …x,99…, lúc đó ta làm tròn hàng đơn vị lên đơn vị, còn có dạng …x,8… thì phải tính lại mà không làm tròn b) Baøi taäp: Baøi Tìm dö cuûa pheùp chia sau: a) 123 456 789 cho 23 456 b) 503 021 930 cho 022 009 Baøi Tìm dö pheùp chia sau: a) 103 103 103 cho 009 b) 30 419 753 041 975 cho 151 975 Baøi Tìm dö pheùp chia sau: a) 24 728 303 034 986 194 cho 003 b) 103 200 610 320 061 032 006 cho 010 Tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ hai số a và b a) Phöông phaùp tính: a khoâng laøm traøn maøn hình Ta laøm nhö sau: b − Nhập vào máy a ↵ b và nhấn = , máy tính thương a:b, ta nhấn phím a b / c để chuyển số trên dạng phân số Lấy a chia cho tử số (hoặc lấy b chia cho mẫu số) ta UCLN(a, b) − Tính BCNN(a, b) = (a.b)÷UCLN(a, b) + Trường hợp 1: Nếu phân số Trang Lop12.net (3) a laøm traøn maøn hình Ta laøm nhö sau: b − Giả sử a > b Ta tìm số dư a:b mục 2, gọi là r1 Nếu b⋮ r1 thì UCLN = r1 + Trường hợp 2: Nếu phân số − Neáu b ⋮ r1 , ta tìm soá dö cuûa b:r1 nhö muïc 2, goïi laø r2 Neáu r1 ⋮ r2 thì UCLN = r2 Nếu r1 ⋮ r2 , ta lập lại quy trình trên đến rn ⋮ rn +1 , đó UCLN = rn+1 − BCNN = (a.b)÷UCLN b) Baøi taäp: Baøi Tìm UCLN, BCNN cuûa caùc caëp soá sau: a) 209 865 vaø 283 935 c) 100 712 vaø 68 954 b) 287 135 vaø 14 277 835 d) 106 848 vaø 92 079 458 Baøi Tìm UCLN, BCNN cuûa caùc caëp soá sau: a) 022 005 vaø 503 021 930 c) 168 599 421 vaø 654 176 b) 419 580 247 vaø 802 197 531 d) 24 614 205 vaø 10 719 433 Viết phân số duới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn và ngược lại a) Vieát phaân soá a duới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn b a laø moät b phân số đơn giản (chu kì không chữ số), thì chu kì nó có thể nhận biết chữ số thập phân trên (các chữ số thập phân lặp lại) Ngược lại, ta ghi lại kết trên Thực tiếp bước phía sau + Tìm số dư a.10m :b (với m = − [Số chữ số a] + [Số chữ số b]), gọi số dư đó là r1 + Lấy r1:b phần dãy các chữ số, đó có chữ số trùng với phần cuối kết đã ghi, đó là phần chu kì Ta ghi kết này lại Nếu chưa nhận thấy chu kì, ta làm tiếp bước sau + Tìm số dư r1.10m :b (với m = − [Số chữ số r1] + [Số chữ số b]) , gọi số dư đó là r2 + Lấy r2:b phần dãy các chữ số, đó có chữ số trùng với phần cuối kết đã ghi, đó là phần chu kì Ta ghi kết này lại Nếu chưa nhận thấy chu kì, ta thực lại quy trình đến nhận chu kì phân số b) Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số Giả sử số thập phân vô hạn tuần hoàn A có k chữ số phần nguyên, m chữ số chu kì bất thường, n chữ số chu kì lặp Tức là A = a1a2 a k , b1b2 bm (c1c2 cn ) Lúc này ta có + Lấy a:b, ta phần nguyên (nếu a > b) và chữ số thập phân đầu tiên, k chữ số b1b2 b m Chu kì bất thường m chữ số n chữ số c1c2 cn Chu kì laëp A = a1a2 a k + + 00 99 00 Phaàn nguyeân m chữ số n chữ số m chữ số c) Baøi taäp: Baøi Tìm chu kì caùc phaân soá sau: 17 113 263 49 ; ; ; ; ; 23 61 123 2009 15 419 Baøi 10 Vieát caùc soá thaäp phaân sau thaønh phaân soá: 23,(421); 2,13(132); 1,9(89); 2,63(1245); 0,(1274) Trang Lop12.net (4) §2 NHÓM CÁC BAØI TOÁN VỀ TÌM SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA −−−−−−−−−−− Tìm chữ số tận cùng lũy thừa a) Phöông phaùp tính: − Nếu a tận cùng là các chữ số: 0, 1, 5, thì an tận cùng là 0, 1, 5, − Neáu taän cuøng baèng thì an taän cuøng baèng neáu n ⋮ ; taän cuøng baèng neáu n chia dö 1; taän cuøng baèng neáu n chia dö 2; taän cuøng baèng neáu n chia dö − Neáu a taän cuøng baèng thì an taän cuøng baèng neáu n ⋮ ; taän cuøng baèng neáu n chia dö 1; taän cuøng baèng neáu n chia dö 2; taän cuøng baèng neáu n chia dö − Neáu a taän cuøng baèng thì an taän cuøng baèng neáu n ⋮ ; taän cuøng baèng neáu n chia dö 1; taän cuøng baèng neáu n chia dö 2; taän cuøng baèng neáu n chia dö Chữ số tận cùng cuûa a n chia heát cho (n = 4k) 1 Chữ số tận cùng an n chia dö n chia dö (n = 4k + 1) (n = 4k + 2) 9 n chia dö (n = 4k + 3) − Nếu a tận cùng p thì an có chữ số tận cùng chữ số tận cùng pn Nhờ tính chất này, các số có tận cùng 4, quy tận cùng tức là (22)n, (23)n; các số có chữ số tận cùng quy tận cùng tức là (32)n b) Baøi taäp: Bài 11 Tìm chữ số tận cùng của: a) 19921993 b) 20092008 c) 252011 d) 1642003 e) 132009 f) 106106 g) 2007141 Bài 12 Tìm chữ số hàng đơn vị 172002 Tìm soá dö cuûa pheùp chia am : b a) Phöông phaùp tính: Để tìm số dư phép chia am : b, ta tìm dư rm : b (trong đó, r là số dư a: b) Bằng cách tìm số dư r : b, r2 : b, r3 : b, r4 : b, … để tìm quy luật tuần hoàn số dư rm : b Giả sử ta tìm chu kì tuần hoàn là n Tiếp theo ta tìm số dư m : n, giả sử là k Khi đó số dư am : b chính laø soá dö cuûa rk : b * Chú ý: Tìm chữ số tận cùng lũy thừa am là trường hợp đặc biệt tìm số dư pheùp chia am : b b = 10 b) Baøi taäp: Baøi 13 Tìm soá dö cuûa pheùp chia sau: a) 176 59427 cho 293 b) 1112 cho 2001 c) 736 cho 2003 Baøi 14 Tìm soá dö cuûa pheùp chia sau: a) 2004376 cho 1975 b) 176 59439 cho 293 c) 122008 cho Trang Lop12.net (5) Tìm chữ số thập phân thứ k phép chia a:b a) Phöông phaùp tính: a theo mục 4, §1 Giả sử chu kì đó có m chữ số b + Bước 2: Tìm số dư k:m theo mục 2, §1 gọi là r Chữ số thập phân cần tìm là chữ số thứ r (đếm từ bên trái sang bên phải) chu kì Nếu k ⋮ m thì chữ số cần tìm là chữ số cuối cùng chu kì * Chú ý: Mỗi phân số có thể biểu diễn thành số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn Đối với số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn thì ta làm cách trên chính xác Nếu là số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp thì r là số dư (k − n):m (với n là số chữ số chu kì bất thường) b) Baøi taäp: Bài 15 Tìm chữ số thập phân thứ 2009 phép chia số 64 cho 37 + Bước 1: Tìm chu kì phân số Bài 16 Tìm chữ số thập phân thứ 2005 phép chia cho 23 Bài 17 Tìm chữ số thập phân thứ 456 456 phép chia 13 cho 23 Bài 18 Tìm chữ số thập phân thứ 122008 phép chia 64 cho 31 Bài 19 Tìm chữ số thập phân thứ 122005 phép chia 10 000 cho 17 77 viết nó dạng số thập phân 74 b) Tìm chữ số thập phân thứ 2005 phép chia 6061 cho 33300 c) Tìm chữ số thập phân thứ 302009 phép chia 23 cho 43 và phép chia 801 cho 570 Bài 20 a) Tìm chữ số thập phân thứ 7774 số §3 LIEÂN PHAÂN SOÁ −−− Ñònh nghóa Cho a, b (a > b) là các số tự nhiên Dùng thuật toán Euclide chia a cho b, phân số viết dạng b a = a + = a0 + b b b b0 Vì b0 laø dö cuûa pheùp chia a cho b neân b > b0, laïi tieáp tuïc bieåu dieãn phaân soá a coù theå b b dạng b0 b b = a1 + = a1 + Tiếp tục vậy, quá trình kết thúc sau n bước, và cuối cùng ta được: b0 b0 b0 b1 a = a0 + b a1 + an −1 + an Trang Lop12.net (6) Cách biểu diễn trên gọi là biểu diễn số hữu tỉ dạng liên phân số Người ta đã chứng minh số hữu tỉ có biểu diễn dạng liên phân số Liên phân số còn viết gọn dạng [a0, a1, …, an] Vì số vô tỉ có thể viết dạng số thập phân vô hạn không tuàn hoàn nên ta có thể biểu diễn nó dạng liên phân số xấp xĩ với độ chính xác tùy ý Phöông phaùp tính Để chuyển phân số hieän nhö sau: a thành liên phân số, ta phải tìm dãy a0, a1, a2, …, an Ta thực b + Thực chia a : b, ta thương + Trừ thương a , đó phần nguyên chính là a0 b a a cho , roài nhaán phím x − b b = Khi đó phần nguyên số vừa tìm chính laø a1 + Trừ kết trên cho phần nguyên nó nhấn phím x − = Khi đó phần nguyên số vừa tìm chính là a2 + Lặp lại nhận số cuối cùng là số nguyên Khi đó ta dãy a0, a1, a2, …, an và viết lại dạng phân số * Chú ý: Trong vài trường hợp, số cuối cùng có thể nhận không là số nguyên nhöng noù coù daïng x,9999… thì ta laøm thaønh x + Để chuyển liên phân số thành phân số, ta làm sau: + Baám an x − = + an−1 = x − = + an−2 = x − = + an−3 = … x − = + a0 = Khi đó, ta dạng phân số liên phân số [a0, a1, a2, …, an] Baøi taäp Baøi 21 Bieát: 15 = 17 + , a, b laø caùc soá döông, haõy tìm a, b b Bài 22 Tính và viết kết dạng phân số: 1) A = + 2+ 2+ 2+ 2+ Bài 23 Tính và viết kết dạng phân số: 20 1) A = 2+ 3+ 4+ a+ Bài 24 Tìm các số tự nhiên a, b biết rằng: 2) B = + 2) B = 329 = 1051 3+ 5+ 1 b Baøi 25 Laäp quy trình tính giaù trò lieân phaân soá M = [3, 17, 15, 1, 292] Trang Lop12.net a+ 3+ 3+ 3+ 5+ 6+ 7+ (7) Baøi 26 Caùc soá: 2, 3, π có biểu diễn xấp xĩ dạng liên phân số sau: = [1,2,2,2,2,2]; = [1,1,2,1,2,1]; π = [3,17,15,1,292,1,1,1,2,1,3] Tính caùc lieân phaân soá treân §4 ĐA THỨC Dạng toán tính giá trị đa thức Để tính giá trị đa thức, biểu thức, ta sử dụng các biến A, B, … gán cho giá trị x, sau đó bấm đa thức, biểu thức theo A, B, … và bấm dấu = để tính Trường hợp, bài toán yêu cầu tính giá trị đa thức nhiều điểm x, ta bấm đa thức theo A, B, … sử dụng phím CALC, máy hỏi A, B, … ta nhập giá trị x ấn = * Baøi taäp: 3x − 2x + 3x − x + Baøi 27: Tính A = x = 1,8165 4x3 − x + 3x + Baøi 28 a) Tính giá trị biểu thức x4 + 5x3 − 3x2 + x − x = 1,35627 b) Tính P(x) = 17x5 − 5x4 + 8x3 +13x2 − 11x − 357 x = 2,18567 Dạng toán tìm số dư phép chia đa thức Chia đa thức P(x) cho đa thức ax + b ta P(x) = (ax + b)Q(x) + r, thay x = − b , ta a b r = P − Như bài toán tìm dư phép chia trở thành bài toán tìm giá trị đa thức a * Nhaän xeùt: − Để tìm số dư chia đa thức P(x) cho ax + b, ta tính giá trị đa thức P(x) giá trị nghieäm cuûa ax + b − Tìm số dư chia đa thức P(x) cho x − c là trường hợp đặc biệt bài toán trên a = 1, b = −c, luùc naøy r = P(c) *Baøi taäp: Baøi 29 Tìm dö pheùp chia: x14 − x − x + x + x + x − 723 x − 6,723x3 + 1,857x − 6,458x + 4,319 a) b) x − 1,624 x + 2,318 c) Cho P(x) = x + 5x − 4x + 3x − 50 Goïi r1 laø phaàn dö cuûa pheùp chia P(x) cho x − vaø r2 laø phaàn dö cuûa pheùp chia P(x) cho x − Tìm BCNN cuûa r1 vaø r2 Dạng toán xác định m để đa thức P(x) + m chia hết cho đa thức ax + b Vì P(x) + m = (ax + b)Q(x) + r + m nên để P(x) + m chia hết cho ax + b thì r + m = hay a m = − r = − P − là bài toán tìm giá trị biểu thức b * Chú ý: Cần lưu ý dấu m để tránh sai xót Trang Lop12.net (8) * Baøi taäp: Baøi 30 Xaùc ñònh tham soá: a) Tìm a để x4 + 7x3 +2x2 + 13x + a chia hết cho x + b) Cho P(x) = 3x3 + 17x − 625 ( ) b.1 Tính P 2 b.2 Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + Baøi 31 Tìm thöông vaø dö pheùp chia x7 − 2x5 − 3x4 + x − cho 2x + Bài 32: Cho đa thức P(x) = 6x3 − 7x2 − 16x + m a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + b) Với m tìm câu a, hãy tính số dư r chia P(x) cho 3x − c) Tìm m và n để Q(x) = 2x3 − 5x2 − 13x + n và P(x) cùng chia hết cho (x − 2) d) Với n tìm trên, hãy phân tích Q(x) tích các thừa số bậc Bài 33: Cho đa thức P(x) = x4 + 5x3 − 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 − 3x2 + 2x + n Tìm m, n để P(x) vaø Q(x) chia heát cho x − Dạng toán tìm đa thức thương Dạng toán này thường không yêu cầu tìm số dư và tìm thương phép chia Ta sử dụng sơ đồ Horner để chia đa thức Giả sử f(x) = a0xn + a1xn−1 + … + an−1x + an là đa thức bậc n, chia cho đa thức x − c thương là q(x) = b0xn−1 + b1xn−2 + … + bn−2x + bn−1 và số dư r Tức là: a0xn + a1xn−1 + … + an−1x + an = (x − c)( b0xn−1 + b1xn−2 + … + bn−2x + bn−1) + r Khi đó, các bi tính theo bảng sau: Heä soá f(x) c a0 + a1 a2 a3 … an-1 an b0 = a0 b1 = b0.c + a1 b2 = b1.c + a2 b3 = b2.c + a3 bn−1 = bn−2.c + an−1 r= bn−1.c + an × * Nhận xét: Chia đa thức sơ đồ Horner, ta tìm số dư đa thức f(x) chia cho x − c Trường hợp chia f(x) cho đa thức ax + b, ta làm sau: Heä soá f(x) a0 a Chia heä soá a′0 = cuûa f(x) cho a a − b a b0 = a′0 a1 a2 … an-1 an a1 a2 an −1 a a1′ = a′2 = a′n −1 = a′n = n a a a a b b b b b1 = b0 − + a1′ b2 = b1 − + a′2 bn−1 = bn−2 − + a′n −1 r = bn−1 − + a′n a a a a * Baøi taâp: Bài 34 Tìm đa thức thương và số dư các phép chia sau: a) f(x) = x5 − 2x4 + x3 − 2x2 + x − cho x − b) f(x) = x4 + 2x3 − 3x2 − 4x + cho x + c) f(x) = x5 cho x − d) f(x) = x4 − 8x3 + 24x2 − 50x + 11 cho 3x − Trang Lop12.net (9) Bài 35 Xác định giá trị a để f(x) chia hết cho g(x), tìm thương và số dư trường hợp sau: a) f(x) = x3 − (2a + 1)x2 + x + a2 − 4; g(x) = x − 2 b) f(x) = x4 − (a − 1)x3 + (a + 1)x2 − 3x − 7; g(x) = 3x − c) f(x) = x3 − 6x2 + (2a + 1) − a − 7; g(x) = x − d) f(x) = x4 − (a − 4)x3 − 8x2 + (a + 7)x + 6; g(x) = x − Bài tập tổng hợp Baøi 36 a) Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f Bieát P(1) = 3, P(2) = 6, P(3) = 11, P(4) = 18, P(5) = 27 Tính P(6), P(7), P(8), P(9) b) Cho Q(x) = mx3 + nx2 + px + q Bieát Q(1) = 5, Q(2) = 7, Q(3) = 9, Q(4) = 11 Tính caùc giaù trò Q(10), Q(11), Q(12), Q(13) c) Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f Bieát P(1) = −1, P(2) = 21, P(3) = 79, P(4) = 191, P(5) = 375 Tính P(6), P(7), P(8), P(9) Baøi 37 a) Cho P(x) = x5 + 2x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + m a.1 Tìm soá dö chia P(x) cho x − 2,5 m = 2008 a.2 Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x − 2,5 a.3 P(x) coù nghieäm laø Tìm m ? b) Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f Bieát P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51 Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11) 1 1 89 Baøi 38: Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c Bieát f = Tính giá trị đúng ;f − = − ;f = 500 108 2 và gần đúng f 3 Baøi 39 Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Bieát P(0) = 12, P(1) = 12, P(2) = 0, P(4) = 60 a) Xaùc ñònh caùc heä soá a, b, c cuûa P(x) b) Tính P(2009) c) Tìm soá dö pheùp chia P(x) cho 5x − Bài 40 Cho đa thức f(x) = x3 + ax2 + bx + c a) Tìm caùc heä soá a, b, c bieát f(1) = 1996, f(2) = 1999, f(3) = 1990 b) Tìm soá dö r chia f(x) cho x − c) Tìm x, bieát f(x) = 1930 Trang Lop12.net (10) §5 DAÕY SOÁ TRUY HOÀI I Ñònh nghóa Dãy số truy hồi là dãy số, đó các số hạng phía sau tính dựa vào các số hạng đứng trước Có nhiều loại dãy truy hồi, chủ yếu ta thường gặp dạng sau: + Truy hồi bậc I: Tức là số hạng phía sau tính dựa vào số hạng phía trước + Truy hồi bậc II: Tức là số hạng phía sau tính dựa vào hai số hạng phía trước + Truy hồi bậc III: Tức là số hạng phía sau tính dựa vào ba số hạng phía trước II Phöông phaùp tính Daõy truy hoài baäc I Dạng tổng quát: u1 = a, un+1 = f(un) với f(un) là hàm số với biến un Để tính số hạng thứ n + (un+1), ta sử dụng biến Ans và lập lại phím f(un), ta coù quy trình baám phím cuï theå = Tuøy theo haøm * Baøi taäp: Baøi 41 Cho daõy soá: a0 = 1, an +1 = a2n + an + − an , với n = 0, 1, 2, … a) Laäp quy trình baám phím tính an+1 treân maùy tính caàm tay b) Tính a1, a2, a3, a4, a5, a10 vaø a15 + an Baøi 42 Cho daõy soá a0 = 1, an +1 = , với n = 1, 2, 3, … + an a) Laäp quy trình baám phím tính an+1 treân maùy tính caàm tay b) Tính a5, a6, a7, a18, a19, a20 vaø a2009 un-1 Daõy truy hoài baäc II Dạng tổng quát: u1 = a, u2 = b, un+1 = f(un, un-1) với f(un, un-1) là hàm số với hai biến un, a) Daõy Fibonaci: − Toång quaùt: u1 = 1, u2 = 1, un+1 = un + un−−1 Áp dụng công thức trên, ta tính dãy sau: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … dãy này, ta có công thức tính số hạng thứ n sau: n n 1+ 1− un = − − Nếu đề yêu cầu tính số hạng thứ n, ta việc áp dụng công thức trên − Nếu đề yêu cầu lập quy trình phím bấm để tính liên tục, áp dụng các quy trình sau: + Quy trình 1: Shift Sto A Shift Sto B + A n p h a A Shift Sto A + A np B Shift Sto B ∆ Shift C o p y Laëp laïi phím = , ta các un + Quy trình 2: Trang 10 Lop12.net (11) Shift Shift Shift Anpha Sto A (Biến đếm) Sto B Sto C A Anpha = Anpha A + Anpha : Anpha D Anpha = Anpha B + Anpha C Anpha : Anpha B = Anpha C Anpha : Anpha C = Anpha D Lặp lại phím = , với giá trị A, ta giá trị D tương ứng là uA − Nhận xét: Quy trình dễ hiểu thực dễ bị lộn các ui Quy trình khó hiểu dễ dàng xác định ta tính u thứ b) Daõy Luca: − Tổng quát: u1 = a, u2 = b, un+1 = un + un−−1 với a, b là hai số nguyên bất kì Daõy naøy laø daïng toång quaùt cuûa daõy Fibonaci − Dãy này không có công thức tổng quát, để tính un+1, ta lập quy trình bấm phím + Quy trình 1: a Shift Sto A b Shift Sto B + Anpha A Shift Sto A + Anpha B Shift Sto B ∆ Shift Copy Laëp laïi phím = , ta các un + Quy trình 2: (Biến đếm) Shift Sto A a Shift Sto B b Shift Sto C Anpha A Anpha = Anpha A + Anpha : Anpha D Anpha Anpha : Anpha B = Anpha C Anpha : Anpha C = Anpha D Laëp laïi phím = Anpha B + Anpha C = , với giá trị A, ta giá trị D tương ứng là uA c) Daõy Luca suy roäng: − Tổng quát: u1 = a, u2 = b, un+1 = K.un + L.un−−1 với a, b, K, L là các số nguyên bất kì − Dãy này không có công thức tổng quát chung, để tính un+1, ta lập quy trình bấm phím + Quy trình 1: a Shift Sto A b Shift Sto B × K + L × Anpha A Shift Sto A × L + Anpha B × K Shift Sto B ∆ Shift Copy Laëp laïi phím = , ta các un Trang 11 Lop12.net (12) + Quy trình 2: Shift a Shift b Shift Anpha Sto A (Biến đếm) Sto B Sto C A Anpha = Anpha A + Anpha : Anpha D Anpha = L × Anpha B + K × Anpha C Anpha : Anpha B = Anpha C Anpha : Anpha C = Anpha D Lặp lại phím = , với giá trị A, ta giá trị D tương ứng là uA d) Daõy truy hoài daïng : u1 = a, u2 = b, un+1 = K.un + L.un−−1 + f(n) Daõy naøy gioáng daõy Luca suy roäng, nhöng coù theâm phaàn phuï laø f(n), quy trình baám phím, ta bổ sung hàm tính f(n) (lúc này n chính là A − quy trình 2) phần tính D e) Daõy phi tuyeán tính daïng: u1 = a, u2 = b, un+1 = F1(un) + F2(un−−1) Dãy này lặp phím quy trình (Dãy Luca suy rộng) thì nhiều thời gian để lặp các hàm F1, F2 Để tính nhanh hơn, ta dùng quy trình 2, phần tính D, ta bấm hai hàm F1, F2 để tính F1(un), F2(un−1) f) Daõy phi tuyeán tính daïng: u1 = a, u2 = b, u n+1 = u 2n + u 2n-1 Quy trình baám phím: + Quy trình 1: a Shift Sto A b Shift Sto B × Anpha B + Anpha A × Anpha A Shift Sto A × Anpha A + Anpha B × Anpha B Shift Sto B ∆ Shift Copy Laëp laïi phím = , ta các un + Quy trình 2: Shift a Shift b Shift Anpha Sto A (Biến đếm) Sto B Sto C A Anpha = Anpha A + Anpha : Anpha D Anpha = Anpha B × Anpha B + Anpha C × Anpha C Anpha : Anpha B = Anpha C Anpha : Anpha C = Anpha D Lặp lại phím = , với giá trị A, ta giá trị D tương ứng là uA * Baøi taäp: Bài 43.Cho dãy số u1 = 2, u2 = 3; un+1 = 3un + 2un−1 + với n ≥ a) Laäp quy trình baám phím tính un+1 treân maùy tính caàm tay b) Tính u3, u4, u5, u10, u15 vaø u19 Baøi 44 Cho daõy soá u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un−1 (n = 2, 3, …) a) Hãy lập quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị un+1 với n ≥ Trang 12 Lop12.net (13) b) Sử dụng quy trình đó tính giá trị u13 và u17 Baøi 45 Cho daõy soá u1 = 144, u2 = 233, un+1 = un + un−1 a) Hãy lập quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị un+1 b) Tính u12, u37, u38, u39 c) Tính chính xác các tỉ số với chữ số thập phân các tỉ số sau: u u3 u u ; ; ; u1 u2 u3 u5 Baøi 46 Cho daõy u1 = 2, u2 = 20, un+1 = 2un + un−1 a) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính un b) Tính u3, u4, u5, u6, u7, u22, u23, u24, u25 (2 + ) − (2 − ) = n Baøi 47 Cho daõy soá: un n a) Tính số hạng đầu tiên dãy b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un−1 c) Laäp moät quy trình tính un Baøi 48 Cho daõy soá: un = ( 3+ ) ( n − 3− ) n a) Tính số hạng đầu tiên dãy b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un−1 c) Laäp moät quy trình tính un Baøi 49 Cho daõy soá: un (2 + ) − (2 − ) = Baøi 50 Cho daõy soá un (5 + ) + (5 − ) = n n 2 a) Tính số hạng đầu tiên dãy b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un−1 c) Laäp moät quy trình tính un n n , với n là số tự nhiên a) Tính u1, u2, u3, u4, u5 b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un−1 c) Laäp moät quy trình tính un n Baøi 51 Cho daõy soá: un ( −1 + ) − ( −1 − ) = n Baøi 52 Cho daõy soá: un (10 + ) − (10 − ) = n a) Tính số hạng đầu tiên dãy b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un−1 c) Laäp moät quy trình tính un n a) Tính số hạng đầu tiên dãy b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un−1 c) Laäp moät quy trình tính un Trang 13 Lop12.net (14) Daõy truy hoài baäc III Dạng u1 = a, u2 = b, u3 = c, un+2 = f(un−1, un, un+1) Trong đó, hàm f(un−1, un, un+1) làm haøm soá cuûa un−1, un, un+1 a) Daõy truy hoài daïng: u1 = a, u2 = b, u3 = c, un+2 = K.un+1 + L.un + M.un−−1 Quy trình baám phím: + Quy trình 1: a Shift Sto A b Shift Sto B c Shift Sto C × K + Anpha B × L + Anpha A × M Shift Sto A × K + Anpha C × L + Anpha B × M Shift Sto B × K + Anpha A × L + Anpha C × M Shift Sto C ∆ ∆ Shift Copy Laëp laïi phím = , ta các un + Quy trình 2: Shift a Shift b Shift Anpha Sto A (Biến đếm) Sto B Sto C; c Shift Sto D A Anpha = Anpha A + Anpha : Anpha E Anpha = K × Anpha D + L × Anpha C + M × Anpha B Anpha : Anpha B = Anpha C Anpha : Anpha C = Anpha D Anpha : Anpha D = Anpha E Lặp lại phím = , với giá trị A, ta giá trị E tương ứng là uA b) Daõy truy hoài daïng: u1 = a, u2 = b, u3 = c, un+2 = K.un+1 + L.un + M.un−−1 + f(n) Quy trình bấm phím tương tự dạng a (quy trình 2), phần tính E, ta thêm haøm tính f(n) (n chính laø A) * Baøi taäp: Baøi 53 Cho daõy u1 = 1, u2 = 3, u3 = 11, un+2 = 2un+1 − un + 3un−1 + n2 − a) Laäp quy trình phím baám tính un+2 b) Tính số hạng đầu dãy Trang 14 Lop12.net (15) §6 TOÁN TĂNG TRƯỞNG, PHẦN TRĂM −−− Bài 54 Hiện dân số Quốc gia Q là a người, tỉ lệ tăng dân số là m% trên năm a) Hãy xây dựng công thức tính số dân quốc gia Q đến hết năm thứ n b) Dân số nước ta tính đến năm 2001 là 76,3 triệu người Hỏi dân số nước ta đến 2010 là bao nhieâu neáu tæ leä taêng daân soá laø 1,2% treân naêm c) Đến năm 2020 dân số nước ta khoảng 100 triệu người, hỏi tỉ lệ tăng dân số trung bình naêm laø bao nhieâu ? GIAÛI a) Xây dựng công thức tính số dân đến năm thứ n: Hết năm thứ … Daân soá a + a.m% = a(1 + m%) a(1 + m%) + a(1 + m%).m% = a(1 + m%)2 a(1 + m%)2 + a(1 + m%)2.m% = a(1 + m%)3 … … n a(1 + m%)n−1 + a(1 + m%)n−1.m% = a(1 + m%)n Goïi An laø daân soá sau n naêm thì ta coù: An = a(1 + m%)n b) Từ 2001 đến 2010 là năm, ta có: 1,2 A9 = a(1 + m%) = 76,3 + = 84,947216 (triệu người) 100 c) Từ 2001 đến 2020 là 19 năm, ta có: A 100.106 − 1 100 ≈ 1,4% A19 = 76,3.(1 + m%)19 ⇒ m% = 19 19 − 1 100 = 19 76,3 76,3.10 Bài 55 Dân số nước năm 1976 là 55 triệu người Với mức tăng dân số là 2,2% trên năm thì dân số nước đó sau 10 là bao nhiêu ? Bài 56 Dân số nước là 65 triệu người, mức tăng dân số là 1,2% a) Viết công thức tính dân số sau n năm b) Vieát quy trình baám phím vaø tính daân soá sau 20 naêm c) Dân số nước sau k năm vượt 100 triệu Tìm số k bé Bài 57 Một người sử dụng xe có giá trị ban đầu là 10 triệu Sau năm, giá trị xe giảm 10% hoûi sau naêm giaù trò xe coøn bao nhieâu ? Bài 58 Dân số Việt Nam năm 2008 là 83 triệu người, mức tăng dân số năm là 1,2% a) Viết công thức tính dân số sau n năm b) Vieát quy trình baám phím vaø tính daân soá sau naêm 2020 Bài 59 Một số tiền 58000 đồng gởi tiết kiệm theo lãi suất kép (mỗi tháng tiền lãi cộng vào tiền gốc thành vốn) Sau 25 tháng vốn lẫn lãi là 84155 đồng Tính lãi suất Bài 60 Một người gửi tiết kiệm 1000 USD vào ngân hàng với lãi suất 5%/ năm Hỏi người đó nhận tiền ít hay nhiều ngân hàng trả lãi % / thaùng ? 12 Trang 15 Lop12.net (16) Bài 61 Một người hàng tháng gởi vào ngân hàng số tiền t với lãi suất m%/ tháng a) Lập công thức tính số tiền người đó nhận (cả gốc lẫn lãi) sau n tháng b) Áp dụng tính với t = triệu (đồng), m = 0,35%/ tháng, n = 24 tháng c) Nếu người đó muốn sau 24 tháng nhận số tiền khoảng 30 triệu thì người đó phải gửi bao nhiêu tiền với lãi suất trên ? GIAÛI a) Lập công thức tính số tiền có được: Giả sử đầu tháng gửi t (đồng), cuối tháng số tiền là t + t.m% = t(1 + m%) Vì tháng, người đó gửi vào t đồng nên đầu tháng thứ 2, số tiền gốc người đó t laø t + t(1 + m%) = t[(1 + m%) + 1] = [(1+ m%)2 − 1] m% t [(1+ m%)2 − 1](1 + m%) Cuối tháng thứ số tiền là T2 = m% t Cuối tháng thứ n, số tiền gốc lẫn lãi là Tn = [(1+ m%)n − 1](1 + m%) m% b) Với t = triệu, m = 0,35%, n = 24 tháng, ta có: 24 0,35 1.100 0,35 T24 = + − 1 + = 25,078725 (trieäu) 0,35 100 100 c) Từ công thức trên ta có: t = Tn m% [(1 + m%)2 − 1](1 + m%) Áp dụng với T24 = 30 triệu, m = 24 tháng, n = 0,35%/ thaùng, ta coù: t= 30.0,35 = 1,196233 (trieäu) 0,35 24 0,35 100 + − 1 + 100 100 Bài 62 Một người muốn sau năm phải có 20000 đôla Hỏi phải gởi khoảng tiền (như nhau) haøng thaùng laø bao nhieâu, bieát raèng laõi suaát tieát kieäm laø 0,27%/ thaùng ? Neáu tính theo Vieät Nam đồng thì người đó phải gởi tháng là bao nhiêu, biết 100 đôla 1489500 đồng ? Bài 63 Một người vào bưu điện để gởi tiền cho người thân, túi có triệu đồng Chi phí dịch vụ 0,9% số tiền gởi Hỏi người thân nhận bao nhiêu tiền ? Trang 16 Lop12.net (17) §7 PHÉP THỬ − Đây là dạng đề kết hợp suy luận toán học với tính toán trên máy − Có bài toán đòi hỏi không nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết chia hết, đồng dư, …) và sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà quá trình giải còn đòi hỏi xét loại trừ nhiều trường hợp Không dùng máy tính thì tốc độ làm bài lâu Máy tính đẩy nhanh tốc độ làm bài − Mặt khác, nhóm các bài toán này khác nhau, không có phương pháp chung để giải Để giải các bài toán này, ta phải thử các giá trị tìm quy luật kết Bài 64 Tìm tất các số tự nhiên n (1010 ≤ n ≤ 2010) cho an = 20203 + 21n là số tự nhieân GIAÛI Dùng máy, thay n = 1010 ta an = 203,5018427; thay n = 2010 ta an = 249,8259394 ⇒ 203 < an ≤ 249 a2 − 20203 Maët khaùc, n = n 21 Laäp quy trình sau: 203 Shift Sto A Anpha (Anpha A x2 − 20203)÷21 Anpha :Anpha = Anpha A + Lặp lại dấu =, khoảng A = 203 đến 249 (43 số), biểu thức (Anpha A x2 − 20203)÷21 nhận giá trị nguyên thì đó là các n cần tìm Ta được: n 1118 1158 1301 1406 1557 1601 1758 1873 an 209 211 218 223 230 232 239 244 Bài 65 Tìm số tự nhiên n (1000 ≤ n ≤ 2000) cho an = 57121 + 35n là số tự nhiên Bài 66 Tìm các chữ số a, b, c, d để ta có: a5 × bcd = 7850 24 Bài 67 Hãy tìm chữ số cuối cùng số 22 + (Số Fecmat thứ 24) Baøi 68 Tìm moät caëp soá nguyeân döông (x, y) cho: x2 = 37y2 + Bài 69 Tìm nghiệm gần đúng phương trình: x7 + x − = Bài 70 Tìm ước nguyên tố nhỏ số 2152 + 3142 Bài 71 Tìm số lớn và số nhỏ các số tự nhiên có dạng 1x2y3z4 chia hết cho Baøi 72 Cho x1000 + y1000 = 6,912; x2000 + y2000 = 33,76244 Tính x3000 + y3000 Bài 73 Tính 17320508082, từ đó tìm 16 chữ số sau dấu phẩy Trang 17 Lop12.net (18)