Đang tải... (xem toàn văn)
Theo chương trình nâng cao Câu VI.b 2 điểm: 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A2; 7 và đường thẳng AB cắt trục Oy tại E sao cho.. Viết phương trình cạnh BC.[r]
(1)TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP HÀ NỘI Đề số 19 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x + m2 x + (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Chứng minh đường thẳng y = x + luôn cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt với giá trị m Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình: 2) Giải hệ phương trình: æ pö 2sin ç x - ÷ = sin x - tan x è 4ø log3 ( x – ) + log3 ( x + 2)2 - log3 ( x – 2)2 = Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I= p ò sin x cos x + sin x dx Câu IV (1 điểm): Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a Trên đường thẳng d qua A và vuông góc mặt phẳng (ABC) lấy điểm S cho mp(SBC) tạo với mp(ABC) góc 600 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Câu V (1 điểm): Tìm giá trị nhỏ hàm số: f ( x ) = x - x3 + x2 - 8x + x2 - x + II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E) có tiêu điểm thứ là (- 3; ) và qua điểm æ 33 ö M ç 1; ÷ Hãy xác định tọa độ các đỉnh (E) è ø ìx = - t ï 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) và đường thẳng d: í y = + 2t Hãy tìm trên đường ïîz = thẳng d các điểm B và C cho tam giác ABC 2 2 n n -2 , đó n là số tự nhiên, n ≥ và Câu VII.a (1 điểm): Chứng minh: Cn + Cn + Cn + + n Cn = (n + n ).2 Cnk là số tổ hợp chập k n Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 7) và đường thẳng AB cắt trục Oy E cho uuur uuur æ 13 ö AE = EB Biết tam giác AEC cân A và có trọng tâm là G ç 2; ÷ Viết phương trình cạnh BC è 3ø 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x -1 y +1 z = = và mặt phẳng (P): 1 x + y - z + = Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ tiếp xúc với (P) và qua điểm A(1; –1; 1) Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: ìï x + y = y + 16 x í 2 ïî1 + y = 5(1 + x ) ============================ Trần Sĩ Tùng Lop12.net (2) Hướng dẫn: I PHẦN CHUNG Câu I: 2) Xét PT hoành độ giao điểm: x + m2 x + = x + Û x + m2 x - x = Û x ( x + m2 x - 1) = éx = Û ê ë g( x ) = x + 2m x - = (*) Ta có: g¢ ( x ) = x + 2m ³ (với x và m ) Þ Hàm số g(x) luôn đồng biến với giá trị m Mặt khác g(0) = –1 ¹ Do đó phương trình (*) có nghiệm khác Vậy đường thẳng y = x + luôn cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt với giá trị m Câu II: 1) Điều kiện: cos x ¹ Û x ¹ p + k.p (*) æ è pö ésin x = ÷ = 2sin x – tan x Û 1– sin x = tan x (sin x – 1) Û ê 2ø ë tan x = -1 é é p p ê x = + k 2p ê x = + k.p p p Ûê Ûê Û x = + k (Thỏa mãn điều kiện (*) ) ê x = - p + l.p ê x = - p + l.p ë ë 4 ìï x - > ïì x - > éx > 2) Điều kiện: í (**) Û Ûê í 2 ë x £ -3 ïî( x + 2) ³ îïlog3 ( x + 2) ³ PT Û 1– cos ç x - PT Û log3 ( x – ) + log3 ( x + 2) - log3 ( x – 2) = Û log3 ( x + 2)2 + log3 ( x + 2)2 - = Û ( log3 ( x + 2)2 + )( ) log3 ( x + 2)2 - = Û log3 ( x + 2)2 = Û ( x + 2)2 = Û x = -2 ± Kiểm tra điều kiện (**) có x = -2 - thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm là: x = -2 - Câu III: Đặt t = + sin x = I= p ò sin x cos x + sin x .dx = sin x cos x - cos2 x Ta có: cos2 x = – t2 và dt = p sin x.cos x ò cos2 x + sin x dx = 15 ò dt 4-t = + sin x dx 15 æ ò t+2 1 ö ç ÷dt = ln t-2 èt+2 t-2ø 15 1æ 15 + 3+2 ö ç ln ÷= - ln ln ( 15 + ) - ln ( + ) ÷ 4ç 15 - -2 ø è Câu IV: Ta có SA ^ (ABC) Þ SA ^ AB; SA ^ AC Tam giác ABC vuông cân cạnh huyền AB Þ BC ^ AC Þ BC ^ SC Hai điểm A,C cùng nhìn đoạn SB góc ( = ) vuông nên mặt cầu đường kính SB qua A,C Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC chính là mặt cầu đường kính SB Ta có CA = CB = AB sin 450 = a 2;· SCA = 60 là góc mp(SBC) và mp(ABC) SA = AC.tan600 = a Từ đó SB2 = SA2 + AB = 10a2 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là: S = p d = p SB2 = 10p a2 Câu V: Tập xác định: D = R Ta có: f ( x ) = x - x + + x - 2x + ³ ( BĐT Cô–si) Dấu "=" xảy Û x – x + = Û x = Vậy: f(x) = đạt x = II PHẦN TỰ CHỌN Theo chương trình chuẩn ( ) Câu VI.a: 1) Ta có F1 - 3; , F2 ( 3; ) là hai tiêu điểm (E) Trần Sĩ Tùng Lop12.net (3) (1 + ) Theo định nghĩa (E) suy : 2a = MF1 + MF2 = Þ a = Mặt khác: c = 2 æ 33 ö +ç ÷ + è ø (1 - ) 2 æ 33 ö +ç ÷ = 10 è ø và a2 – b2 = c2 Þ b2 = a2 - c2 = 22 Vậy tọa độ các đỉnh (E) là: A1( –5; 0) ; A2( 5; 0) ; B1( 0; – 22 ) ; B2 ( 0; r 2) d có VTCP ud = (-1;2; 0) Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên d 22 ) uuuur Giả sử H (1 – t; + 2t;3 ) Þ AH = (1 - t;1 + 2t;0 ) uuur r æ6 ö Mà AH ^ d nên AH ^ ud Þ - (1 - t ) + (1 + t ) = Û t = - Þ H ç ; ;3 ÷ Þ AH = 5 è5 ø Mà DABC nên BC = AH = 15 hay BH = 15 æ ö æ2 ö 15 -1 ± Giả sử B(1 - s;2 + s;3) thì ç - - s ÷ + ç + s ÷ = Û 25s2 + 10 s – = Û s = è ø è5 ø 25 æ 6- 8+2 ö æ 6+ 8-2 ö Vậy: B ç ; ;3 ÷ và C ç ; ;3 ÷ è 5 ø è 5 ø æ 6+ 8-2 ö æ 6- 8+2 ö B ç ; ;3 ÷ và C ç ; ;3 ÷ è 5 ø è 5 ø n 2 3 n n Câu VII.a: Xét khai triển: (1 + x ) = Cn + xCn + x Cn + x Cn + + x Cn n-1 = C1n + xCn2 + x 2Cn3 + + nx n-1Cnn Lấy đạo hàm vế ta được: n(1 + x ) Nhân vế cho x, lấy đạo hàm lần nữa, ta được: n éë(1 + x )n-1 + x(n - 1)(1 + x )n-2 ùû = 12 C1n + 2 xCn2 + 32 x 2Cn3 + + n2 x n-1Cnn Cho x = ta đpcm Theo chương trình nâng cao uuur uuur AM Þ M(2; 3) Đường thẳng EC qua M và có VTPT uuur æ uuur uuur 8ö AG = ç 0; - ÷ nên có PT: y = Þ E(0; 3) Þ C(4; 3) Mà AE = EB nên B(–1; 1) è 3ø Þ Phương trình BC: x - 5y + = Câu VI.b: 1) Gọi M là trung điểm BC Ta có AG = 2) Gọi I là tâm (S) I Î d Þ I (1 + 3t; -1 + t; t ) Bán kính R = IA = 11t - 2t + ét = Þ R = 5t + = R Û 37t - 24t = Û ê 24 Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên: d (I ,( P)) = 77 ÞR= êt = 37 ë 37 Vì (S) có bán kính nhỏ nên chọn t = 0, R = Suy I(1; –1; 0) Vậy phương trình mặt cầu (S): ( x - 1)2 + ( y + 1)2 + z2 = ìï x + y = y3 + 16 x 2 ïî1 + y = 5(1 + x ) Câu VII.b: í (1) (2) ( ) Từ (2) suy y – x = (3) Thế vào (1) được: x + y – x y = y3 + 16 x Û x – x y –16 x = Û x = x – xy –16 = · Với x = Þ y = Û y = ±2 x - 16 · Với x – xy –16 = Û y = (4) Thế vào (3) được: 5x Trần Sĩ Tùng Lop12.net æ x - 16 ö ç ÷ - 5x = è 5x ø (4) é x = ( y = -3) Û x – 32 x + 256 –125 x = 100 x Û 124 x + 132 x – 256 = Û x = Û ê ë x = -1 ( y = 3) Vậy hệ có nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3) ===================== Trần Sĩ Tùng Lop12.net (5)