Bài tập Con lắc đơn

Treo con lắc ở trần 1 chiếc xe rồi cho xe chuyển động nhanh dần đều trên đường ngang thì dây treo hợp với phương thẳng đứng 1 góc 0 = 90 a Hãy giải thích hiện tượng và tính gia tốc a củ[r]

con lắc đơn Bµi 1: Hai lắc đơn chiều dài l1, l2 (l1>l2) và có chu kì dao động tương ứng là T1; T2, nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8m/s2 Biết rằng, nơi đó, lắc có chiều dài l1 + l2 , chu kì dao động 1,8s và lắc đơn có chiều dài l1 - l2 có chu kì dao động 0,9 (s) Tính T1, T2, l1, l2 Lêi gi¶i + Con l¾c chiÒu dµi l1 cã chu k× T1=  l1 + Co l¾c chiÒu dµi l2cã chu k× T2=  l + Con l¾c chiÒu dµi l1 + l2 cã chu k× T3= 2  l1 + l2 = (T ' )2 g 4  (0,8)2 10 4  l1 - l2 = Tõ (3) (4) 4  (0,9)2 10 4 l2 = 0,3 (m) = 3cm T1= 2  l1= 0,51  1,42 (s) 10 Lop12.net 4 T22 4 .g (1) .g (2) l1  l g (3) l1  l g  0,2025 (m) = 20,25 cm l1= 0,51 (m) = 51cm Thay vµo (1) (2) g  l1=  0,81 (m) = 81 cm + Con l¾c cã chiÒu dµi l1 - l2cã chu k× T' = 2 (T ' )2 g g T12 (4) T2= 2 0,3  1,1 (s) 10 Bµi 2: Một lắc có chiều dài l, vật nặng khối lượng m, kéo lắc khỏi VTCB mét gãc 0 råi th¶ kh«ng vËn tèc ®Çu Lập BT vận tốc tương ứng với li độ góc  suy BT vận tốc cực đại Lập bt lực căng dây ứng với li độ góc  Suy tab t lực căng dây cực đại, cực tiểu * ¸p dông: l = 1m, m = 100g, 0 = 60 ; g = 10(m/s2);  2= 10 Lêi gi¶i BT vận tốc tương ứng với li độ  + Theo định luật bảo toàn năng, n¨ng cña l¾c t¹i VT li gi¸c bÊt k× b»ng thÕ n¨ng cña l¾c t¹i VT biªn mgh0 = mgh +  (mv2)  I h0 - h v2 = 2g (h0 - h)2 (v2 = 2gl (1 - cos) víi h0 = l(1 - cos) h = l(1 - cos)  v2 = 2gl (cos - cos0) Vậy độ lớn vt :  v  = V× cos = 1- 2sin2  2gl(cos   cos  ) 2 << cos =  Lop12.net  20 Tương tự cos 0 =  v= gl( 20   ) + Vận tốc cực đại  = 0, vật VTCB  vmax  =  gl + ¸p dông sè:  vmax =  10.1  0,33 (m/s) = 33cm/s 180 - BiÓu thøc lùc c¨ng d©y øng víi li gãc  + §Þnh luËt N F  P  T  ma Chiều lên phương dây treo Fth = -mg.cos +T = maht v2 v2 T = mgcos + m = m (gcos + ) l l v2 = 2gl (2- 2) ta ®­îc T = mg (3cos - cos0) = mg (20 -  + 1) + Lực căng dây cực đại  = 0, vật VTCB Tmax = mg (20+ 1) Thay sè     Tmax= 0,1 - 10    1,01 (N)   1   150   90 + Lùc c¨ng d©y cùc tiÓu  = 0 , vËt ë VT biªn Lop12.net Tmin = mg (1 -  0) Thay sè   6 2  Tmin = 0,1.10 1      0,99 (N)   150   Bµi 3: Một lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l treo vật nặng có khối lượng m Khi lắc đơn VTCB, người ta truyền cho vật nặng vận tốc ban đầu v0 lực cản coi dao động lắc là dao động nhỏ Lập bt tính vận tốc vật nặng và lực căng dây treo theo li độ góc  Xét trường hợp để vận tốc và lực căng đạt cực đại và cực tiểu Lêi gi¶i * Vận tốc tương ứng với li góc  + §Þnh luËt lt c¬ n¨ng: c¬ n¨ng cña l¾c VT li gi¸c  Bằng động lắc VTCB  1 mv  mgh  mv 20 2 I  v2 = v20 - 2gh T l h v2= v20- 2gl(1 - cos) v= l v 20  2gl(1  cos )  Khi gãc  << th× - cos = 2sin = 2 Lop12.net v0 P l v= v 20  2gl + Vận tốc cực đại  =   vmax  = v0 , vật VTCB Thay sè  vmax  = 1m/s + VËn tèc cùc tiÓu  = 0 v0 = 0 gk  vmin = * Lùc c¨ng d©y F  P  T  ma  = mgcos + T = maht v2 v2  T = mgcos + m = m(gcos + ) l l Thay v2 ë trªn  v2  T = mg    cos    gl     2 + Khi  nhá: cos = -2sin2 = - v 20 T = mg (    ) gl + Lực căng dây cực đại  = 0, lắc VTCB Tmax = mg + mv 20 l + Lùc c¨ng d©y cùc tiÓu  = 0(con l¾c ë VTCB) v0 = 0 gl  v 20 0= gl 2 Lop12.net v 20 v 20 v 20 Tmin= mg (   )  mg(1  ) gl gl 2gl ¸p dông 0,1.12 Tmax = 0,1.10 +  1,1( N ) 12 Tmin = 0,1 10 (1  ) = 0,95 (N) 2.10.1 Bµi 4: Một đồng hồ qủa lắc chạy đúng Hà Nội Đồng hồ chạy nhanh chËm thÕ nµo ®­a nã vµo TPHCM BiÕt gia tèc r¬i tù ë Hµ Néi vµ TPHCM là 9,7926 m/s2 9,7867 m/s2 Bỏ qua ảnh hưởng nhiệt độ Để đồng hồ đúng TPHCM thì phải đ/chỉnh độ cài lắc thÕ nµo? Lêi gi¶i + Chu kì lắc đồng hồ Hà Nội là T1=  l = (s) g1 + Chu kì dao động lắc đồng hồ TPHCM là T2 =  l g1 T1 g1 9,7926    1,0003 T2 g2 9,7867 T2= 1,0003T1 = 2,0006 (s) + Vì T2>T=1 nên TPHCM đồng hồ chạy chậm ngày, khoảng thời gian ch¹y chËm lµ: Lop12.net T T  26 (s) t = 24.60.60 T1 + Để đồng hồ TPHCM đúng thì chiều dài lắc phải dài là: l'  =  = (s) g2 T' l' l l ' g1   VT T1 =  = g2 g2 l g2 T' Thay sè:  l'= 1,0006 l Tại TPHCM đề đồng hồ đúng giờ, cần tăng chiều dài dây lên lượng là l = l'- l = 0,0006l VT l= g1 T12 42 nªn l = 0,0006 g1 T12 42 Thay sè l = 0,0006 9,7926 x 42  0,0006 (m) = 0,6 mm Bµi 5: Một lắc đơn gồm sợi dây có chiều dài l = 1(m) và cầu nhỏ khối lượng m = 100 (g), treo nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8 (m/s2) 1.Tính chu kỳ dao động nhỏ lắc Cho cầu mang điện tích dương q = 2,5.10-4 tạo đường trường có cường độ E = 1000 (v/m) Hãy xác định phương dây treo lắc CB và chu kì dao động nhỏ lắc các trường hợp a) Véctơ E hướng thẳng xuống b) Véctơ E có phương nằm ngang Lêi gi¶i Lop12.net - Chu kì dao động nhỏ lắc Lóc ®Çu T0 =  l = (s)  2.3,14 g 9,8 - Cho lắc tích điện dao động đtrường P  m g : Träng lùc + C¸c lùc t¸c dông vµo l¾c: T: lùc c¨ng cña d©y F d  q E : lực điện trường + Coi lắc dao động trường trọng lực hiệu dụng g' ' P  P  Ed = m g ' ' Khi CB dây treo lắc có phương P và chu kì dao động nhỏ tính theo c«ng thøc: T' =  g' a) E thẳng đứng xuống + g> nên F d cùng hướng với E , tức là  thẳng đứng xuống Vậy CB, dây trheo có phương thẳng đứng VTCB Ta cã: P' = P + F®  mg'= mg + qE  g'= g + qE m + Chu kì dao động nhỏ lắc Lop12.net T  g  P  Fd  E  T' =  g'  2 qE g m Thay sè T' = 2.3,14 = 1,8 (s) 2,5.10  4.10 3 9,8  0,1 b) Trường hợp E nằm ngang +) E d có phương  với P Khi CB, dây treo lệch góc  so với phương thẳng đứng, theo chiều lực điện trường Fd tg  =  P  tg  = qE mg 2,5.10  4.10  0,255 0,1.9,8   ~ 140 + Chu kì dao động lắc T'=   l g' + Tõ h×nh vÏ: P P' = Do đó: T P g  g'   g cos  cos  T’ =  l cos   T0 cos  g  T'= T0 cos   cos14  1,97 (s) Lop12.net Fd P ' Bµi 6: Một lắc đơn dao động với biên độ nhhỏ, chu kì là T0, nơi ga = 10m/s2 Treo lắc trần xe cho xe chuyển động nhanh dần trên đường ngang thì dây treo hợp với phương thẳng đứng góc 0 = 90 a) Hãy giải thích tượng và tính gia tốc a xe b) Cho lắc dao động với biên độ nhỏ, hãy tính chu kì T lắc theo T0 Lêi gi¶i a) Giải thích tượng: Trong HQC gắn với xe (HQC không quán tính), vật nặng lắc đơn phải chÞu lùc t¸c dông + Träng lùc P  mg a0  + Lùc c¨ng d©y T v0 + Lùc qu¸n tÝnh F  ma + P Khi l¾c ë VTCB F P ' P  T  Fq  F q ngược chiều với a nên ngược chiều với v Vậy lực F q làm cho dây treo lệnh góc  phía ngược với chiều chuyển động xe F ma a tg = at   P mg g <<  tg   a  g = 10  180 đó ~ 1,57 (m/s2) Lop12.net b) ThiÕt lËp hÖ thøc gi÷a T0 vµ T Do cã thªm lùc qu¸n tÝnh nªn coi träng lùc hiÖu dungc cña l¾c lµ ' P  P  F qt  mg ' (Coi lắc dao động trường gia tốc ghd = g') Tõ h×nh vÏ P'= P mg g   g'  g cos  cos  cos  Chu kì dao động lắc đó xác định theo công thức T =  l g' T0 =  L¹i cã  l g T g g cos     cos  T0 g g' VËy T = T0 cos  Bµi 7: Một lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l = 1m và vật nặng có khối lượng m = 0,5kg Lúc đầu kéo lắc lệch khỏi VTCB góc 0 = 60 thả nhẹ cho dao động Khi dao động lắc chịu tác dụng lực cản có độ lớn coi không đổi sau 100 dao động, li độ cực đại lắc là  = 30 coi chu kỳ dao động lắc không có lực cản CMR sau chu kì, li độ góc cực đại dao động giảm lượng không đổi Để trì dao động lắc cần phải dùng động nhỏ có ma s¸t tèi thiÓu lµ len (g = 10m/s2, 2 = 10) Lop12.net Lêi gi¶i Chứng minh li giác cực đại sau chu kì giảm lượng không đổi + Lúc đầu, li giác cực đại là 0 , lắc là: E0= mgh0= mgl(1 - cos) - cos = sin2  20  E0 = mgl 20 + Sau nửa chu kì đầu tiên vật đến VT biên có li giác cực đại là 1, l¾c lµ: E1= mgl 20 mgl (20 - 21)  E0- E1 = + Sau nửa chu nửa chu kì thứ 2, vật đến VT biên có li giác cực đại 2, cña l¾c lµ: E2=  E1- E2= mgl 22 mgl (21 - 22) Sau mçi chu k× c¬ n¨ng gi¶m E E = (E0- E1) + (E1- E2) = E = mgl (20 - 22) mgl (0 - 2)(0 + 2) = mgl0. + C«ng cña lùc c¶n: AC = (S0 + 2S1+ S2)Fc~ 7S0Rc ~40kFc  mgl0  = 40lFc Lop12.net   = Fc = const mg Vậy sau chu kì, biên độ giảm lượng không đổi (đpcm) Công suất động trì dao động lắc + CHu kì dao động lắc T =  l = (s)   g 10 + Độ giảm lượng N chu kì là E = 1 mgl 20 - mgl 2 = mgl (20 - 2) 2 E = 2 0,5.10 (6  32 )  2,08.10  (J) 2 180 + Công suất động là ΔE ΔE 2,08.10 12    = 1,04.10-5 W t N.T 100.2 Bµi 8: Tại nơi nang mực nước biển, nhiệt độ 100C, đồng hồ lắc ngày đêm chạy nhanh 6,48 (s) coi lắc đồng hồ lắc đơn treo lắc có hệ số nở dài  = 2.10-5 K-1 Tại VT nói trên thời gian nào thì đồng hồ chạy đúng Đưa đồng hồ lên đỉnh núi, đó t0 là 60C, ta thấy đồng hồ chạy đúng Giải thích tượng này và tính độ cao đỉnh núi so với mực nước biển Coi trái đất là hình cầu có bán kính R = 6400 km Lêi gi¶i Xác định nhiệt độ mà đồng hồ đúng Lop12.net Giả sử đồng hồ chạy đúng t0 C với chu kì T = 2 l (1  t ) l  2 g g ë t1 = 1000, chu k× lµ T1=  l (1  t ) g T  t   1   (t1- tx) T  t (VT t1 << 1; t1 << 1) + Theo biên độ: đồng hồ chạy nhanh  T1<T  t1 < t + §é l0t chu k× theo t0 T1 = T1 - T ~ T ( t  t ) Thời gian mà đồng hồ chạy sai ngày đêm là t = 24.60.60 ΔT1 T  43200.(t  t ) Theo biên độ t = 6,48 (s)  t ~ 17,50C - Khi đồng hồ trên đỉnh núi Chu kì lắc hoat động thay đổi + Nhiệt độ giảm làm chiều dài lắc giảm -> T giảm + Độ cao tăng dần tới gia tốc trọng trường giảm -> T tăng Hai nguyên nhân đó bù trừ lẫn -> đồng hồ chạy đúng độ cao h: gh = g( KÝ hiÖu: R ) Rh Th: Chu kì độ cao h th: t0ở độ cao h Lop12.net Độ biến thiên chu kì th theo độ cao chiều dài lắc không đổi (nếu coi t = th) Tn  T  th= th - T = T l¹i cã Tt = t h T (th- t) g h  1 gh R h R (t1: độ biến thiên theo nhiệt độ) Vì lắc đồng hồ chạy đúng nên  tt + th= T h ( t h  t )  T  R h= (t  t h ).R Thay sè ta ®­îc h = 0,736 km = 736 m Bµi 9: Một cầu A có kích thước nhỏ, khối lượng m = 500g, treo sợi dây mảnh, không dãn, chiều dài l = 1m VTCB không cầu cách mặt đất nằm ngang mét kho¶ng 0,8m §­a qu¶ cÇu khái VTCB cho sîi d©y lËp víi phương thẳng đứng góc 0 = 600 buông cho nó chuyển động không vận tốc ban đầu Bỏ qua lực cản môi trường (g = 10m/s2) TÝnh lùc c¨ng T A ë VTCB Nếu qua thì dây đứt thì mô tả chuyển động cầu và phương trình quỹ đạo chuyển động nó sau đó Xác định vận tốc cầu chạm đất và có vị trí chạm đất Lêi gi¶i Lùc c¨ng d©y Lop12.net §Þnh luËt b¶o toµn c¬ nang mgh + mv = mgh0  v2 = 2g(h0- h) = 2gl(cos - cos0) l m A §Þnh luËt N: F  P  T  ma G  v0 H  T = mgcos  = maht v2  T = m (gcos + ) l x M y áp dụng (1) với VT cầu từ A đến  v2o = 2gl(1 - cos0)   v0  = 10 m/s  T = m g + 2g (1 - cos0) = mg (3 - cos0) Thay sè: T = 0,5.10.(3 - 2cos600) = 10N Chuyển động cầu sau dây đứt + Khi đến VTCB, vận tốc cầu là v có phương nắm ngang + Nếu VT0 dây bị đứt thì chuyên động m sau dây đứt là chuyên động ném ngang + Chän hÖ trôc oxy nh­ h×nh vÏ ta ®­îc: qu¶ cÇu chuyªn déng theo phương 0x : chuyển động thẳng đều: x = v0t = 10t (1) phương oy: chuyển động thẳng nhanh dần đều, vận tốc đầu = y= Tõ (1) t= gt = 5t2 (2) x  thay vµo (2) y = x2 10 (x; y >0) Vậy quỹ đạo chuyển động vật là nhánh parabol Qủa cầu chạm đất M với yM = H = 0,8 cm Lop12.net Thay vào PT quỹ đạo: x - 1,3 (cm) §Þnh luËt b¶o toµn c¬ n¨ng: 1 mVM2  mH  mv 20 v2 m - v20 = 2gH 2  VM  = 10  2.10.0,8  26  5,1 (m/s) Bµi 10: Con lắc đơn gồm cầu khối lượng m1= 100g vµ sîi d©y kh«ng gi·n chiÒu dµi l = 1m Con l¾c lß xo gåm lß xo cã khèi lượng không đáng kể độ cứng k = 25 (N/m) và cầu khối lượng m2 = m1= m = 100g l k m2 m1 Tìm chu kì dao động riêng lắc Bè trÝ hai l¾c cho hÖ CB (h×nh vÏ) kÐo m1 lÖnh khái VTCB gãc  = 0,1 (Rad) råi bu«ng tay a) Tìm vận tốc cầu m1 trước lúc va chạm vào cầu (<<) b) Tìm vận tốc cầu m2 sau va chạm với m1và độ nén cực đại lß xo sau va ch¹m c) Tìm chu kì dao động hệ Coi va chạm là đàn hồi ** bỏ qua ma sát Lêi gi¶i Tìm chu kì dao động + Con lắc đơn: T1=  m 0,5  2  0,4 (s) k 25 + Con l¾c lß xo T2 =  m  2 2 g 10 a) VËn tèc m1 sau va ch¹m: Lop12.net m1gh = m1gl(1 - cos) = m1v20  2 gãc  nhá  - cos = 2sin2  V0=  gl  0,1 10 = 0,316 (m/s) b) Tìm vận tốc v2 m2 sau va chạm với m1 và độ nén cực đại lß xo sau va ch¹m + Gäi v1, v2lµ vËn tèc cña m1, m2 sau va ch¹m áp dụng định luật bảo toàn động lượng và định luật bảo toàn năng: m1v0 = m1.v1+ m2.v2 (1) m v2 = m v + m v2 1 2 2 (2) VT m1= m2 nªn tõ (1) (2) ta cã v0= v1+ v2 (3) v20 = v21 + v22 (4) Tõ (3) suy ra: v02 = (v1+ v2)2= v21 + v22 = 2v1v2 So s¸nh víi (4) suy ra: v1 = 0; v2 =v0 ~ 0,316 (m/s) + Như vậy, sau va chạm, cầu m1đứng yên, cầu m2 chuyển động với vận tốc vận tốc cầu m1 trước va chạm + Độ nén cực đại lò xo 1 kl2= m2v22 2  l = v2 m  0,316 0,1  0,02 (m) = (cm) k 25 c) Chu kì dao động T = 1 (T1 + T2) = (2 + 0,4) = 1,4 (s) 2 Lop12.net