Khi cÇn ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö, Chú ý: Nhiều khi phải đổi dấu mới áp dụng được chỉ được dùng riêng rẽ từng phương pháp hay hằng đẳng thức.. có thể dùng phối hợp các phươ[r]
(1)BAØI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Tìm x, biết: 8(x – 2) – 2(3x – 4) = Tìm hệ số x2 đa thức : Q = 5x( 3x2 – x + 2) – 2x2( x – 2) + 15(x – 1) A(B + C) = AB + AC B BÀI TẬP Bài 1: Tính : a./ (- 4xy)(2xy2 – 3x2y) b./ (- 5x)(3x3 + 7x2 – x) Rut gọn: A = x2(a – b) + b(1 – x) + x(bx + b) – ax(x + 1) B = x2(11x – 2) + x2(x – 1) – 3x(4x2 - x – 2) Tìm hệ số x3 và x2 đa thức sau: Q x x x 1 x x 2 x x 1 Bài 2: 1 1) Tính : a 3b ab a 3b 2 2) Rut gọn và tính giá trị biểu thức: 12 Q x x y y y x , cho x 4, y 5 3) Tìm x, biết : 2x3(2x – 3) – x2(4x2 – 6x + 2) = 4) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y: M = 3x(x – 5y) + (y – 5x)(- 3y) – 3(x2 – y2) – 5) Cho S = + x + x2 + x3 + x4 + x5.Cm : xS – S = x6 - Bài 3: Tính (3a3 – 4ab + 5c2)(- 5bc) Rút gọn và tính giá trị biểu thức: A = 4a2( 5a – 3b) – 5a2(4a + b),với a = -2,b = -3 Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x: B = x(x2 + x + 1) – x2( x + 1) – x +5 Tìm x,biết : x(x – 1) – x2 + 2x = 5 Tìm m,biết: ( x2 – x + 1)x – ( x + 1)x2 + m = - 2x2 + x + Bài 4: Rút gọn: 9y3 – y(1 – y + y2) – y2 + y Tìm hệ số x2 đa thức: Q 5 x a( x a) 3(a x ) 2ax 2ax 4(a 2ax ) Bài 5: BAØI 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN A B C D AC AD BC BD B BÀI TẬP Bài 1: Tính : ( 2a – b)(4a2 + 2ab + b2) Rút gọn và tính giá trị biểu thức: Tìm x, biết : (3x + 2)(x – 1) – 3(x + 1)(x – 2) = 4 Tìm hệ số x4 đa thức: P = ( x3 - 2x2 +x – 1)( 5x3 – x) Bài 2: Chứng minh: với a = - 3,5 giá trị biểu thức A a 39a 2 a (9a 1) – 29 Q x ( x 2) ( x 1)( x 3), cho x Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: Q 3 x 2 x 11 2 x 33 x Biết (x – 3)(2x2 + ax + b) = 2x3 – 8x2 + 9x – Tìm a,b Bài 3: Tính : a./ (2 + x)(2 – x)(4 + x2) b./ ( x2 – 2xy + 2y2)(x – y)(x + y) Tìm x,biết : x(x – 4) – ( x2 - 8) = Tìm m cho: 2x3 – 3x2 + x + m = (x + 2)(2x2 – 7x + 15) Bài 4: Rút gọn : A = ( 5x – 1)(x + 3) – ( x – 2)(5x – 4) B = (3a – 2b)( 9a2 + 6ab + 4b2) Chứng minh biểu thức : n( 2n – 3) – 2n( n + 2) luôn chia hết cho 7,với số nguyên n Biết : x4 – 3x +2 = ( x – 1)(x3 + bx2 + ax – 2) Tìm m, biết: – x2(x2 + x + 1) = - x4 – x3 – x2 + m Bài 5: Chứng minh : a = 10, b = -5 giá trị biểu thức : Tìm m,biết : x4 – x3 + 6x – x + m = (x2 – x + 5)(x2 A = a( 2b + 1) – b(2a – 1) + 1) Tìm x,biết: 10( 3x – 2) – 3(5x + 2) + 5( 11 – 4x) = Rút gọn : ( 2x – 1)(3x + 2)(3 – x) 25 Chứng minh: ( x – y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4) = x5 – y5 Tính : ( -a4x5)(- a6x + 2a3x2 – 11ax5) Tính biểu thức : A = mx( x – y) + y3(x + y) x = -1,y = Lop8.net (2) CMR: a + b + c = 2p thì b2 + c2 + 2bc – a2 = 4p(p – a) CMR a2 + b2 + c2 = ab +bc + ca thì a = b = c Tìm x,y biết : x2 + y2 – 2x + 4y + = BAØI 3+4+5: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Bài 6: Chứng minh : (a + b)3 – 3ab(a +b) = a3 + b3 Tính x3 + y3,biết x + y = và xy = Cho a + b = 1.Chứng minh : a3 + b3 = – 3ab Bài 7: Chứng minh : (a – b)3 + 3ab(a - b) = a3 + b3 Rút gọn: (x – 3)3 – (x + 3)3 Cho a - b = 1.Chứng minh : a3 - b3 = + 3ab Bài : KIẾN THỨC CƠ BẢN A B A2 AB B 2 A B A2 AB B 2 A2 B A B A B A B A3 A2 B AB B 3 A B A3 A2 B AB B 3 A B A B A AB B 3 2 A3 B A B A2 AB B B BÀI TẬP Bài 1: Chứng minh : ( a + b)2 – (a – b)2 = 4ab Rút gọn: ( a +2)2 – ( a + 2)(a – 2) Tìm x,biết : ( 2x + 3)2 – 4(x – 1)(x + 1) = 49 Tìm giá trị biểu thức: Q x 3 x 3( x 3) 2( x 2)( x 4), cho x 2 1 1 Rút gọn : a b a b 2 2 Tìm x,biết : x – 3x2 + 3x – = Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 4 x 1 4 x 316 x 3 Bài : Rút gọn biểu thức : (x + 5)3 – x3 – 125 Tìm x, biết : (x – 2)3 + 6(x + 1)2 - x3 + 12 = Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: x 1 x3 3x 3x Bài 2: Rút gọn biểu thức : A (4 x y )(2 x y )(2 x y ) Bài 10: Chứng minh: (7x + 1)2 – (x + 7)2 = 48(x2 – 1) Tìm x,biết : x3 + 6x2 + 12x +8 = Tìm x,biết : 16x2 - (4x – 5)2 = 15 Cho a +b +c = 0.Chứng minh : a3 + b3 + c3 = 3abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x2 + 2x + Chứng minh rằng: (a + 2)3 – (a +6)(a2 +12) + 64 = 0,với a Bài 3: Bài 11 : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc 1.Rút gọn biểu thức : vào m: A = (m – n)(m2 + mn + n2) - (m + n)(m2 - mn + A (2m 5) (2m 5) 40 n2) Chứng minh hiệu hai số nguyên liên tiếp 2.Chứng minh: (a – 1)(a – 2)(1 + a + a2)(4 + 2a + a2) = là số lẻ a6 – 9a3 + Rút gọn biểu thức : P = (3x +4)2 – 10x – (x – 4)(x Tìm x, biết : (x +2 )(x2 – 2x + 4) – x(x -3)(x + 3) = +4) 26 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = x2 – 4x +5 Bài 12 : Bài 4: Tính giá trị biểu thức: Chứng minh rằng: (x – y)2 – (x + y)2 = - 4xy A = x(x – 2)(x + 2) – (x – 3)(x2 + 3x +9),với Chứng minh: (7n – 2)2 – (2n – 7)2 luôn luôn chia x hết cho 9, với n là giá trị nguyên Tìm x,biết ( 4x + 1)(16x2 – 4x +1) – 16x(4x2 – 5) Tìm giá trị lớn biểu thức: Q = - x2 + 6x = 17 +1 Rút gọn : Q = (a2 – 1)(a2 – a +1)(a2 +a +1) Chứng minh (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + Bài 13: by)2 Tính giá trị biểu thức : thì ay – bx = Bài 5: Lop8.net (3) Q = (2x – 1)(4x2 + 2x +1) – 4x(2x2 – 3),với x = 2 Tìm x, biết : (x – 3)(x2 + 3x +9) – (3x – 17) = x3 – 12 Cho x + y = và xy = -1.Tính x3 + y3 Bài 14 : Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x A x 1x x 1 x 1x x 1 Tìm x,biết: 5x – (4 – 2x + x2)(x + 2) + x(x – 1)(x + 1) = Cho x + y = 1.Tính giá trị biểu thức:Q = 2(x3 + y3) – 3(x2 + y2) Bài 15 : Rút gọn biểu thức : A = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) Tìm x, biết: (4x2 + 2x + 1)(2x – 1) – 4x(2x2 – 3) = 23 Cho a – b = và ab = 6.Tính a3 – b3 Bài 16: Ruùt goïn: a) 2m5m 2m 33m 1 b) 2 x 8 x 3 4 x 1 c) 7 y 7 y 17 y 1 d) a a.a 3 Bài 17: CM các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, y: a) 2 x 52 x 5 2 x 3 12 x b) 2 y 1 y.2 y 3 y 2 y c) x 3 x x 20 x d) 2 y. y 3 y 1 y y y 1 Bài 18: Tìm x: a) 2 x 52 x x 3 16 b) x x x 22 c) 49 x 14 x d) x 1 x.x x Bài 19:Chứng minh biểu thức luôn dương: a) A= 16 x x c) C x x d) D x x 25 y 10 y Bài 20: Tìm Min Max các biểu thức sau: a) M x x b) N 10 y y Bài 21:Thu goïn: a) 2 1 2 32 64 b) 5 3 5 64 3 ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (Thùc hiÖn tiÕt) 364 128 128 A ThÕ nµo lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ? Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành tích đơn thức và đa thức khác Bµi to¸n Trong các cách biến đổi đa thức sau đây, cách nào là ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ?T¹i nh÷ng c¸ch biÕn đổi còn lại không phải là phân tích đa thức thành nhân tử ? 2x2 + 5x – = x(2x + 5) - (1) 2x2 + 5x – = x(2x + ) (2) x 2x2 + 5x – = 2(x2 + x ) (3) 2 2x2 + 5x – = (2x - 1)(x - 3) (4) 2x2 + 5x – = 2(x - )(x + 3) (5) B Những phương pháp nào thường dùng để phân tích ®a thøc thµnh nh©n tö? - Phương pháp đặt nhân tử chung - Phương pháp dùng đẳng thức - Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Một số phương pháp khác : - Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tö - Phương pháp thêm bớt cùng hạng tử - Phương pháp giảm dần luỹ thừa số hạng có bËc cao nhÊt - Phương pháp đặt ẩn phụ(đổi biến) - Phương pháp hệ số bất định - Phương pháp xét giá trị riêng - Phương pháp tìm nghiệm đa thức Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung b) B y y Lop8.net Nội dung phương pháp đặt nhân tử chung là gì ? Phương pháp này dựa trên tính (4) = (2x + chÊt nµo cña c¸c phÐp to¸n vÒ ®a thøc? Cã thÓ y)(4x y) nêu công thức đơn giản cho phương pháp VÝ dô nµy kh«ng ? a, (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 NÕu tÊt c¶ c¸c h¹ng tö cña ®a thøc cã mét nh©n tö HD: nhãm h¹ng tö ®Çu a3 + b3 chung thì đa thức đó biểu diễn thành tích = 3(x – z)(x- y)(z – y) nhân tử chung đó với đa thức khác +y2)3 + (z2- x2) – (y2 + z2)3 b, (x Phương pháp này dựa trên tính chất phân phối = 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x – z)(x + z) phép nhân phép cộng các đa thức c, a3 + b3 + c3 – 3abc C«ng thøc : AB + AC + … + AF = A(B + C +… + = (a + b)3 + c3 – 3ab(a +b + c) F) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) Phương pháp: Tìm nhân tử chung d, x3 + y3 – z3 + 3xyz - LÊy ¦CLN cña c¸c hÖ sè = (x + y)3 – z3 – 3xy( x + y – z) = - LÊy c¸c biÕn chung cã mËt tÊt c¶ c¸c h¹ng tö - §Æt nh©n tö chung ngoµi ngoÆc theo c«ng thøc Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử AB + AC + … + AF = A(B + C +… + F) Nội dung phương pháp nhóm nhiều Chó ý: h¹ng tö lµ g× ? - Phương pháp này áp dụng các hạng tử đa thức Nhóm nhiều hạng tử đa thức cách hợp lí để cã nh©n tö chung có thể đặt nhân tử chung dùng đẳng - Nhiều muốn có nhân tử chung ta phải đổi dấu các thức đáng nhớ sè h¹ng b»ng c¸ch ®a sè h¹ng vµo ngoÆc hoÆc Chó ý: đưa vào ngoặc đằng trước có dấu cộng trừ - Mét ®a thøc cã thÓ cã nhiÒu c¸ch nhãm VÝ dô Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Sau nhóm ta có thể áp dụng phương pháp đặt a) 3x2 + 12xy nhân tử chung, phương pháp dùng đẳng thức để xuất b) 5x(y + 1) - 2(y + 1) c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 - 3y) nhân tử chung đẳng thức Gi¶i VÝ dô Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 3x2 + 12xy = 3x(x + 4y) a) x2 - 2xy + 5x - 10y b) x(2x -3y) - 6y2 + 4xy c) 3 b) 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2) 8x + 4x - y - y c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 – 3y) Gi¶i = 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) - 28y(3y - 2) a) x2 – 2xy + 5x – 10y = ( x2 – 2xy) + ( 5x – 10y) = (3y - 2) (14x2 + 35x - 28y) = x(x – y) + (x – 2y) = (x – y)(x + 5) Phương pháp 2: Dùng đẳng thức b) x(2x – 3y) – 6y2 + 4xy = x(2x – 3y) + (4xy - 6y2 Nội dung phương pháp dùng = x(2x – 3y) + 2y(2x - 3y) = (2x – 3y)(x + 2y) đẳng thức là gì ? + 4x2 – y3 – y2 = (8x3 - y3) + (4x2 – y2) c) 8x Nếu đa thức là vế đẳng thức đáng nhớ nào = (2x -y)( x2 + xy + y2) + (2x – y)( đó thì có thể dùng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức 2x +y) nµy thµnh mét tÝch c¸c ®a thøc = (2x -y)( x2 + xy + y2 + 2x +y) Phương pháp dùng đẳng thức: - Nhận dạng các đẳng thức Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp - Kiểm tra xem có phải đúng là đẳng thức không Khi cÇn ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö, Chú ý: Nhiều phải đổi dấu áp dụng được dùng riêng rẽ phương pháp hay đẳng thức có thể dùng phối hợp các phương pháp đó ? Có thể dùng phối hợp các phương pháp đã biết VÝ dô Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 3 a) x – 4x + b) 8x + 27y VÝ dô Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö c) 9x2 - (x - y)2 a) a3 - a2b - ab2 + b3 b) ab2c3 + 64ab2 Gi¶i c) 27x3y - a3b3y a) x2 – 4x + = (x - 2)2 Gi¶i b) 8x3 + 27y3 = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) a) a3 – a2b – ab2 + b3 = a2(a – b) – b2(a - b) = c) 9x2 – (x - y)2 = [3x – (x –y)][3x + (x - y)] = (3x (a - b)(a2 - b2) = (a - b) (a + b) –x +y)(3x + x - y) Lop8.net (5) b) ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3+64) = ab2(c3+ 43) = c) a2b2(b – a) + b2c2(c – b) – a2c2( c – a) ab2(c + 4)(c2 – 4c + 16) = a2b2(b- c + c – a) + 3 3 3 2 2 c) 27x y – a b y = y(27x – a b ) = y(3 - ab) b c (c – b) – a c ( c – a) (9x2 – 3ab + a2b2) = = (b – c) (a – c)(b- a) (ab + bc + ca) KiÕn thøc N©ng cao Phương pháp 7: Đặt biến phụ Phương pháp 5: Phương pháp tách Khi ph©n tÝch ®a thøc : ax2 + bx + c thµnh nh©n tö C¸ch 1: T¸ch ax2 + bx + c = a x2 + b1x + b2x + c Víi b = b1+ b2 vµ b1.b2 = a.c C¸ch 2: T¸ch ax2 + bx + c = X2 - B2 VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 2x2 - 3x + b) 6x2 + x - c) x2 - 2x - Gi¶i a) 2x2 – 3x + = 2x2 – 2x – x + = 2x(x – 1) – (x – 1) = (x – 1)(2x – 1) b) 6x2 + x – = 6x2 + 4x – 3x – = 2x(3x + 2) – (3x + 2) = (3x + 2) (2x – 1) c) x2 – 2x - = x2 + x – 3x – = VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x2 – 2x – b) x2 - 10x + 16 a)x2 x2 Gi¶i – 2x + – = (x- 1)2 – 22 = – 2x – = (x – 3)(x+1) b)x2 – 10x + 16 = x2 – 10x + 25 – = (x – 5)2 – 32 = (x – 8)(x – 2) Phương pháp 6: Phương pháp thêm bớt VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) y4 + 64 b) x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2) c) a2b2(b -a) + b2c2(c - b) - a2c2( c - a) Gi¶i 4 2 a) y + 64 = y +16y + 64 - 16y = (y2 + 8) - (4y) = (y2 + - 4y) (y2 + + 4y) b) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = x( y2 – x2 + x2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = x( y2 – x2) + x(x2 – z2) - y(x2-z2 ) - z( y2 – x2) = (y2- x2) ( x – z) + (x2 – z )(x – y) = (y – x)( x – z) (y +x – x – z) Trong ®a thøc cã biÓu thøc xuÊt hiÖn nhiÒu lÇn ta đặt biểu thức đó làm biến phụ đưa đa thức đơn gi¶n Sau ph©n tÝch ®a thøc nµy nh©n tö råi l¹i thay biÕn cò vµo vµ tiÕp tôc ph©n tÝch VÝ dô 1: A , (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 B , (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x - 3) -5 C , ( x2 - 2x + 2)4 - 20x2(x2 - 2x + 2)2 + 64 x4 D , (x +1)(x + 3)(x + 5) (x + 7) + 15 E , (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 F , (x2 + x)(x2 + x + 1) - Gi¶i A.Đặt y = x2 + 4x + dùng phương pháp tách phân tÝch KÕt qu¶: A = (x2 + 5x + 8) ( x + 2) ( x+ 4) B đặt y = x2 + 3x +1 B = (x +1)(x + 2)(x - 1)(x + 4) C.§Æt y = x2 – 2x + C = (x2 + 2)(x2 – 4x + 2)(x2 – 6x + 2)(x2 + 2x + 2) D = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) F (x2 + x)(x2 + x + 1) – (*) §Æt(x2 + x) = y Th× (*) trë thµnh: y(y + 1) – = y2+ y - – = (y2 - 1) + (y – 1) = (y + 1)(y – 1) + (y – 1) = (y – 1)(y + 2) (**) Thay trë l¹i vµo (**) ta cã : (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2) VËy(x2 + x)(x2 + x + 1) – = (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2) VÝ dô 2: a (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 b 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) - 3x2 c 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2 HD: c 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2 = 4x (x+y+z) (x+y) (x+z)+ y2z2 = (x2 +xy+xz)(x2 +xy 2 +xz +yz)+ y z (§Æt t = x2 +xy+xz) = 4t (t + yz) + y2z2 = (2t + yz)2 Ví dụ 3: Giải phương trình a (2x2 + x)2 - 4(2x2 + x) + = b (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 = Lop8.net (6) HD: Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö, ®a Pt vÒ d¹ng PT Ta cã f(2) = => x = lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) tÝch => f (x) (x 2) a (t - 1)(t- 3) = => f(x) = (x - 2)(x2 + 2x + 2) * t = 2x2 + x = (x +1)(2x-1)= VÝ dô 3: g(x) = 4x3 - 7x2 -x - 2 * t = 2x + x = 3 (x -1)(2x+ 3)= = (x - 2)(4x2 + x +1) VÝ dô : H(x) = x3 - x2 - 14x + 24 Phương pháp 8: Phương pháp xét giá trị riêng = (x-2)(x - 3)(x + 4) KiÕn thøc: VÝ dô x = a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) f(a) = P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) x = a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) => P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) f (x) (x a) Ta thÊy nÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× ®a thức P không thay đổi Lược đồ Hoor ne Do đó đa thức P có dạng: P = k(x - y)(y - z)( z - x) Sơ đồ Hoóc - ne NÕu ®a thøc bÞ chia lµ a0x + a1x + a2x + a3, ®a (k lµ h»ng sè) thứ chia là x - a ta thương là b0x2 + b1 x + b2 Theo => P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)( z x) Đúng với x, y, z, nên ta cho các biến x, y, z giá trị sơ đồ Hoóc - ne ta có: riªng, a0 a1 a2 a3 ch¼ng h¹n x = 2, y = 1, z = (gi¸ trÞ riªng cña c¸c biÕn x, a b0 = a0 b1 = ab0 + b2 = ab1 + r = ab2 + y, z tuú chän cho (x - y)(y - z)( z a1 a2 a3 x) 0) Ta ®îc: k = -1 VËy P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = - (x céng y)(y - z)( z - x) = (y - x)(y a nh©n z)( z - x) Điều kiện để tam thức bậc hai phân tích Ví dụ A = x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2) thµnh nh©n tö Gi¶i §èi víi tam thøc bËc hai d¹ng ax2 + bx + c, muèn xÐt +.NÕu x = y => A = => A (x - y) xem ®a thøc nµy cã ph©n tÝch ®îc thµnh nh©n tö hay +.V× vai trß cña x,y,z nh không thường dùng phương pháp sau: =>A (y-z); (z-x) - TÝnh = b2 – 4ac =>A (x - y)(y-z)(z-x) - NÕu th× ph©n tÝch ®îc +.V× cã bËc cao nhÊt lµ cßn bËc cña (x - y)(y-z)(z-x) - NÕu < th× kh«ng ph©n tÝch ®îc lµ 3 VÝ dô 1: f(x) = x -x - => A = k (x - y)(y-z)(z-x) đúng với x, y, z Lần lượt kiểm tra với ước – là 1, - 1, 2, Cho x = 0; y = 1; z = thay vào => k = 2, - 4, VËy A = (x - y)(y-z)(z-x) f(-1) = (-1)3 - (-1)2 - = - => x= -1 kh«ng ph¶i VÝ dô lµ nghiÖm P = ab(a - b) + bc(b-c) + ca(c - a) f(1) = (1)3- (1)2 - = - => x = kh«ng ph¶i lµ HD: làm tương tự VD6, thay a = 2; b = 1; c = o tìm nghiÖm ®îc k = -1 f(2) = 23 - 22 - = f(-2) = -16 => x = - kh«ng ph¶i lµ nghiÖm Phương pháp 9: Phương pháp hệ số bất định f(4) = 44 => x = kh«ng ph¶i lµ nghiÖm VÝ dô 1: Ph©n tÝch : x3 – 15x – 18 thµnh ®a thøc bËc f(- 4) = - 48 => x = - kh«ng ph¶i lµ nghiÖm Đa thức có nghiệm x = đó đa thức chứa thừa số (x và bậc hai – 2) Gi¶i Sử dụng lược đồ Hoor ne ta có: f(x) = (x – 2)(x2 – x + Gi¶ sö ®a thøc trªn ®îc ph©n tÝch th× 2) x3 – 15x – 18 = (x+ a)(x2 + bx + c) x3 – 15x – 18 = x3 + (a+b)x2 + (ab+ c)x + ac VÝ dô 2: Ph©n tÝch f(x) = x3 - 2x - Gi¶i Lop8.net (7) §ång nhÊt ®a thøc ë vÕ ta ®îc: a b 0(1) ab c 15(2) ac 18(3) Tõ (3)chän a = 3; th× c = -6; b = -3 tho¶ m·n (2) VËy: x3 – 15x – 18 = (x + 3) (x2 – 3x – 6) VÝ dô Ph©n tÝch : x3 – 19x - 30 thµnh ®a thøc bËc nhÊt vµ bËc hai Gi¶i Gi¶ sö ®a thøc trªn ®îc ph©n tÝch th× x3 – 19x - 30 = (x + a) (x2 + bx + c) x3 – 19x - 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab+ c)x + ac a b 0(1) §ång nhÊt ®a thøc ta cã ab c 19 (2) ac 30(3) Tõ (3) chän a = th× c =- 15; b = -2 tho¶ m·n (2) VËy x3 – 19x - 30 = (x +2)(x2 – 2x - 15) VÝ dô x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + Gi¶i Ta thÊy x 1; 3 kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn, kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ, nªn ®a thøc cã d¹ng §Ó ph©n tÝch ®a thøc nµy thµnh thõa sè th× ph¶i cã d¹ng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a+c)x3 + (ac + b +d)x +(ad + bc)x + bd Đồng đa thức này với đa thức đã cho, ta hệ điều kiÖn: ac6 a 2 a c 6 ac b d 12 b3 ac a 3c 14 ad bc 14 c 4 d bd VËy ®a thøc x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 - 4x + 1)(x - 2x + 3) C¸ch x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = x4 – 4x3 – 2x3 + x2 + 8x2 + 3x2– 2x - 12x + = x2 (x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1) = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x + 3) VÝ dô a x3 + 4x2 + 5x +2 b 2x4 - 3x3 -7x2 + 6x + Gi¶i a.ta cã x = - 1; x = -2 lµ nghiÖm cña ®a thøc => x3 + 4x2 + 5x +2 (x+1);(x+2) => x3 + 4x2 + 5x +2 = (x+1)(x+2)(x+b) b = b.Ta cã x = 2; x = -1 lµ nghiÖ cña ®a thøc => 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + (x+1);(x-2) => 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8= (x+1)(x-2)(2x2 + a x+ b) §ång nhÊt ®a thøc ta cã a = -1; b =- Phương pháp 10: Phương pháp hạ bậc VÝ dô 1: a) a5 + a +1 a) 1) a5 Gi¶i + a +1= + – + a3 – a3 + a2 – a2 + a + = (a5 + a4 + a3 ) – ( a4+a3 + a2) + ( a2 + a + 1) = a3( a2 + a + 1) – a2( a2 + a + 1) + ( a2 + a + a5 a4 a4 = ( a2 + a + 1) (a3– a2 + 1) C øng dông ViÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cã thÓ cã Ých cho viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ t×m nghiÖm cña ®a thøc, chia ®a thøc, rót gän ®a thøc I T×m x Ví dụ Giải các phương trình sau: a) 2(x + 3) - x(x + 3) = b) x3 + 27 + (x + 3)(x - 9) = c) x2 + 5x = Gi¶i a) 2(x + 3) – x(x + 3) = (x + 3)(2 – x) = x3 x 3 2 x x2 S ={-3; 2} b) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x + 3)(x – 9) = (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x + 3)(x – 9) = (x + 3)(x2 - 3x + + x – 9) = (x + 3)(x2 - 2x) = x(x + 3)(x - 2) = x0 x0 x x 3 S ={-3; 0; 2} x20 x2 c) x2 + 5x = x2 + 5x – = x2 - x + 6x – = (x2 - x) + (6x – 6) = x (x - 1) + 6(x – 1) = Lop8.net (8) (x + 6)( x – 1) = x60 x 1 x 6 x 1 6; 1} Ví dụ Giải các phương trình sau a (x2 + 2x)2 - x2 - 2x - = b x4 - x3 - x2 - x - = [ (x+1)(x-2)(x2+1)= 0] c x3 - 2x2 - 9x +18 = [(x-3)(x+3)(x-2) = ] VÝ dô T×m c¸c cÆp sè (x; y) tho¶ m·n a x2 + y2 = b (x-1)2 + (y+2)2 = c 4x2 + y2 - 2(2x+y - 1) = d x2 + 2y2 + 2y(1-x) = -1 e 2x2 (1 - y) + y(y + xy -2x) = HD: A §a vÒ d¹ng A2 + B2 = B x - 9x + 27x - 27 víi x = 13 S = {- e) E = g) G x -1 - 4x x -1x +1 + 3x -1x 3 + x +1v = íi x = - h) H = x -1x - x + x +1 + 2x + x 2 víi x = VÝ dô : Cho x - y = TÝnh A = x(x + 2) + y(y - 2)- 2xy + 37 B = x2(x + 1) - y2 (y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1) - 95 ( = (x-y)3 + (x -y)2 - 95 = 297 ) VÝ dô 4: x y x y a) Cho x + y = 7, tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2 e.(x -y) + x (y +1) = hoÆc M = (x + y)3 + 2x2 + 4xy + 2y2 y x M = (x + y)3 + 2(x + y)2 = 441 Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình b) Cho x - y = - 5, tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc a.x+ xy + y + = N = (x - y)3 - x2 + 2xy - y2 b x + y = xy N = (x - y)3 - (x - y)2 = - 150 c x2 + 21 = y2 VÝ dô HD: Biến đổi dạng X.Y = a (const) => X, Y ¦(a) Chøng minh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc Ví dụ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình vµo gi¸ trÞ cña biÕn a x2 + 21 = y2 a) P = (x + 2)3 + (x - 2)3 - 2x(x + 12) b.(x + 1)y - 2x = P=0 HD: a (y- x)(y+ x) = 21 > b) Q = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6x(x + 1)(x - 1) y +x > y – x > Q=-8 y x y x 21 c) A = y(x2 - y2)(x2 + y2) - y(x4 - y4) hoÆc A=0 y x y x II.TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc d) B = (x - 1)3 - (x - 1)(x2 +x + 1) - 3(1 - x)x Phương pháp : Thu gọn biểu thức B=2 T×m gi¸ trÞ cña biÕn thay vµo 1 1 2 VÝ dô 1: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc e) M = + 2x 4x - x 8x 9 27 A = (x2 + 2)2 – (x+ 2)(x - 2)(x2 + 4) víi x = 3 1/2 M= + Rót gän A = 4x2 + 20 27 +.Thay A = 21 D Bµi tËp ¸p dông VÝ dô TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) (3x - 1)2 - (5x + a) A = 9x2 +42x + 49 víi x = 3)2 2 b) (2x + y b) B = 5x - 2xy + y víi x= : y = - - (x + y - z)2 4z) 25 c) ( x2 + 2 x x y xy y xy)2 - (x2 - xy - 2y2)2 c) C = víi x = - 8; y = + + + 27 d) x4 - x23 2x-1 d) D = x + 15x + 75x + 125 víi x = - 10 Bµi TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau: a) A = 2x2 + 4x + xy + 2y víi x=88 vµ y=-76 Lop8.net (9) vµ y= b) B = x2 + xy -7 x - 7y Bài 16 Tìm giá trị x để phân thức sau 3x x b) 3x x Bµi ( x x 12) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x2 - (a + b)xy + aby2 ( x 4) ( x 3) b) ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2) c) (xy + ab)2 + (ay - bx)2 Bµi 17 Cho biÓu thøc: A= d) a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b) 2 4x x 2 3x x Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö x x 2x x 4x x a) - 6x2 - 5y + 3xy + 10x b) x2 + y2 - 2xy - x + y c) (x - z)2 - y2 + 2y - d) x3 + y3 + 3y2 + a) Tìm điều kiện biến x để giá trị biểu 3y + thức xác định Bµi TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau: b) TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt x A = x2 - 5x - 2xy + 5x + y2 + 4, biÕt x - y = B = x2(x + 1) - y2(y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1), biết Bài 18 a) Tìm x để x 10 x 12 x - y = x3 x Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b) T×m c¸c sè nguyªn x để a) (1 + x2)2 - 4x(1 - x + x2) b) x2 - y2- 2yz - z x 16 cã gi¸ trÞ nguyªn x x x 16 x 16 c) 3a2 - 6ab + 3b - 12c2 d) x2 - 2xy + y2 Bµi 19 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x2 + 25 +10x 2 m + 2mn - n - y2 - 2y – Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b) x2 + 4y2 a) a 2- 10a + 25 - y2 - 4yz - 4z2 b) x4 - 2x3 + 4xy - z2 + 6z - 2x - ROI Bµi 20 Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng c) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + d) x3 + 4x2 + phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña c¸c biÕn: (x + y – z 5x + t)2 - (z + t – x - y)2 Bµi TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau: a) A = x2- 5x - 2xy + 5y + y2 + 4, biÕt x - y=1 Chuyên đề: số phương pháp phân tích đa thức b) B = x2(x +1) - y2(y - 1) + xy - 3xy(x - y +1), mét biÕn thµnh nh©n tö biÕt x - y=7 Các phương pháp: Bµi Cho x = y = z = Chøng minh r»ng x3+ x2y - y2x - T¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö xyz + y3 = - Thªm, bít cïng mét h¹ng tö Bµi 10 Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ba c¹nh cña mét - §æi biÕn sè tam gi¸c th× - Hệ số bất định 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 - a4 - b4 - c4 > - XÐt gi¸ trÞ riªng (§èi víi mét sè ®a thøc nhiÒu Bµi 11 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö biÕn) a) 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + I) Phương ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng b) 5x4 + 9x3 - 2x2 - 4x - tö: Bµi 12 T×m c¸c hÖ sè a,b,c,d cho ®a thøc: §èi víi c¸c ®a thøc mµ c¸c h¹ng tö kh«ng cã nh©n f(x) = x + ax + bx - 8x + là bình phương đúng tö chung, ph©n tÝch nh©n tö ta thường phải tách cña hạng tử nào đó thành nhiều hạng tử khác để nhóm ®a thøc g(x) = x2 + cx + d hạng tử đã có đa thức 2 Bµi 13 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) (x - 8) + 36 víi c¸c c¸c nhãm cã nh©n tử chung, từ đó các nhóm có b) 81x4 + nhân tử chung xuất các đẳng thức c) x5 + x + quen thuéc Bµi 14 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: A = (x2 + 2x)2 + 9x2 +18 + 20 f(x) = 2x2 - 3x + B = x2 - 4xy + 4y2 - 2x + 4y - 35 Gi¶i: C = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 2 2 C¸ch 1: T¸ch h¹ng tö thø hai: -3x = -2x - x D = (x + 4x + 8) + 3x( x + 4x + 8) + 2x Ta cã f(x) = (2x2 - 2x) - (x - 1) = 2x(x - 1) - (x - 1) Bµi 15 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö = (x - 1)(2x - 1) a) (x2 + x +1)(x2 + x + 2) - 12 C¸ch 2: b) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 víi x= a) Lop8.net (10) Ta cã f(x) = (x2 - 2x + 1) + (x2 - x) = (x - 1)2 + x(x - 1) = (x - 1)[(x - 1) + x] Trë vÒ vÝ dô 3: XÐt c¸c sè ; , ta thÊy lµ 3 nghiệm đa thức, đó ph©n tÝch nh©n tö, = (x - 1)(2x - 1) ®a thøc chøa nh©n tö 3x - Tæng qu¸t: §Ó ph©n tÝch tam thøc bËc hai f(x) = ax2 + Từ đó: f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - = (3x3 - x2) - (6x2 bx + c nh©n tö, ta t¸ch h¹ng tö bx thµnh b1x + - 2x) + (15x - 5) b2x cho b1b2 = ac = x2(3x - 1) Bµi tËp 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö: 2x(3x - 1) + 5(3x - 1) a) 4x2 - 4x - 3; c) 3x2 - 5x - 2; = (3x - 1)(x2 2 b) 2x - 5x - 3; d) 2x + 5x + 2x + 5) VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: Bµi tËp 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö: f(x) = x3 - x2 - a) 6x2 - x - 1; e) 2x3 - 5x2 + 5x - Gi¶i: b) 6x - 6x - 3; f) 2x3 + 3x2 + 3x + 1; c) 15x2 - 2x - 1; g) 3x3 - 2x2 + 5x + 2; Ta kiểm tra với x = 1; 2; 4 ta thấy f(2) d) 2x - x + 5x + 3; h) 27x3 - 27x2 + 18x = 4; Đa thức f(x) có nghiệm x = 2, đó phân tích §¸p sè: nh©n tö, f(x) chøa nh©n tö x - Từ đó: f(x) = x3 - x2 - = (x3 - 2x2) + (x2 - 2x) + a) (2x - 1)(3x + 1); e) (2x - 3)(x2 - x + 1); (2x - 4) b) (2x + 3)(3x - 1); f) (2x + 1)(x2 + x + = x2(x - 2) + x (x - 2) + 1); c) (3x + 1)(5x - 1); (x - 2) d) (2x + 1)(x2 - x + 3); g) (3x + 1)(x2 - x +2); = (x - 2)(x2 + x + 2) h) (3x - 1)(9x2 - 6x + 4); n n-1 Tæng qu¸t: NÕu ®a thøc f(x) = anx + an-1x + … + a1x II) Phương pháp thêm bớt cùng hạng tử: + a0 cã nghiÖm nguyªn lµ Mục đích: Thêm, bớt cùng hạng tử để nhóm x = x0 th× x0 lµ mét íc cña hÖ sè tù a0, ph©n víi c¸c hạng tử đã có đa thức nhằm xuất nhân tÝch f(x) nh©n tö th× f(x) cã tö chung xuất đẳng thức, đặc biệt là chứa nhân tử x - x0 Vì đa thức xuất hiệu hai bình phương mét biÕn bËc cao, ta nªn t×m lÊy nghiệm nó để định hướng việc phân tích III) Phương pháp đổi biến: nh©n tö Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đưa Bµi tËp 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö: đa thức có bậc thấp để thuận tiện cho việc phân a) x3 + 2x - 3; e) x3 - 9x2 + 6x + 16; tích nhân tử, sau phân tich nhân tử đa b) x - 7x + 6; f) x3 - x2 - x - 2; thøc míi, thay trở lại biến cũ để đa thức với c) x - 7x - 6; (NhiÒu g) x3 + x2 - x + 2; biÕn cò c¸ch) h) x3 - 6x2 - x + 30 VÝ dô 4: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: d) x + 5x + 8x + 4; f(x) = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + VÝ dô 3: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 128 f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - Gi¶i: Gi¶i: Ta cã: f(x) = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Theo vÝ dô 2, ta thÊy c¸c sè 1; 5 kh«ng lµ §Æt x2 + 10x + 12 = y, ®a thøc trë thµnh: nghiÖm cña ®a thøc Nh vËy ®a thøc kh«ng cã f(y) = (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y nghiÖm nguyªn, vËy ®a thøc cã thÓ cã nghiÖm h÷u tØ - 4)(y + 4) kh¸c = (x2 + 10x + 8)( x2 + 10x + 16) = (x + Ta chøng minh ®îc ®iÒu sau ®©y: 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8) Tæng qu¸t: NÕu ®a thøc f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 cã nghiÖm h÷u tØ lµ x = p (d¹ng tèi gi¶n) th× p lµ mét íc cña q hệ số tự a0 còn q là ước dương hệ số cao an Khi ph©n tÝch f(x) nh©n tö th× f(x) cã chøa nh©n tö qx - p VÝ dô 4’: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Gi¶i: C¸ch 1: f(x) = x + (6x3 - 2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x + 2x (3x - 1) + (3x - 1)2 Lop8.net 10 (11) = (x2 + 3x - 1)2 C¸ch 2: Gi¶ sö x ≠ 0; Ta cã: f(x) = x2(x2 + 6x + - ) = x2[(x2 + ) + x x x 6(x - ) + 7] x 1 Đặt x - = y, suy ra: x2 + = y2 + Do đó đa x x thøc trë thµnh: f(x; y) = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x) = [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x - 1) x Bµi tËp 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö: a) (x2 + x)2 d) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12; 2(x + x) e) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 15; 4a) + a4; b) (x + x + 1)( f) (x2+y2+z2)(x+y+z)2 + x + x + 2) (xy+yz+zx)2; 12; c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24; g) A = 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4 VÝ dô 5: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Gi¶i: NhËn xÐt: C¸c sè 1; 3 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) nªn ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn, còng kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ Nh vËy nÕu f(x) ph©n tÝch ®îc thµnh nh©n tö th× ph¶i cã d¹ng: (x2 + ax + b)( x2 + cx + d), víi a, b, c, d Z Khai triÓn d¹ng nµy ta ®îc ®a thøc: x4 + (a+c)x + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd §ång nhÊt ®a thøc nµy víi f(x) ta ®îc hÖ ®iÒu kiÖn: a c 6 ac b d 12 ad bc 14 bd XÐt bd = 3, víi b, d Z, b {1; 3} Víi b = th× d = 1, hÖ ®iÒu kiÖn trë thµnh: a c 6 ac a 3c 14 Từ đó tìm được: a = -2; c = -4 Vậy f(x) = (x2 - 2x + 3)( - 4x + 1) Ta tr×nh bµy lêi gi¶i nh sau: f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x4 - 4x3 + x2) (2x + 8x2 - 2x) + (3x2 -12x +3) = x2(x2 - 4x + 1) 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1) = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x +3) x2 §¸p sè: a) §Æt + x = y Ta ph©n tÝch ®îc thµnh: (x2 + x 5)(x2 + x + 3) b) §Æt x2 + x + = y §¸p sè: (x2 + x + 5)(x+2)(x1) c) Biến đổi thành: (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) - 24; Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau nhân tử, dùng §Æt x2 + 7x + 11 = y §¸p sè: (x2 + 7x + 16)(x + phương pháp hệ số bất định: 1)(x + 6) a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + c) x4 - 8x + 63; d) §Æt x + y = z §¸p sè: (x + y + 3)(x + y -4) 2x + 1; d) (x+1)4 + (x2 + x 2 2 e) §Æt x + 5ax + 5a = y §¸p sè: (x + 5ax +5a ) +1)2 b) x - 7x + 14x 2 f) §Æt x +y +z = a; xy + yz + zx = b Ta ®îc: a(a 7x + 1; 2 + 2b) + b = (a + b) = … g) Đặt các biểu thức đối xứng: x4 + y4 + z4 = a; x2 + §¸p sè: 2 y2 + z2 = b; x + y + z = c a) (2x + x + 1) Có thể dùng phương pháp tách: 5x2 = 2 2 Ta cã: A = 2a - b -2bc + c = (2a - 2b ) + (b 4x2 + x2 2 2bc + c ) = 2(a - b ) + (b - c ) b) (x2 - 3x + 1)(x2 - 4x + 1) Thay a - b2 = -2(x2y2 + x2z2 + y2z2); b - c2 = -2(xy c) (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9) + xz + yz) d) (x2 + 2x + 2)(2x2 + 2x +1) 2 2 2 Ta ®îc M = -4(x y + x z + y z ) + 4(xy + xz + C¸ch kh¸c: (x+1)4 + (x2 + x +1)2 = (x+1)4 + x2(x yz) +1)2 + 2x(x + 1) + 2 = 8x yz + 8xy z + 8xyz = 8xyz(x + y = (x + 1)2[(x + 1)2 2 + z) + x ] + (2x + 2x + 1) = (x2 + 2x + 1)(2x2 IV) Phương pháp hệ số bất định: + 2x + 1) + (2x + 2x + 1) x2 Lop8.net 11 (12) = (2x2 + 2x + 1)(x2 + 2x +2) V) Phương pháp xét giá trị riêng: (§èi víi mét sè ®a thøc nhiÒu biÕn, cã thÓ ho¸n vÞ vßng quanh) VÝ dô 6: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Gi¶i: NhËn xÐt: NÕu thay x bëi y th× P = 0, nªn P chia hÕt cho x - y H¬n n÷a nÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× P không thay đổi (Ta nói đa thức P cã thÓ ho¸n vÞ vßng quanh) Do đó: P chia hết cho x - y thì P chia hết cho y - z vµ z - x Từ đó: P = a(x - y)(y - z)(z - x); đó a là sè, kh«ng chøa biÕn v× P cã bËc tập hợp các biến, còn tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc tËp hîp c¸c biÕn Ta có: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x y)(y - z)(z - x) (*) đúng với x, y, z R nên ta chọn các giá trị riêng cho x, y, z để tìm số a là xong Chó ý: C¸c gi¸ trÞ cña x, y, z ta cã thÓ chän tuú ý, cần chúng đôi khác để tránh P = lµ ®îc Chẳng hạn: Chọn x = 2; y = 1; z = thay vào đẳng thøc (*), ta t×m ®îc a = - VËy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) f) x8 + x4 + 1; Bµi tËp 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö (176): a) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6; b) * x3 + 3xy + y - Bµi tËp 5: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö (172): A = (a + b + c)3 - 4(a3 + b3+ c3) - 12abc b»ng c¸ch đổi biến: đặt a + b = m, a - b = n Bµi tËp 6**: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö (178): a) x8 + 14x4 + 1; b) x8 + 98x4 + Bµi tËp 7: Chøng minh r»ng tÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp céng thªm lµ mét sè chÝnh phương (180) Bµi tËp 8*: Chøng minh r»ng: sè A = (n + 1)4 + n4 + chia hết cho số chính phương khác với số n nguyên dương (181) Bµi tËp 9: T×m c¸c sè nguyªn a, b, c cho ph©n tÝch ®a thøc (x + a)(x - 4) - nh©n tö ta ®îc (x + b)(x + c) <182> Bµi tËp 10: T×m c¸c sè h÷u tØ a, b, c cho ph©n tÝch ®a thøc x3 + ax2 + bx2 + c thµnh nh©n tö ta ®îc (x + a)(x + b)(x + c) <183> Bµi tËp 11:(184)Sè tù nhiªn n cã thÓ nhËn bao nhiªu gi¸ trÞ, biÕt r»ng ph©n tÝch ®a thøc x2 + x - n nh©n tö ta ®îc (x - a)(x + b) víi a, b lµ c¸c sè tù nhiªn vµ < n < 100 ? Bài tập 12: (185)Cho A = a2 + b2 + c2, đó a và b là hai sè tù nhiªn liªn tiÕp vµ c = ab CMR: A lµ mét sè tù nhiªn lÎ Chủ đề 1: Tính chia hết tập hợp số nguyên Bµi tËp 6: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö: Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a - b) Gi¶i: NhËn xÐt: víi a = th× Q = 0, cho nªn a lµ mét nhân tử Q Do vai trò bình đẳng a, b, c nên b và c là nhân tử Q, mà Q có bậc tập hợp các biÕn nªn Q = k.abc Chän a = b = c = ®îc k = VËy Q = 4abc A KiÕn thøc c¬ b¶n - N¾m ®îc tÝnh chÊt chia hÕt tËp hîp sè nguyªn - Vận dụng tốt tích chất để làm các bài tập B Phương pháp chung I Chøng minh tÝnh chia hÕt tËp hîp sè nguyªn Bµi tËp tù luyÖn: Bµi tËp 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö (173): a) 4x4 - 32x2 + 1; c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2; b) x + 27; d) (2x2 - 4)2 + 9; Bµi tËp 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö (174): a) 4x4 + 1; b) 4x4 + y4; c) x4 + 324 Bµi tËp 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau nh©n tö (175): a) x5 + x4 + 1; d) x5 - x4 - 1; b) x5 + x + 1; e) x7 + x5 + 1; c) x + x + 1; ROI Gäi A(n) lµ mét biÓu thøc phô thuéc vµo n (n N hoÆc n Z) Để chứng minh A(n) chia hết cho số m, ta thường phân tích A(n) thành thừa số, đó có thừa số là m Nõu m lµ mét hîp sè ta ph©n tÝch m thµnh tÝch c¸c thõa số đôi nguyên tố cùng nhau, chứng minh A(n) chia hết cho tất các số đó Lop8.net 12 (13) NhËn xÐt: Trong k sè nguyªn liªn tiÕp bao giê b) Chứng minh số chính phương chia cho còng tån t¹i mét béi cña k chØ cã thÓ cã sè d b»ng hoÆc Gi¶i: VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: A = n3(n2 - 7)2 - 36n chÝ hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn Gọi A là số chính phương A = n2 (n N) n a) Xét các trường hợp: Gi¶i: n = 3k (k N) A = 9k2 chia hÕt cho Ph©n tÝch thõa sè: 5040 = 24.32.5.7 n = 3k (k N) A = 9k2 6k +1 chia Ta cã: cho d = n[n2(n2 - 7)2 - 36] A Vậy số chính cho có thể có số dư = n[(n3 - 7n)2 - 62] b»ng hoÆc = n(n3 - 7n - 6)(n3 - 7n + 6) b) Xét các trường hợp Ta l¹i cã: n3 - 7n - = (n + 1)(n + 2)(n - 3) n3 - 7n + = (n - 1)(n - 2)(n + 3) n = 2k (k N) ) A = 4k2 chia hÕt cho n = 2k + (k N) A = 4k2 + 4k +1 = 4k(k + 1) + chia cho d Do đó: A = (n - 3)(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n - 3) §©y chÝnh lµ tÝch cña b¶y sè nguyªn liªn tiÕp Trong b¶y sè nguyªn liªn tiÕp Vậy số chính cho có thể có số dư hoÆc ¸p dông: - Tån t¹i mét béi cña nªn A chia hÕt cho - Tån t¹i mét béi cña nªn A chia hÕt cho - Tån t¹i hai béi cña nªn A chia hÕt cho - Tồn ba bội 2, đó có bội nên Trong các số sau có số nào là số chính phương không? M = 19922 + 19932 + 19942 A chia hÕt cho 16 N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 P = + 9100 + 94100 + 1994100 Lưu ý: Các đẳng thức hay dùng để chứng minh tính A chia hết cho các số 5, 7,9,16 đôi nguyên tố chia hÕt cña mét luü thõa cïng nªn A chia hÕt cho 5.7.9.16 = 5040 an - bn = (a - b)(an-1 + an-2.b + an-3 b2 + + a.bn-2 + bn-1) ¸p dông: víi n N* Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a th× an + bn = (a + b)(an-1 - an-2.b + an-3 b2 - - a.bn-2 + bn-1) a) a2 - a chia hÕt cho víi mäi n lÎ C«ng thøc Niu-t¬n b) a3 - a chia hÕt cho (a + b)n = an + c1an-1b + c2an-2b2 + + cn-1abn-1 + bn c) a5 - a chia hÕt cho Các hệ số ci xác định tam giác Pa-xcan d) a7 - a chia hÕt cho ¸p dông vµo tÝnh chÊt chia hÕt ta cã: Gîi ý: Ph©n tÝch thµnh tÝch cña c¸c sè nguyªn liªn an - bn Chia hÕt cho a - b (a b) tiếp, đó tồn các số là bội 2, 3, 5, a2n+1 + b2n+1 Chia hÕt cho a + b (a - b) (a + b)n = BS a + bn (BS a lµ béi sè cña a) Ví dụ 2: Số chính phương a) Chứng minh số chính phương chia cho VÝ dô: Bµi tËp ¸p dông: chØ cã thÓ cã sè d b»ng hoÆc Lop8.net 13 (14) 1/ Cho A = 11100 -1 Phương pháp: Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 10, chia hÕt cho 1000 XÐt sè tù nhiªn A = nk víi n, k N 2/ Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n, biÓu thøc 16n - C¸ch 1: chia hÕt cho 17 vµ chØ n lµ sè ch½n Muèn t×m ch÷ sè cuèi cïng cña A ta chØ cÇn biÓu 3/ Chøng minh r»ng víi n N: diễn A dạng: a) 11n+1 + 122n+1 chia hÕt cho 133 A = 10a + b = ab b) 34n+2 + 2.43n+1 chia hÕt cho 17 Th× b lµ ch÷ sè cuèi cïng cña A c) 3.52n+1 + 23n+1 chia hÕt cho 17 Ta viÕt A = nk = (10q + r)k = 10t + rk II T×m sè d VÝ dô: T×m sè d chia Th× ch÷ sè cuèi cïng cña A còng chÝnh lµ ch÷ sè cña cïng 2100 cña rk a) Cho - b) Cho 25 NÕu A = 100b + ab = abc th× bc lµ hai ch÷ sè cuèi cïng cña A c) Cho 125 - Gi¶i: a) Luü thõa cña s¸t víi béi cña lµ 23 = = - Ta cã: 2100 = 2.(23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.(BS - 1) = BS - = BS + C¸ch 2: Khi lấy k giá trị tự nhiên khác th× biÓu diÔn thËp ph©n cña sè A = nk ch÷ sè cuèi cïng hoÆc mét ch÷ sè cuèi cïng xuÊt hiÖn tuÇn hoµn Ta Sè d chia 2100 cho lµ b) Luü thõa cña s¸t víi mét béi sè cña 25 lµ 210 = 1024 = BS 25 - cần tìm chu kì tượng này và A trường hợp nào với giá trị k đã cho C¸ch 3: Dïng phÐp chia cã d Ta cã: 2100 = (210)10 = (BS 25 - 1)10 = BS 25 + VÝ dô: T×m ch÷ sè tËn cïng cña 2100 viÕt hÖ VËy sè d chia 2100 cho 25 lµ thËp ph©n c) Dïng c«ng thøc Niu-t¬n: Gi¶i: 50.49 2100 = (5 - 1)50 = 550 - 50.549 + + 52 - 50.5 + Ba ch÷ sè tËp cïng cña 2100 lµ sè d cña phÐp chia 2100 cho Ta thÊy 48 sè h¹ng ®Çu tiªn chøa luü thõa cña víi sè mò lín h¬n nªn chia hÕt cho 125 hai sè h¹ng tiÕp theo còng chia hÕt cho 125, sè h¹ng cuèi cïng lµ 1000 Theo vÝ dô trªn ta cã 2100 = BS 125 + 1, mµ 2100 lµ sè ch½n, nªn ba ch÷ sè t©n cïng cña nã chØ cã thÓ lµ 126, 376, 626 hoÆc 876 VËy sè d chia 2100 cho 125 lµ Mµ 2100 chia hÕt cho nªn ba ch÷ sè tËn cïng cña nã còng Bµi tËp ¸p dông: ph¶i chia hÕt cho Trong bèn sè trªn chØ cã 376 tho¶ a) T×m sè d cña phÐp chia Sn = 1n + 2n + 3n + 4n cho m·n ®iÒu kiÖn b) Chøng minh r»ng: 52n + 5n + chia hÕt cho 31 víi mäi n kh«ng chia hÕt cho VËy ba ch÷ sè tËn cïng cña 2100 lµ 376 Bµi tËp: III T×m ch÷ sè cuèi cïng biÓu diÔn thËp ph©n cña mét sè Lop8.net 14 1) T×m ch÷ sè tËn cïng cña 51994 viÕt hÖ thËp ph©n (15) 2) Tìm chữ số hàng đơn vị số 171983 + Sè d cña phÐp chia ®a thøc f(x) cho x - a b»ng gi¸ 111983 - 71983 trÞ cña ®a thøc f(x) t¹i x = a 3) T×m ba ch÷ sè cuèi cïng cña sè A = m100 * §a thøc cã bËc tõ bËc hai trë lªn C¸ch 1: T¸ch ®a thøc bÞ chia thµnh nh÷ng ®a thøc đó m là số tự nhiên khác chia hÕt cho ®a thøc chia IV T×m ®iÒu kiÖn chia hÕt C¸ch 2: XÐt c¸c gi¸ trÞ riªng Ví dụ: Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết Chó ý: cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B A = n3 + 2n2 - 3n + an - bn Chia hÕt cho a - b (a b) B = n2 - n a2n+1 + b2n+1 Chia hÕt cho a + b (a - b) Biến đổi VÝ dô 1: n3 + 2n2 - 3n + = (n2 - n)(n + 3) + Chøng minh r»ng nÕu ®a thøc f(x) cã tæng c¸c hÖ Muốn A chia hết cho B thì phải chia hết cho n2 n hay n(n - 1) đó phải chia hết cho n sè b»ng th× ®a thøc Êy chia hÕt cho x - Gi¶i: n -1 -2 Gäi f(x) = a0xn + a1xn-1 + + an-1x + an n-1 -2 -3 Theo gi¶ thiÕt: a0 + a1 + + an-1 + an = n(n - 1) 2 Sè d cña phÐp chia f(x) cho x - lµ Lo¹i r = f(1) = a0 + a1 + + an-1 + an = Lo¹i VËy n = -1 ; n = VËy f(x) chia hÕt cho x - Bµi tËp: VÝ dô 2: 1) Tìm số nguyên dương n để n5 + chia hết cho n3 + Chøng minh r»ng nÕu ®a thøc f(x) cã tæng c¸c hÖ sè luü thõa bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè luü thõa bËc lÎ th× 2) T×m sè tù nhiªn n cho f(x) chia hÕt cho x + a) 2n - chia hÕt cho Tìm thương và số dư phép chia các đa thức b) 2n - chia hÕt cho Phương pháp: c) n2 - 3n + chia hÕt cho - §Æt phÐp chia d) n3 - n + Chia hÕt cho - Dùng sơ đồ Hoóc-ne e) 2.3n + chia hÕt cho 11 §a thøc bÞ chia f) 10n - chia hÕt cho 81 a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 an 1 x x g) 10n - chia hÕt cho 11 h) 10n -1 chia hÕt cho 121 Đa thức chia là x - a thương là V Tính chia hết đa thức T×m sè d cña phÐp chia mµ kh«ng thùc hiÖn phÐp chia b0 x n 1 b1 x n 2 bn 2 x bn 1 Víi b0 = a0 Phương pháp: b1 = a.b0 + a1 * §a thøc chia cã d¹ng x - a víi a lµ h»ng sè b2 = a.b1 + a2 Lop8.net 15 sè d r (16) VÝ dô 3: bn-1 = a.bn-2 + an-1 Chøng minh r»ng f(x) chia hÕt cho g(x) r = abn-1 + an f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + Chøng minh mét ®a thøc chia hÕt cho mét ®a thøc g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Phương pháp: Gi¶i: * Phân tích đa thức bị chi thành nhân tử, đó f(x) - g(x) = x99 - x9+ x88 - x8 + + x11 - x cã mét nh©n tö lµ ®a thøc chia = x9(x90 - 1) + x8(x80 - 1) + + VÝ dô 1: x(x10 - 1) Chøng minh r»ng x8n + x4n + chia hÕt cho x2n + xn + víi mäi mét sè tù nhiªn n Các biểu thức ngoặc chia hết cho x10 - 1, mµ x10 - chia hÕt cho g(x) Gi¶i: VËy f(x) chia hÕt cho g(x) x8n + x4n + = x8n + 2x4n + - x4n * Chứng tỏ nghiệm đa thức chia = (x4n + 1)2 - (x2n)2 lµ nghiÖm cña ®a thøc bÞ chia = (x4n + x2n +1) (x4n - x2n VÝ dô: +1) x4n + x2n +1 Cho f(x) = (x2 + x - 1)10 + (x2 - x + 1)10 - chøng = x4n + 2x2n +1- x2n ming r»ng f(x) chia hÕt cho x2 - x = (x2n + 1)2 - (xn)2 Gi¶i: = (x2n + xn +1) (x2n - xn +1) VËy x8n + x4n + chia hÕt cho x2n + xn + §a thøc x2 - x cã hai nghiÖm lµ x = vµ x = Ta sÏ chøng minh x=0 vµ x = còng lµ nghiÖm cña ®a thøc * Biến đổi các đa thức chia thành tổng các đa f(x) thøc chia hÕt cho ®a thøc chia VÝ dô 2: Chøng minh r»ng x3m+1 + x3n+2 + chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + víi mäi sè tù nhiªn m, n Gi¶i: x3m+1 + x3n+2 + = x3m+1 - x + x3n+2 + - x2 + x2 + x+1 = x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + x2 + x + Ta thÊy x3m - vµ x3n - chia hÕt cho x3 - Do đó x3m - và x3n - chia hết cho x2 + x + VËy x3m+1 + x3n+2 + chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + * Sử dụng các biến đổi tương đương, chẳng hạn để chøng minh f(x) chia hÕt cho g(x), cã thÓ chøng minh f(x) + g(x) chia hÕt cho g(x) hoÆc f(x) - g(x) chia hÕt cho g(x) Lop8.net 16 (17) Chủ đề 2: Giải phương trình a+x a x 3a a-1 a a x-a x b x c b) 3 b+c c a a b x-a x b x c 3x c) b+c c a a b a b c a+b-x a+c-x b+c-x 4x d) 1 c b a abc a) A KiÕn thøc c¬ b¶n - Nắm khái niệm phương trình bậc ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn mẫu - Có kỹ giải phương trình cách thành th¹o B Néi dung I Phương trình bậc ẩn VÝ dô 1: II Phương trình tích Giải phương trình a2x + b = a(x + b) §Þnh nghÜa: Gi¶i: Phương trình tích ẩn là phương trình có dạng: a2x + b = a(x + b) A(x).B(x) = (1) a2x + b = ax + ab Trong đó A(x), B(x), là các đa thức a2x - ax = ab - b C¸ch gi¶i: ax(a - 1) = b(a - 1) (1) Giải phương trình A(x) = 0, B(x) = 0, Nếu a 0, a 1thì phương trình có nghiệm x lÊy tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña chóng b a Chó ý: ViÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cã vai trß Nếu a = thì (1) có dạng 0x = 0, phương trình nghiệm quan trọng việc đưa phương trình dạng phương đúng với x trình tích Ngoài ta còn dùng phương pháp đặt ẩn phụ Nếu a = thì (1) có dạng 0x = -b, phương trình nghiệm VÝ dô 1: đúng với x b = 0, vô nghiệm b Giải phương trình: KÕt luËn: (x + 3)3 - (x + 1)3 = 56 Nếu a 0, a 1thì phương trình có nghiệm Gi¶i: (x + 3)3 - (x + 1)3 = 56 b x a x3 + 9x2 + 27x + 27 - x3 - 3x2 - 3x- = 56 Nếu a = a = và b = 0, phương trình nghiệm đúng 6x2 + 24x -30 = víi mäi x 6(x2 + 4x - 5) = Nếu a = và b 0, phương trình vô nghiệm x2 - x + 5x - = x(x - 1) + 5(x - 1) = Bµi tËp ¸p dông: Giải phương trình: (x - 1)(x + 5) = KÕt luËn: S = {1; -5} Chó ý: Lop8.net 17 (18) b) x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + = Có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ x + = y (x Gi¶i: + lµ trung b×nh céng cña x + vµ x + 1) a) Biến đổi phương trình thành: Ví dụ 2: Giải phương trình: (x + 1)(x + 2)(2x + 1) = (x - 6)4 + (x - 8)4 = 16 Gi¶i: Đặt x - = y, phương trình trở thành: Phương trình có ba nghiệm: x1 = -1 ; x2 = -2 ; (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16 + 6y2 b) C¸ch 1: Rót gän ta ®îc: y4 x3 Đưa phương trình dạng: (x + 1)2(x2 - x + 1) = -7=0 §Æt y2 = z (z 0), ta cã z2 + 6z - = (z - 1)(z Phương trình có nghiệm x = -1 C¸ch 2: + 7) = Chia hai vế phương trình cho x2 (vì x = Phương trình này cho z1 = 1, z2 = -7 (loại) không là nghiệm phương trình) ta được: Víi z = 1, nªn y = 1 x x 40 x x Từ đó x1 = ; x2 = Chó ý: Khi giải phương trình bậc bốn dạng (x + a)4 + (x + y x b)4 = c ta thường đặt ẩn phụ ab y x §Æt 1 x y2 x x th× , ta ®îc: y2 - 3y + = nªn y1 = 1; y2 = Víi y1 = 1, ta cã x2 - x + = 0, v« nghiÖm áp dụng: Giải phương trình: a) (x + 3)4 + (x + 5)4 = Víi y = 2, ta cã x2 - 2x + = nªn x = b) (x + 1)4 + (x - 3)4 = 82 Bµi tËp ¸p dông: Giải phương trình c) (x - 2)4 + (x - 3)4 = d) (x - 2,5)4 + (x -1,5)4 = a) x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + = * Phương trình đối xứng (các hệ số có tính đối xứng) b) x5 - x4 + 3x3 + 3x2 - x + = Trong phương trình đối xứng a là nghiệm thì a c) x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + = lµ nghiÖm Phương trình chứa ẩn mẫu d) 6x4 + 5x3 - 38x2 + + = Các bước giải: + Phương trình đối xứng bậc lẻ có mét c¸c nghiÖm lµ x = -1 + Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n đưa phương trình bậc n cách đặt ẩn phụ y x Tìm điều kiện xác định phương trình - Quy đồng mẫu thức hai vế phương trình khö mÉu thøc x VÝ dô 3: - Giải phương trình vừa nhận - Nghiệm phương trình là các giá trị tìm ẩn thoả mãn điều kiện xác định Giải phương trình: a) 2x3 + 7x2 + 7x + = - Ví dụ 1: Giải phương trình: Lop8.net 18 (19) x 1 x (1) x x ( x 2)(4 x ) lượng, bạc giảm 10 trọng lượng Hỏi mũ chứa bao Gi¶i: ĐKXĐ phương trình là x 2, x nhiêu gam bạc (vật có khối lượng 100 gam trì trọng lượng Biến đổi phương trình (1) ta được: b»ng niut¬n) (x - 1)(x - 4) + (x + 3)(x - 2) = -2 Gi¶i: Gọi trọng lượng bạc mũ là x (niutơn) (0 < x Thu gọn phương trình ta được: 2x(x - 2) = (2) < 5) Trọng lượng vàng mũ là - x (niutơn) NgiÖm cña (2) x1 = ; x2 = Khi nhúng ngập nước, trọng lượng bạc giảm x1 = tho¶ m·n §KX§; x2 = kh«ng tho¶ m·n §KX§ x 5 x 10 (niutơn), trọng lượng vàng giảm 20 (niutơn) VËy S = {0} Bµi tËp: x 5 x 0,3 Ta có phương trình: 10 20 Giải phương trình với các tham số a, b a) b) 1 1 a b x ab x x+a x 2 x+3 x a Giải phương trình ta x = Vậy trọng lượng bạc mũ là niutơn ChiÕc mò chøa 100 gam b¹c Chó ý: 4) Giải bài toán cách lập phương trình: Khi giải bài toán cách lập phương trình, a) Các bước giải bài toán cách lập phương trình: ngoài ẩn đã chọn đôi người ta còn biểu thị đại Bước 1: lượng chưa biết khác chữ Điều lý thú là các chữ đó - Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Biết cân nước, vàng giảm 20 trọng Lập phương trình biểu thị tương quan các đại lượng tham gia vµo qu¸ tr×nh gi¶i to¸n nhng chóng l¹i không có mặt đáp số bài toán VÝ dô 2: Một người nửa quãng đường AB với vận tốc 20 km/h, vµ ®i phÇn cßn l¹i víi vËn tèc 30 km/h TÝnh vËn tèc Bước 2: Giải phương trình trung bình người đó trên quãng đường Bước 3: Chọn kết thích hợp và trả lời Gi¶i: VÝ dô 1: Vào kỉ thứ III trước công nguyên, vua xứ Xira-cút giao cho Ac-si-met kiểm tra xem mũ Gäi vËn tèc trung b×nh ph¶i t×m lµ x (km/h) Ta biÓu thÞ mét nöa qu·ng ®êng AB lµ a km (a > 0) a Thời gian người đó nửa đầu quãng đường là 20 vµng cña m×nh cã pha thªm b¹c hay kh«ng ChiÕc mò cã trọng lượng niutơn (theo đơn vị nay), nhúng ngập nước thì trọng lượng giảm 0,3 niutơn a giờ, thời gian người đó nửa sau quãng đường là 30 giờ, a a 2a Ta có phương trình: 20 30 x Lop8.net 19 (20) Giải phương trình ta x = 24 Vậy vận tốc trung bình người đó trên quãng ®êng lµ 24km/h Bµi tËp: 1) Một khách du lịch từ A đến B nhận thấy 15 phút lại gặp xe buýt cùng chiều vượt qua, 10 phút lại gặp xe buýt chạy ngược lại Biết các xe buýt chạy với cùng vận tốc, khởi hành sau kho¶ng thêi gian b»ng vµ kh«ng dõng l¹i trªn ®êng (trên chiều từ A đến B chiều ngược lại) Hỏi sau bao nhiêu phát thì các xe buýt lại rời bến? 2) Trªn qu·ng ®êng AB cña mét thµnh phè, cø phút lại có xe buýt theo chiều từ A đến B và phút lại có xe buýt theo chiều ngược lại Các xe này chuyển động với cùng vận tốc Một khách du lịch từ A đến B nhận thấy phót l¹i gÆp mét xe ®i tõ B vÒ phÝa m×nh Hái cø bao nhiªu phút lại có xe từ A vượt qua người đó? Lop8.net 20 (21)