[r]
(1)VŨ ĐỨC AN – THCS TÂN THẠNH – LONG AN MOÄT SOÁ CAÙCH TÍNH TOÅNG NHIEÀU SOÁ HAÏNG ===*=== Bài toán 1: Tính các tổng sau a)S1= 1.2+2.3+3.4+4.5+….+n(n+1) b)S2=1.2.3+2.3.4+3.4.5+….+n(n+1)(n+2) Giaûi: a) S1= ? Xeùt S1’= 1.2.3+2.3.4+3.4.5+… +n(n+1)(n+2) suy ra: S1’-3S1=1.2.3+2.3.4+… +(n-1)n(n+1)= S1’-n(n+1)(n+2) nhö vaäy ta coù: 3S1= n(n+1)(n+2) S1 n(n 1)(n 2) b) S2=? Xeùt S2’=1.2.3.4+2.3.4.5+3.4.5.6+… +n(n+1)(n+2)(n+3) suy : S2’-4S2= 1.2.3.4+2.3.4.5+3.4.5.6+……+(n-1)n(n+1)(n+2)=S2’-n(n+1)(n+2)(n+3) nhö vaäy ta coù : 4S2= n(n+1)(n+2)(n+3) S n(n 1)(n 2)(n 3) *Nhaän xeùt: -Nối dài thêm thừa số liên tiếp tích tổng -Nhân số lần đúng số thừa số tích tổng vừa lập vào tổng đã cho -Trừ tổng với tổng đã cho đã nhân số lần thì tổng bị hụt số hạng từ đó suy tổng đã cho Từ đó ta đến bài toán tổng quát sau: Bài toán 2: Tính tổng S= 1.2.3…(n-2)(n-1)+2.3.4…(n-1)n +3.4.5…n(n+1)+… +n(n+1)(n+2)….(n+n-3)(n+n-2) Xeùt S’=1.2.3 (n-1)n+ 2.3.4…n(n+1) +3.4.5…(n+1)(n+2)+….+n(n+1)(n+2)…(2n-2)(2n-1) Suy ra: S’-nS= S’-n(n+1)(n+2)…(2n-2)(2n-1) S n(n 1)(n 2) (2n 2)(2n 1) n Bài toán 3: Tính tổng a) S0=1+2+3+…+(n-1)+n b) S1= 12+22+32+….+(n-1)2+n2 c)S2= 13+23+33+….+(n-1)3+ n3 d) S3=14+24+34+….+(n-1)4+n4 Giaûi: a) S0= n(n 1) n(n 1)(n 2) (caâu a BT1) n(n 1)(n 2) n(n 1) n(n 1)(2n 1) Suy : S1= = b) xeùt S’=S1+S0= 1.2+2.3+3.4+… +n(n+1)= Lop8.net (2) VŨ ĐỨC AN – THCS TÂN THẠNH – LONG AN (n 1)n(n 1)(n 2) (n 1)n(n 1)(n 2) n(n 1) n(n 1)(n n 4) Suy : S2= + = 4 c) Xeùt S’=S2-S0= 1.2.3+2.3.4+….+(n-1)n(n+1)= d) Xeùt S’= S3-S0= 2.3.3+3.4.7+4.5.13+….+n(n+1)(n2-n+1) Ta xeùt : n(n+1)(n2-n+1)=n(n+1)n2-(n-1)n(n+1)=(n-2)n(n+1)(n+2) +4n(n+1) -(n-1)n(n+1) =(n-1)n(n+1)(n+2)-n(n+1)(n+2) +4n(n+1) -(n-1)n(n+1) Nhö vaäy: (n 1)n(n 1)(n 2)(n 3) n(n 1)(n 2)(n 3) n(n 1)(n 2) (n 1)n(n 1)(n 2) 4 4 (n 1)n(n 1)(n 2)(n 3) n(n 1)(n 2)(n 3) n(n 1)(n 2) (n 1)n(n 1)(n 2) 4 + S3 4 n(n 1) n(n 1)(n 2)(12n 6n 1) 60 S3-S0= Lop8.net (3)