TOÁN VỀ TẬP HỢP ĐIỂM TRONG HÌNH HỌC 9_ NĂM 2010 - 2011

Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập – Tự – Hạnh phúc ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I.SƠ YẾU LÝ LỊCH : -Họ tên : NGUYỄN TRỌNG DIỄN -Sinh ngày 03 tháng 10 năm 1957 -Năm váo ngành : 01 – 09 - 1978 -Chức vụ đơn vị công tác : Hiệu trưởng- Trường THCS Hiệp Thuận -Huyện Phúc Thọ - TP Hà Nội -Trình độ chun mơn : Đại học - Chun ngành : Toán – Tin ứng dụng -Hệ đào tạo : Tại chức -Bộ mơn giảng dạy : Tốn -Ngoại ngữ : Khơng -Trình độ lý luận trị : Trung cấp ba môn lý luận Mác – Lê nin -Khen thưởng : Chiến sỹ thi đua cấp huyện, thành phố II NỘI DUNG ĐỀ TÀI : Tên đề tài : “ Tốn tập hợp điểm hình học” -Lý chon đề tài : Qua việc giảng dạy lớp học sinh giỏi thi cấp tỉnh thành phố,và lớp bồi dưỡng cụm trường huyện Phúc Thọ nhiều năm,tôi thấy cần mở rộng kiến thức thêm cho học sinh,đồng thời phát triển lực tư tốn học cho em có khiếu tốn Qua mà góp phần bồi dưỡng nhân tài cho đất nước sau này,và thành lập đội tuyển năm thi thành phố Nên người trực tiếp giảng dạy đưa vào thí điểm thực đề tài từ vài năm có hiệu rõ -Phạm vi thời gian thực đề tài : Đối tượng học sinh giỏi đội tuyển học sinh giỏi huyện hàng năm dự thi tỉnh, thành phố,và thực năm, từ năm học 2008 – 2009 đến năm học 2009 – 2010 đầu năm 2010- 2011 III QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI : 1.Khảo sát thực tế chưa thực đề tài : Nói đến tốn hình học nhiều học sinh thấy khó khăn khơng muốn làm, đặc biệt tốn tập hợp điểm học sinh lại khơng hứng thú say sưa loại toán khác,cho nên qua việc kiểm tra để nhận biết quỹ tích ứng dụng vào tập đơn giản học sinh khơng biết để xây dựng tốn đảo lại mà chứng minh phần đảo,nên khó hồn chỉnh chứng minh quỹ tích Nên sau chứng minh xong phần thuận nhiều em kết luận quỹ tích ln, chí cịn khơng đưa phần giới hạn quỹ tích tốn.Do lớp học tạo nguồn THCS Phụng Thượng hay học sinh trường tham gia đội tuyển có em làm phần thuận đảo khơng hồn chỉnh chưa xác Đến đội tuyển vào ơn vịng hai có em làm cho có phức tạp hơn,nhưng phần đảo em lúng túng khơng làm mà đưa giới hạn quỹ tích mà thơi,từ kết luận ln quỹ tích Ví dụ : Cho đường tròn tâm (O,R ) cố định điểm A cố định đường trịn đó,vẽ hình thoi AOBC Hãy tìm tập hợp giao điểm hai đường chéo ? Học sinh giải : A cố định, (O) cố định ( Giả thiết ) => AO cố định Gọi H giao điểm đường chéo hình thơi ta có góc AHO = 90 khơng đổi Vậy tập hợp điểm H cần tìm đường trịn đường kính AO Học sinh khơng biết giới hạn quỹ tích khơng chứng minh phần đảo lại khơng xây dựng toán đảo lại Số liệu điều tra trước thực : + Đa số học sinh kết luận khơng xác quỹ tích điểm H xong lời giải tốn hồn tồn chưa đủ Một số học sinh giỏi có trình bày phần giới hạn quỹ tích sai lầm kết luận quỹ tích lại đường trịn đường kính AO chưa xác + Đa số học sinh khơng biết xây dựng phần đảo lại tốn,vì thực chất ta phải xây dựng toán ngược lại toán thuận cho + Số em làm đủ bước em lớp đội tuyển, 10 em lớp bồi dưỡng tạo 25 nguồn cụm,nhưng bước chưa hồn chỉnh,và giới hạn cịn chưa chuẩn + Số em chứng minh phần thuận là em hoàn chỉnh,lớp bồi dưỡng 10 em hồn chỉnh Vì yếu tố cố định hay không đổi 25 nêu yêu cầu toán 3.Những biện pháp thực đề tài : (Nội dung đề tài ) A PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN LÀM BÀI TỐN QUỸ TÍCH : * Trước tiên ta cần xây dựng cách chứng minh tốn quỹ tích cho học sinh, ta chứng minh cho hai tập hợp nhau, dùng quỹ tích cho có chương trình học để vận dụng chứng minh * Phương pháp chứng minh phần thuận-đảo : Là tìm tập hợp điểm M có tính chất T đó, ta phải chứng minh ta phải chứng minh thuộc hình (H) đó, sau ta chứng minh điểm thuộc hình (H) có tính chất T, phần hình (H) khơng thỏa mãn, ta phải giới hạn phạm vi định toán Nhưng thực tế chứng minh quỹ tích, ta phải chứng minh tập hợp điểm M để có tính chất T, có tính chất trung gian khác, từ đến quỹ tích để chứng minh kết luận quỹ tích Nên phần thuận: Ta phải từ M có tính chất T, ký hiệu M(T)=> M có tính chất x M(x)……=>M(z) Mà M(z) quỹ tích học, để đến kết luận quỹ tích điểm M thuộc hình (H) Sau ta phải giới hạn phạm vi mà điểm M đến có ý nghĩa thực tế Phần đảo lại: Ta phải lấy điểm M’ thuộc hình (H) ta cần chứng minh cho có tính chất T tốn, thỏa mãn hình (H) quỹ tích phải tìm * Sau cung cấp quỹ tích cho học sinh : -Tập hợp điểm cách hai đầu đoạn thẳng AB cho trước đường trung trực đoạn thẳng -Quỹ tích điểm cách hai cạnh góc xOy cho trước đường phân giác -Quỹ tích điểm cách đường thẳng a cho trước khoảng h không đổi hai đường thẳng song song với cách khoảng h cho -Quỹ tích điểm M cách điểm O cho trước khoảng R khơng đổi, đường trịn tâm O bán kính R, ta viết (O,R) -Quỹ tích điểm M cho góc AMB = 90 khơng đổi, AB cố định đường trịn đường kính AB -Quỹ tích điểm M cho góc AMB =  ,với ( 00 <  < 1800)không đổi AB cố định hai khung chứa góc  vẽ đoạn AB *Quy trình để làm tốn quỹ tích : + Tìm hiểu giả thiết kết luận toán : Xác định yếu tố cố định , yếu tố không đổi toán, quan hệ yếu tố cố định yếu tố không đổi với yếu tố di động toán, chưa phải quỹ tích bản, ta phải tìm điểm trung gian để tìm đến quỹ tích Phải xác định tính chất điểm trung gian có đến quỹ tích hay khơng, xác định tính chất quỹ tích ta dừng lại + Dự đốn quỹ tích điểm phải tìm : Vẽ xác số vị trí điểm di động , nên lấy ba vị trí khác khơng thẳng hàng, khơng vị trí đặc biệt.Sau dựa vào yếu tố khơng đổi,quan hệ khơng đổi có phụ thuộc cho điểm di động nằm đường Khi dự đoán tập hợp điểm cần ý đến điểm đặc biệt , vị trí giới hạn chuyển động, có vẽ lên hình đảm bảo tính chất T điểm phải tìm hay khơng, hay điểm vơ tận , ý tính đối xứng hình quỹ tích, mà quỹ tích có tính đối xứng … Ta biết chủ yếu quỹ tích rơi vào hai trường hợp, đường thẳng hay đường trịn mà thơi ( cung trịn hay đường trịn ) *Chứng minh thuận : +Phát quan hệ điểm M cần xác định vị trí với điểm cố định cho, hay đường thẳng cố định phải dựa vào quỹ tích biết + Nếu M thuộc đường thẳng ta cần chứng minh M thỏa mãn điều kiện sau : - Điểm M cách hai điểm cố định - Điểm M cách hai cạnh góc cho trước - Điểm M cách hai đường thẳng song song cho trước - Điểm M cách đường thẳng cố định khoảng khơng đổi… + Nếu dự đốn nằm đường trịn, hay cung trịn ta tìm điểm bất kì, chúng có quỹ tích tạo thành điểm khơng thẳng hàng, ta phán đốn quỹ tích đường trịn hay cung trịn Lúc ta nghĩ đến việc tìm điểm cố định khoảng cách khơng đổi, đoạn thẳng cố định góc khơng đổi, có ta tìm cách để chứng minh điều Tức quỹ tích cung chứa góc hay quỹ tích đường trịn Cần lưu ý : Khi chứng minh tốn quỹ tích đa phần đề phải kẻ thêm hình phụ tìm quan hệ điểm chuyển động với điểm phải tìm quỹ tích Khi tìm quỹ tích hình cần giới hạn quỹ tích trước chứng minh phần đảo lại Có tập hợp điểm M phận hình (H) mà thơi, có lại hình (H) có tính chất T thỏa mãn toán Phần chứng minh đảo lại : Ta phải lấy điểm M’ khác thuộc hình (H) phận hình (H) thuộc quỹ tích.Qua ta vẽ hình ngược lại tức xây dựng toán đảo lại toán cho,việc xây dựng phải dưah vào tính chất T tốn, dựa vào yếu tố ta chứng minh phần thuận,sau ta chứng minh tốn đảo để xác định điểm có tính chất T hay khơng Kết luận quỹ tích : Lúc ta phát biểu quỹ tích điểm M có tính chất T hình (H), phận hình (H) giới hạn,nhưng ý cần bám sát kiện đầu cho khơng thiếu điều kiện kết luận quỹ tích B.CÁC VỊ DỤ MINH HỌA : Ví dụ : Cho đường tròn (O,R) cố định, điểm A cố định thuộc đường trịn vẽ hình thoi OABC, gọi H giao điểm đường chéo hình thoi.Hãy tìm tập hợp điểm H C chuyển động đường tròn (O,R) ? *Tìm hiểu tốn : Trước tiên ta phán đốn quỹ tích theo vị trí khác khơng thể có quỹ tích đường thẳng được, B A điểm khơng thể thẳng hàng H Vậy đường trịn lúc ta có điểm cố định O A đồng thời có góc OHA = 900 khơng đổi, ta dự đoán c d quỹ tich cung chứa góc chứng minh nằm đường trịn được.Nếu chứng minh nằm đường trịn phải tìm điểm cố định khoảng cách không đổi từ H đến điểm cố định đó,và điểm trung điểm AO * Chứng minh thuận : Theo giả thiết OA cố định mà hình thoi OABC có giao điểm hai đường chéo H góc khơng đổi OHA = 90 Suy quỹ tích điểm H đường trịn đường kính OA trừ điểm O điểm A khơng tồn hình thoi * Phần đảo lại : Lấy điểm H’ thuộc đường tròn quỹ tích lấy điểm C’ đối xứng A qua H‘,lấy điểm B’ đối xứng O qua H’ ,ta phải chứng minh tứ giác OAB ’C’ hình thoi điểm C’ thuộc (O,R), với H’ giao hai đường chéo hình thoi Thật : Theo cách dựng tứ giác OAB ’C’ hình bình hành, có đường chéo giao trung điểm đường Mà hình bình hành OAB ’C’ có đường chéo vng góc nên hình thoi,và đường chéo giao H ’ thuộc đường trịn quỹ tích.Mà OA= OC ’ = R ,nên C’ thuộc đường tròn (O,R) thỏa mãn điều kiện tốn * Kết luận quỹ tích : Tập hợp điểm H tốn đường trịn đường kính AO,trừ điểm O A Ví dụ : Cho góc vng xOy cố định, điểm I cố định Oy,điểm M chuyển động Ox, Tìm tập hợp đỉnh K tam giác IMK vuông cân M ? * Tìm hiểu tốn : -Yếu tố cố định góc xOy vng, điểm I y -Quan hệ khơng đổi góc IMK = 900 m -Yếu tố chuyển động điểm M tia Ox, điểm K cần tìm xác định vị trí K I * Dự đốn quỹ tích điểm K : Khi M = O K =A ( A € Ox cho OA = OI ) O A M x => A cố định điểm đặc biệt tìm thấy từ giả thiết -Khi M chạy xa vơ tận tia Ox K chạy xa vơ tận, quỹ tích điểm K khơng thể đường trịn => Dự đốn quỹ tích tia có gốc A * Cách trình bày lời giải : a,Phần thuận : Trên tia Ox chọn điểm A cho OA = OI => A cố định ( tam giác IOM cho trước cố định ) Hạ KH  Ox xét tam giác IOM tam giác MHK, có IM = MK ( theo gt ), OIM = KMH ( Cùng phụ góc OMI ) => IOM = MHK => OM = KH ; OI = OA => KAH vng cân H => góc KAH = 450 không đổi  K chuyển động đường thẳng qua A tạo với Ax góc 450 Giới hạn quỹ tích : Khi M O K  A K,O nằm khác phía IM => K ln nằm góc xOy Do K chuyển động tia Am tạo với Ax góc 450 nằm góc xOy b, Phần đảo lại : Lấy K’ quỹ tích tia Am,dựng K ’H’ vng góc Ox, tia Ox lấy M’ cho OM’ = AH’ => M’ thuộc Ox Phải chứng minh tam giác IM’K’ vuông cân ? Thật : OM’ = AH’ => OM’ + AM’ = AH’ + AM’ => OA = H’M’ OI = OA => OI = H’M’ (1) Tam giác AH’K’ vuông cân => AH’ = H’K’ mà OM’ = AH’ => OM’ = H’K’ (2) Từ (1) (2) =>  IOM’ =  M’H’K’ => M’I = M’K’ (3)  IMK = 900 (4) Từ (3) (4) =>  I M’K’ vng cân c,Kết luận quỹ tích : Tập hợp đỉnh K tam giác IMK vuông cân M toán, tia Am tạo với tia Ox góc 450 thuộc miền góc xOy cho Ví dụ : Cho đường trịn (O,R) dây AB cố định,tìm quỹ tích trực tâm tam giác ABC C chuyển động đường tròn ? Tìm hiểu tốn : Tìm hiểu ta xem điểm cố định gì,nó quan hệ với điểm cần tìm quỹ tích ? Ta thấy C chuyển động đường tròn cần chia thành trường hợp khác nhau,đó C chuyển động cung lớn AB C chuyển động cung nhỏ AB tốn có thay đổi khác -Ta cần lấy điểm thấy trực tâm tam giác khơng thể nằm đường thẳng,vì điểm khơng thể thẳng hàng,vậy nằm đường trịn cung trịn hay đường trịn,từ ta xem trường hợp khác -Ta thấy yếu tố cố định AB góc khơng đổi AHB có số đo 180 – góc ACB cung bị chắn AB -Phán đốn quỹ tích cung chứa góc vẽ đoạn AB với góc khơng đổi (180 – góc ACB) Vì góc C tam giác ABC khơng đổi chuyển động cung AB xác định Chứng minh thuận : Gọi chân đường cao hạ từ A B tam giác ABC I K , ta có tứ giác AIHK nội tiếp đường trịn có tổng góc đối 180 A => góc IHK = 1800 – góc C có số đo khơng đổi Mà AB cố định nên => H nằm K cung chứa góc : H  = 1800 – góc C vẽ đoạn AB Nhưng C chuyển động cung C I B lớn AB góc C có số đo thay đổi nên H nằm cung chứa góc khơng phải cung đối xứng.và C chuyển động cung nhỏ H chuyển động cung ngược lại, gộp cung ta đường trịn đối xứng đường tròn cho qua AB Phần đảo lại : Lấy điểm H’ dường trịn quỹ tích nối H ’ với A với B kẻ đường vng góc với H’B cắt đường trịn (O) C’ ,ta phải chứng minh H’ trực tâm tam giác ABC’ Thật : Theo cách dựng H’B H’A đường cao tam giác Góc AH’B = 1800 – góc AC’B , nên suy tứ giác C’EH’F tứ giác nội tiếp (E,F giao AH’ BH’ với AC’ BC’ ) góc F 900 ,suy BH’ đường cao tam giác hay H’ trực tâm tam giác ABC’ Kết luận quỹ tích : Tập hợp trực tâm tam giác ABC toán cung chứa góc vẽ đoạn AB lập thành đường trịn đối xứng đường (O) qua AB cố định Ví dụ : Cho tam giác ABC có BC cố định đường trung tuyến cắt G Hãy tìm tập hợp trọng tâm G tam giác ABC A chuyển động đường thăng xy song song với BC cố định cho trước ? Tìm hiểu toán : Đây thuộc dạng toán đơn giản cho đối tượng học sinh trung bình sau học xong cách chứng minh quỹ tích,nên học sinh tìm kết tập Phần chứng minh thuận : -Kẻ AH vng góc BC gọi khoảng cách băng h , kẻ GK vng góc BC ta có GK = A h theo giả thiết G trọng tâm tam giác Mà h không đổi nên GK không đổi BC cố định Từ suy G nằm đường thẳng song song với BC cách BC khoảng h y x G y’ x’ B N K H C Phần đảo lại : 10 Phần chứng C minh thuận : B I Từ I ta kẻ đường thẳng song song với AB cắt OA K O K Ta chứng minh A K cố định Vì OK = OA ,mà OA cố định nên khoảng cách OK không đổi, AO cố định nên K cố định.Và ta chứng minh IK = 2R theo định lý Ta Lét,Mà R bán kính đường trịn khơng đổi nên KI khơng đổi Vậy I nằm đường tròn (K, 2R ) ,đường tròn cắt AO O điểm H chẳng hạn O H khơng thuộc quỹ tích,vì khơng tạo hình thoi toán Phần đảo lại : Lấy I’ thuộc đường trịn quỹ tích, từ A kẻ đường thẳng song song với KI ’ cắt OI’ B’ Từ B’ kẻ đường thẳng song song với AO cắt đường tròn (O) C ’ cho B’C’ = R ,ta phải chứng minh I’ trọng tâm tam giác AB’C’ Thật : Theo cách dựng ta chứng minh AO= AB’= B’C’ = C’O = R , nên tứ giác OAB’C’ hình thoi, mà IK = 2R OB ' nên ta chứng minh I’B’ = , từ 3 ta chứng minh I’ trọng tâm tam giác AB’C’ Kết luận quỹ tích : 12 Tập hợp trọng tâm I tam giác ABC toán đường tròn (K, 2R ) ,trừ hai điểm giao AO với đường tròn (Với K điểm thuộc OA cho OK = 2R ) Ví dụ : Cho tam giác ABC cố định cân C ,đường thẳng d qua đỉnh C Hày tìm tập hợp điểm M cho tổng khoảng cách (MB + MA ) đạt nhỏ ? Tìm hiểu tốn : Bài tốn cần chia làm hai trường hợp đường thẳng d cắt cạnh BA khơng cắt cạnh BA, ta có kết khác Vì đường thẳng d qua đỉnh C tam giác xảy khả cắt cạnh AB tam giác,hoặc không cắt cạnh AB tổng khoảng cách nhỏ nhát (MA + MB ) lại có giá trị khác nhau,do tìm tổng ta khơng có tìm Phần chứng minh thuận : C Trường hợp : Đường thẳng d cắt cạnh AB tam giác cho tổng khoảng cách ( MA + MB ) đạt nhỏ ln đoạn AB theo bất đẳng thức tam giác A B với điểm M d : (MA + MB )  AB nên đạt nhỏ có dấu xảy ra,khi M giao M d AB với đường thẳng d 13 Vậy tập hợp điểm đoạn thẳng AB ( Kể điểm A B ) Trường hợp : N C Đường thẳng d không cắt cạnh BA tam giác cho M Ta lấy điểm N đối xứng A qua d ta thấy ( MA + MB )  NB (theo bất đẳng thức tam giác),nên tổng đạt nhỏ M giao AC với A B NB Khi ta chứng minh tứ giác AMCB tứ giác nội tiếp ,vì góc MAC = góc MNC theo tính chất đối xứng trục Và góc MNC = góc NBC theo tính chất đối xứng NC = BC nên tam giác CBN cân C Suy góc MAC = Góc MBC ,nên tứ giác AMCB tứ giác nội tiếp đường trịn => góc AMB = Góc ACB khơng đổi AB cố định theo giả thiết Do suy M nằm cung chứa góc ACB vẽ đoạn AB cố định Phần đảo lại : Lấy M’ kỳ cung quỹ tích ,ta phải chứng minh ( AM’+ BM’ ) đạt nhỏ Thật : Theo cách dựng ta lấy điểm N ’ đối xứng A qua CM ’ ta chứng minh N’ thuộc đường thẳng BM’ , theo tính chất đối xứng ta có góc CN ’M’ = góc CAM ta chứng minh B,M’,N’ thẳng hàng Do tổng khoảng cách ( AM’+ BM’ ) nhỏ Kết luận quỹ tích : Tập hợp điểm M thuộc đường thăng d qua đỉnh C tam giác ABC toán cho tổng khoảng cách ( MA + MB ) đạt nhỏ cạnh AB cung chứa góc ACB vẽ đoạn AB ( Chỉ có cung thỏa mãn cung khơng chưa đỉnh C tam giác cho ) Ví dụ : 14 Cho góc xOy = 300 ,các điểm A B di động Ox Oy cho độ dài đoạn AB = a khơng đổi a,Tìm tập hợp tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB ? b,AE BF đường cao tam giác AOB , chứng minh độ dài EF khơng đổi ? c,Tìm tập hợp tâm K đường tròn ngoại tiếp tam giác FOE ? d,Tìm tập hợp trực tâm H tam giác OAB ? Tìm hiểu lời giải : Đây tốn tổng hợp tìm nhiều tập hợp điểm, ta tìm phần phần sau chứng minh tương tự được, rõ ràng tập hợp điểm khơng thể đường thẳng , mà phần đường tròn ta cần giới hạn cho phù hợp cụ thể Vì ta lấy điểm khác phát điều Khi tìm tập hợp điểm I ta tìm khoảng cách từ I đến O,căn vào a cho trước cịn tìm tập hợp điểm K ta tìm khoảng cách từ K đến O Phần thuận giới hạn quỹ tích : y Do tốn có nhiều phần nên ta gộp x I lại để trình bày khơng dài dịng: A a,Ta có (I) qua A,B,O mà F góc xOy = 300 ,nên suy góc AIB = góc AOB = 600 = > OI = IB = IA = AB = a không đổi B o E y’ => I  (O,a), Do góc xOy = 300 => I thuộc I1I2 (O,a) , cho I1 giao (O,a) x’ H với Oy; I2 giao (O,a) với Ox, mà Oy vuông góc Oy’ Ox vng góc với Ox’ b,Tứ giác AEBF nội tiếp đường trịn 15 đường kính AB = a,mà góc EAF= 600 => Ta dễ dàng chứng minh EF = a nên FE có độ dài không đổi c,Tương tự câu a, FE không đổi a (O, a , suy K thuộc đường tròn tâm ), giới hạn góc xOy nằm bên góc d,Theo giả thiết ta có tứ giác OHEF nội tiếp đường trịn đường kính OH, mà góc FAE = 300 => FE = bán kính đường trịn đường kính OH => OH = 2FE = a Mà D cố định => H thuộc (O,a ) giới hạn điểm thuộc cung nằm góc xOy Ví dụ : Cho ( O,R) điểm A cố định đường trịn , điểm B di động đường tròn (O,R) Các tiếp tuyến A B (O,R) cắt C Tìm tập hợp : a,Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ? b,Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ? c,Trực tâm tam giác ABC ? 16 Tìm hiểu toán : Câu a, em tìm quỹ tích A đường trung trực K đoạn OA Câu b, tâm đường tròn nội C d tiếp phải giao phân I O giác tam giác ABC, gọi B I tâm đường trịn nội tiếp I ln nằm đường trịn (O) ,vì phân giác góc A tam giác ln qua điểm cung AB phân giác góc C ln qua ,nên ta có quỹ tích ,nhưng khơng phải tồn đường trịn dự đốn.Cịn gọi trực tâm tam giác ABC H, ta chứng minh tứ giác HAOB ln hình thoi, ta tìm quỹ tích đường trịn tâm A bán kính R Chứng minh thuận : a,Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,ta kẻ qua K đường thẳng song song với AC K trung điểm OC nên ta có giao điểm đường tròn với AO điểm D cố định trung điểm AO Nên suy K nằm đường thẳng d trung trực AO b,Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , Ta tháy phân giác góc A tam giác phân giác góc tạo tia tiếp tuyến dây cung , nên ln qua điểm cung AB , mà phân giác góc C ln qua trung điểm cung AB nên I nằm đường tròn (O,R) 17 Tuy nhiên phải loại trừ điểm không hình thành tam giác , điểm A điểm đối xứng A qua O điểm đầu mút đường kính song song với AC c,Ta có H trực tâm tam giác ABC ta chứng minh tứ giác AOBH hình bình hành, có cạnh đối song song vng góc với cạnh tam giác , mà hai đường chéo lại vng góc nên tứ giác AOBH hình thoi  AH = R bán kính đường trịn không đổi, mà điểm A cố định theo giả thiết , nên quỹ tích trực tâm tam giác nằm đường trịn tâm A bán kính R; (A,R) Phần giới hạn quỹ tích : a,Tồn đường thẳng d thuộc quỹ tích cần tìm b,Tồn đường trịn (O,R) trừ điểm khơng hình thành tam giác ABC điểm A,điểm đói xứng A qua O, hai đầu mút đường kính đường trịn (O) mà song song với AC c,Tồn đường trịn tâm (A,R), trừ hai điểm O điểm đối xứng O qua tâm A Như từ ta hình thành cho học sinh cách chứng minh đảo cần thiết chứng minh hoàn chỉnh tất phần tốn độc lập tìm tập hợp điểm.Cịn phần thêm toán tổng hợp chứng minh theo câu hỏi ý hỏi thêm cần đến quỹ tích giới hạn được, vả sau phát biểu thành quỹ tích hồn chỉnh Ví dụ : Cho tam giác vng cân ABC ( AB = AC ) , M điểm cho tia AM nằm hai tia AB AC Tìm tập hợp điểm M cho MA tia phân giác góc BMC ? Tìm hiều tốn : Đây tốn cần chia làm nhiều trường hợp khác nhau,trường hợp đỉnh góc tạo với BC thành tam giác cân , khơng tạo thành tam giác cân lúc tìm đường trịn ngoại tiếp tam giác 18 Nên cần chia làm trường hợp cụ thể tam giác ABC cân ,nên M nằm đường thẳng d trung trực BC ta ln có MA phân giác góc BMC Nhưng M khơng nằm đường mà tam giác ABC vuông cân nên M nằm đường trịn ngoại tiếp tam A giác ABC,thì M nằm khác phía điểm A bờ BC tốn lại vào trường hợp khác Chứng minh thuận : Giả sử M điểm mà tia Am nằm tia AB AC B C góc BMA = góc AMC B’ Gọi B’ đối xứng B qua MA M Nó xảy trường hợp : + Nếu B’ = C ta suy MC = MB => M thuộc đường trung trực BC Vì giả thiết cho AB = AC tia AM nằm tia AB AC  M thuộc Ax phân giác góc BAC + Nếu B’ # C ,B’ MC ( Vì MA phân giác BMC ), theo tính chất đối xứng giả thiết AB = AB’ = AC => B,C,B’  (A,AB) => góc BAB’ = góc BCB’ ( góc tâm ) Mà góc BAM = góc MAB’ => góc BAM = góc BCB’ = góc BCM  Tứ giác BACM nội tiếp đường tròn Suy M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do tia AM nằm tia AB AC 19 => M thuộc nửa đường trịn đường kính BC,thuộc nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A tam giác ABC Phần đảo lại : Lấy M’ Ax nửa đường tròn ( M’ # A ; M’ # B M’ # C ) + Nếu M’  Ax , Ax phân giác góc BAC => Ax trung trực BC => BM’ = CM’ =>  BCM’ cân M’ =>M’A phân giác góc BM’C + Nếu M’ thuộc nửa đường trịn khơng trùng điểm A,B,C Mà AB = AC (gt) => cung AB = cung AC => góc BM’A = góc AM’C ( Định lý góc nội tiếp ) => Suy M’A phân giác góc BM’C Kết luận quỹ tích : Tập hợp điểm M toán tia phân giác Ax góc BAC trừ điểm A ,và nửa đường trịn đường kính BC trừ điểm B C, nửa đường trịn nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A Đây tốn cần chia làm trường hợp vị trí khác nhau, trường hợp đỉnh M tạo với CB thành tam giác cân,hoặc khơng tạo thành tam giác cân lúc ta ngĩ đến đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Ví dụ 10 : Cho tam giác ABC điểm D di chuyển cạnh BC.Gọi I,K tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD ACD tiếp điểm với AD BC E,F M,N gọi H giao điểm EM FN tìm tập hợp điểm H D di chuyển cạnh BC khơng trùng B C Tìm hiểu tốn : Tập hợp điểm đường thẳng hay đường tròn,ta cần lấy điểm với vị trí khác nhau,ta thấy chung tạo thành điểm H thẳng hàng,nên phán đốn quỹ tích đường trịn A 20 P E K Q I H F c N D M B Phần thuận : Kéo dài EM cắt BI P ta chứng minh P cố định, phân giác góc B BI cố định, AP vng góc với BI P  BI, mà A cố định nên P cố định Kéo dài FN cắt CK Q ta chứng minh Q cố định,như AQ vng góc với CK cố định Q  CK Nên AP AQ vng góc với BI CK, nên ta chứng minh góc QHP = 90 khơng đổi Suy H nhìn PQ cố định góc 900 khơng đổi ,nên H nằm đường trịn đường kính PQ xác định Phần đảo lại : Ta lấy điểm H’ đường trịn quỹ tích ,nối PH’ cắt BC M’ kẻ vng góc với BC M’ cắt phân giác góc B I ’ vẽ đường tròn (I’) tiếp xúc BC M’ từ A kẻ đường thẳng tiếp xúc đường tròn (I’) taij F’ cắt BC D’ ,vẽ đường tròn (K’) nội tiếp tam giác ACD’ tiếp xúc Bc N’ ta phải chứng minh H’ giao E’M’ F’N’ 21 Thật : Theo cáh dựng góc PH’Q góc vng nên ta chứng minh góc M’H’N’ góc vng , giao E’M’ F’N’ H’ Kết luận quỹ tích : Tập hợp điểm H tốn đường trịn đường kính PQ , với Q,P chân đường vng góc hạ từ A xuống phân giác góc B C tam giác ABC cho Qua ví dụ cho ta thấy phần cách giải tốn quỹ tích hình học cấp Yêu cầu học sinh cần nắm bước giải quan trọng cách xây dựng toán đảo,bài toán ngược lại để chứng minh phần đảo lại Tuy loại tốn khơng chương trình Hình học cấp THCS có khả phát triển lực tư tốt, học sinh giỏi tìm hiểu đơn giản phạm vi sách giáo khoa hay tập bình thường chưa đủ khát vọng mở rộng kiến thực Tốn cho học sinh lịng say mê Toán học em Nên đề tài hiệu giảng dạy nâng cao kiến thức cho học sinh giỏi có lịng say mê Tốn học Qua giúp cho đội tuyển năm có hiệu chất lượng cao Góp phần mở rộng kiến thức phát huy lực tư học sinh giỏi Trong phạm vi đề tài tơi khơng nêu đầy đủ ví dụ chương trình giảng dạy bồi dưỡng trực tiếp cho học sinh Vì số lượng tập nhiều cho học sinh làm từ dễ đến khó chuyên đề “Tập hợp điểm Hình học” thường có từ 25 đến 30 tập ứng dụng, năm chọn lọc dần dần, sau nhiều năm giảng dạy đội tuyển huyện, đợt giảng dạy cụm trường tạo nguồn học sinh giỏi huyện mang lại kết cao Khảo sát đối chứng : Qua năm dạy cụm bồi dưỡng học sinh khiếu ban đầu dễ mà học sinh cách làm phần chứng minh đảo lại, học sinh khơng biết xây dựng toán ngược lại cho phù hợp 22 Sau chuyên đề khoảng - buổi học em thạo việc chứng minh tốn quỹ tích,có em trình bày hồn chỉnh thuận đảo, học sinh luyện chu đáo toán tập hợp điểm hình học Từ chỗ - em làm tốn quỹ tích có phần thuận chưa hồn chỉnh, sau chun đề em có 90% học sinh cụm bồi dưỡng 100% học sinh đội tuyển làm tốn hình tập hợp điểm Vì lớp cho học sinh khiếu nên có em giỏi theo học,chuyên đề không nên bồi dưỡng cho học sinh yếu sức học sinh BÀI TẬP TỰ LÀM CHO HỌC SINH : 1.Cho đường tâm (O,R) AB đường kính cố định, AC dây tùy ý Trên tia đối AC lấy điểm D cho CD = AC Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác ABD C chuyển động (0) ? 2.Cho (0) đường kính AB, M điểm chuyển động (0) Đường thẳng d vuông góc với AB A Gọi P, Q hình chiếu M lên AB d Tìm tập hợp trung điểm I PQ M chuyển động (0) ? Cho hình chữ nhật ABCD, góc vng quay xung quanh A có cạnh góc vuông cắt đường thẳng BC, CD E F Dựng hình chữ nhật AENF gọi M tâm hình chữ nhật Tìm tập hợp điểm M N ? Cho góc xOy điểm A cố định nằm phân giác góc Đường trịn tâm A bán kính thay đổi cắt Ox B Oy C, không đối xứng qua OA a Tìm tập hợp tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC b Các đường vng góc với Ox, Oy B C cắt D Tìm tập hợp điểm D ? Cho đoạn BC đường thẳng xy vng góc với BC điểm H cố định BC Tìm M xy nối vời MB, MC Gọi K, N điểm đối xứng H qua MB, MC Đường thẳng KN cắt BM, CN P Q 23 Tìm tập hợp điểm I tâm đường tròn nội tiếp tam giác HPQ M di động xy ? Cho (O) đường thẳng d cắt (O)tại A,B Từ điểm M thuộc d nằm (O), kẻ tiếp tuyến MP, MN ( P,N  (O) ) a,Chứng minh M chuyển động d đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP ln qua điểm cố định b,Tìm tập hợp tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP ? c, Xác định vị trí M d để tam giác MNP ? Cho (O) đường kính AB tia tiếp tuyến Ax Từ M thuộc Ax kẻ tiếp tuyến thứ MC với (O) Đường vng góc với AB O cắt BC N a Nhận xét tứ giác OMNB ? b Tìm tập hợp trực tâm H tam giác MAC M di động Ax ? Cho (O) dây AB cố định M điểm di động cung lớn AB Vẽ hình bình hành MABC a Chứng minh trực tâm tam giác MBC nằm đường tròn (O) b Kéo dài BC cắt tia phân giác góc AMB N Tìm tập hợp điểm N M di động cung lớn AB ? Cho ABCD hình thang nội tiếp (O), đường thẳng cắt cạnh bên AD, BC P, Q, cắt (O) M, N (M thuộc cung AD nhỏ) cho MP = NQ Tìm tập hợp trung điểm I đoạn PQ ? 10 Cho (O) dây AB cố định cho cung AB = 120 0, cho điểm M di động cung lớn AB Trên tia BM lấy N cho BN=AM Tìm tập hợp điểm N ? V.V… Bài học kinh nghiệm rút sau thực đề tài : 24 -Là mơn học học sinh hứng thú từ lớp dưới,do hình học lĩnh vực tư trừu tượng,vận dụng kiến thức chứng minh lơ gic chặt chẽ đảm bảo Nên học sinh khơng có thích theo học môn nhiều trường -Chuyên đề giúp cho học sinh phát triển lực tư tốt, có nhiều em tiếp cận sâu vào loại tốn đặc biệt hình học Do mở rộng tầm nhìn hiểu biết kiến thức cho em mơn hình học -Chỉ nên mở chun đề cho học sinh giỏi, không nên cho đại trà học sinh ảnh hưởng mơn khác -Cần có quan tâm từ nhà trường cho phong trào học sinh mũi nhọn, để nâng chát lượng chung,nhưng làm tốt công bồi dưỡng nhân tài cho quê hương đất nước Hiệp Thuận, ngày 15 tháng 02 năm 2011 Người viết đề tài Nguyễn Trọng Diễn IV.Đánh giá hội đồng khoa học nhà trường : ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Hiệp Thuận, ngày 19 tháng 02 năm 2011 TM/Hội đồng nhà trường 25 V.Đánh giá Hội đồng khoa học huyện Phúc Thọ : ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Phúc Thọ , ngày …… tháng …… năm 20…… TM/Hội đồng 26 ... 90% học sinh cụm bồi dưỡng 100% học sinh đội tuyển làm toán hình tập hợp điểm Vì lớp cho học sinh khiếu nên có em giỏi theo học, chuyên đề không nên bồi dưỡng cho học sinh yếu sức học sinh BÀI TẬP... lại cho phù hợp 22 Sau chuyên đề khoảng - buổi học em thạo việc chứng minh tốn quỹ tích,có em trình bày hoàn chỉnh thuận đảo, học sinh luyện chu đáo toán tập hợp điểm hình học Từ chỗ - em làm tốn... cho học sinh Vì số lượng tập nhiều cho học sinh làm từ dễ đến khó chuyên đề ? ?Tập hợp điểm Hình học? ?? thường có từ 25 đến 30 tập ứng dụng, năm chọn lọc dần dần, sau nhiều năm giảng dạy đội tuyển