Đang tải... (xem toàn văn)
b/ Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ 1 đến 2008, người ta làm như sau: lấy ra hai số bất kì và thay vào bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại.. [r]
(1)đề chọn học sinh khiếu NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi : Toán Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 16/3/2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: Tìm các số x, y, z biết a/ (x – 1)3 = - b/ x x c/ x - x = d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48 Câu 2: a/ Tìm số dư chia 22011 cho 31 b/ Với a, b là các số nguyên dương cho a + và b + 2007 chia hết cho Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho c/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74 Câu 3: a/ Cho tỉ lệ thức a b2 a a b Chứng minh ta có tỉ lệ thức: 2 b c c b c b/ Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ đến 2008, người ta làm sau: lấy hai số bất kì và thay vào hiệu chúng, làm đến còn số trên bảng thì dừng lại Hỏi có thể làm để trên bảng còn lại số không? Giải thích? Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Vẽ phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABE và ACF vuông cân A Từ E và F kẻ đường vuông góc EK và FN với đường thẳng HA a/ Chứng minh rằng: EK = FN b/ Gọi I là giao điểm EF với đường thẳng HA Tìm điều kiện tam giác ABC để EF = 2AI Câu 5: a/ Cho bốn số không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = Gọi S là tổng các giá trị tuyệt đối hiệu cặp số có từ bốn số a, b, c, d Hỏi S có thể đạt giá trị lớn bao nhiêu A b/ Cho tam giác nhọn ABC với BAC = 600 Chứng minh BC2 = AB2 + AC2 – AB AC -Hết (Cán coi thi không giải thích gì thêm) HƯỚNG DẪN CHẤM chän häc sinh n¨ng khiÕu Lop7.net (2) MÔN: TOÁN Câu (2đ) ======================================== Phần Nội dung cần trình bày a 0,5đ (x – 1) = - => x – = - => x = - Vậy x = - x x Điều kiện: x b 0,5đ c 0,5đ d 0,5đ (2,5đ) a, 1đ 9 x x 12 x 12 x => => (Thỏa mãn điều kiện) 9 x x 2 x x Vậy x = x = x - x = Điều kiện x => x x 3 = => x = x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy x = x = 12x = 15y = 20z => Điểm 0,5 x y z x y z x y z 48 => 4 5 12 12 0,5 0,5 => x = 20; y = 16; z = 12 0,5 Ta có 25 = 32 (mod31) => (25)402 (mod31) => 22011 (mod31) Vậy số dư chia 22011 cho 31 là Vì a nguyên dương nên ta có 4a (mod3) => 4a + 0,25 (mod3) a a b Mà + (mod2) => + 0,25 a a 0,75đ Khi đó ta có + a + b = + + a +1 + b + 2007 – 2010 Vậy với a, b là các số nguyên dương cho a + và b + 2007 0,25 chia hết cho thì 4a + a + b chia hết cho Từ 6x2 + 5y2 = 74 => 6x2 74 => x2 74 mà x nguyên => x2 0;1; 4;9 c 0,75đ Mặt khác ta có x2 + = 75 – 5x2 – 5y2 => x2 = x2 = Nếu x2 = => y2 = 10 (loại vì y nguyên) Nếu x2 = => y2 = => (x, y) (3, 2);(3, 2);(3, 2);(3, 2) 1,75 đ a 1đ 0,25 0,25 0,25 a2 b2 a b2 a a b a a b = => = = = = 2 b c b c c b c c b c 2 a b a a b Vậy có tỉ lệ thức ta có tỉ lệ thức: 2 b c c b c Ta có 0,75 0,25 Gọi S là tổng tất các số ghi trên bảng Ta có S = + + + … + 2008 = 2008.2009 = 1004.2009 là 0,25 b số chẵn Khi lấy hai số a, b và thay vào hiệu hai 0,75đ số thì tổng S bớt (a + b) – (a – b) = 2b là số chẵn 0,25 Nên tổng phải là số chẵn Vậy trên bảng không thể còn lại số 0,25 Lop7.net (3) (2,5đ) Vẽ hình và GT-KL đúng, đẹp 0,25 F N I K E A B a 1,5 C H Chứng minh KAF = HBA ( ch – gn) => EK = AH Chứng minh NFI = HCA ( ch – gn) => FN = AH Suy EK = FN 0,5 0,5 0,5 0,25 EF EF A IAE A và IAF A IFA A Mà AI = (gt) => AI = EI = FI => IEA A A => EAF = 900 => BAC = 900 Chứng minh KEI = NFI ( c.g.c) => EI = FI = b 0,75đ 0,25 0,25 Vậy EF = 2AI tam giác ABC vuông A Giả sử a b c d (1,25đ) Ta có S = a b b c c d a c a d b d => S = a – b + b – c + c – d + a – c + a – d + b – d => S = 3a + b – (c + 3d) Mà c + 3d => S 3a + b Mặt khác a + b + c + d = => a a 0,75đ Suy S = 3a + b = 2a + a + b 2.1 + = 0,25 0,25 c 3d a Dấu xảy a b c d <=> b c d a Vậy S lớn bốn số a, b, c, d có số 0,25 còn ba số Kẻ BH AC AB 0,25 A ABH = 300 => AH = Vì BAC 600 => A (1) A H b 0,5đ Áp dụng dịnh lí Pytago ta có AB2 = AH2 + BH2 và BC2 = BH2 + HC2 => BC2 = AB2 – AH2 + CH2 => BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2 => BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AH.AC + AH2 => BC2 = AB2 + AC2 – 2AH.AC (2) 0,25 Từ (1) và (2) => ĐPCM B C Ghi chú: Đáp án trên là cách làm đúng, học sinh làm đúng cách khác cho điểm tối đa Lop7.net (4)