-Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy hoặc có các đường cao của các mặt bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy -Hình chóp có m[r]
(1)ThÓ tÝch khèi ®a diÖn A Lý thuyÕt Kh¸i niÖm thÓ tÝch cña khèi ®a diÖn (Sgk hh 12) C¸c c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch cña khèi ®a diÖn a) ThÓ tÝch khèi hép ch÷ nhËt V = abc với a, b, c là kích thước khối hộp chữ nhật b) ThÓ tÝch cña khèi chãp V= Sđáy h ; h: Chiều cao khối chóp c) ThÓ tÝch cña khèi l¨ng trô V= Sđáy h ; h: Chiều cao khối lăng trụ B C¸c d¹ng bµi tËp D¹ng TÝnh thÓ tÝch cña khèi ®a diÖn *Phương pháp: Để tính thể tích khối đa diện ta có thể: +¸p dông trùc tiÕp c¸c c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch +Chia khối đa diện thành các khối nhỏ mà thể tích các khối đó tính +Bổ sung thêm bên ngoài các khối đa diện để khối đa diện có thể tính thể tích c«ng thøc vµ phÇn bï vµo còng tÝnh ®îc thÓ tÝch *C¸c bµi tËp 1)VÒ thÓ tÝch cña khèi chãp +Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì ta tính toán chiều cao, diện tích đáy và áp dụng c«ng thøc :V= Sđáy h Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác SABC các trường hợp sau: a) Cạnh đáy a, góc ABC = 60o b) AB = a, SA = l c) SA = l, góc mặt bên và mặt đáy α gi¶i: a) Gọi O là tâm ∆ABC S ⇒ SO ⊥(ABC) SABC = a a a2 = C A ∆ABC cã SA = SB; ABC = 60o ⇒ SA = AB = SB = a O a B SO ⊥ OA ( v× SO ⊥ (ABC) ) Tam gi¸c vu«ng SOA cã: SO2 = SA2 - OA2 = a2 -( a a2 2 2 a a ) = 3 Lop12.net (2) ⇒ SO = a a2 VËy VSABC = S∆ABC SO = b) Tương tự câu a đáp số: SABC = V a2 a l a3 l a3 c) Gäi O lµ t©m ∆ABC Gäi A’ lµ trung ®iÓm BC DÔ thÊy ((SBC), (ABC)) = gãc SA’O = α Tam gi¸c vu«ng SOA cã: SO2 = l2 - OA2 = l2 - AA’2 Tam gi¸c vu«ng SOA’ cã: sin SO AA ' SO A AA'.sin (2) a Tõ (1) (2) ta cã: AA' sin AA'.sin l 9 C O A' B AA’2(sin2 α + 4) = 9l2 AA' S∆ABC = 3l sin AA'.BC 12 SO 13 3l sin ⇒VSABC = 3l sin sin 3l sin 3l 2 (sin ) l sin sin l sin (sin ) sin S∆ABC SO = Bài Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông A, AB = a, AC = a H×nh chiÕu vu«ng gãc cña A’ trªn (ABC) lµ trung ®iÓm BC TÝnh VA’ABC theo a? Gi¶i -Gäi H lµ trung ®iÓm BC C' ⇒A’H ⊥ (ABC) (gt) -Ta cã S∆ABC = AB AC 12 a -V× A’H ⊥ (ABC) ⇒ A’H Tam gi¸c vu«ng A’HA cã: A’H2 hay = A’A2 A’H2 = - AH2 4a2 a2 - = = (2a)2 3a2 ⇒VA’ABC = ⊥ - A' 2a AH B .(a2 + ⇒ A’H = a S∆ABC A’H = H a 3a2) a 3.a 1 Lop12.net a2 a C (3) Bµi H×nh chãp SABCD cã SA ⊥ (ABC), SA = a ∆ABC vu«ng c©n cã AB = BC =a B’ lµ trung ®iÓm SB C’ lµ ch©n ®êng cao h¹ tõ A cña ∆SAC a) tÝnh VSABC b) Chøng minh r»ng AB ⊥ (AB’C’) TÝnh VSAB’C’ Gi¶i a) S∆ABC = 12 BA.BC 12 a ; SA =a ⇒ VSABC = S∆ABC SA = C' a3 a B' A C a a B b) ∆SAB cã AB = SA = a ⇒∆SAB c©n t¹i A ⇒ AB’ B’S = B’B BC⊥ AB ⇒ BC BC⊥ SA ⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⊥ (SAB) SB ⇒ BC ⊥ AB’ AB’ ⊥ SA ⇒ ⊥ ⇒SC AC’ ⊥ SC ⊥ (AB’C’) C¸ch AB' 12 SB 2a a V× AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ SC ' SA SC ⇒V∆AB’C’ = C¸ch SB ' SB VSAB ' C ' VSABC a2 B' C ' AB'.B' C ' 12 a2 a3 a2 24 SC ' SC SA AC 3a a B’C’2 = SB’2 - SC’2 = ⇒S∆AB’C’ = ⊥ B’C’ SC = a a SA ' SB ' SC ' SA SB SC a a a2 a3 36 a a VSA ' B ' C ' Lop12.net 1 6 a3 a3 36 (4) Bµi H×nh chãp SABC cã SA⊥ (ABC), ∆ABC c©n t¹i A, D lµ trung ®iÓm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β TÝnh VSABC Gi¶i DÔ thÊy S (SB, (ABC)) = α = SBA (SB, (SAD)) = β = BSD ⇒ AD ∆ABC c©n DB = DC ∆SAB cã cos α = AB SB ⊥ BC (1) A BC ⊥ AD C a BC ⊥ SA (v× SA⊥ (ABC) ⇒ BC B ⊥ (SAD) ⇒ BC ⊥ SD Tam gi¸c vu«ng SB cã sinβ = Tõ (1) (2) ⇒ AB cos BD sin BD SB (2) AB a sin S∆SAB =BD.AD = SA = AB tan α = ⇒ VSABC = sin AD AB cos ⇒ cos2 sin AB a sin cos sin a cos a sin a cos AB cos ⇒ AB2(sin2 β – cos2 α) = -a2cos2 α ⇒ AB = Sin cos D cos2 sin a sin cos sin SA.S∆ABC = a sin a sin cos sin cos sin = a sin cos cos sin Bµi Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a c¸c nöa ®êng th¼ng Ax, Cy ⊥ (ABCD) vµ ë cïng mét phÝa với mặt phẳng đó Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm N không trùng với C trên Cy Đặt AM = m, CN = n TÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp BAMNC Gi¶i Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD x Ta cã BD ⊥ AC (v× ABCD lµ h×nh vu«ng) M (Ax, Cy) ⊥ (ABCD) ⇒ BD ⊥ (AMNC) BI = BD a 2 DiÖn tÝch h×nh thang AMNC lµ S = n D m ⊥ (AMNC) ⇒ BI N A ( AM CN ) AC C B ( mn) a 2 Lop12.net (5) VAMNC = 13 S AMNC BI ( mn) a a 22 a2 ( m n) *Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc vị trí chân đường cao trên đáy Ta cã mét sè nhËn xÐt sau: -Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng trên đáy các cạnh bên thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy -Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng trên đáy có các đường cao các mặt bên xuất phát từ đỉnh thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy -Hình chóp có mặt bên mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đường cao hình chóp là đường cao mặt bên mặt chéo đó -Nếu có đường thẳng vuông góc với mặt đáy khối chóp thì đường cao khối chóp song song nằm trờn với đường thẳng đó -Nếu đường thẳng nằm đáy khối chóp vuông góc vuông góc với mặt phẳng chứa đỉnh khối chóp thì đường cao khối chóp là đường thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã nói trên *Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân A, BC =a, ABC = α, các cạnh bên nghiêng trên đáy gãc α TÝnh VSABC Gi¶i S C H a B A - Gäi H lµ h×nh chiÕu cña S lªn (ABC) - Vì các cạnh bên nghiêng trên đáy ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC - Ta cã: ∆ABC = 12 AB AC sin mµ BC2 = 2AB2 - 2AB2cos α = 2AB2(1-cos α) = a2 ⇒ AB = a ⇒ S∆ABC = 12 AB sin HA = R = BC sin a sin 2 1 cos a2 cos 2 ⇒ SH = a sin a sin Tan gi¸c vu«ng cã tan α = SH AH ⇒VSABC = 13 S ABC SH 13 a4 cot 2 cosa tan a cot 2 24 cos Lop12.net a cos 1 cos (6) Bài 7: SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = và góc đường chéo = 60o các cạnh bên nghiêng trên đáy góc 45o Tính VSABCD Gi¶i D C O A B -H¹ SO ⊥ (ABCD) - Vì khối chóp có các bên nghiêng trên đáy ⇒ O là tâm đường tròn qua đỉnh A, B, C, D ⇒ tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt vµ {O} = AC ∩ BD - §Æt AC = BD =x Ta cã ShcnABCD = 2 AC.BD.sin60o = x x ⇒ x=3 - (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45o = SCO = (SC, (ABCD)) ⇒ ∆ASC vu«ng c©n t¹i S ⇒ SO = 12 AC ⇒ VSABCD = 3 3 Bµi 8: SABC cã SA = SB = SC = a ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o a) Chøng minh r»ng ∆ABC vu«ng b) TÝnh VSABC Gi¶i a) S a A C H B SA SB ⇒ AB = a o ASB 60 -Tam gi¸c vu«ng SBC cã BC2 = SB2 + SC2 = 2a2 -∆SAC cã AC2 = a2 + a2 -2a2cos120o = 2a2 - 2a2(- ) =3a2 -∆ABC cã AC2 = AB2 + BC2 ⇒∆ABC vu«ng t¹i B b) H¹ SH ⊥ (ABC) V× SA = SB = SL HA = HB = HC ∆ABC vu«ng t¹i B ⇒ H lµ trung ®iÓm AC Lop12.net (7) ⇒ SH2 = SB2 - BH2 = Tam gi¸c vu«ng SHB cã SB = a BH = AC SH a a (Hoặc ∆SAC là nửa tam giác ⇒ SH = ⇒VSABC = a2 SA S ABC SH 13 12 AB.BC.SH 16 a.a a a ) a3 12 Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o ∆SAC và ∆SBD là các tam giác có cạnh = TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABCD §¸p sè: VSABCD = Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông A và D, ∆SAD cạnh = 2a, BC = 3a Các mặt bên lập với đáy các góc Tính VSABCD Gi¶i D C K 2a H 3a - H¹ SH ⊥ (ABCD), H ∈ (ABCD) - Vì các mặt bên lập với đáy các góc nên dễ dàng chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp đáy - Gäi K lµ h×nh chiÕu cña H lªn AD - Ta cã HK = AD a - Tam gi¸c vu«ng SHK cã HK = a SK = 2a ⇒SH = a (vì ∆SAD đều) 3a a a V× ⋄ABCD ngo¹i tiÕp nªn: AB + CD = AD + BC = 5a ⇒SABCD = ( AB CD ) AD ⇒VSABCD = a a 5a S ABCD SH 13 5a a 5a3 Bµi 11: Cho h×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh 2a, SA = a, SB = a , (SAB) (ABCD) M, N là trung ®iÓm AB, BC TÝnh VSBMDN Gi¶i Lop12.net (8) S D A H M B N C ∆SAB h¹ SH b AB (SAB) b (ABCD) ⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN) S∆CDN = S∆MDA = S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN = S⋄ABCD = 2a.2a = 2a2 ∆SAB cã AB2 = SA2 + SB2 = 4a2 ⇒ SAB vu«ng t¹i S ⇒ SH SA SB a2 3a1 ⇒VSBMDN = S⋄BMDN.SH = 3a ⇒ SH = 2a a a3 a 3 Bµi 12: SABCD cã ⋄ABCD lµ h×nh thang víi AB = BC = CD = AD ∆SBD vu«ng t¹i S vµ n»m mặt phẳng vuông góc với đáy SB = 8a, SD = 15a TÝnh VSABCD Gi¶i S 15a 8a A D H C B -Trong ∆SBD kÎ SH b BD V× (SBD) b (ABCD) ⇒SH b (ABCD) SH 64 a -Tam gi¸c vu«ng SBD cã hay SH hay SH 14400 289 SH 225 a SD1 .a 120 17 a -V× h×nh thang cã AB = BC = CD = AD ⇒ Aˆ Dˆ = 60o, B = C = 120o Lop12.net (9) -∆SBD cã BD2 = SB2 +SD2 =289a2 ⇒ BD = 17a ∆CBD cã BD2 =2BC2(1+ ) = 3BC2 = 289a2 ⇒ BC = o 289 S∆BCD = BC sin 120 a S⋄ABCD = 3S∆BCD = 17 a 289 3a 12 289 3a 12 ⇒VSABCD = S⋄ABCD.SH = 289 3a 120 a 12 17 = 170 a3 Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ∆SCD cân S và nằm mặt phẳng (ABCD) ∆SAB cã SA = a, ASB = α vµ n»m mÆt ph¼ng lËp víi (SCD) mét gãc α TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABCD Gi¶i S A D K H B C Trong ∆SCD h¹ SH CD V× ∆SCD c©n t¹i S ⇒ H lµ trung ®iÓm CD SH CD (SCD) (ABCD ⇒ SH (ABCD) Gäi K lµ trung ®iÓm AB Ta cã HK AB AB SH (v× SH (ABD)) ⇒AB (SKH) ⇒ AB SK ⇒ ∆SAB c©n t¹i S DÔ thÊy ((SAB), (SCD)) = KSH = α ∆SAB cã SK = acos α , AB = 2AK = 2asin α ∆SHK vu«ng t¹i H cã SH =SK.cosα = acos2 α KH = SKsinα = asinαcosα SABCD =AB.BC = 2asinα.asinαcosα 2 = 2a2sin2αcosα ⇒VSABCD = SH S ABCD a sin α Bµi 14: H×nh chãp SABCD cã ∆ABC vu«ng t¹i B, SA b (ABC) ACB =60o, BC = a, SA = a , M lµ trung ®iÓm SB TÝnh thÓ tÝch MABC Gi¶i Lop12.net (10) M A C H a B C¸ch SA b (ABC) Tõ M kÎ MH // AS c¾t AB t¹i H ⇒ MH b (ABC) V× M trung ®iÓm SB H- trung ®iÓm MH= 12 SA a S∆ABC = 12 AB.BC 12 a tan 60 o.a 12 a VMABC = C¸ch VMABC V ASABC S ABC MH 13 12 a a SM SB VMABC = a3 VSABC mµ VSABC = 3 SA.S∆ABC = 13 a 12 a 12 a ⇒Vmabc = a3 Bµi 15: H×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O, SA (ABCD), AB = a, SA = a H, K là hình chiếu vuông góc A trên SB, SD Chứng minh rằng: SC (AHK) vµ tÝnh thÓ tÝch h×nh chãp OAHK Gi¶i S a F E K H N a A a y B O C D AH SB (gt) (1) BC AB (v× ABCD lµ h×nh vu«ng) BC SA (v× SA (ABCD)) Lop12.net x (11) ⇒BC (SAB) BC AH (2) Tõ (1) (2) ⇒AH (SBC ⇒AH SC (3) Chứng minh tương tự ta có: SC AK (4) Tõ (3) (4) ⇒ SC (AKH) Gäi {F} = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AF KÐo dµi AF c¾t SC t¹i N Trong (SAC) kÎ ®êng th¼ng qua O//SC c¾t AN t¹i E ⇒ OE (AHK) V× OA = OC; OE//CN OE = CN AK Tam gi¸c vu«ng SAD cã DÔ thÊy AH = a 23 ∆AKH c©n t¹i A DÔ thÊy ∆SBD cã SK SD SD = a 2a ⇒ KH BD 3a HK = BD = KH BD AS AD ⇒ AK = AS AD AS AD a a mµ SK = SA2 AK 2a 23 a a3 SF SO a OF = 13 SO ⇒ SF ∆SAC cã : OA = OC OF ⇒ OE OF 1 ⇒OE = SN = a SN SF 2 2 S∆AHK = KH AK ⇒ V = OE.S AHK HK = 2a 2 2a 27 * Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK sau: Chọn hệ toạ độ hình vẽ.Ta có: a a , 0) 2 A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a ) , O( , ∆SKA ∆ SAD ⇒ ⇒K(0, a , 3a SK SA ⇒ SA SD SK= 2a a ) ∆ABS cã AS SB.SH ⇒ SH= 2a a ) a Ta cã AH ( a,0, ) 3 ⇒H( a ,0, a AK (0, a, ) 3 Lop12.net a (12) a a AO ( , ,0) 2 2 a 2 a 4a ) , , 9 ⇒ VOAHK= |[ AH , AK ] AO |= a 27 [ AH , AK ] =( Bµi 16: H×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt, AB = a, AD = a , SA = a, SA (ABCD) M, N là trung điểm AD và SC {I} = BM ∩ AC Tính thể tích h×nh chãp ANIB Gi¶i a K N a A a I D O B C SA (ABCD) Gäi {O} = AC ∩ BD Trong ∆SAC cã ON // SA ⇒ON (ABCD) ⇒ NO (AIB) Ta cã NO = 12 SA a2 TÝnh S∆AIB = ? ABD sã I lµ träng t©m ⇒S∆ABI = S∆ABO = S⋄ABCD = ⇒ SANIB = NO.S∆AIB = a a a.a = a2 a3 36 Bài 17 Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAD) (ABCD), ∆SAD Gọi M, N, P là trung điểm SB, BC, CD TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp CMNP Gi¶i Lop12.net (13) z S M A B F E D a y N x C P - Gäi E lµ trung ®iÓm AD (CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE AD (SAD) (ABCD) ⇒SE (ABCD) - Gäi F lµ h×nh chiÕu cña M lªn (ABCD) ⇒ MF // SE DÔ thÊy F ∈ EB vµ F lµ trung ®iÓm EB Ta cã MF = S∆CNP = SE = a 23 a S CBD 18 S ABCD 18 a a3 VCMNP = 12 S∆NCP.MF = a 96 Nhận xét: có thể dùng phương pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O 0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ES Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính đáy chiều cao a Trªn ®êng trßn t©m O lÊy A, Trªn ®êng trßn t©m O’ lÊy B cho AB = 2a TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp OO’AB Gi¶i 1 a O' A' H D B A O Kẻ đường sinh AA’ Gọi D đối xứng với A’ qua O’, H là hình chiếu B trên A’D Ta cã BH A’D BH A’A ⇒ BH (AOO’A’) ⇒BH lµ ®êng cao cña tø diÖn BAOO’ Lop12.net (14) SAOO’ = a2 , A’B = AB AA' a ∆A’BD vu«ng ë B ⇒ BD=a ∆O’BD ⇒ BH= a ⇒VBAOO’ = BH SAOO’ = a2 12 Bµi 19: Cho h×nh chãp cã ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt; AB = a.AD = 2a; SA (ABCD); (SA, (ABCD) = 60o §iÓm M thuéc c¹nh SA, AM = (BCM) ∩ SD ={ N} TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.BCMN Gi¶i S H N M A D B Ta cã a 3 C SAB=600 ∆SAB vu«ng t¹i A cã AM = a , AB = a ⇒ ABM = 300 KÎ SH⊥ BM th× SH lµ ®¬ng cao cña h×nh chãp S.BCMN ta cã SH=SB sin 300 = a BC//(SAD) ⇒MN//BC ⇒ ⇒SBCMN = ( MN BC ).BM ⇒VSBCMN = SH SBCMN = SM MN SA AD 10a ⇒MN = AD.SM 4a SA 3 10 3a 27 Bµi 20: Cho h×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh thang; BAD = ABC = 90o; AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a M, N là trung điểm SA và SD Chứng minh r»ng BCMN lµ h×nh ch÷ nhËt vµ tÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.BCNM Gi¶i Lop12.net (15) S H N M A D 2 Ta cã BC//AD ,BC= AD ,MN//AD , MN= AD ⇒BC = MN , BC// MN (1) BC ⊥AB BC ⊥SA ⇒BC ⊥ (SAB) BC AM (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã BCNM lµ h×nh ch÷ nhËt KÎ SH ⊥BM thì SH⊥ (BCNM) 3 ⇒Vsbcnm= SBCNM.SH= BC.NM.SH= a3 Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông AB = AC = a; AA1 = a M lµ trung ®iÓm AA1 TÝnh thÓ tÝch l¨ng trô MA1BC1 Hướng dẫn: a3 12 +Chọn mặt đáy thích hợp ⇒ V = +Có thể dùng phương pháp toạ độ Bµi 22: Tø diÖn ABCD cã AB = x cã c¸c c¹nh cßn l¹i b»ng a.TÝnh thÓ tÝch tø diÖn theo x b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD c Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn Gi¶i a Lop12.net (16) C H D B C C¸ch 1: Gäi H lµ H×nh chiÕu cña D lªn (ABC) v× DA = DC = DB = ⇒ H lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC mµ ∆ABC c©n H ∈ CC’ víi C’ lµ trung ®iÓm AB S∆ABC = 12 CC '.AB HC = R∆ABC = x sin C 4 x2 .x x sin C2 cos C2 x x x 2x 1 x4 4 x ⇒Tam gi¸c vu«ng HCD cã HD2 = CD2- DC2 = ⇒ HD = 3 x 4 x ⇒VABCD = 41x2 S ABC HD 13 14 x x 3 x 4 x 3 x 4 x 12x x C¸ch 2: A C' D B M Gäi M lµ trung ®iÓm CD ⇒ CD ABM Vì ∆ACD và ∆BCD ⇒ AM = BM = VABCD = 2VCBMA = 13 CM.S∆ABC = S∆ABM = MC’.AB = VABCD = x 2 .S ABM x ( 23 ) ( 2x ) x x2 x 121 x x b) SACD= 3V 3 x x ⇒ d(B,(ACD))= ABCD = S ACD c) Lop12.net (17) VABCD = 121 x x 3 x x 12 18 DÊu “=” x¶y ⇔ x2 = 3-x3 ⇔ x = vµ thÓ tÝch lín nhÊt lµ Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD vµ SA=h.§iÓm M thuéc c¹nh CD.§Æt CM=x.H¹ SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là lớn GI¶I S A D B H C M Ta cã BM SH (gt) BM SA (V× SA ( ABCD) ⇒BM AH 1 SABCD = a2 2 a2 Mµ SABM = AH.BM ⇒ AH= BM SABM = a2 a2 x2 ∆SAH vu«ng ë A cã SH= SA AH h ∆BAH vu«ng ë H cã BH= AB AH a SABH 1 = AH.BH = 2 VSABH = S ABH SA a2 a2 x2 a4 a2 x2 ax a2 x2 a3 x a2 x2 a xh a2 x2 a xh a h 2ax 12 DÊu b»ng x¶y a=x tøc M trïng D Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA vuông góc với đáy ABC và SA = a.§iÓm M thuéc c¹nh AB §Æt gãc ACM b»ng H¹ SH vu«ng gãc víi CM a)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña thÓ tÝch khèi tø diÖn SAHC b)H¹ AI vu«ng gãc víi SC,AK vu«ng gãc víi SH TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn SAKI §¸p sè a)Vmax= a3 12 b)VSAKI = a sin 2 24(1 sin ) Lop12.net (18) Cã thÓ tÝnh thÓ tÝch khèi ®a diÖn nhê viÖc chia thµnh c¸c khèi nhá hoÆc bæ sung thªm Bài 25: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi AB = CD =a, AC = BD = b, AD = BC = c TÝnh thÓ tÝch ABCD Gi¶i H P B R C Q +Dựng ∆PQR cho B, C, D là trung điểm PQ, QR, PR +S∆DCR = S∆BCQ = S∆PDB = S∆PQR ⇒ S∆BCD = S∆PQR AD = BC = PR D lµ trung ®iÓm PR ⇒AR AP Tương tự AP b AQ, AQ VAPQR = Bµi 26: VABCD = b AR S∆PQRAR AD.BC.MN.Sin α Trong đó ABCD là tứ diện có MN là độ dài đoạn vuông góc chung các cặp cạnh đối AD và CB, α =(AD, BC) Hướng dẫn: Dùng hình hộp ngoại tiếp tứ diện này Bài 27: Cho hình chóp SABC có tất các góc phẳng đỉnh A và B tam diện α AB = a TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SABC Gi¶i Lop12.net (19) S F A C a E B -DÔ thÊy∆ SAB, ∆CAB lµ c¸c t©m gi¸c c©n t¹i S vµ C -Gäi E lµ trung ®iÓm AB ⇒ AB b SE AB b CE ⇒AB b (SCE) ⇒VSABC = VASEC + VBSEC = TÝnh S∆SEC = ? S∆SEC.(AE+BE) = 13 S∆SEC.AB ∆SEC c©n t¹i E v× ES = EC (∆SAB = ∆ACB (g.c.g)) Gäi F lµ trung ®iÓm SC ⇒ EF b SC ∆SBC c©n t¹i B v× BC =BS (V× ∆SAB = ∆CAB (g.c.g)) FS = FC ⇒FBC = Tam gi¸c vu«ng EBC cã CE = 2 tan Tam gi¸c vu«ng FBC cã BC = CE EB ( FC Sin = BC ⇒ FC = BC sin Tam gi¸c vu«ng EFC cã EF2 = EC2 S∆SEC = = a2 cos2 VSABC = - FC2 = a2 = a cos tan EF.SC = EF.FC = EB cos a cos ) a 2cos sin 2 a sin 2 cos a cos a2 cos (sin sin 2 sin sin 2 cosa sin 2 sin 2 sin sin 2 a3 12 cos2 sin 2 sin sin 2 số bài tập có thể giải PP toạ độ vỚi việc chọn hệ toạ độ dÔ dµng Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC = 4, BD = 2, AC cắt BD O SO (ABCD), SA = 2 Gäi M lµ trung ®iÓm SC, (ABM) c¾t SD t¹i N TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABMN Lop12.net (20) Gi¶i C¸ch 1: S N M A D O B C Ta cã AB // CD (gt) (ABM) (SCD) = MN ⇒MN // CD ⇒ N lµ trung ®iÓm SD VSABCD = SABCD.SO = VSABN VSABD SN SD VSBMN VSBCD SM SC 1 SN SD AC.BD.SO = ⇒ VSABN = 2 4.2.2 SSABD = = 2 ⇒ VSBMN = 8 SSBCD = = ⇒VSABMN = VSABN + VSBMN = Cách 2: Sử dụng phương pháp toạ độ z S M N D C O y B A x Chọn hệ toạ độ xyz có tia OX ≡ tia OA, tia oy ≡ OB, tia oz ≡ OS DÔ thÊy A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 ), C(-2; 0; 0), D(0; -1; 0), M(-1; 0; ) Do (ABM) ∩ (SCD) = MN AB // CD ⇒MN//CD Lop12.net (21)