Tìm các giá trị của tham số m để ph−ơng trình đA cho có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;5... Bất đẳng thức Cô si..[r]
(1)Tr−êng T.H.P.T NguyÔn Trung Ng¹n Tæ to¸n – Tin Đề thi thử đại học năm 2009 M«n to¸n - Khèi A Thời gian 180 phút ( không kể giao đề ) PhÇn A : Dµnh cho tÊt c¶ c¸c thi sinh Câu I (2,0 điểm) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (c) hàm số : y = x3 – 3x2 + m 2) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh : x − x − = x −1 C©u II (2,0 ®iÓm ) 1) Gi¶i ph−¬ng tr×nh : cos 11π − x + sin 7π − x = sin x + 2009π 2 30 x − x y − 25 y = 2) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : 30 y − y z − 25 z = 2 30 z − z x − 25 x = C©u III(2,0 ®iÓm ) 1) TÝnh tÝch ph©n : ( x + 4)dx −1 x +1 + x + ∫ 2) Cho x , y , z lµ ba sè thùc tháa mAn : 2-x + 2-y +2-z = Chøng minh r»ng : 4x 4y 4z + + 2x + 2y+z 2y + 2z+x 2z + 2x+y ≥ 2x + 2y + 2z C©u IV ( 1,0 ®iÓm ) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM = a , mÆt ph¼ng ( BCM) c¾t c¹nh SD t¹i N TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.BCNM PhÇn B ( ThÝ sinh chØ ®−îc lµm mét hai phÇn ( phÇn hoÆc phÇn 2) PhÇn ( Dµnh cho häc sinh häc theo ch−¬ng tr×nh chuÈn ) Câu V.a ( 2,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đ−ờng thẳng : x −7 y −2 z x − y z +1 = = = = d1 : ; d2 : −6 12 −6 −8 1) Chøng minh r»ng d1 vµ d2 song song ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( P) qua d1 vµ d2 2) Cho điểm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I trên đ−ờng thẳng d1 cho IA +IB đạt giá trị nhỏ C©u VI.a (1.0®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh : log ( x + 1) + log = log − x + log 27 ( x + 4)3 PhÇn ( Dµnh cho häc sinh häc ch−¬ng tr×nh n©ng cao ) Câu V.b (2,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đ−ờng thẳng : x − y −1 z = = , D1 : −1 x = − 2t D2 : y = z = t 1) Chøng minh r»ng D1 chÐo D2 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng vu«ng gãc chung cña D1 vµ D2 2) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cã ®−êng kÝnh lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña D1 vµ D2 2 C©uVI.b ( 1,0 ®iÓm) Cho ph−¬ng tr×nh : log5 x + log5 x + − m − = , ( m lµ tham sè ) Tìm các giá trị tham số m để ph−ơng trình đA cho có ít nghiệm thuộc đoạn 1;5 ……………………………….HÕt ………………………………………… Gi¸m thÞ coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Lop12.net (2) H−íng dÉn gi¶i : PhÇn A : Dµnh cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh Câu I : 1) ( Thí sinh tự khảo sát và vẽ đồ thị ) 2) §å thÞ hµm sè y = ( x − x − 2) x − , víi x ≠ cã d¹ng nh− h×nh vÏ : 1- -2 1+ y=m m Dựa vào đồ thị ta có : *) Nếu m < -2 : Ph−ơng trình vô nghiệm *) NÕu m = - : Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm *) NÕu – < m < : Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt *) nÕu m ≥ : Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt C©u II : 1) cos 11π − x + sin 7π − x = sin x + 2009π ( 1) 2 ( 1) ⇔ sin 5x π 3x π 3x 3x 3π x ⇔ -2 cos x + cos − − sin − = cos = cos 4 2 4 2 3x π ⇔ cos = hoÆc cos( x + ) = − Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n t×m ®−îc nghiÖm : x= π + k 2π , x= π + k 2π , x = k2π 30 x y = x + 25 30 x − x y − 25 y = 30 y 2) Ta cã 30 y − y z − 25 z = ⇔ z = y + 25 2 30 z − z x − 25 x = 30 z x = z + 25 ( 2) Tõ hÖ ta cã x, y, z kh«ng ©m *) NÕu x = th× y = z = suy ( 0;0;0 ) lµ nghiÖm cña hÖ *) NÕu x>0, y> , z > XÐt hµm sè : f(t) = Ta cã f’(t) = 1500t ( 9t + 25 ) 30t ,t>0 9t + 25 > víi mäi t > Do đó hàm số f(t) đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) y = f ( x) HÖ (2) ®−îc viÕt l¹i z = f ( y ) x = f ( z) Từ tính đồng biến hàm f ta dễ dàng suy x= y = z Thay vào hệ ph−ơng trình Ta ®−îc nghiÖm x = y = z = Lop12.net (3) 5 NghiÖm cña hÖ lµ ( 0;0; ) , ; ; 3 C©u III 1) TÝnh tÝch ph©n I = ∫ ( x + 4)dx −1 x +1 + x + 2 20t + 12 20t + 12 2 dt dt = ( t − 6t ) + ∫ 2 t + 3t + t + 3t + 0 x + Ta cã I = ∫ ( 2t − )dt + ∫ §Æt t = =-8+ 28 ∫ t + dt − ∫ t + dt = - + 28ln2 – ln3 2) Cho x , y , z lµ ba sè thùc tháa mAn : 2-x + 2-y +2-z = Chøng minh r»ng : 4x 4y 4z + + 2x + 2y+z 2y + 2z+x 2z + 2x+y 2x + 2y + 2z ≥ x y z §Æt = a , =b , = c Tõ gi¶ thiÕt ta cã : ab + bc + ca = abc Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng : ( *) ⇔ a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ ( *) a + bc b + ca c + ab a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 a + abc b + abc c + abc 3 a b c3 a+b+c + + ≥ ⇔ (a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b) Ta cã a3 a+b a+c + + ≥ a (a + b)(a + c) 8 ( 1) ( Bất đẳng thức Cô si) b3 b+c b+a + + ≥ b ( 2) T−¬ng tù (b + c)(b + a) 8 c c+a c+b + + ≥ c ( 3) (c + a)(c + b) 8 Cộng vế với vế các bất đẳng thức ( 1) , ( 2) , (3) suy điều phải chứng minh C©u IV : S H N M D A B C TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SBCMN ( BCM)// AD nªn mÆt ph¼ng nµy c¾t mp( SAD) theo giao tuyÕn MN // AD BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ BM Tø gi¸c BCMN lµ h×nh thang vu«ng cã BM lµ ®−êng cao BC ⊥ SA Ta cã : Lop12.net (4) a a 3− MN SM MN =2 = ⇔ = Ta cã SA = AB tan600 = a , AD SA 2a a 4a 2a BM = DiÖn tÝch h×nh thang BCMN lµ : Suy MN = 3 4a a + 2a 10a2 BC + MN S = BM = = 2 3 H¹ AH ⊥ BM Ta cã SH ⊥ BM vµ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SH VËy SH ⊥ ( BCNM) ⇒ SH lµ ®−êng cao cña khèi chãp SBCNM AB AM = Trong tam gi¸c SBA ta cã SB = 2a , = SB MS VËy BM lµ ph©n gi¸c cña gãc SBA ⇒ SBH = 30 ⇒ SH = SB.sin300 = a 10 3a3 Gäi V lµ thÓ tÝch chãp SBCNM ta cã V = SH ( dtBCNM ) = 27 PhÇn B (ThÝ sinh chØ ®−îc lµm phÇn I hoÆc phÇn II) PhÇn I (Danh cho thÝ sinh häc ch−¬ng tr×nh chuÈn) ur C©u V.a.1) VÐc t¬ chØ ph−¬ng cña hai ®−êng th¼ng lÇn l−ît lµ: u1 (4; - 6; - 8) uur u2 ( - 6; 9; 12) ur uur +) u1 vµ u2 cïng ph−¬ng +) M( 2; 0; - 1) ∈ d1; M( 2; 0; - 1) ∉ d2 A VËy d1 // d2 r *) VÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña mp (P) lµ n = ( 5; - 22; 19) (P):uuu5x – 22y + 19z + = H r d 2) AB = ( 2; - 3; - 4); AB // d1 I Gọi A1 là điểm đối xứng A qua d1 Ta cã: IA + IB = IA1 + IB ≥ A1B A1 IA + IB đạt giá trị nhỏ A1B Khi A1, I, B th¼ng hµng ⇒ I lµ giao ®iÓm cña A1B vµ d Do AB // d1 nªn I lµ trung ®iÓm cña A1B B 36 33 15 *) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A lªn d1 T×m ®−îc H ; ; 29 29 29 A’ đối xứng với A qua H nên A’ 43 95 28 ; ;− 29 29 29 65 −21 −43 I lµ trung ®iÓm cña A’B suy I ; ; 29 58 29 C©u VI a) log9(x + 1)2 + log = log − x + log 27 ( x + 4)3 (1) −4 < x < x ≠ −1 § K: (1) ⇔ log3(x + 1) + log34 = log3(4 – x) + log3(x + 4) ⇔ log34 x + = log3(16 – x2) ⇔ x + = 16 – x2 Gi¶i ph−¬ng tr×nh t×m ®−îc x = hoÆc x = - 24 PhÇn II ur uur C©u V b 1) C¸c vÐc t¬ chØ ph−¬ng cña D1 vµ D2 lÇn l−ît lµ u1 ( 1; - 1; 2) vµ u2 ( - 2; 0; 1) *) Cã M( 2; 1; 0) ∈ D1; N( 2; 3; 0) ∈ D2 ur uur uuuur XÐt u1 ; u2 MN = - 10 ≠ Lop12.net (5) VËy D1 chÐo D2 *) Gäi A(2 + t; – t; 2t) ∈ D1 B(2 – 2t’; 3; t’) ∈ D2 D1 ur u1 uuurur AB.u1 = t = − ⇒ uuur uur AB.u2 = t ' = 5 2 ⇒ A ; ; − ; B (2; 3; 0) 3 3 A B uur u2 D2 §−êng th¼ng ∆ qua hai ®iÓm A, B lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña D1 vµ D2 Ta cã ∆ x = + t : y = + 5t z = 2t *) Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu nhËn ®o¹n AB lµ ®−êng kÝnh cã d¹ng: 2 11 13 x − +y − +z+ 3 = b.2) §Æt t = log52 x + ta thÊy nÕu x ∈ 1;5 th× t ∈ [1;2] Ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: t2 + 2t – m – = 0; t ∈ [1;2] ⇔ t2 + 2t – = m ; t ∈ [1;2 ] LËp bÊt ph−¬ng r×nh hµm f(t) = t2 + 2t – trªn [1;2] ta ®−îc ≤ f(t) ≤ § K cña m lµ: ≤ m ≤ Lop12.net (6) Lop12.net (7)