Đang tải... (xem toàn văn)
Trang 1 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT– GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Baøi 1: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa caùc haøm soá: a... Giả sử x,y là một nghiệm của hệ.[r]
(1)Trang GIÁ TRỊ LỚN NHẤT– GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Baøi 1: Tìm GTLN vaø GTNN cuûa caùc haøm soá: a y = x + + x b y = (x – 6) x treân [ ; 3] c y= | –x2 + 3x–2 | treân [–5;5} d y = | x2– 2x – | trên đoạn [ –4;4] ÑS : a Maxy = 2 +1, miny = –1 b Maxy = –3 13 , miny = –12 Baøi : Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : y = HD : Ñaët t = x + x t [ –1 ; 2x x x x2 t2 1 ] Ñöa veà y = laäp BBT cuûa y t2 Maxy = , miny = – Baøi : Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : y = ÑS : Maxy = 3, miny = x2 x x2 x x4 x2 với x > x3 x t2 1 HD : Chia TS vaø MS cho x vaø ñaët t = x+ t Laäp BBT cuûa y = treân [ ; ) x t miny = , khoâng coù Maxy Bài : Tìm GTLN, GTNN hàm số y = sinx – sin2x + sin3x trên đoạn [0 ; ] HD : y’ = cos2x(2cosx – 1) Maxy = 2 ( x= 3 ) , miny= ( x = ) Baøi : Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá y = 2sin x – cosx + ÑS : t = cosx, t [ –1; 1] Maxy = 25 , miny = Baøi : Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá y = sin3x + cos3x + sinxcosx HD : t = sinx + cosx, t [– ; ] y = (– 4t3+ 9t2 + 12t – ) Maxy = ( t = ), miny = – 49 ( t = – ) 32 Bài : Tùy theo giá trị m, hãy tìm GTNN biểu thức P = (x+ my – 2)2 + [4x+ 2(m– 2)y– 1]2 HD : x my Neáu heä coù D = –2m – m – : minP = P(x0, y0) = 4x 2(m 2)y Baøi : Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá y = với x0, y0 là nghiệm hệ Neáu m = – : P = (x – 2y – 2)2+ (4x – 8y – 1)2 = (t– 2)2 + (4t– 1)2 = 17t2 – 12t + với t = x – 2y R minP= 49 taïi t = 17 17 Baøi : Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá y =2(1+ sin2x.cos4x) – (cos4x– cos8x) HD : y = + sin6x – sin2x – sin6xsin2x = 4sin 2x – 4sin 2x– 3sin22x+ 2sin2x +2 Lop12.net (2) Trang ( sin6x = 3sin2x – 4sin32x) Ñaët t = sin2x Kquaû : miny = Maxy= Bài 10: Tìm GTLN, GTNN hàm số y = x x trên đoạn [3 ; 6] ÑS : Maxy= 4, miny = + Bài 11 : Xác định m để GTNN hàm số y = 4x2– 4mx + m2– 2m trên đoạn [–2 ; 0] ÑS : Ta coù heä soá a = > Goïi S( xo; yo) laø ñænh cuûa (P) Neáu xo [–2; 0] – m thì miny = y(xo) = – 2m YCBT … m = –1 Nếu xo [–2; 0] m< – m > thì miny = min{y(–2), y(0)} = = min{m2 + 6m + 16, m2– 2m} Xeùt hieäu m2 + 6m + 16 – (m2 – 2m) = 8m + 16 Với m > 8m + 16 > miny = m2– 2m Khi đó YCBT m = 1+ Với m < – 8m + 16 < miny = m2 + 6m + 16 Khi đó YCBT m2+ 6m + 14 = (khoâng coù m) Vaäy m= –1, m = 1+ Bài 12 :Tìm GTLN, GTNN hàm số y = 2sinx – sin3x trên đoạn [0; ] 2 Baøi 13: Cho x,y thoûa: x + xy + y = Tìm GTNN, GTLN cuûa f(x,y) = 3x2 +2xy+y2 HD: Đặt 3x2 +2xy+y2 = a Bài toán đến : Tìm a cho hệ phương trình sau có nghiệm x2 xy y2 3x 2xy y2 a Xeùt y = x2 = a = 2 y (t t 1) Xeùt y Ñaët x = ty 2 a(t2+t+1) = 2(3t2+2t+1) y (3t 2t 1) a (a–6)t2 +(a–4)t+ a–2 = (*) Heä coù nghieäm (*) coù nghieäm a= : Heä coù nghieäm 12 12 a : (*) coù nghieäm a 3 12 12 minf = ; Maxf= 3 Baøi 14: Cho x,y thoûa: 5x2+5y2– 5x – 15y + Tìm GTLN cuûa A = x+3y HD: Từ giả thiết x,y thỏa (x– )2+ (y – )2 (1) 2 10 AÙp duïng BÑT Bunhiakopxky ta coù: 1.(x– )+3.(y– ) 10 = 2 10 x a y b 1 3 x+3y MaxA = với a= , b = 2 (x a)2 (y b)2 10 12 MaxA = x = , y = 5 Baøi 15: Cho x,y thoûa: x+y=2 Tìm GTNN cuûa f(x,y) = x4 + y4 x y HD: Ta phaûi tìm m cho heä phöông trình coù nghieäm x y m Heä coù nghieäm phöông trình x4+(2–x)4= m coù nghieäm Ñaët g(x) = x4+(2–x)4 BBT cuûa g(x) m Vaäy minf(x,y) = x=y=1 Lop12.net (3) Trang x y a Baøi 16: Cho heä: Giả sử (x,y) là nghiệm hệ Tìm a để M= x2+y2–xy x y xy đạt GTLN, GTNN x y a HD: Heä Heä coù nghieäm (2–a)2–4[(2–a)2–3] a xy (2 a) Xét M= x2+y2–xy = –2a2+8a+1= f(a) với a Từ đó minM= a= 0, a = MaxM = a = y x z Baøi 17: Cho x,y,z > thoûa maõn x + y + z = Tìm GTLN cuûa P = x 1 y 1 z 1 HD: Ñaët a = x+1 > 1, b = y+1 > 1, c = z+1 > thì a+b+c = a 1 b 1 c 1 1 P= = 3– Áp dụng BĐT Côsi ta P a b c 4 a b c Vaäy MaxP = x= y = z = y2 x2 z2 Baøi 18: Cho x, y, z > thoûa xy yz zx =1 Tìm minA = xy yz zx HD: Ta coù xy xy xy xy x2 x Theo BÑT Coâsi: x+y xy xy xy x y xy xy 1 x2 x Tương tự và suy : A x+y+z – ( xy yz zx ) = x+y+z– 2 xy 1 Maø x+y+z xy yz zx = A minA = x=y=z= 2 ln x Baøi 19: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá y = trên đoạn [1; e3] x ÑS: Maxy = , miny = e 2 Baøi 20: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá y = sin x + cos x HD: Đặt t = sin x Do sin x nên t Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN f(t) = t + với t Lập bảng biến thiên f(t) ta kết t Maxf = t = t = 4, minf = t = Baøi 21: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá y = sin6x + cos6x + sinxcosx HD: Biến đổi y = 1– sin22x + sin2x và đặt t = sin2x, t [–1;1] 13 1 Keát quaû: Max y = t = sin2x = , miny = t = sin2x = –1 12 Bài 22: Tìm GTLN f(x) = | x3+3x2– 72x + 90 | trên đoạn [–5;5] HD: Đặt g(x) = x3+3x2– 72x + 90 Tìm Max g = 400, ming = –86 –86 g(x) 400 , x [–5; 5] –400 g(x) 400 , x [–5; 5] |g(x)| 400, x [–5; 5] f(x) 400, x [–5; 5] Max f(x) = 400 x = –5 Lop12.net (4) Trang Baøi 23: Tìm GTNN cuûa haøm soá y = x3 + 1 – x2 – – 2x – , với x > x x x t (BÑT Coâsi) x 1 x2 + = t2 – 2, x3 + = t3 – 3t x x y = f(t) = t – t – 5t + , t Laäp BBT y = – t = HD: Ñaët t = x + Baøi 24: Tìm GTNN cuûa haøm soá y = tg3x– HD: Ñaët t = tgx t > + 2, với < x < 2 cos x 23 t = 27 Bài 25: Chứng minh BĐT: x + 2x lnx + 3, với x > HD: Xeùt haøm f(x) = x2 + 2x – 4lnx BBT minf = x = f(x) 3, x > x y m Baøi 26: Cho x, y thoûa maõn: 2 x y m y = t3 – t2 + Laäp BBT ta coù y = Tìm GTLN, GTNN cuûa F = xy – 6(x+y) x y m Giaûi: Ta coù: xy m Theo định lí Vi–et đảo thì x,y là nghiệm phương trình t2 – mt + m2 – = (*) x, y tồn (*) có nghiệm – m Khi đó F = m2 – 6m – 3, với – m Lập bảng biến thiên F ta minF = –11 m = x = y = 1, maxF = 13 m = –2 x = y = –1 Baøi 27: Cho x, y thoûa maõn x + y = x2 + y2 Tìm GTLN cuûa F = xy x y m x y m 2 Giaûi: Ñaët x +y = x + y = m thì coù: m2 m x y m xy m2 m Theo định lí Vi–et đảo thì x,y là nghiệm phương trình t – mt + = (*) m2 m x, y toàn taïi (*) coù nghieäm m Laäp BBT cuûa F = xy = treân [0;2] ta coù maxF = m= x = y = cos x sin x Baøi 28 : Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá : y = sin x cos x 3t 2t HD: t = sin2x, t Xeùt haøm soá f(t) = ta : minf = t = 1, maxf = 3t 2t t= Vaäy miny = sin2x = 1, maxy = sin2x= 3 Lop12.net (5) Trang Lop12.net (6)