Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình Schrodinger: - Trong cơ học lượng tử, nơi tính đến những tính chất sóng của hạt vật chất, việc mô tả trạng thái của hạt và chuyển động của nó về nguyên tắc khác với cách thứ[r]
(1)CƠ SỞ ĐỂ NGHIÊN CỨU SỰ VẬN ĐỘNG CỦA VẬT CHẤT TRONG THẾ GIỚI VI MÔ Th.s ĐỖ CUNG TRĂNG – Khoa: Tự nhiên Trong năm gần đây sinh viên ngành Vật lý học phần Vật lý lượng tử, đó là môn thuộc phần vật lý đại Hai sách viết phần này sơ lược, việc nghiên cứu và học tập sinh viên gặp nhiều khó khăn Để cho sinh viên và độc giả có cái nhìn ban đầu cách tiếp cận dễ dàng môn học này tôi xin trình bày số kiến thức làm tảng cho sinh viên học tập và nghiên cứu môn Vật lý lượng tử I/ Toán tử: Toán tử là phép biến đổi, tác dụng lên hàm K ( K là không gian tuyến tính) biến thành hàm khác K Toán tử thường kí hiệu dấu mũ “ ^ “ trên đầu Thí dụ: a/ Aˆ ( x) ( x) d d ( x) b/ Nếu Aˆ thì Aˆ ( x) dx dx c/ A Ax Ay Az x y z Qua thí dụ trên ta thấy toán tử vừa mang tính chất đạo hàm, vừa mang tính chất véc tơ - Toán tử Laplax: 2 2 2 x y z - Toán tử Hamintơn (Toán tử lượng): Pˆ Hˆ Uˆ (rˆ ) 2m 2 Trong đó: Pˆ Pˆ Pˆ Pˆ i i i x y z 2 y z x 2 x y 2 z ˆ ˆ ˆ i j k Px i Py j Pz k y z x pˆ y i pˆ z i , y z ˆ - Toán tử động lượng: P i i Với: pˆ x i x , - Toán tử mômen động lượng: ˆ L rˆ pˆ + Định nghĩa: + Hình chiếu toán tử mômen động lượng lên các trục: Lˆ x yˆ pˆ z zˆpˆ y i y z , y z Lˆ z xˆ pˆ y yˆ pˆ x i x y x y Lˆ y zˆpˆ x xˆpˆ z i z x z x Lop12.net (2) II/ Cơ học lượng tử: Môn học nghiên cứu vận động vật chất giới vi mô gọi là môn học lượng tử 1/ Tính chất hạt vật chất giới vi mô: a/ Tính chất hạt ánh sáng: - Ta đã biết ánh sáng vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt Tính chất sóng thể tượng giao thoa, nhiễu xạ v.v…, còn tính chất hạt thể các tượng quang điện, compton v.v… - Lưỡng tính sóng hạt Einstein nêu lên thuyết lượng tử ánh sáng Theo thuyết này ánh sáng cấu tạo các hạt photon E hf Mỗi hạt có lượng: (1) và có động lượng bằng: p h (2) Từ công thức (1), (2) ta thấy rõ: đại lượng đặc trưng cho tính chất hạt (E, p), đại lượng đặc trưng cho tính chất sóng ( f , ) ánh sáng liên hệ chặt chẽ với b/ Giả thuyết De Broglie: - Chính nhờ kết luận trên đã thúc đẩy De Broglie tìm thật là ánh sáng có tính chất lưỡng tính sóng hạt, đó các chất có tính chất hạt Do ánh sáng và các chất là các dạng lượng có thể chuyển hóa cho nhau, nên De Broglie cho các chất có tính chất lưỡng tính và các hạt như: electron và sau đó đối vi hạt khác có tính chất sóng hạt - Nội dung giả thuyết De Broglie: Một vi hạt tự có lượng xác định, động lượng xác định tương ứng với sóng phẳng đơn sắc xác định: + Năng lượng vi hạt liên hệ với tần số dao động sóng tương ứng theo hệ E hf thức: (3) + Động lượng P vi hạt liên hệ với bước sóng theo hệ thức: 2 h h P k n n p , (4) Trong đó: h 2 6,6256.10 34 ( Js) : gọi là số Plăng 1,0545.10 34 ( Js) 2/ Hàm sóng Hệ thức bất định Heisenberg: a/ Hàm sóng: - Để mô tả trạng thái vi hạt, học lượng tử dùng khái niệm hàm sóng - Theo giả thuyết De Broglie, chuyển động hạt tự (hạt không chịu tác dụng ngoại lực) mô tả hàm sóng tương tự sóng phẳng đơn sắc: i ( Et pr ) i ( t k r ) ( r , t ) 0 e 0 e Hay (5) (r , t ) (r ) f (t ) i i pr Et Trong đó: ( r ) 0e , f (t ) e và biên độ 0 hàm sóng xác định bởi: 02 * * ( là liên hợp phức Lop12.net ) (3) Hàm sóng (5) gọi là sóng phẳng De Broglie - Đối với hạt chuyển động trường (hạt chuyển động không tự do) thì trạng thái hạt mô tả hàm sóng (r , t ) nó phụ thuộc phức tạp vào r , t b/ Điều kiện hàm sóng: Hàm ( r , t ) phải thỏa mãn điều kiện: - Liên tục (Đôi đạo hàm cấp theo không gian phải liên tục) - Đơn giá, hữu hạn - Chuẩn hóa: (6) dV V c/ Hệ thức bất định Heisenberg: - Giả thuyết De Broglie tồn tính chất sóng các hạt có đặc trưng chung sau: Các hạt electron, proton, nơtron, nguyên tử, phân tử và vật chuyển động nào có tính chất sóng Tuy nhiên các vật có kích thước lớn, chuyển động với vận tốc thông thường, thì theo công thức (4) có bước sóng nhỏ so với kích thước chúng - Các tính chất sóng đối tượng chuyển động nào đặc trưng hàm sóng Đại lượng dùng để xác định khả tìm thấy hạt điểm xác định nào đó không gian và gọi là mật độ xác suất ( xác suất tìm thấy hạt đơn vị thể tích) - Mặt khác: hàm sóng khoảng không gian nào đó, vì hạt có thể tìm thấy điểm nào không gian này Tuy nhiên lưỡng tính sóng hạt vi hạt không cho phép xác định đồng thời vị trí và động lượng Về mặt toán học kết luận này biểu diễn hệ thức bất xp x h định Heisenberg: (7) Trong đó: x là độ bất định vị trí p x là độ bất định động lượng Hệ thức này chứng tỏ: vị trí và động lượng hạt không thể xác định đồng thời Vị trí hạt càng xác định thì động lượng hạt càng bất định và ngược lại 3/ Phương trình Schrodinger: - Trong học lượng tử, nơi tính đến tính chất sóng hạt vật chất, việc mô tả trạng thái hạt và chuyển động nó nguyên tắc khác với cách thức áp dụng học cổ điển - Trong học cổ điển: trạng thái chất điểm xác định tọa độ và vận tốc thời điểm nào đó Trong học lượng tử, trạng thái hạt xác định xắc suất tìm thấy hạt thời điểm định vùng không gian xác định (còn hàm mô tả trạng thái vi hạt) - Để giải các bài toán liên quan đến chuyển động vi hạt Schrodinger đưa phương trình có vai trò tương tự phương trình định luật Niutơn áp dụng cho vật vĩ mô Xét vi hạt có lượng E và động lượng P xác định (Trạng thái dừng) và chuyển động trường U (r ) hàm sóng có dạng: Lop12.net (4) i Et ( r , t ) ( r )e Trong đó: E là lượng vi hạt (r ) là phần phụ thuộc vào tọa độ không gian hàm sóng (r , t ) ( r , t ) Hˆ (r , t ) Hàm sóng thỏa mãn phương trình: i t (8) (9) Trong đó: Hˆ U (r ) gọi là toán tử Hamintơn 2m (Lưu ý rằng: toán tử này không tác dụng lên hàm thời gian) 2 2 2 2 x y z là toán tử Laplax Phương trình (9) gọi là phương trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian Thay (8) vào (9) ta được: Hˆ (r ) E (r ) U (r ) (r ) E (r ) 2m 2m (r ) E U (r ) (r ) (10) Phương trình (10) gọi là phương trình Schrodinger không phụ thuộc vào thời gian - Nếu biết cụ thể dạng U (r ) , giải phương trình (10) ta tìm và E, nghĩa là xác định trạng thái và lượng vi hạt Nếu hạt chuyển động tự ( U (r ) = 0) Phương trình Schrodinger có dạng: 2mEn 2 n (r ) n (r ) n (r ) E n (r ) 2 2m r Hˆ n (r ) E n n (r ) Hay (11) Phương trình (11) gọi là phương trình trị riêng toán tử Ĥ hay phương trình Schdinger không phụ thuộc vào thời gian Trong đó: n (r ) là hàm riêng hay véc tơ riêng, En là trị riêng toán tử Ĥ 4/ Thí dụ áp dụng phương trình Schrodinger: Xét hạt chuyển động trên trục Ox trường có dạng: : < x < a U(x) = : x và x a Tức là giếng có thành vô hạn, bề rộng a Lời giải - Phương trình trị riêng hạt chuyển động giếng có dạng: Hˆ n (r ) E n n (r ) Vì hạt chuyển động theo phương ox, nên ta có: d2 n ( x) En n ( x) 2m dx Lop12.net Hˆ n ( x) E n n ( x) (5) n// ( x) Hay 2mEn n ( x) 2 (*) Với: K 2mE n 2 Đây là phương trình vi phân tuyến tính hạng có các hệ số là số và không có vế phải - Phương trình đặc trưng: r K Nghiệm phương trình đặc trưng: r iK Nghiệm tổng quát phương trình (*) là: n ( x) C1e iKx C e iKx n ( x) C1 (cos Kx i sin Kx) C (cos Kx i sin Kx) n ( x) A sin Kx B cos Kx Với: A = (C2 – C1)i B = (C2 + C1) là các số Vì hạt chuyển động giếng nên n ( x ) ngoài giếng 0, nghĩa là n (x) ngoài giếng + Áp dụng điều kiện liên tục hàm sóng (ĐK biên): Tại: x = 0: n (0) A sin K B cos K n ( x) A sin Kx Vậy: Tại x = a: n (a) A sin Ka K n a n n a Kn ( n = 1,2,3 ) Vậy nghiệm riêng toán tử là: n ( x) A sin a + Áp dụng điều kiện chuẩn hóa: B=0 n x a n ( x) dx a A sin n xdx a Vậy hàm riêng đã chuẩn hóa là: A a n sin x a a n ( x) Như ta có thể biểu diễn hàm sóng hạt chuyển động giếng là: ( x, t ) c n e n 1 2mE n 2 n 2 2mE n a2 2 - Từ biểu thức: K i Et n sin x a a n a n 2 En 2ma và Kn Vậy lượng hạt giếng phụ thuộc vào số nguyên n, nghĩa là lượng hạt biến thiên cách gián đoạn Ta nói lượng bị lượng tử hóa Lop12.net (6)