II.Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 7 trường THCS Cương Chính III.NhiÖm vô 1 Nâng cao chất lượng giảng dạy 2 RÌn cho häc sinh nh÷ thãi quen suy nghÜ khi chøng minh mét hÖ thøc h×nh häc [r]
(1)Người thực chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi Chuyên đề : Vận dụng các trường hợp tam giác vuông Định lí Pytago để chứng minh hÖ thøc h×nh häc A.Đặt vấn đề I.Lí chọn đề tài * Chúng ta đã biết từ năm 2004 – 2005 Bộ Giáo Dục & Đào Tạo đã thay SGK và đổi phương pháp dạy học THCS Môn toán nói riêng đã có thay đổi vị trí nội dung các kiến thøc Ví dụ : Phần đường trung bình tam giác từ lớp đưa lên lớp 8; phần định lí Pytago từ lớp đưa xuống lớp nhằm mục các mục đích sau đây - Tăng cường bài tập tính toán và xây dựng thêm trường hợp tam giác vuông - Xây dựng thêm tập số vô tỉ để lấp đầy trục số *Khi tôi dậy toán hình phân định lí pytago và các trường tam giác vuông tôi thấy có nhiều bài tập vận dụng các trường hợp tam giác vuông và định lí pytago để chứng minh hệ thức hình học *Khi dËy to¸n c¸c líp 8;9 vÒ m«n h×nh t«i thÊy häc sinh häc rÊt yªu nh÷ng lo¹i to¸n nµy Do ba lí trên và qua trình tìm hiểu và đã đưa giải pháp là viết chuyên để nhằm trang bị cho học sinh kỹ thường dùng để chứng minh hệ thức hình học dựa vào kiến thức đã có II.Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp trường THCS Cương Chính III.NhiÖm vô 1) Nâng cao chất lượng giảng dạy 2) RÌn cho häc sinh nh÷ thãi quen suy nghÜ chøng minh mét hÖ thøc h×nh häc IV.Phương pháp nghiên cứu 1) Phương pháp phân tích 2) Phương pháp tổng hợp 3) Phương pháp so sánh 4) Phương pháp sơ đồ hoá B.Néi dung nghiªn cøu 1) Trước hết giáo viên cần trang bị cho học sinh kiến thức và cách vận dung các trường hợp hai tam giác vuông và định lí pytago Trong phần này đòi hỏi giáo viên cần có biện pháp giúp học sinh nắm kiến thức và bước đầu vận dụng kiến thức giải các bài tập đơn giản 2) Giáo viên cần hướng dẫn học sinh thao tác suy luận khai thác từ dự kiện đã cho bài toán để tìm lời giải bài toán 3) Trong hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán giáo viên cần chuẩn bị cho mình các câu hỏi kỹ và câu hỏi dẫn dắt có tích lôgíc để hướng dẫn học sinh tứng bước suy luận để tìm lời giải 3) Khi hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán giáo viên cần phải trải qua các bước sau : 1) Tìm hiểu đề 2) T×m lêi gi¶i 3) Lập chương trình giải 4) Tr×nh bµy lêi gi¶i 5) KiÓm tra lêi gi¶i Lop7.net (2) Người thực chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi Trong phÇn nµy t«i chia thµnh bèn d¹ng to¸n c¬ b¶n sau : Dạng 1: Chứng minh hệ thức dạng a = c + d ,dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm kỹ sau tách a = m +n , sau đó chứng minh m = c và n = d m = d và n = c Dạng 2: Chứng minh hệ thức có dạng a2 + b2 = m2 , dạng này đòi hỏi học sinh nắm kỹ tìm đoạn n = b ,trong đó n và a là hai cạnh góc vuông tam giác vuông có cạnh huyÒn lµ m Dạng 3: Chứng minh hệ thức có dạng a2 + b2 = c2 + m2, dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm kỹ biến đổi sau : a2 + b2 = c2 + m2 a2 – c2 = m2 – b2 n2 = d2 ( đó n = d) D¹ng 4: Chøng minh hÖ thøc cã d¹ng a2 + b2 + c2 = m2 + 2n2 + 3d2 vµ b = c,d¹ng nµy häc sinh năm kỹ biến đổi sau : Biến đổi vế phải m2 + 2n2 + 3d2 = (m2 +d2) +2(n2+ d2 ) = a2 + 2b2 = a2 + b2 + c2 Th«ng qua bèn d¹ng nµy tèi rÌn cho häc sinh kü n¨ng chøng minh hÖ thøc h×nh häc th× ta cÇn tiến hành nào, từ đó rền luyện cho học sinh kỹ biến đổi hình học Bµi d¹y thùc nghiÖm D¹ng 1: Chøng minh hÖ thøc d¹ng a = c + d Phương pháp : Tách a = m + n ,chứng minh c = m ; n = d Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông cân A.Gọi a là điểm nào đó qua A và không c¾t ®o¹n BC KÎ BD a ; CE a Chøng minh BD + CE = DE Hoạt động GV Hoạt động HS a E A D B GT cña bµi to¸n lµ g× ? GT ABC c©n ( A = 900 ) a ®i qua A ; BD a;CE a KL BD + CE = DE KL cña bµi to¸n lµ g× ? Tõ GT tam gi¸c ABC c©n t¹i A ,cho ta biÕt Lop7.net C (3) Người thực chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi thªm ®îc g× ? HS: AB = AC ; A = 900 ; B = C = 450 Tõ GT BD a;CE a ta suy ®îc g× ? HS: Tam gi¸c ABD vu«ng t¹i D ; Tam gi¸c AEC vu«ng t¹i E Em cã nhËn xÐt g× vÒ vÞ trÝ cña ®iÓm A so víi hai ®iÓm D,E ? HS: A n»m gi÷a D vµ E Tõ ®iÒu nµy ta suy ®îc g× ? HS: DE = AD + AE (1) KL nãi g× ? HS: Chøng minh DE = BD + CE (2) Tõ (1) vµ (2) gîi cho ta ®iÒu g× ? Muèn chøng minh AD = CE ta lµm nh thÕ nµo ? HS: Chøng minh AD = CE ; AE = BD Chøng minh hai tam gi¸c ABD b»ng tam gi¸c CAE Nh vËy ta ph¶i ®i chøng minh hai tam gi¸c vu«ng b»ng Muèn chøng minh AD = CE ta ph¶i chøng minh ®iÌu g× ? AD = CE ABD = CAE AB = AC ; D = E = 900 ; DAB = ACE DAB + DBA = 900 DAB + ACE = 900 Muèn chøng minh hai tam gi¸c ABD = CAE Ta ph¶i chøng minh nh÷ng ®iÒu kiÖn g× ? Yªu cÇu häc sinh lªn b¶ng chøng minh Tõ hai tam gi¸c nµy b»ng ta cã thÓ chøng minh ®îc AE = BD kh«ng ? ABD = CAE AE = BD Nh vËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh Lop7.net (4) Người thực chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi D¹ng 2: Chøng minh hÖ thøc cã d¹ng a2 + b2 = m2 Phương pháp : Chọn số n = b , đó n và a là hai cạnh góc vuông tam giác vu«ng cã c¹nh huyÒn lµ m Bµi to¸n 2: Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi a là điểm nào đó qua A và không cắt đoạn BC KÎ BH a ; CK a Chøng minh r»ng BH2 + CK2 = AB2 Hoạt động GV Hoạt động HS K A H B GT cña bµi to¸n nãi g× ? GT ABC vu«ng c©n t¹i A KL BH2 + CK2 = AB2 §êng th¼ng a ®i qua A BH a ; CK a Ta thÊy hÖ thøc cÇn chøng minh BH2 +CK2 = AB2, hÖ thøc nµy gîi cho ta nghÜ tới định lí pytago.Cho nên ta tìm cách gán hai c¹nh CK,BH vÒ c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn lµ AB Tam gi¸c ABH lµ tam gi¸c g× ? Tam gi¸c ABH vu«ng t¹i A BH2+AH2 = AB2 Tõ kÕt qu¶ nµy ta suy thm ®îc g× ? Lop7.net C (5) Người thực chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi KL cña bµi to¸n nãi g× ? BH2 + CK2 = AB2 §iÒu nµy gîi ý cho ta ®îc g× ? AH = CK Muèn chøng minhAH = CK ,ta ph¶i chøng minh ®iÒu g× ? ABH = CAK Muèn chøng minh hai tam gi¸c nµy b»ng ta ph¶i chøng minh c¸c ®iÒu kiÖn g× ? AB = AC ; K = H = 900 ; ABH = CAK Muèn chøng minh ABH = CAK ta ph¶i chøng minh ®iÒu g× ? ABH + HAB = 900 CAK + ACK = 900 Tõ hai hÖ thøc trªn ta rót ®îc g× ? ABH = CAK GV yªu cÇu häc sinh lªn b¶ng chøng minh D¹ng 3: Chøng minh hÖ thøc cã d¹ng a2 + b2 = c2 + m2(1) Phương pháp : Để chứng minh các hệ thưc dạng này ta có số hướng sau C¸ch 1: (1) a2 – c2 = m2 – b2 n2 = d2 n = d Cách 2: Biến đổi vế phải a2+ b2 = d2 Biến đổi vế trái c2 + m2 = d2 ®pcm Bµi to¸n 3: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A KÎ AH vu«ng gãc víi BC.C/mr: AB2 + CH2 = AC2 + BH2 Hoạt động GV Hoạt động HS A B Lop7.net H C (6) Người thực chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi GT cña bµi to¸n lµ g× ? GT ABC ( A = 900 ) AH BC KL AB2 + CH2 = AC2+ BH2 KL cña bµi to¸n lµ g× ? Tõ GT tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cho ta biÕt thªm ®iÒu g× ? ABC cã : A = 900 AB2 + AC2 = BC2 B + C = 900 Tõ GT AH BC, ta suy thªm ®îc g× ? Tam gi¸c ABH vµ ACH vu«ng t¹i H Tõ kÕt qu¶ nµy cho ta biÕt thªm ®îc g× ? AB2 = BH2 + AH2 (1) AC2 = CH2 + AH2 (2) KL cña bµi to¸n nãi g× ? AB2 + CH2 = AC2 + BH2 Hệ thức này có thể biến đổi dạng nào khác kh«ng ? AB2 – BH2 = AC2 – CH2 Hiệu AB2 – BH2 có thể thay bình phương cña ®o¹n th¼ng nµo kh¸c kh«ng ? AB2 – BH2 = AH2 (3) Hiệu AC2 – CH2 thay bình phương cña ®o¹n th¼ng nµo ? AC2 – CH2 = AH2 (4) Lop7.net (7) Người thực chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi Tõ (3) vµ(4) ta suy ®îc g× ? AB2 – BH2 = AC2 – CH2 Nh vËy ta cã ®iÌu ph¶i chøng minh D¹ng 4: : Chøng minh hÖ thøc cã d¹ng a2 + b2 + c2 = m2 + 2n2 + 3d2 vµ b = c Phương pháp : Biến đổi vế này vế kia,chẳng hạn hệ thức trên tôi thường vế cồng kềnh để thực phép biến đổi Bµi tËp 4: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i C,tõ ®iÓm B kÎ BD AC ( D AC) Chøng minh AB2 + BC2 + CA2 = AD2 + 2CD2 + 3BD2 Hoạt động GV Hoạt động HS A D C B H·y vÏ mét h×nh vÏ tho¶ m·n nh÷ng ®iÒu kiÖn bài toán đã cho và ghi GT và KL bài to¸n GT KL Tõ gi¶ thiÕt BD AC cho ta biÕt thªm ®îc g× ? ABC ( CB = CA) BD AC ( D AC) AB2 + BC2 + CA2 = AD2 + 2CD2 + 3BD2 ABD ; Lop7.net BDC vu«ng t¹i D (8) Người thực chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi Tõ kÕt qu¶ nµy ta suy thªm ®îc g× ? BD2 + CD2 = CB2 AD2 + BD2 = AB2 KL cña bµi to¸n nãi g× ? AB2 + BC2 + CA2 = AD2 + 2CD2 + 3BD2 Ta hãy xuất phát từ VP hệ thức để biến đổi Ta có :VP = AD2 + 2CD2 + 3BD2 = (AD2 + BD2 ) + 2( CD2 +BD2 ) = AB2 + 2CB2 = AB2 + CB2 + CB2 = AB2 + CB2 + CA2 (CA = CB) = VT VËy VP = VT Bµi tËp tù luyÖn Bµi 1: Cho ®o¹n AC vµ BD c¾t t¹i O vµ AC vu«ng gãc víi BD Chøng minh r»ng : AB2 + AD2 + CD2 + CB2 = 2( OA2 + OB2 + OC2 + OD2 ) Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC cã ®iÓm O n»m bªn tam gi¸c KÎ OD BC ; OE AC ; OF AB Chøng minh r»ng : BD2 + CE2 + AF2 = BF2 + CD2 + AE2 C.KÕt luËn Qua việc giảng dạy toán và liềm đam mê nghề dạy học học môn toán, tôi đã tiếp cận nhiều đối tượng học sinh khác Bản thân tôi từ phía chủ quan từ kinh nghiệm thực tiễn ,tôi đã không ngừng nghiên cứu và thay đổi phương pháp giảng dạy theo chương trình đổi mới.Những vấn đề tôi nêu trên còn nhiều thiếu sót,tôi mong các đồng chí bạn bè góp ý kiến giúp tôi để tôi ngày hoàn thiện D.NhËn xÐt vµ gãp ý kiÕn cña tæ …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… Lop7.net (9) Người thực chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………… Lop7.net (10)