Đề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 môn thi: Toán

Caâu 3: 2 ñieåm Giaûi phöông trình sau.. Chứng minh rằng..[r]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008- 2009 Môn Thi: Toán- Thời gian 90 phút Caâu 1:( ñieåm ) Cho a và b là hai số chính phương lẻ liên tiếp Chứng minh a  1b  1192 Caâu 2: ( ñieåm ) Cho x, y, z là ba số thực dương có tổng Chứng minh       1  1  1   x  y  z  Caâu 3: ( ñieåm ) Giaûi phöông trình sau x  x  12  x  10 x    x  x Caâu 4: ( ñieåm ) Cho  ABC, trên ba cạnh BC, CA, AB lấy các điểm D, E, F cho AD, BE, CF cắt H Chứng minh : a) AH BH CH    AD BE CF b) AH BH CH + + ≥ HD HE HF Caâu 5: ( ñieåm ) Cho  ABC vuông A có AC=b, AB=c và đường phân giác góc A là AD =d Chứng minh 1 = + d b c Lop1.net ĐÁP ÁN Caâu 1: Vì a vaø b laø hai soá chính phöông leû lieân tieáp neân a  2k  1 vaø b  2k  3  a  1b  1  2k  2k 2k   2k   0.25ñ 0.5ñ  16k k  1 k   Vì k k  1 và k  1k   là tích số tự nhiên liên tiếp nên tích chia heát cho  k k  1 k   (1) mà k k  1k   là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho  k k  1k  3  k k  1 k  3 (2) Từ (1) và (2)  k k  1 k  12  16k k  1 k  192 2 0.5ñ 0.5ñ 0.25ñ Caâu 1 x x  y  z  x y  z 1    x x x x xy xz Tương tự   ; 1  z z y y     Neân   1  1  1    x  y  z  yz zx x y     x  y  y  z z  x   xyz 1 x y z Aùp duïng BÑT Coâsi cho ba soá döông x, y, z ta coù x  y  y  z z  x   xy yz zx  xyz Ta coù 0.5ñ 0.5ñ 1ñ     suy (1) đúng Do đó   1  1  1   x  y  z  Caâu 3: Ta coù x  x  12  x  1   x  x  12  x  10 x   x  1   x  10 x   2  VT    Vaø  x  x   x  1   VP  Maø VT = VP neân daáu “=” moãi veá phaûi xaõy  x  1 Vậy PT đã cho có nghiệm là x  1 Caâu 4: Câu a) Kẻ đường cao BK  ABD , Xét  ABD và  ABH có chung Lop1.net 1ñ 1ñ S AHC AH S ABH   AD S ABD S ADC SABH  SAHC SABH  SAHC AH (1)    AD SABD  SADC SABC SBHC  SAHB BH Tương tự (2)  BE SABC A CH S AHC  S BHC Vaø (3)  CF S ABC AH BH CH 2S ABC F E     Từ (1,2,3)  H AD BE CF S ABC SAHC SABH AH Caâu b) Ta coù   HD SBHD SCHD K C B S ABH  S AHC AH S ABH  S AHC (4)    HD S BHD  SCHD S BHC D BH S ABH  S HBC Tương tự (5)  HE S HCA SHBC  SHCA CH Vaø (6)  HC SHAB AH BH CH S HCA S HBC S HAB S HCA S HAB S HBC         Từ (4,5,6)  HD HE HF S HBC S HCA S HCA S HAB S HBC S HAB đường cao BK nên ≥ + + 2=6 ( Bất Đẳng Thức Côsi) Daáu ‘ =’ xaûy SHBC = SHCA = SHAB  H trùng với trọng tâm  ABC Caâu Trên tia đối tia AC lấy E cho AB=AE , đó  AEB vuông cân A coù EB= c A A A vaø AEB =450 maø AEB vaø =CAD A CAD vị trí so le nên EB ║ AD   ACD   ECB (G-G)  AD AC = ↔ EB CE d 2c = 0.25ñ 0.25ñ 0.25ñ 0.25ñ 0.25ñ 0.25ñ 0.25ñ 0.25ñ E b ↔ b+ c c 0.5ñ A c d B b C D 0.5ñ 0.5ñ 1 = + d b c 0.5ñ Lop1.net