Phương pháp ổn định lyapunov nghiên cứu sự ổn định toàn cục của một số mô hình dịch tễ học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN HỮU THẮNG PHƢƠNG PHÁP ỔN ĐỊNH LYAPUNOV NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH TỒN CỤC CỦA MỘT SỐ MƠ HÌNH DỊCH TỄ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN HỮU THẮNG PHƢƠNG PHÁP ỔN ĐỊNH LYAPUNOV NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH TỒN CỤC CỦA MỘT SỐ MƠ HÌNH DỊCH TỄ HỌC Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS Trần Đình Hùng THÁI NGUYÊN-2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng 11 năm 2020 Ngƣời viết luận văn Nguyễn Hữu Thắng i LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, TS Trần Đình Hùng Tơi vơ biết ơn giúp đỡ tận tình, q báu mà Thầy dành cho suốt trình thực luận văn Thầy dành cho tơi nhiều quan tâm, dẫn động viên giúp tơi hồn thành đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại họ c Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy, giáo Bộ mơn Giải tích Tốn ứng dụng nói riêng thầy, giáo Khoa Tốn nói chung tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng để luận văn đượ c hoàn thiện cách tốt điều kiện thời gian lực thân cịn hạn chế, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn để luận văn hoàn thiện ii MỤC LỤC Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mục lục iii Danh sách hình vẽ iv Mở đầu 1 Kiến thức chu ẩn bị 1.1 Bài toán giá trị ban đầu 1.2 Định lý ổn định Lyapunov 1.3 Phương pháp Ru nge-Kutta bốn nấc kinh điển 1.4 Một số mơ hình dịch tễ học cổ điển 10 Tính chất ổn định tồn cục mơ hình dịch tễ SIR, SIRS, SIS S I với biến điều khiển phản hồi 13 2.1 Các mô hình SIR SIRS 13 2.1.1 Phân tích ổn định 14 2.1.2 Các mô số 17 2.2 Mơ hình SIS cổ điển 19 2.2.1 Phân tích ổn định 19 2.2.2 Các mô số 20 2.3 Mơ hình SIS với tỷ lệ mắc bệnh chuẩn 22 2.3.1 Mơ hình tốn học 22 2.3.2 Phân tích ổn định 24 2.3.3 Các mô số 25 2.4 Các mơ hình SI với biến điều khiển phản hồi 27 2.4.1 Mô hình tốn học 27 2.4.2 Phân tích ổn định 28 2.4.3 Các mô số 31 Kết luận chung 33 Tài liệu tham khảo 34 iii DANH SÁCH HÌNH VẼ 1.1 Sơ đồ lan truyền mơ hình SIS đơn giản 11 2.1 Sơ đồ lan truyền mơ hình SIS đơn giản 14 2.2 Nghiệm mơ hình Ví dụ 2.1 18 2.3 Nghiệm mô hình Ví dụ 2.2 18 2.4 Sơ đồ lan truyền mơ hình SIS (2.14) 19 2.5 Nghiệm mơ hình Ví dụ 2.3 21 2.6 Nghiệm mơ hình Ví dụ 2.4 22 2.7 Nghiệm mơ hình (2.19) Ví dụ 2.5 26 2.8 Nghiệm mơ hình (2.19) Ví dụ 2.6 26 2.9 Nghiệm mơ hình (2.34) với tham số cho (2.42) 31 2.10 Nghiệm (S, I) mơ hình với điều khiển phản hồi 32 2.11 Nghiệm (u 1, u 2) mơ hình với điều khiển phản hồi 32 iv MỞ ĐẦU Các phương trình vi phân đạo hàm thường có vai trị bật lý thuyết lẫn ứng dụng Chúng thường sử dụng để mơ hình hóa cách hiệu nhiều tượng trình quan trọng nảy sinh giới thực Một cách tổng quát, phương trình vi phân thường viết dạng y(t) ˙ = f (t, y(t)) (1) y˙ = f (t, y), (2) ngắn gọn y˙ ký hiệu cho đạo hàm theo biến t (biến thời gian) hàm y(t), I ⊂ R, U ⊂ Rn tập mở, hàm vế phải f : I × U → Rn giả thiết hàm trơn, tức khả vi liên tục Việc nghiên cứu phương trình vi phân thường nảy sinh lĩnh vực ứng dụng có vai trị đặc biệt quan trọng Chủ đề thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác suốt nhiều năm qua, chẳng hạn, thiết lập mô hình, nghiên cứu định tính lời giải số Một ứng dụng bật quan trọng phương trình vi phân thường để mơ hình tốn học bệnh truyền nhiễm dịch tễ học (epidemic models) Như biết, dịch tễ học mơn khoa học nghiên cứu tình trạng sức khỏe, bệnh tật yếu tố liên quan cấp độ dân số Dịch tễ học khoa học tảng y tế công cộng với vai trò nâng cao sức khỏe cộng đồng Một số thành tựu quan trọng dịch tễ học kể đến tốn bệnh đậu mùa, điều trị nhiễm độc Methyl thủy ngân, điều trị bệnh sốt thấp tim bệnh thấp tim, kiểm soát lây truyền phòng ngừa bệnh truyền nhiễm, Trong toán học, lan truyền nhiều bệnh truyền nhiễm, tiêu biểu sởi, quai bị, rubella, thủy đậu, mơ hình thơng qua hệ phương trình vi phân thường Việc thiết lập mơ hình tốn học nghiên cứu tính chất chúng giúp hiểu rõ chế lây lan bệnh dịch, từ đề xuất sách hiệu để phịng ngừa, kiểm sốt điều trị bệnh tật Nói riêng, việc nghiên cứu tính chất ổn định tiệm cận tồn cục mơ hình dịch tễ học có vai trị đặc biệt quan trọng thực tế Bài toán thu hút quan tâm nhiều nhà toán học, kỹ thuật, sinh học, dịch tễ học suốt nhiều thập kỷ qua Một cách tiếp cận thành cơng tới tốn phương pháp ổn định Lyapunov Phương pháp nghiên cứu ổn định hệ động lực dựa việc xác định hàm số phù hợp, gọi hàm Lyapunov Cho tới nay, ổn định nhiều hệ phương trình vi phân quan trọng nảy sinh lĩnh vực ứng dụng nói chung mơ hình dịch tễ học nói riêng thiết lập thành công dựa phương pháp ổn định Lyapunov Các kết thu quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân khía cạnh ứng dụng Chính lý trên, đề tài "Phương pháp ổn định Lyapunov nghiên cứu ổn định toàn cục số mơ hình dịch tễ học" thực với mục tiêu tìm hiểu việc sử dụng phương pháp ổn định Lyapunov cho số mơ hình dịch tễ học Các ý nghĩa thực tế thu từ việc thiết lập ổn định cho mơ hình nghiên cứu tìm hiểu Ngồi việc tìm hiểu mặt lý thuyết, mơ số trình bày để minh họa cho kết lý thuyết Ngoài phần "Mở đầu", "Kết luận" "Tài liệu tham khảo", kết luận văn trình bày chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Tính chất ổn định tồn cục mơ hình dịch tễ SIR, SIRS, SIS SI với biến điều khiển phản hồi Chương Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày số kiến thức chuẩn bị quan trọng bao gồm tốn giá trị ban đầu phương trình vi phân cấp một, định lý ổn định Lyapunov, phương pháp Runge-Kutta bốn nấc kinh điển số mô hình dịch tễ học cổ điển Phần trình bày chương dựa tài liệu [1, 3, 7, 9, 10, 11] 1.1 Bài toán giá trị ban đầu Cho D ⊂ Rn+1 tập mở với phần tử D viết dạng (t, y) t vơ hướng thực (real scalar) giả sử f : D → Rn hàm trơn, tức khả vi liên tục Một phương trình vi phân thường phương trình có dạng y(t) ˙ = f (t, y(t)), (1.1) y˙ = f (t, y), (1.2) ngắn gọn với y˙ đạo hàm theo biến t (biến thời gian) hàm t, y véc-tơ biến trạng thái Định nghĩa 1.1 ([7]) Ta nói y nghiệm phương trình (1.1) I ⊂ R y hàm khả vi liên tục xác định I , (t, y(t)) ∈ D, t ∈ I y thỏa mãn (1.1) I Ví dụ 2.3 Xét mơ hình (2.14) với tham số cho γ = 0.5, = 0.0001, β = 0.5, p = 0.25, σ = 0.1, δ = 0.1, N = 1000 (2.17) Trong ví dụ R0 = 3.3289 > nên điểm cân E ∗ = (150.2, 4844.8) ổn định tiệm cận toàn cục Nghiệm số thu từ phương pháp Runge-Kutta với h = 10−5 t ∈ [0, 100] biểu diễn trường hợp biểu diễn Hình 2.5 Rõ ràng E ∗ ổn định tiệm cận toàn cục 5000 E* 4500 4000 3500 I 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 500 1000 1500 S Hình 2.5: Nghiệm mơ hình Ví dụ 2.3 Ví dụ 2.4 Xét mơ hình (2.14) với tham số cho γ = 0.6, = 0.0001, β = 0.6, p = 0.25, σ = 0.1, δ = 0.1, N = 1000 (2.18) Trong ví dụ R0 = 7.1856 > nên điểm cân E ∗ = (83.5, 5910.4) ổn định tiệm cận toàn cục Nghiệm số thu từ phương pháp Runge-Kutta với h = 10−5 t ∈ [0, 100] biểu diễn trường hợp biểu diễn Hình 2.6 Rõ ràng E ∗ ổn định tiệm cận toàn cục 21 6000 E* 5000 I 4000 3000 2000 1000 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 S Hình 2.6: Nghiệm mơ hình Ví dụ 2.4 2.3 Mơ hình SIS với tỷ lệ mắc bệnh chuẩn Trong mục này, chúng tơi trình bày lớp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính chất ổn định tồn cục mơ hình SIS với tỷ lệ mắc bệnh chuẩn Phần trình bày mục dựa trện tài liệu [12] 2.3.1 Mơ hình tốn học Xét hệ phương trình vi phân thường mơ tả mơ hình SIS dS βSI =Λ− − µS + φI, dt S+I dI βSI = − (α + µ + φ)I, dt S+I (2.19) tham số mơ hình dương Chi tiết mơ hình trình bày [12] Đặt N (t) = S(t) + I(t) Từ hệ (2.19), ta thu dN = Λ − µN − αI dt (2.20) dN ≤ Λ − µN dt (2.21) Do đó, 22 Từ (2.21) ta nhận lim sup N (t) = N ∗ = t→∞ Λ µ (2.22) Từ (2.22) ta coi tập Ω := (S, I) S, I ≥ 0, S + I ≤ Λ/µ (2.23) tập bất biến dương mơ hình (2.19) đó, ta cần nghiên cứu tính chất ổn định mơ hình tập Ω Để xác định điểm cân (2.19), ta xét hệ βSI − µS + φI = 0, S+I βSI − (α + µ + φ)I = S+I Λ− (2.24) Giải hệ (2.24) ta thu (S, I) = Λ , , µ (S, I) = Λ (R0 − 1)Λ , , µ + (α + µ)(R0 − 1) µ + (α + µ)(R0 − 1) R0 = β α+µ+φ (2.25) Định lý 2.5 ([12]) Mơ hình (2.19) ln ln có điểm cân biên E0 = (S0 , I0 ) = Λ , µ (2.26) với giá trị tham số Mặt khác, R0 mơ hình có điểm cân dương xác định E ∗ = (S ∗ , I ∗ ) = Λ (R0 − 1)Λ , µ + (α + µ)(R0 − 1) µ + (α + µ)(R0 − 1) 23 (2.27) 2.3.2 Phân tích ổn định Trong mục này, phân tích ổn định điểm cân E0 E ∗ dựa hàm Lyapunov phù hợp Định lý 2.6 Nếu R0 ≤ 1, điểm cân E0 ổn định tiệm cận toàn cục Chứng minh Xét hàm V : Ω → R, xác định V (S, I) = I (2.28) Đạo hàm hàm V dọc quỹ đạo nghiệm (2.19) thỏa mãn βSI dI I2 dV =I =I − (α + µ + φ)I = −(α + µ + φ) (1 − R0 )S + I dt dt S+I S+I Rõ ràng, dV /dt ≤ với (S, I) ∈ Ω dV /dt = I = Theo nguyên lý bất biến LaSalle [9] ta kết luận E0 ổn định tiệm cận tồn cục Định lý 2.7 Nếu R0 > 1, điểm cân dương (2.19) ổn định tiệm cận toàn cục Chứng minh Xét hàm V : Ω → R, xác định V (S, I) = (S − S ∗ ) + (I − I ∗ ) − (S ∗ + I ∗ ) ln S+I S∗ + I ∗ (α + 2µ)(S ∗ + I ∗ ) I ∗ ∗ I − I − I ln + βI ∗ I∗ (2.29) Dễ dàng kiểm tra hàm V xác định, liên tục xác định dương với S, I > Do E ∗ điểm cân dương nên ta có Λ = µ(S ∗ + I ∗ ) + αI ∗ , βS ∗ (α + µ + φ) = ∗ S + I∗ 24 (2.30) Tính tốn đạo hàm hàm V dọc quỹ đạo nghiệm (2.19) ta nhận (S + S ∗ )(I + I ∗ ) d(S + I) (α + 2µ)(S ∗ + I ∗ ) I − I ∗ dI + , V = S+I dt βI ∗ I dt (S + S ∗ )(I + I ∗ ) = Λ − µ(S + I) − αI S+I (α + 2µ)(S ∗ + I ∗ ) I − I ∗ βSI + − (α + µ + φ)I βI ∗ I S+I (2.31) Sử dụng (2.30) ta thu (S + S ∗ )(I + I ∗ ) V = − µ(S − S ∗ ) − (α + µ)(I − I ∗ ) S+I (α + 2µ)(S ∗ + I ∗ ) S S∗ ∗ + (I − I ) − βI ∗ S + I S∗ + I ∗ (2.32) Sử dụng phép biến đổi đại số ta nhận (S − S ∗ )2 S ∗ (I − I ∗ )2 V = −µ − α + µ + (α + 2µ) ∗ S+I I S+I (2.33) Rõ ràng V < với S, I > ngoại trừ điểm cân E ∗ , V (E ∗ ) = Do đó, theo định lý ổn định Lyapunov ta kết luận E ∗ ổn định tiệm cận tồn cục 2.3.3 Các mơ số Trong mục này, chúng tơi trình bày số mơ số để khẳng định tính đắn kết lý thuyết Ví dụ 2.5 Xét mơ hình (2.19) với tham số Λ = 0.25, β = 0.2, α = 0.25, µ = 0.3, φ = 0.25 Trong trường hợp R0 = 0.25 < nên điểm cân E0 = (3, 0) ổn định tiệm cận toàn cục Nghiệm mơ hình biểu diễn Hình 2.7 Rõ ràng, E0 ổn định tiệm cận toàn cục 25 30 25 I 20 15 10 E0 0 10 20 30 40 50 60 S Hình 2.7: Nghiệm mơ hình (2.19) Ví dụ 2.5 Ví dụ 2.6 Xét mơ hình (2.19) với tham số Λ = 0.25, β = 0.9, α = 0.25, µ = 0.3, φ = 0.25 Trong trường hợp R0 = 1.1250 > nên điểm cân E ∗ = (2.4358, 0.3072) ổn định tiệm cận toàn cục Nghiệm mơ hình biểu diễn Hình 2.8 Rõ ràng, E ∗ ổn định tiệm cận toàn cục 30 25 I 20 15 10 E* 0 10 20 30 40 50 60 S Hình 2.8: Nghiệm mơ hình (2.19) Ví dụ 2.6 26 2.4 Các mơ hình SI với biến điều khiển phản hồi Trong phần này, chúng tơi trình bày dịch tễ SI với biến điều khiển phản hồi đề xuất Chen Sun [6] tính chất ổn định tồn cục mơ hình Cùng với đó, mơ số trình bày để hỗ trợ cho kết lý thuyết 2.4.1 Mô hình tốn học Xét mơ hình dịch tế SI sau: ˙ S(t) = S(t) r − aS(t) − bI(t) , ˙ = I(t) bS(t) − µ − f I(t) , I(t) (2.34) dân số chia thành hai nhóm: nhóm người khỏe mạnh bị nhiễm bệnh tác nhân gây bệnh S nhóm người bị nhiễm bệnh truyền bệnh I , tham số mơ hình dương Chi tiết mơ hình trình bày [6] Để tìm điểm cân dương (2.34), ta giải hệ aS − bI = rbS − f I = µ (2.35) Khi điểm cân xác định E ∗ = (S ∗ , I ∗ ) = bµ + f r −aµ + br , , af + b2 af + b2 (2.36) điều kiện để điểm cân dương tồn br > aµ Định lý 2.8 Điểm cân dương E ∗ hệ (2.34) ổn định tiệm cận toàn cục Chứng minh Xét hàm Lyapunov V (S, I) = S ∗ S S I I − ln ∗ − + I ∗ ∗ − ln ∗ − ∗ P S I I 27 Sử dụng (2.35) số phép biến đổi đại số ta thu V˙ (S, I) = (S − S ∗ ) − a(S − S ∗ ) − b(I − I ∗ ) + (I − I ∗ ) b(S − S ∗ ) − f (I − I ∗ ) = a(S − S ∗ )2 − f (I − I ∗ )2 Vì nhờ định lý ổn định Lyapunov kết luận E ∗ ổn định tiệm cận toàn cục Định lý chứng minh Từ Định lý (2.34) ta suy br > aµ limt→∞ (S(t), I(t)) = (S ∗ , I ∗ ), tức ln ln có người bị nhiễm bệnh cộng đồng Do đó, Chen Sun [6] đề xuất cách tiếp cận hiệu để hạn chế ngăn chặn tác nhân gây bệnh, mơ hình với điều khiển phản hồi S (t) = S(t) r − aS(t) − bI(t) − c1 u1 (t) , I (t) = I(t) bS(t) − µ − f I(t) − c2 u2 (t) , (2.37) u1 (t) = −e1 u1 (t) + d1 S(t), u2 (t) = −e2 u2 (t) + d2 I(t), u1 u2 biến điều khiển phản hồi tham số e1 , e2 , d1 d2 dương Trong mục trình bày tính chất ổn định tồn cục mơ hình (2.37) để chứng minh mơ hình hiệu hạn chế ngăn chặn tác nhân gây bệnh 2.4.2 Phân tích ổn định Trước tiên ta định nghĩa số Υ0 = (br − aµ)e1 c1 d1 µ 28 (2.38) Để tìm điểm cân mơ hình (2.37) ta xét hệ S r − aS − bI − c1 u1 = 0, I bS − µ − f I − c2 u2 = 0, (2.39) − e1 u1 + d1 S = 0, − e2 u2 + d2 I = Mệnh đề 2.1 ([6]) Mơ hình (2.37) ln ln có điểm cân biên re1 (disease-free equilibrium) E S , 0, u01 , , S = ae1 + c1 d1 rd1 u01 = với giá trị tham số Nếu Υ0 > 1, mơ hình ae1 + c1 d1 có điểm cân dương E S ∗ , I ∗ , u∗1 , u∗2 cho bµ + r f + S∗ = ∆ c2 d2 e2 br − aµ − µ , I∗ = c1 d1 e1 ∆ ∗ ∗ d2 I c1 d1 d1 S , u∗2 = , ∆ = b2 + a + u∗1 = e1 e2 e1 , f+ (2.40) c2 d2 e2 Nhờ hàm Lyapunov, thiết lập tính chất ổn định tồn cục E E Định lý 2.9 (i) Nếu Υ0 ≤ 1, E S , 0, u01 , ổn định tiệm cận tồn cục (ii) Nếu Υ0 > 1, E S ∗ , I ∗ , u∗1 , u∗2 ổn định tiệm cận toàn cục Chứng minh (a) Chứng minh (i) Xét hàm Lyapunov V (S, I, u1 , u2 ) = S − S ln S c1 c2 − S0 + I + (u1 − u01 )2 + u S 2d1 2d2 29 Ta có V˙ (S, I, u1 , u2 ) = (S − S ) r − aS − bI − c1 u1 + I bS − µ − f I − c2 u2 c1 + (u1 − u01 )(−e1 u1 + d1 S) d1 c2 + u2 (−e2 u2 + d2 I) d2 Sử dụng (2.40) phép biến đổi ta thu V˙ = −a(S − S )2 − µ − bre1 c1 e c2 e 2 I− (u1 − u1 )2 − u ae1 + c1 d1 d1 d2 Do Υ0 < hàm V thỏa mãn định lý ổn định Lyapunov Từ ta kết luận E ổn định tiệm cận toàn cục (b) Chứng minh (ii) Xét hàm Lyapunov S I ∗ ∗ − S − I∗ + I − I ln ∗ ∗ S I 2 c2 ∗ ∗ u1 − u1 + u2 − u2 2d2 V (S, I, u1 , u2 ) = S − S ∗ ln c1 + 2d1 (2.41) Một cách tương tự ta có c1 e c2 e V˙ = −a(S − S ∗ )2 − f (I − I ∗ )2 − (u1 − u∗1 )2 − (u2 − u∗2 )2 d1 d2 Rõ ràng hàm V thỏa mãn định lý ổn định Lyapunov Từ ta kết luận E ∗ ổn định tiệm cận toàn cục Chú ý 2.2 Từ định lý 2.9 ta thấy biến điều khiển phản hồi hiệu việc hạn chế ngăn chặn bệnh dịch ta lựa chọn giá trị biến điều khiển cho Υ0 < Khi limt→∞ I(t) = 0, có nghĩa số người bị nhiễm bệnh giảm dần 30 2.4.3 Các mô số Đầu tiên xét mơ hình SI gốc (2.34) với tham số r = 0.75, a = 0.025, b = 0.25, mu = 0.5, f = 0.02 (2.42) Với tham số trên, điểm cân mơ hình E ∗ = (2.2222, 2.7778) ổn định tiệm cận toàn cục Nghiệm số thu từ phương pháp RungeKutta với h = 10−5 t ∈ [0, 500] trường hợp biểu diễn Hình 2.9 Rõ ràng E ∗ ổn định tiệm cận toàn cục 18 16 14 12 I 10 0 10 12 S Hình 2.9: Nghiệm mơ hình (2.34) với tham số cho (2.42) Với mơ hình với điều khiển phản hồi (2.37) ta lựa chọn c1 = 5, d1 = 5, e1 = 200, c2 = d2 = e2 = (2.43) Với tham số Υ = 0.4 < Do điểm cân biên (1.6, 0, 0.4, 0) 31 ổn định tiệm cận toàn cục Nghiệm số thu từ phương pháp RungeKutta với h = 10−5 t ∈ [0, 50] biểu diễn trường hợp biểu diễn Hình 2.10 , 2.11 Rõ ràng điểm cân biên ổn định tiệm cận toàn cục 4.5 3.5 I 2.5 1.5 0.5 (S0, 0) 10 S Hình 2.10: Nghiệm (S, I) mơ hình với điều khiển phản hồi 2.5 I 1.5 0.5 (u01, 0) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 S Hình 2.11: Nghiệm (u1 , u2 ) mơ hình với điều khiển phản hồi Qua ví dụ ta thấy hiệu biến điều khiển phản hồi hạn chế ngăn chặn tác nhân gây bệnh Dựa mơ hình với điều khiển phản hồi, đề xuất sách phương pháp hiệu ngăn chặn tác nhân gây bệnh 32 KẾT LUẬN CHUNG Luận văn trình bày hướng nghiên cứu lĩnh vực giải tích tốn học ứng dụng Nội dung luận văn tập trung vào việc tìm hiểu trình bày cách hệ thống số ứng dụng quan trọng lý thuyết ổn định Lyapunov nghiên cứu ổn định mơ hình dịch tễ SIR, SIRS, SIS SI với biến điều khiển phản hồi Các kết thu có ý nghĩa quan trọng lý thuyết lẫn ứng dụng Các chứng minh lý thuyết hỗ trợ mô số Mở rộng kết trình bày cho mơ hình dịch tễ có tính chất tương tự hướng nghiên cứu 33 Tài liệu tham khảo [1] L J.S Allen (2006), An Introduction to Mathematical Biology, Pearson [2] R.M Anderson, R.M May (1991), Injectious Diseases in Humans: Dynamics and Control, Oxford University Press Oxford [3] U M Ascher, L R Petzold (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, Society for Industrial and Applied Mathematics [4] N T J Bailey (1975), The Mathematical Theory of Infectious Diseases and Its Applications, Griffin, London [5] S Busenberg, K Cooke (1993), Vertically Tmnsmitted Diseases: Models and Dynamics, Springer, Berlin [6] L Chen, J Sun (2014), Global stability of an SI epidemic model with feedback controls, Applied Mathematics Letters 28, 53-55 [7] J K Hale (2009), Ordinary differential equations, Courier Corporation [8] A Korobeinikov, G C Wake (2002), Lyapunov functions and global stability for SIR, SIRS, and SIS epidemiological models, Applied Mathematics Letters, Volume 15, Issue 8, Pages 955-960 [9] J La Salle, S Lefschetz (1961), Stability by Liapunov’s Direct Method, Academic Press, New York 34 [10] M Martcheva (2015), An Introduction to Mathematical Epidemiology, Springer Science+Business Media, New York [11] A Stuart, A R Humphries (1998), Dynamical Systems and Numerical Analysis, Cambridge University Press [12] C Vargas-De-Leon (2011), On the global stability of SIS, SIR and SIRS epidemic models with standard incidence, Chaos, Solitons & Fractals 44 1106-1110 35 ... tài "Phương pháp ổn định Lyapunov nghiên cứu ổn định toàn cục số mơ hình dịch tễ học" thực với mục tiêu tìm hiểu việc sử dụng phương pháp ổn định Lyapunov cho số mơ hình dịch tễ học Các ý nghĩa...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN HỮU THẮNG PHƢƠNG PHÁP ỔN ĐỊNH LYAPUNOV NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH TỒN CỤC CỦA MỘT SỐ MƠ HÌNH DỊCH TỄ HỌC Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02... Một cách tiếp cận thành cơng tới tốn phương pháp ổn định Lyapunov Phương pháp nghiên cứu ổn định hệ động lực dựa việc xác định hàm số phù hợp, gọi hàm Lyapunov Cho tới nay, ổn định nhiều hệ phương