Phép chia đa thức nhiều biến và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN NGỌC BIÊN PHÉP CHIA ĐA THỨC NHIỀU BIẾN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60 46 40 Thái Nguyên, năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ▼ô❝ ❧ô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✶ P❤Ð♣ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ♠ét ❜✐Õ♥ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ✺ ✶✳✶ P❤Ð♣ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✷ ❚❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ➢í❝ ❝❤✉♥❣ ❧í♥ ♥❤✃t ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✶✳✸ ❱➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♠ét ❜✐Õ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ P❤Ð♣ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ị✉ ❜✐Õ♥ ✷✶ ✷✳✶ ■➤➟❛♥ ➤➡♥ t❤ø❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶ ✷✳✷ ▼ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ✈Ò ✐➤➟❛♥ ➤➡♥ t❤ø❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ✷✳✸ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ✷✳✹ ❈➡ së ●r♦❡❜♥❡r ✈➭ ♠ét sè ø♥❣ ❞ô♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✷✳✺ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❇✉❝❤❜❡r❣❡r ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷ ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ❙❛✉ ♠ét t❤ê✐ ❣✐❛♥ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✱ ❧✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ ❝đ❛ t➠✐ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ✈í✐ t➟♥ ➤Ị t➭✐ ❵❵ P❤Ð♣ ❝❤✐❛ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ị✉ ❜✐Õ♥ ✈➭ ♠ét sè ø♥❣ ❞ơ♥❣✧ ✳ ◆❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ ❜❛♥ ➤➬✉ ♠➭ t➠✐ t❤✉ ➤➢ỵ❝ ➤ã ❧➭ ♥❤ê sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ✈➭ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝ ❝đ❛ P ị tỏ ò ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ ➤Õ♥ ❝➠✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ●✐➳♠ ❤✐Ư✉✱ ♣❤ß♥❣ ➜➭♦ t➵♦ ✈➭ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ❝ñ❛ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝❤♦ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ➤Ị t➭✐ ♥➭② tr♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ q✉❛✳ ➜é✐ ♥❣ị ❝➳♥ ❜é t❤✉é❝ ♣❤ß♥❣ ➜➭♦ t➵♦ ✈➭ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ➤➲ ❤Õt ❧ß♥❣ đ♥❣ ❤é✱ ❣✐ó♣ ➤ì ❧í♣ ❝❛♦ ❤ä❝ ❑✸ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ✈í✐ ♠ét t❤➳✐ ➤é ♥❤✐Ưt t×♥❤✱ t❤➞♥ t❤✐Ư♥ ♥❤✃t✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② sÏ ♠➲✐ ❧➭ ✃♥ t➢ỵ♥❣ r✃t tèt ➤Đ♣ tr ò ỗ ú t ố trờ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❙ë ◆é✐ ✈ô✱ ❙ë ●✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➜➭♦ t➵♦ tØ♥❤ ❇➽❝ ●✐❛♥❣✱ tr➢ê♥❣ ❚❍P❚ ❇è ❍➵✱ tæ ❚♦➳♥✲❚✐♥ tr➢ê♥❣ ❚❍P❚ ❇è ❍➵ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝❤♦ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❦❤ã❛ ❤ä❝ ♥➭②✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ì ữ q t t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ❝ỉ ✈ị ➤Ĩ t➠✐ ❝ã t❤Ĩ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ♥❤✐Ư♠ ✈ơ ❝đ❛ ♠×♥❤✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ❈❤ó♥❣ t❛ ❜✐Õt r➺♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ ➤➲ ❝ã tõ r✃t ❧➞✉ ✈➭ ❝ã ♥❤✐Ò✉ ø♥❣ ❞ơ♥❣ q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ t♦➳♥ ❤ä❝✳ ➜➷❝ ❜✐Ưt✱ t❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ ❧➭ ♠ét ❝➠♥❣ ❝ơ r✃t ♠➵♥❤ ✈➭ r✃t ❤÷✉ ❤✐Ö✉ tr♦♥❣ ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ✈➭ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♠ét ❜✐Õ♥ tr➟♥ ♠ét tr➢ê♥❣✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥❤✐Ị✉ ❜✐Õ♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❦❤➠♥❣ ❝ã t❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ ✈× ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ị✉ ❜✐Õ♥ ò ữ t í ó ũ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ✈➭♥❤ ❝❤Ý♥❤✱ ✈➭ ❞♦ ➤ã ❝❤➢❛ ❝ã ➤➢ỵ❝ ❵❵♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢✬✬✳ ❱× t❤Õ✱ r✃t tù ♥❤✐➟♥✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ❝➬♥ t×♠ ♠ét ❝➠♥❣ ❝ơ ➤Ĩ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ị✉ ❜✐Õ♥ ❤÷✉ ❤✐Ư✉ ♥❤➢ t❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♠ét ❜✐Õ♥✳ ▲ý t❤✉②Õt ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r r❛ ➤ê✐ ♠ét ♣❤➬♥ ♥❤➺♠ ➤➳♣ ø♥❣ ♥❤÷♥❣ ♥❤✉ ❝➬✉ ❝➬♥ t❤✐Õt ➤ã✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ➤➢ỵ❝ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❧➬♥ ➤➬✉ t✐➟♥ ❜ë✐ ❍✳ ❍✐r♦♥❛❦❛ ✈➭♦ ❣✐÷❛ ♥❤÷♥❣ ♥➝♠ ✶✾✻✵ ✈í✐ t➟♥ ❵❵❝➡ së ❝❤✉➮♥✧✱ ✈➭ s❛✉ ➤ã ♠ét t❤ê✐ ❣✐❛♥ ♥❣➽♥✱ ➤é❝ ❧❐♣ r ệ ợ trì tr ➳♥ t✐Õ♥ sÜ ❝ñ❛ ❇✳ ❇✉❝❤❜❡r❣❡r✳ ❇✉❝❤❜❡r❣❡r ➤➲ ➤➷t t➟♥ ❧➭ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ➤Ĩ tá ❧ß♥❣ ❦Ý♥❤ trä♥❣ ❲✳ ●r♦❡❜♥❡r✱ t❤➬② ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❧✉❐♥ ➳♥ ❝đ❛ ♠×♥❤✳ ❈➡ së ●r♦❡❜♥❡r ❝ã ø♥❣ ❞ơ♥❣ ré♥❣ r➲✐ tr♦♥❣ ♥❤✐Ị✉ ♥❣➭♥❤ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ❝đ❛ t♦➳♥ ❤ä❝✳ ➜➷❝ ❜✐Ưt✱ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ❧➭ ♠ét ❝➠♥❣ ❝ơ r✃t ♠➵♥❤ tr♦♥❣ ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ q✉②Õt ♥❤÷♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈Ò ➤❛ t❤ø❝ ✈➭ ✐➤➟❛♥ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ị✉ ❜✐Õ♥ tr➟♥ ♠ét tr➢ê♥❣✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ✈Ị ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ♠ét ❜✐Õ♥ tr➟♥ tr➢ê♥❣✱ tõ ➤ã ①➞② ❞ù♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ị✉ ❜✐Õ♥ ✈➭ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ♠ét ♣❤➬♥ ❧Ý t❤✉②Õt ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ✷ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ✶ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ♠ét ❜✐Õ♥ ✈➭ ữ ụ tt t tì ♥❤✃t ❝đ❛ ❤❛✐ ➤❛ t❤ø❝✱ t❤✉❐t t♦➳♥ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➢í❝ ❝❤ó♥❣ ❧í♥ ♥❤✃t t❤➭♥❤ tỉ ❤ỵ♣ t✉②Õ♥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹ tÝ♥❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ➤➲ ❝❤♦✱ ❜➭✐ t♦➳♥ trơ❝ ❝➝♥ t❤ø❝ ë ♠➱✉ sè✱ ❜➭✐ t♦➳♥ t×♠ ♣❤➬♥ tư s✐♥❤ ❝đ❛ tỉ♥❣ ✈➭ ❣✐❛♦ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♠ét ❜✐Õ♥✳✳✳ ❈❤➢➡♥❣ ✷ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ị✉ ❜✐Õ♥✳ P❤➬♥ ➤➬✉ ❝ñ❛ ❈❤➢➡♥❣ ✷ ①Ðt ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ➤➡♥ t❤ø❝ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥✱ tõ ➤ã ①➞② ❞ù♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥✳ P❤➬♥ t✐Õ♣ t❤❡♦ tr×♥❤ ❜➭② ✈Ị ✐➤➟❛♥ ❞✃✉✱ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ✈➭ t❤✉❐t t♦➳♥ ❇✉❝❤❜❡r❣❡r ➤Ĩ t×♠ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r✳ ❚õ ➤ã ø♥❣ ❞ơ♥❣ ➤Ĩ tr➯ ❧ê✐ ❝➳❝ ❝➞✉ ❤á✐ ❦❤✐ ♥➭♦ t❤× ➤❛ t❤ø❝ ❞➢ ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✱ ❣✐➯✐ q✉②Õt ❜➭✐ t♦➳♥ t❤➭♥❤ ✈✐➟♥ ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✳✳✳ ❍➬✉ ❤Õt ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤Ị✉ ➤➢ỵ❝ t❤❛♠ ❦❤➯♦ tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝✉è♥ s➳❝❤ ■❞❡❛❧s✱ ❱❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❆❧❣♦r✐t❤♠s✱ ❛♥ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❝♦♠♣✉t❛t✐✈❡ ❆❧❣❡❧r❛ ❝ñ❛ ❜❛ t➳❝ ❣✐➯ ❉✳ ❈♦①✱ ❏✳ ▲✐tt❧❡ ✈➭ ❉✳ ❖✬ ❙❤❡❛ ❬❈▲❖❪ ✈➭ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❆❧❣❡❜r❛ ❛♥❞ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ ●❡♦♠❡tr② ❝ñ❛ ❊✳ ❑✉♥③ ❬❑✉❪✳ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ t❤❛♠ ❦❤➯♦ tõ ❝➳❝ ❣✐➳♦ tr×♥❤ t✐Õ♥❣ ❱✐Ưt ✈Ị ➜➵✐ sè ➤➵✐ ❝➢➡♥❣ ❬❈❪✱ ❬❍❚❪✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✶ P❤Ð♣ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ♠ét ❜✐Õ♥ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ❈❤➢➡♥❣ trì ữ ết q q trọ ề é ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ♠ét ❜✐Õ♥ tr➟♥ ♠ét tr➢ê♥❣ ♥❤➢ t❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ➢í❝ ❝❤✉♥❣ ❧í♥ ♥❤✃t✱ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➢í❝ ❝❤✉♥❣ ❧í♥ ♥❤✃t t❤➭♥❤ tỉ ❤ỵ♣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝đ❛ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝✱ ❜➭✐ t♦➳♥ trơ❝ ❝➝♥ t❤ø❝ ë ♠➱✉✱ ❜➭✐ t♦➳♥ t❤➭♥❤ ✈✐➟♥✱ t❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ♣❤➬♥ tư s✐♥❤ ❝đ❛ tỉ♥❣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ✈➭ ❣✐❛♦ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝✳✳✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ tr♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❤♦➭♥ t♦➭♥ ➤ó♥❣ ❝❤♦ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ✈í✐ sè tr➟♥ ♠ét tr➢ê♥❣ ❜✃t ❦×✱ ♥❤➢♥❣ ➤Ĩ ❝❤♦ t❤✉❐♥ t✐Ư♥ ❝❤ó♥❣ t❛ ỉ trì tr trờ ợ ệ số ủ t❤ø❝ ❧➭ ❝➳❝ sè ♣❤ø❝✳ ✶✳✶ P❤Ð♣ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢ ✶✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤♦ K ⊆ C ❚❛ ❣ä✐ K ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ♥Õ✉ ∈ K ✈➭ K ➤ã♥❣ ❦Ý♥ ✈í✐ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ❝é♥❣✱ trõ✱ ♥❤➞♥✱ ❝❤✐❛ ❝❤♦ ♣❤➬♥ tö ❦❤➳❝ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ 0✳ √ √ Q✱ R✱ C ❧➭ ❝➳❝ tr➢ê♥❣✳ ❚❐♣ Q[ p] = {a + b p | a, b ∈ Q} ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ♥Õ✉ p ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ ❚õ ♥❛② ✈Ò s❛✉✱ ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt K ⊆ C ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣✳ ▼ét ❜✐Ó✉ t❤ø❝ ❞➵♥❣ f (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a0 , ∈ K, an = ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ❝đ❛ ➮♥ x ✭❤❛② ❜✐Õ♥ x✮ ✈í✐ ❤Ư sè tr♦♥❣ K ✳ ❍Ư sè an ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤Ư sè ✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻ ❝❛♦ ♥❤✃t ❝ñ❛ f (x)✱ sè tù ♥❤✐➟♥ n ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜❐❝ ❝đ❛ f (x) ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ deg f (x)✳ ❑❤✐ an = t❤× f (x) ❣ä✐ ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❞➵♥❣ ❝❤✉➮♥ ỉ ị ĩ ữ tứ ❦❤➳❝ ❑Ý ❤✐Ư✉ ✈➭ q✉② ➢í❝ ➤❛ t❤ø❝ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❜❐❝✳ K[x] ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ➮♥ x ✈í✐ ❤Ư sè tr♦♥❣ K ✳ ●✐➯ sư f (x) = xi ✈➭ g(x) = bi xi ✱ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ f (x) + g(x) = ck xk ✱ tr♦♥❣ ➤ã ck = f (x)g(x) = (ai + bi )xi ✈➭ bj i+j=k ✶✳✶✳✷ ❈❤ó ý✳ ❱í✐ f (x), g(x) ∈ K[x] t❛ ❧✉➠♥ ❝ã deg(f (x) + g(x)) max{deg f (x), deg g(x)} deg(f (x).g(x)) = deg f (x) + deg g(x) ❚✐Õ♣ t❤❡♦ ❧➭ ➤Þ♥❤ ❧Ý ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢ ❝❤♦ ➤❛ t❤ø❝ ♠ét ❜✐Õ♥✳ ✶✳✶✳✸ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ❈❤♦ f (x), g(x) ∈ K[x] ✈í✐ g(x) = 0✳ ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ❞✉② ♥❤✃t ♠ét ❝➷♣ ➤❛ t❤ø❝ q(x), r(x) ∈ K[x] s❛♦ ❝❤♦ f (x) = g(x)q(x) + r(x), ✈í✐ r(x) = ❤♦➷❝ deg r(x) < deg g(x) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tÝ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✳ ●✐➯ sö f (x) = g(x)q(x) + r(x) = g(x)q1 (x) + r1 (x), tr♦♥❣ ➤ã r(x), r1 (x) ❜➺♥❣ ❤♦➷❝ ❝ã ❜❐❝ ♥❤á ❤➡♥ ❜❐❝ ❝ñ❛ g(x)✳ ❑❤✐ ➤ã g(x)(q(x) − q1 (x)) = r1 (x) − r(x) ◆Õ✉ r1 (x) ♥➟♥ = r(x) t❤× g(x)(q(x) − q1 (x)) = 0✳ ❱× g(x) = ✈➭ K ❧➭ tr➢ê♥❣ q(x) − q1 (x) = 0✱ tø❝ ❧➭ q(x) = q1 (x)✳ ◆Õ✉ r(x) = r1 (x) t❤× deg(r − r1 ) = deg g(q − q1 ) = deg g + deg(q − q1 ) ❈❤ó ý r➺♥❣ deg(r − r1 ) max{deg r, deg r1 } < deg g Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên deg g + deg(q − q1 ) http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼ ➜✐Ò✉ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥✳ ❙ù tå♥ t➵✐ ❝đ❛ ❝➷♣ ➤❛ t❤ø❝ ➤➞②✿ ◆Õ✉ sö q(x) ✈➭ r(x) ➤ù➡❝ s✉② r❛ tõ t❤✉❐t t♦➳♥ ❞➢í✐ deg f (x) < deg g(x) t❤× t❛ ❝❤ä♥ q(x) = ✈➭ r(x) = f (x) ●✐➯ deg f (x) ≥ deg g(x)✳ ◆❤❐♥ ①Ðt r➺♥❣ ♥Õ✉ ❝ã ➤❛ t❤ø❝ h(x) ∈ K[x] s❛♦ ❝❤♦ f1 (x) = f (x) − g(x)h(x) ❝ã ❜❐❝ é ủ f (x) tì t ợ q✉② ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ❤➡♥✱ ➤ã ❧➭ t×♠ t❤➢➡♥❣ ✈➭ ❞➢ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ f1 (x) ❝❤♦ g(x)✳ ❚õ ♥❤❐♥ ①Ðt ♥➭②✱ t❛ ❝ã t❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ q ✈➭ r ♥❤➢ s❛✉✿ f (x) = am xm + + a0 ✈➭ g(x) = bn xn + + b0 ✈í✐ am , bn = am m−n x ➜➷t f1 (x) = f (x) − g(x)h(x)✳ ❑❤✐ ➤ã ✈➭ n m ❈❤ä♥ h(x) = bn f1 (x) = ❤♦➷❝ f1 (x) ❝ã ❜❐❝ t❤ù❝ sù ❜Ð ❤➡♥ ❜❐❝ ❝ñ❛ f (x) r trờ ợ f1 (x) = t tì ➤➢ỵ❝ ❞➢ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ f (x) ❝❤♦ g(x) ❧➭ r(x) = ✈➭ t❤➢➡♥❣ ❧➭ q(x) = h(x)✳ ◆Õ✉ f1 (x) = t❤× t❛ t✐Õ♣ tơ❝ ❧➭♠ t➢➡♥❣ tù ✈í✐ f1 (x) ✈➭ t❛ ➤➢ỵ❝ ➤❛ t❤ø❝ f2 (x) ứ tế tụ q trì tr t ợ ➤❛ t❤ø❝ f1 (x), f2 (x), ✱ ♥Õ✉ ❝❤ó♥❣ ➤Ị✉ ❦❤➳❝ t❤× ❝❤ó♥❣ ❝ã ❜❐❝ ❣✐➯♠ ❞➬♥✳ ì tế s ữ t ợ ột t❤ø❝ ❝ã ❜❐❝ ❜Ð ❤➡♥ ❜❐❝ ❝ñ❛ ✈➭ ➤ã ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❞➢ g(x) r(x)✳ ◆Õ✉ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ❝đ❛ ❞➲② ❜➺♥❣ t❤× ❞➢ r(x) = 0✳ ➜Ĩ ♥❤❐♥ t❤✃② râ ❤➡♥ t❛ ✈✐Õt r❛ ❝➳❝ ❜➢í❝✿ f1 (x) = f (x) − g(x)h(x) f2 (x) = f1 (x) − g(x)h1 (x) fk (x) = fk−1 (x) − g(x)hk−1 (x) ✈í✐ fk (x) = ❤♦➷❝ deg fk (x) < deg g(x)✳ ❈é♥❣ ✈Õ ✈í✐ ✈Õ ❝➳❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ➤ã ❧➵✐✱ t❛ ➤➢ỵ❝ f (x) = g(x)(h(x) + h1 (x) + + hk−1 (x)) + fk (x) ❚õ ➤ã t❛ ❝ã q(x) = h(x) + h1 (x) + + hk−1 (x) ✈➭ r(x) = fk (x)✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✽ ❚r♦♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý tr➟♥✱ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ q(x) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ t❤➢➡♥❣ ✈➭ r(x) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➢ ❝đ❛ f (x) ❝❤♦ g(x)✳ ✶✳✶✳✹ ❱Ý ❞ô✳ ❚r➟♥ tr➢ê♥❣ Q✱ t❛ ①Ðt f (x) = −2x3 − 14x2 + 4x − ✈➭ g(x) = −2x2 + 2x − 1✳ ❈❤✐❛ f (x) ❝❤♦ g(x) t❛ ➤➢ỵ❝ −x3 − 7x2 + 2x − = (−2x2 + 2x − 1)(x + 8) − 11x + ❚❛ ❝ã t❤➢➡♥❣ q(x) = x + ✈➭ ❞➢ r(x) = −11x + ◆Õ✉ ❞➢ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ ❝❤♦ f (x) ❝❤♦ g(x) ❧➭ t❤× tå♥ t➵✐ q(x) ∈ K[x] s❛♦ f (x) = g(x)q(x)✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭② t❛ ♥ã✐ r➺♥❣ f (x) ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ g(x) ❤❛② g(x) ❧➭ ➢í❝ ❝đ❛ f (x)✳ ✶✳✶✳✺ ❍Ö q✉➯✳ ❈❤♦ K ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ✈➭ a ∈ K ✳ ❑❤✐ ➤ã ❞➢ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ f (x) ∈ K[x] ❝❤♦ x − a ❧➭ f (a)✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤✐❛ f (x) ❝❤♦ x − a✱ ❞➢ ❤♦➷❝ ❜➺♥❣ ❤♦➷❝ ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ✈× ❜❐❝ ❝đ❛ (x − a) ❜➺♥❣ 1✳ ❱× ✈❐②✱ ❞➢ ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ tö r ∈ K ✳ ❚❛ ❝ã f (x) = (x − a)q(x) + r✳ ❚❤❛② x = a ✈➭♦ ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❛ ➤➢ỵ❝ r = f (a) ▲➢ỵ❝ ➤å ❍♦♦❝♥❡ ✭❍♦r♥❡r s❝❤❡♠❡✮ ✳ ●✐➯ sư K ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ✈➭ f (x) = an xn + + a1 x + a0 ∈ K[x] ❱í✐ a ∈ K, ❝❤✐❛ f (x) ❝❤♦ x − a t❛ ➤➢ỵ❝ f (x) = (x−a)g(x)+r, ❞➢ r ∈ K ✈➭ g(x) = bn−1 xn−1 + .+b1 x+b0 ➜å♥❣ ♥❤✃t ❝➳❝ ❤Ư sè✱ t❛ ❝ã t❤Ĩ t×♠ ♥❤❛♥❤ sè ❞➢ ❝đ❛ g ♥❤➢ s❛✉✿ r ✈➭ ❝➳❝ ❤Ö sè bn−1 , , b1 , b0   bn−1 = an         b = a + ab i−1 i i       b0 = a1 + ab1    r = a + b Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✾ ▲➢ỵ❝ ➤å s❛✉ ➤➞②✱ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧➢ỵ❝ ➤å ❍♦♦❝♥❡✿ an an−1 ··· a bn−1 = an bn−2 = abn−1 + an−1 · · · ❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ ➤Ó t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ a1 a0 b0 = ab1 + a1 r = b0 + a0 x5 − 2x4 + 5x2 + 6x − ❝❤♦ x + 1✱ t❛ ❧❐♣ ❧➢ỵ❝ ➤å ❍♦♦❝♥❡ −2 −8 −1 −3 −12 ❱❐② x5 − 2x4 + 5x2 + 6x − = (x + 1)(x4 − 3x3 + 3x2 + 2x − 4) − 12 ✶✳✶✳✻ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤♦ K ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣✳ P❤➬♥ tư α ∈ C ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ f (x) = an xn + + a1 x + a0 ∈ K[x] ♥Õ✉ f (α) = an αn + + a1 α + a0 = ❚õ ❍Ö q✉➯ ✶✳✶✳✺ t❛ ❝ã ♥❣❛② ❦Õt q✉➯ s❛✉✳ ✶✳✶✳✼ ❍Ö q✉➯✳ ❈❤♦ K ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ✈➭ a ∈ K ✳ ❑❤✐ ➤ã a ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ f (x) ∈ K[x] ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ➤❛ t❤ø❝ g(x) ∈ K[x] s❛♦ ❝❤♦ f (x) = (x − a)g(x) ❈❤♦ k > ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥✳ ▼ét ♣❤➬♥ tö a ∈ K ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ❜é✐ k ❝đ❛ ➤❛ t❤ø❝ f (x) ∈ K[x] ♥Õ✉ f (x) ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ (x − a)k ♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ (x − a)k+1 ◆Õ✉ k = t❤× a ợ ọ ệ ế k = tì a ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❦Ð♣✳ ✶✳✶✳✽ ❍Ư q✉➯✳ P❤➬♥ tư a ∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❜é✐ k ❝đ❛ f (x) ∈ K[x] ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ f (x) = (x − a)k g(x) ✈í✐ g(x) ∈ K[x] ✈➭ g(a) = ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sư a ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❜é✐ k ❝đ❛ f (x) ❱× f (x) ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ (x − a)k ♥➟♥ f (x) = (x − a)k g(x) ✈í✐ g(x) ∈ K[x] ◆Õ✉ g(a) = t❤× t❤❡♦ ❍Ö q✉➯ ✶✳✶✳✼ t❛ ❝ã ❞♦ ➤ã g(x) = (x − a)h(x) ✈í✐ h(x) ∈ K[x] ✈➭ f (x) ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ (x − a)k+1 , ✈➠ ❧Ý✳ ❱❐② g(a) = ợ ì S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✻ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❘â r➭♥❣ I ∩J ⊇ (lcm(mi , uj ) | i = 1, · · · , t, j = 1, · · · , r) ▼Ư♥❤ ➤Ị ợ ứ ế t ỉ r ợ ỗ t❤ø❝ ❝ñ❛ ❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛ ♠ét ➤➡♥ t❤ø❝ I ∩ J ➤Ị✉ lcm(mi , uj ) ♥➭♦ ➤ã✳ ●✐➯ sư u ❧➭ ♠ét ➤➡♥ t❤ø❝ ❝ñ❛ I ∩ J ❑❤✐ ➤ã u ∈ I ✈➭ u ∈ J ❱× I ❧➭ ✐➤➟❛♥ ➤➡♥ t❤ø❝ ♥➟♥ u ❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛ mi ♥➭♦ ➤ã✳ ❚➢➡♥❣ tù✱ ✈× t❤Õ J ❧➭ ✐➤➟❛♥ ➤➡♥ t❤ø❝ ♥➟♥ u ❧➭ ❜é✐ ❝đ❛ uj ♥➭♦ ➤ã✳ ❱× u ❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛ lcm(mi , uj ) ✷✳✷✳✹ ❱Ý ❞ô✳ ❈❤♦ I = (xy, x2 z, yz ) ✈➭ J = (x2 z , yz) ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã I ∩ J = (x2 yz , x2 z , x2 yz , xyz, x2 yz, yz ) = (x2 z , xyz, yz ) ✷✳✷✳✺ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤♦ I = (f1 , , fs )R ✈➭ J = (g1 , , gt )R ❧➭ ❤❛✐ ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ R ➜➷t (I : J) = {h ∈ R | Jh ⊆ I} ❑❤✐ ➤ã (I : J) ❝ị♥❣ ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝đ❛ R ✈➭ t❛ ❣ä✐ ♥ã ❧➭ t❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ I ✈➭ J ❈❤♦ I ✈➭ J ❧➭ ❤❛✐ ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ R, tr♦♥❣ ➤ã J = (g1 , · · · , gr ) ❘â r➭♥❣ I : J = (I : g1 ) ∩ (I : g2 ) ∩ · · · ∩ (I : gr ) ❱× t❤Õ✱ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❣✐➯✐ q✉②Õt ❜➭✐ t♦➳♥ t×♠ t❤➢➡♥❣ ♥❤➢ s❛✉✳ ✷✳✷✳✻ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ ✭❇➭✐ t♦➳♥ t×♠ t❤➢➡♥❣ ❝❤♦ ✐➤➟❛♥ ➤➡♥ t❤ø❝✮✳ ❈❤♦ I ✐➤➟❛♥ ➤➡♥ t❤ø❝ s✐♥❤ ❜ë✐ ♥❤÷♥❣ ➤➡♥ t❤ø❝ m1 , · · · , mt u ột tứ ỗ i = 1, · · · , t, ➤➷t di = gcd(mi , u) ●✐➯ sö mi = di vi ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã (I : u) ❧➭ ✐➤➟❛♥ s✐♥❤ ❜ë✐ ❝➳❝ ➤➡♥ t❤ø❝ v1 , · · · , vt ➜➷❝ ❜✐Ưt✱ t❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ❤❛✐ ✐➤➟❛♥ ➤➡♥ t❤ø❝ ❝ò♥❣ ❧➭ ✐➤➟❛♥ ➤➡♥ t❤ø❝✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❘â r➭♥❣ (v1 , · · · , vt ) ⊆ (I : u) ●✐➯ sư f ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ❝đ❛ (I : u) ❑❤✐ ➤ã f u ∈ I ●ä✐ m ❧➭ ♠ét tõ t✉ú ý ❝ñ❛ f ❉♦ I ❧➭ ✐➤➟❛♥ ➤➡♥ t❤ø❝ ♥➟♥ ❉♦ ➤ã mu ❧➭ ❜é✐ ❝đ❛ ♠ét ➤➡♥ t❤ø❝ mi ♥➭♦ ➤ã ✈➭ ✈× t❤Õ m ❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛ vi (I : u) ⊆ (v1 , · · · , vt ) ✷✳✷✳✼ ❱Ý ❞ô✳ ❈❤♦ I = (xyz, x3 yz, yz ) ✈➭ J = (x2 z , yz) ❚×♠ t❤➢➡♥❣ ❝đ❛ I ✈➭ J Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✼ ▲ê✐ ❣✐➯✐✳ ➜➷t u1 = x2 z , u2 = yz, m1 = xyz, m2 = x3 yz, m3 = yz , d1 = gcd(m1 , u1 ) = xz, d2 = gcd(m2 , u1 ) = x2 z, d3 = gcd(m3 , u1 ) = z ➜➷t mi = di vi ✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã v1 = y, v2 = xy, v3 = yz ❚❤❡♦ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✷✳✻ t❛ ❝ã (I : u1 ) = (y, xy, yz)✳ ❚➢➡♥❣ tù t❛ ❝ã (I : u2 ) = (x, yz, z ) ❉♦ ➤ã I : J = (I : u1 ) ∩ (I : u2 ) = (xy, yz, xyz, yz , xyz ) = (xy, yz) ✷✳✸ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ ◆❤➢ ➤➲ ♥❤➽❝ tr♦♥❣ ♣❤➬♥ ♠ë ➤➬✉✱ t❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♠ét ❜✐Õ♥ tr➟♥ ♠ét tr➢ê♥❣ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ♠ë ré♥❣ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥❤✐Ị✉ ❜✐Õ♥✳ ▲ý ❞♦ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ✈× ❦❤✐ ❝❤✐❛ ❤❛✐ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ị✉ ❜✐Õ♥ ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❝đ❛ ♠ét ❜✐Õ♥ t❤× ❤Ư tư ❝❛♦ ♥❤✃t ❝đ❛ f ❝❤♦ g, ♥Õ✉ ❝♦✐ g ♥❤➢ g ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ❝ñ❛ n − ❜✐Õ♥ ❝ß♥ ❧➵✐✱ ✈➭ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ❤Ư tư ❝❛♦ t ị ì tế ột tự ♥❤✐➟♥✱ t❛ ♣❤➯✐ t×♠ ❝➳❝❤ ①➞② ❞ù♥❣ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛ ❤÷✉ ❤✐Ư✉ tr➟♥ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ị✉ ❜✐Õ♥✳ ❚✉② t❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ ❦❤➠♥❣ ♠ë ré♥❣ ➤➢ỵ❝ ♠ét ❝➳❝❤ trù❝ tế trờ ợ ề ế ó ứ ữ ♠➬♠ ♠è♥❣ ❝❤♦ ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ q✉②Õt tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥❤✐Ị✉ ❜✐Õ♥✳ ➜ã ❧➭ ✈✐Ư❝ ❤➵ ❜❐❝ s❛✉ tõ♥❣ ❜➢í❝✳ ❈➬♥ ❝❤ó ý r➺♥❣ t❛ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ❞ï♥❣ ❜❐❝ tỉ♥❣ t❤Ĩ ❤♦➷❝ ❜❐❝ t❤❡♦ ♠ét ❜✐Õ♥ ♥➭♦ ➤ã ➤Ĩ ❤➵ ❜ë✐ ✈× ❝ã t❤Ĩ ❝ã ♥❤✐Ị✉ tõ ❝đ❛ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ❝ã ❝ï♥❣ ❜❐❝ ♥❤➢ t❤Õ✳ ❉♦ ➤ã t❛ ❝➬♥ s➽♣ ①Õ♣ ❝➳❝ ➤➡♥ t❤ø❝ t❤❡♦ ♠ét t❤ø t♦➭♥ ♣❤➬♥ tr♦♥❣ ♠ét ♥❣✉②➟♥ t➽❝ ♥➭♦ ➤ã✱ ♠➭ t❛ ❣ä✐ ❧➭ t❤ø tù tõ✱ ➤Ĩ t❤✉❐♥ t✐Ư♥ ❝❤♦ ❝➠♥❣ ✈✐Ư❝ ♥➭②✳ ❚r♦♥❣ s✉èt ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❜✐Õ♥ ✈í✐ ❤Ư sè tr➟♥ R = K[x1 , , xn ] ❧➭ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ n K ✳ ❑Ý ❤✐Ö✉ Nn ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ❜é n sè tù ♥❤✐➟♥✳ ❱í✐ α = (α1 , · · · , αn ) ∈ Nn t❛ ✈✐Õt xα = xα1 · · · xαnn ❱í✐ α = (α1 , , αn ), β = (β1 , , βn ) ∈ Nn , t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ α + β = (α1 + β1 , , αn + βn ) ✷✳✸✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❑Ý ❤✐Ư✉ M ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ➤➡♥ t❤ø❝ ❝ñ❛ R ▼ét t❤ø tù tõ ✭❤❛② t❤ø tù ➤➡♥ t❤ø❝ ✮ ❧➭ ♠ét q✉❛♥ ❤Ư t❤ø tù t♦➭♥ ♣❤➬♥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên tr➟♥ M t❤♦➯ ♠➲♥ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷✽ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✐✮ ◆Õ✉ ✭✐✐✮ xα < xβ t❤× xα+γ < xβ+γ , ✈í✐ ♠ä✐ α, β, γ ∈ Nn ❧➭ s➽♣ t❤ø tù tèt✱ tứ ỗ ộ rỗ ủ M ề ó tử ỏ t ét r ỗ tö t❤ø❝ α = (α1 , · · · , αn ) ∈ Nn ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♠ét ➤➡♥ xα = xα1 · · · xαnn ❱× t❤Õ ➤Ĩ tệ t ỗ tứ tự từ ột q✉❛♥ ❤Ư t❤ø tù t♦➭♥ ♣❤➬♥ ✈í✐ ♠ä✐ ♣❤➬♥ tư tr➟♥ Nn t❤♦➯ ♠➲♥ α < β ❦Ð♦ t❤❡♦ α + γ < β + γ, α, β, γ ∈ Nn , ỗ ộ rỗ ủ Nn ➤Ị✉ ❝ã ♣❤➬♥ tư ♥❤á ♥❤✃t✳ ❑❤✐ ➤ã α < β ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ xα < xβ ✈í✐ ♠ä✐ α, β ∈ Nn ❚❛ ♥ã✐ tõ axα ❧➭ ❜Ð ❤➡♥ tõ bxβ , ✈✐Õt ❧➭ axα < bxβ , ♥Õ✉ xα < xβ ✷✳✸✳✷ ❱Ý ❞ô✳ ❍❛✐ t❤ø tù tõ s❛✉ ➤➞② r✃t ❤❛② ➤➢ỵ❝ sư ❞ơ♥❣✳ ❚❤ø tù tõ ➤✐Ó♥ ✳ ❈❤♦ α = (α1 , · · · , αn ), β = (β1 , · · · , βn ) ∈ Nn ✱ tr♦♥❣ ➤ã α = β ❚❛ ♥ã✐ α ❜Ð ❤➡♥ β ✱ ✈✐Õt ❧➭ α m2 > · · · > mk > · · · {m1 , m2 , , mk , } ❝ñ❛ t❐♣ ❝➳❝ ➤➡♥ t❤ø❝ R ❦❤➠♥❣ ❝ã ♣❤➬♥ tư ♥❤á ♥❤✃t✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② ❧➭ ✈➠ ❧ý✳ ❉♦ ➤ã q✉➳ tr×♥❤ tr➟♥ ♣❤➯✐ ❦Õt tú s ột số ữ ị ý ợ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✷✳✸✳✹ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❇✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝đ❛ f q✉❛ ❤Ö f1 , · · · , fs ♥❤➢ tr♦♥❣ ị ý tr ợ ọ ột ể ễ ❝đ❛ ✷✳✸✳✺ ❱Ý ❞ơ✳ ❈❤♦ f ➤è✐ ✈í✐ f1 , · · · , fs R = K[x, y] ❳Ðt t❤ø tù tõ ➤✐Ĩ♥ ✈í✐ x > y ➜Ĩ ❝❤✐❛ f = x2 y +xy +y ❝❤♦ f1 = xy −1 ✈➭ f2 = y −1 t❛ t✐Õ♥ ❤➭♥❤ ♥❤➢ s❛✉✳ ❚❛ ❝ã ✐♥(f1 ) = xy ✈➭ ✐♥(f2 ) = y ❉Ô t❤✃② x2 y ❧➭ tõ ❝❛♦ ♥❤✃t tr♦♥❣ ❝➳❝ tõ ❝ñ❛ f ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ ✐♥ (f1 ) ❤♦➷❝ ✐♥(f2 ) ❱× t❤Õ t❛ ➤➷t F1 = f −xf1 = xy +y +x ❱× xy ❧➭ tõ ❝❛♦ ♥❤✃t tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ tõ ❝đ❛ F1 ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ ✐♥ (f1 ) ❤♦➷❝ ✐♥(f2 ) ♥➟♥ t❛ ➤➷t F2 = F1 − yf1 = y + x + y ❚❛ ❧➵✐ ❝ã y ❧➭ tõ ❝❛♦ ♥❤✃t tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ tõ ❝đ❛ F2 ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ ✐♥ (f1 ) ❤♦➷❝ ✐♥(f2 ) ❱× t❤Õ t❛ ➤➷t F3 = F2 − f2 = x + y + ❑❤➠♥❣ ❝ã tõ ♥➭♦ ❝ñ❛ F3 ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ ✐♥ (f1 ) ❤♦➷❝ ✐♥(f2 ) ❱❐② t❛ ❝ã ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝❤✉➮♥ ✷✳✹ f = (x + y)f1 + f2 + (x + y + 1) ❈➡ së ●r♦❡❜♥❡r ✈➭ ♠ét sè ø♥❣ ❞ơ♥❣ ✷✳✹✳✶ ❈❤ó ý✳ ▼ét ❦❤ã ❦❤➝♥ ①✉✃t ❤✐Ư♥ tr♦♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛ tr➟♥ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ ❧➭ ♣❤➬♥ ❞➢ ❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✳ ❈❤➻♥❣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✶ ❤➵♥✱ ①Ðt ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ ✈í✐ t❤ø tù tõ ➤✐Ó♥ f = x2 y + xy + y ❝❤♦ f1 = xy − ✈➭ f2 = y − x > y ❚❤❡♦ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛✱ t❛ ❝ã ❤❛✐ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝❤✉➮♥ f = (x + y)f1 + f2 + (x + y + 1) ✈➭ f = (x + 1)f2 + xf1 + 2x + ✈í✐ ❤❛✐ ♣❤➬♥ ❞➢ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ▼ét ❦❤ã ❦❤➝♥ ♥÷❛ ❧➭ tr♦♥❣ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ ➤❛ t❤ø❝ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ f1 , · · · f ❝❤♦ , fs , ♣❤➬♥ ❞➢ ❝ã t❤Ó ❦❤➳❝ ♥❤➢♥❣ ✈➱♥ ❦❤➠♥❣ ❜✐Õt ➤➢ỵ❝ f ❝ã ❧➭ ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ ✐➤➟❛♥ s✐♥❤ ❜ë✐ f1 , · · · , fs ❤❛② ❦❤➠♥❣✳ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ ①Ðt ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ f = xy ❝❤♦ f1 = x2 ✈➭ f2 = xy + y ✈í✐ t❤ø tù tõ ➤✐Ĩ♥ x > y ❚❛ ❝ã ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝❤✉➮♥ t❛ ❧➵✐ ❝ã f = yf2 − y ◆❤➢ ✈❐②✱ ♣❤➬♥ ❞➢ ❧➭ y = ♥❤➢♥❣ f = xf2 − yf1 ∈ (f1 , f2 ) ➜Ĩ ❦❤➽❝ ♣❤ơ❝ ♥❤÷♥❣ ❦❤ã ❦❤➝♥ tr➟♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝➬♥ ①Ðt ♥❤÷♥❣ ❤Ư f1 , · · · , fs ❝ã ♥❤÷♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❵❵➤➷❝ ❜✐Ưt✧ ♠➭ ❝❤ó♥❣ t❛ ❣ä✐ ❧➭ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r✳ ❚r➢í❝ ❤Õt ❝❤ó♥❣ t❛ ❝➬♥ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ s❛✉ ➤➞②✳ ✷✳✹✳✷ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ tr♦♥❣ ❈❤♦ ✐➤➟❛♥ ❈❤♦ I ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ R ■➤➟❛♥ s✐♥❤ ❜ë✐ ❝➳❝ tõ ❞✃✉ ❝đ❛ I, ❦ý ❤✐Ư✉ ❜ë✐ ✐♥ (I), ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❞✃✉ ❝ñ❛ I I = (f1 , · · · , fs ) ❚❛ ❧✉➠♥ ❝ã (✐♥(f1 ), · · · , ✐♥(fs ))R ⊆ ✐♥(I) ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ✐♥ (I) ✈➭ (✐♥(f1 ), · · · , ✐♥(fs )) ❝ã t❤Ó ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ ❝❤♦ I ❧➭ ✐➤➟❛♥ s✐♥❤ ❜ë✐ f1 , f2 ✈í✐ f1 = x3 − 2xy ✈➭ f2 = x2 y − 2y + x ❧➭ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ❝➳❝ sè t❤ù❝✳ ❳Ðt t❤ø tù tõ ➤✐Ĩ♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ✈í✐ ❑❤✐ ➤ã x > y x2 = xf2 − yf1 ❉♦ ➤ã x2 ∈ I ✈➭ ✈× t❤Õ x2 ∈ ✐♥(I) ❚✉② ♥❤✐➟♥ t❛ ❝ã x2 ∈ / (x3 , x2 y)R = (✐♥(f1 ), ✐♥(f2 )) ➜✐Ị✉ ♥➭② ❞➱♥ ❝❤ó♥❣ t❛ tí✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ s❛✉ ➤➞②✳ ✷✳✹✳✸ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❈❤♦ tr➢í❝ ♠ét t❤ø tù tõ ✈➭ I ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝đ❛ R ▼ét ❤Ö f1 , · · · , fs ữ tứ tr I ợ ọ ột së ●r♦❡❜♥❡r ❝đ❛ I ♥Õ✉ ✐♥(I) ➤➢ỵ❝ s✐♥❤ ❜ë✐ ❝➳❝ tõ ❞✃✉ ✐♥ (f1 ), · · · , ✐♥(fs ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✷ ✷✳✹✳✹ ▼Ư♥❤ ➤Ị✳ ❈❤♦ tr➢í❝ ột tứ tự từ ó ỗ I ề ❝ã ♠ét ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱× ✐♥(I) ❧➭ ✐➤➟❛♥ ➤➡♥ t❤ø❝ ♥➟♥ tå♥ t➵✐ ❤÷✉ ❤➵♥ ➤➡♥ t❤ø❝ m1 , · · · , ms s✐♥❤ r❛ ✐♥(I) ỗ tứ mi ột từ ủ ột ➤❛ t❤ø❝ fi ∈ I ♥➭♦ ➤ã✳ ❱× ✈❐② f1 , · · · , fs ❧➭ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ❝đ❛ I ✷✳✹✳✺ ❇ỉ ➤Ị✳ ❈❤♦ I ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝đ❛ R ❑❤✐ ➤ã ♠ä✐ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ❝đ❛ I ➤Ị✉ ❧➭ ❤Ư s✐♥❤ ❝đ❛ I ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ f1 , · · · , ft ❧➭ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ❝ñ❛ I ❑❤✐ ➤ã ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ t❛ ❝ã (f1 , · · · , ft )R ⊆ I ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ f ∈ I ❈❤✐❛ f ❝❤♦ f1 , · · · , ft t❛ ➤➢ỵ❝ f = h1 f1 + · · · + ht ft + r, tr♦♥❣ ➤ã ỗ từ ủ r ề ết (fi ) ✈í✐ ♠ä✐ t❤Õ✱ ♥Õ✉ i = 1, · · · , t ❚❛ ❝ã r = f − h1 f1 − · · · − ht ft ∈ I ❱× r = t❤× t❛ ♣❤➯✐ ❝ã ✐♥ (r) ∈ ✐♥(I) ✈➭ ❞♦ ➤ã ✐♥(r) ♣❤➯✐ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ ♠ét tõ ❞✃✉ ✐♥ (fi ) ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ ✈➭ ❞♦ ➤ã fi ♥➭♦ ➤ã✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ✈➠ ❧Ý✳ ❙✉② r❛ r = f ∈ (f1 , · · · , ft ) ➜Þ♥❤ ❧ý q✉❛♥ trä♥❣ s❛✉ ➤➞② ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ r➺♥❣ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ề ữ s ị ý ị ý së ❍✐❧❜❡rt✮✳ ▼ä✐ ✐➤➟❛♥ ❝đ❛ R ➤Ị✉ ❝ã ♠ét ❤Ư s✐♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sư I ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝đ❛ R ◆Õ✉ I = t❤× ❤✐Ĩ♥ ♥❤✐➟♥✳ ❈❤♦ I = ●ä✐ f1 , · · · , ft ❧➭ ♠ét ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ❝ñ❛ I ❑❤✐ ➤ã I s✐♥❤ ❜ë✐ f1 , · · · , ft ➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ t❤➭♥❤ ✈✐➟♥ sÏ ➤➢ỵ❝ ❣✐➯✐ q✉②Õt ❝❤♦ ♠ét ✐➤➟❛♥ I ♥Õ✉ ❝❤ó♥❣ t❛ ❜✐Õt ♠ét ❝➡ së ●r♦❡♥❡r ❝đ❛ I ✷✳✹✳✼ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ✭●✐➯✐ q✉②Õt ❜➭✐ t♦➳♥ t❤➭♥❤ ✈✐➟♥✮✳ ❈❤♦ I ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ R ✈➭ f1 , · · · , ft ❧➭ ♠ét ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ❝ñ❛ I ó ỗ tứ f ủ S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✸ R, ❞➢ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ f ❝❤♦ f1 , · · · , ft ❧➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭② f ∈ I ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❞➢ tr♦♥❣ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ f ❝❤♦ f1 , · · · , ft ❧➭ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ f ∈ R ❘â r➭♥❣ r➺♥❣ ♥Õ✉ ❞➢ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ f ❝❤♦ f1 , · · · , ft tì f I ợ f ∈ I ●✐➯ sư t❛ ❝ã ♠ét ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝❤✉➮♥ f = f1 h1 + · · · + ft ht + r ❑❤✐ ➤ã r ∈ I ◆Õ✉ r = t❤× ✈× f1 , · · · , ft ❧➭ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ❝ñ❛ I ♥➟♥ ✐♥(r) ♣❤➯✐ ❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛ ♠ét tõ ❞✃✉ ✐♥(fi ) ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ fi ♥➭♦ ➤ã✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ✈➠ ❧ý✳ ❱❐② sö ➤❛ t❤ø❝ r = ❚✐Õ♣ t❤❡♦✱ ❣✐➯ f ∈ R ❝ã ❤❛✐ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝❤✉➮♥ f = h1 f1 + · · · + ht ft + r1 ✈➭ f = g1 f1 + · · · + gt ft + r2 ❑❤✐ ➤ã r2 − r1 ∈ I ❱× t❤Õ t❤❡♦ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tr➟♥✱ ❞➢ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ r2 − r1 ❝❤♦ f1 , · · · , ft ❧➭ ▲➵✐ ❝❤ó ý r➺♥❣ r2 − r1 ❝ị♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❞➢ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ r2 − r1 ❝❤♦ f1 , · · · ✷✳✺ , ft ❱× t❤Õ r1 = r2 ❚❤✉❐t t♦➳♥ rr trì ị ý ể ❣✐➯✐ q✉②Õt ❜➭✐ t♦➳♥ t❤➭♥❤ ✈✐➟♥ ❝❤♦ ✐➤➟❛♥ I, ❝❤ó♥❣ t❛ ❝➬♥ ❜✐Õt ♠ét ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ❝ñ❛ I ◆❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ♥❣➢ê✐ ➳♦ ❇✳ ❇✉❝❤❜❡r❣❡r ➤➲ ❞ï♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛ ➤Ĩ ➤➢❛ r❛ ♠ét t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❝❤♦ ♠ét ❤Ư s✐♥❤ ❝ñ❛ ♠ét ✐➤➟❛♥ ❧➭ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r✳ ❚õ ➤ã ➠♥❣ ①➞② ❞ù♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r✳ ❱í✐ ỗ tứ f, g ủ R, t t v = lcm(✐♥(f ), ✐♥(g)) ✈➭ S(f, g) = v v f− g ✐♥(f ) ✐♥(g) S(f, g) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ S−➤❛ t❤ø❝ ❝đ❛ f ✈➭ g ✷✳✺✳✶ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ✭❚✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❇✉❝❤❜❡r❣❡r✮✳ ❈❤♦ I ❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ R ✈➭ f1 , · · · , ft ❧➭ ♠ét ❤Ư s✐♥❤ ❝đ❛ I ❑❤✐ ➤ã f1 , · · · , ft ❧➭ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ❝ñ❛ I ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ i = j, ♣❤➬♥ ❞➢ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ S(fi , fj ) ❝❤♦ f1 , · · · , ft ❧➭ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✹ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö f1 , · · · , ft ❧➭ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ❝đ❛ I ❱× S(fi , fj ) ∈ I ♥➟♥ t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✹✳✼✱ ❞➢ tr♦♥❣ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ S(fi , fj ) ❝❤♦ f1 , · · · , ft ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ ❣✐➯ sư ❞➢ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ S(fi , fj ) ❝❤♦ f1 , · · · , ft ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ✈í✐ ♠ä✐ i = j ❚❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ f1 , · · · , ft ❧➭ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ❝ñ❛ I ❈❤♦ = f ∈ I ❚❛ ♣❤➯✐ ❝❤Ø r❛ ✐♥ (f ) ∈ (✐♥(f1 ), · · · , ✐♥(ft )) ❱× f ∈ I ♥➟♥ tå♥ t➵✐ hi ∈ R, i = 1, · · · , t, s❛♦ ❝❤♦ f = h1 f1 + · · · + ht ft ●ä✐ m(i) ❧➭ ➤➡♥ t❤ø❝ ❝ñ❛ tõ ✐♥ (hi fi ) ✈➭ M ❧➭ ➤➡♥ t❤ø❝ ❝❛♦ ♥❤✃t tr♦♥❣ ❝➳❝ ➤➡♥ t❤ø❝ m(1), · · · , m(t) ❑❤✐ ➤ã râ r➭♥❣ ✐♥ (f ) M ❳Ðt t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝đ❛ f t❤➭♥❤ tỉ ❤ỵ♣ ❝đ❛ f1 , Ã Ã Ã , ft ỗ ể ễ ♥❤➢ t❤Õ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ♠ét ➤➡♥ t❤ø❝ M ✭♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥✮✳ ❱× t❤ø tù tõ ❧➭ t❤ø tù t♦➭♥ ♣❤➬♥ ✈➭ ♠ä✐ ❞➲② ❣✐➯♠ ➤Ò✉ ♣❤➯✐ ❞õ♥❣ ♥➟♥ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❝❤ä♥ ➤➢ỵ❝ ♠ét ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝đ❛ f s❛♦ ❝❤♦ M ❧➭ ❜Ð ♥❤✃t✳ ❱í✐ M ✈õ❛ ❝❤ä♥✱ t❛ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ M ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ➤➡♥ t❤ø❝ ❝đ❛ tõ ✐♥ (f ) ❈❤ó ý r➺♥❣ ♥Õ✉ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ tr ợ ứ tì t ó (f ) (✐♥(f1 ), · · · , ✐♥(ft )), ✈➭ ❞♦ ó ị ý ợ ứ sử tr tø❝ ❧➭ ✐♥ (f ) f= < M ❱✐Õt f ❞➢í✐ ❞➵♥❣ hi fi + m(i)=M ✐♥(hi )fi hi fi = m(i) z t❤× ❤Ư y − x2 , z − x3 ❦❤➠♥❣ ❝ß♥ ❧➭ ♠ét ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ❝ñ❛ ✐➤➟❛♥ (y − x2 , z − x3 ) ❇✉❝❜❡r❣❡r ➤➲ ❝❤Ø r❛ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ ➤Ĩ t❤✉ ➤➢ỵ❝ ♠ét ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ❝đ❛ I ①✉✃t ♣❤➳t tõ ♠ét ❤Ư s✐♥❤ ❝đ❛ I ❚❤✉❐t t♦➳♥ ó ợ tể ệ tr ị í s ị ❧ý✳ ❈❤♦ I = (f1 , · · · , ft )R ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❦❤➳❝ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ R ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã t❤Ĩ t×♠ ♠ét ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ❝đ❛ I t❤❡♦ t❤✉❐t t♦➳♥ s❛✉✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✽ ❇➢í❝ ✶✳ ➜➷t G1 = {f1 , · · · , ft } ❚×♠ ❞➢ ri,j tr♦♥❣ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ S(fi , fj ) ❝❤♦ f1 , · · · , ft ◆Õ✉ t✃t ❝➯ ri,j ➤Ò✉ ❜➺♥❣ t❤× G1 ❧➭ ♠ét ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ❝đ❛ I ◗✉➳ trì ết tú rờ ợ ợ ọ ft+1 ➤❛ t❤ø❝ ❞➢ ❦❤➳❝ ①✉✃t ❤✐Ö♥ tr♦♥❣ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ S(fi , fj ) ♥➭♦ ➤ã ❝❤♦ f1 , · · · , ft ❚❤❛② ❤Ö s✐♥❤ f1 , f2 , · · · , ft ❝ñ❛ I ❜ë✐ ❤Ư s✐♥❤ ♠í✐ f1 , f2 , · · · , ft , ft+1 ❇➢í❝ ✷✿ ➜➷t G2 = {f1 , · · · , ft , ft+1 } ◗✉❛② ❧➵✐ ❇➢í❝ ✶ ➤è✐ ✈í✐ ❤Ư s✐♥❤ G2 ❈ø t✐Õ♣ tơ❝ q✉➳ tr×♥❤✳ ➜Õ♥ ❦❤✐ q✉➳ tr×♥❤ ❦Õt t❤ó❝✱ ❤Ư s✐♥❤ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ t❤✉ ➤➢ỵ❝ ❧➭ ♠ét ❝➡ së ●r♦❡♥❡r ❝đ❛ I ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ◆Õ✉ q✉➳ tr×♥❤ ❦Õt tú s ột số ữ tì t t ❝❤✉➮♥ ❇✉❝❤❜❡r❣❡r✱ ❤Ư s✐♥❤ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ t❤✉ ➤➢ỵ❝ ❧➭ ♠ét ❝➡ së ●r♦❡♥❡r ❝đ❛ I ◆❤➢ ✈❐②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤Ø r❛ q✉➳ tr×♥❤ tr➟♥ ♣❤➯✐ ❦Õt t❤ó❝ s❛✉ ột số ữ sử q trì tr ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ❦Õt t❤ó❝ s❛✉ ♠ét sè ❤÷✉ ❤➵♥ ❜➢í❝✳ ❱í✐ ❤Ư s✐♥❤ G1 ❝đ❛ I t❛ t❤✉ ➤➢ỵ❝ ✐➤➟❛♥ ➤➡♥ t❤ø❝ t➢➡♥❣ ø♥❣ I1 = (✐♥(f1 ), · · · , ✐♥(ft ))R ❱í✐ ❤Ư s✐♥❤ G2 ❝đ❛ I, t❛ ❝ã ✐➤➟❛♥ ➤➡♥ t❤ø❝ I2 = (✐♥(f1 ), · · · , ✐♥(ft ), ✐♥(ft+1 ))R ❈ø t✐Õ♣ tô❝ t t ợ ột ữ t❤ø❝ I1 , I2 , · · · ❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛ ❜✃t ❝ø ✐♥ (fi ), i ❘â r➭♥❣ I1 ⊆ I2 ❱× ✐♥(ft+1 ) ❦❤➠♥❣ = 1, · · · , t, ♥➟♥ ✐♥(ft+1 ) ∈ / I1 ❉♦ ➤ã I1 = I2 ❈ø ❧❐♣ ❧✉❐♥ t➢➡♥❣ tù✱ t❛ ❝ã ❞➲② ✈➠ ❤➵♥ ♥❤÷♥❣ ✐➤➟❛♥ t➝♥❣ t❤ù❝ sù I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ Im ⊂ · · · ●ä✐ J ❧➭ ❤ỵ♣ ❝ñ❛ t✃t ❝➯ Ii , i = 1, 2, · · · ❉Ơ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ➤➢ỵ❝ J ❧➭ ✐➤➟❛♥ ủ R ì t ị ý sở rt tå♥ t➵✐ ♠ét ❤Ư ❤÷✉ ❤➵♥ ➤❛ t❤ø❝ h1 , Ã Ã Ã , hk s r J ỗ t❤ø❝ hj , j = 1, · · · , k, ♣❤➯✐ ♥➺♠ tr♦♥❣ ♠ét ✐➤➟❛♥ ♥➭♦ ➤ã tr♦♥❣ ❞➲② tr ì tế t ọ ợ ột ỉ số tt ❝➯ s ➤Ó Is ❝❤ø❛ hj , j = 1, , k ❉♦ ➤ã t❛ ❝ã J = Is = Is+1 = Is+2 = · · · ➜✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ✈➠ ❧ý✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✾ ✷✳✺✳✻ ❱Ý ❞ô✳ ❚r➟♥ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ❝ñ❛ ❤❛✐ ❜✐Õ♥ x, y tr➟♥ tr➢ê♥❣ t❤ù❝✱ ❝❤♦ I = (f1 , f2 ), tr♦♥❣ ➤ã f1 = x3 − 2xy ✈➭ f2 = x2 y − 2y + x ❳Ðt t❤ø tù tõ ➤✐Ó♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ❝❤♦ x > y ❚❛ ❝ã S(f1 , f2 ) = −x2 ❉♦ ➤ã ❞➢ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ S(f1 , f2 ) f1 , f2 ❧➭ f3 = −x2 = ❳Ðt ❤Ö s✐♥❤ t✐Õ♣ t❤❡♦ f1 , f2 , f3 ❝ñ❛ I ❚❛ ❝ã S(f1 , f2 ) = f3 ❉♦ ➤ã ❞➢ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ S(f1 , f2 ) ❝❤♦ f1 , f2 , f3 ❧➭ ✵✳ ❚❛ ❝ã S(f1 , f3 ) = f1 − (−x)f3 − 2xy ❉♦ ➤ã ❞➢ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ f4 = −2xy = ❳Ðt ❤Ö s✐♥❤ ❦❤✐ ❝❤✐❛ f1 , f2 , f3 , f4 ❚❛ ❝ã S(f1 , f2 ) = f3 , S(f1 , f3 ) = f4 ❱× t❤Õ ❞➢ S(f1 , f2 ) ✈➭ S(f1 , f3 ) ❝❤♦ f1 , f2 , f3 , f4 ➤Ò✉ ❧➭ ❚❛ ❝ã S(f1 , f4 ) = yf1 − (−1/2)x2 f4 ❉♦ ➤ã ❞➢ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ S(f1 , f4 ) ❝❤♦ f1 , f2 , f3 , f4 ❧➭ ❚❛ ❝ã S(f2 , f3 ) = f2 −(−y)f3 ❉♦ ➤ã ❞➢ t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ S(f2 , f3 ) ❧➭ ❈❤✐❛ S(f2 , f4 ) ❝❤♦ ❤Ö f1 , f2 , f3 , f4 t❛ ➤➢ỵ❝ ❞➢ ❧➭ f5 = −2y + x ❳Ðt ❤Ö s✐♥❤ ♠í✐ f1 , f2 , f3 , f4 , f5 ❚❛ ❞Ơ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ➤➢ỵ❝ ❝➳❝ ❞➢ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ S(fi , fj ) ❝❤♦ f1 , f2 , f3 , f4 , f5 ❧➭ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ❝ñ❛ ✈í✐ ♠ä✐ i, j = 1, 2, 3, 4, ❱❐② f1 , f2 , f3 , f4 , f5 ❧➭ I Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬❈▲❖❪ ❉✳ ❈♦①✱ ❏✳ ▲✐tt❧❡✱ ❉✳ ❖✬ ❙❤❡❛✱ ■❞❡❛❧s✱ ❱❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❆❧❣♦r✐t❤♠s✱ ❛♥ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❝♦♠♣✉t❛t✐✈❡ ❆❧❣❡❧r❛ ✱ ❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣✱ ✶✾✾✶✳ ❬❈❪ ◆❣✉②Ơ♥ ❚ù ❈➢ê♥❣✱ ➜➵✐ sè ❤✐Ư♥ ➤➵✐✱ t❐♣ ✶ ✱ ◆❳❇ ➜❍◗●❍◆✱ ✷✵✵✶✳ ❬❍❚❪ ❇ï✐ ❍✉② ❍✐Ò♥ ✈➭ P❤❛♥ ❉♦➲♥ ❚❤♦➵✐✱ ❇➭✐ t❐♣ ➜➵✐ sè ✈➭ sè ❤ä❝✱ ❚❐♣ ✷✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ●❉✱ ✶✾✽✻✳ ❬❍❪ ◆❣✉②Ơ♥ ❍÷✉ ❱✐Ưt ❍➢♥❣✱ ➜➵✐ sè ➤➵✐ ❝➢➡♥❣ ✱ ◆❳❇ ➜❍◗●❍◆✱ ✷✵✵✵✳ ❬❑❪ ❊✳ ❑✉♥③✱ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❆❧❣❡❜r❛ ❛♥❞ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ ●❡♦♠✲ ❡tr②✱ ❇✐r❦❤❛✉s❡r✱ ✶✾✾✵✳ ❬▲❪ ◆❣➠ ❚❤ó❝ ▲❛♥❤✱ ➜➵✐ sè ✈➭ sè ❤ä❝✱ ❚❐♣ ✷✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ●❉✱ ✶✾✽✻✳ ✹✵ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✷✳✺ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❇✉❝❤❜❡r❣❡r ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷ ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ❙❛✉ ♠ét t❤ê✐... ❝➯♠ ➡♥ ì ữ q t t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ❝ỉ ✈ị ➤Ĩ t➠✐ ❝ã t❤Ĩ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ♥❤✐Ư♠ ✈ơ ❝đ❛ ♠×♥❤✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ❈❤ó♥❣ t❛... ữ ụ tt t tì ♥❤✃t ❝đ❛ ❤❛✐ ➤❛ t❤ø❝✱ t❤✉❐t t♦➳♥ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➢í❝ ❝❤ó♥❣ ❧í♥ ♥❤✃t t❤➭♥❤ tỉ ❤ỵ♣ t✉②Õ♥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹ tÝ♥❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝