Để củng cố và khắc sâu các tính chất và mối quan hệ giữa ƯCLN và BCNN Giáo viên đưa ra ví dụ: Ví dụ: Tìm hai số tự nhiên, biết chúng có tổng là 27, ƯCLN là 3 và BCNN là 60: Giáo viên hướ[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO GIAO THUỶ TRƯỜNG THCS GIAO T ÂN SÁNG KIẾN DỰ THI CẤP HUYỆN BÁO CÁO SÁNG KIẾN RÈN KĨ NĂNG TÌM ƯCLN - BCNN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Tác giả: PHẠM VĂN THUÂN Trình độ chuyên môn: CAO ĐẲNG - TOÁN Chức vụ: GIÁO VIÊN Nơi công tác: TRƯỜNG THCS GIAO LẠC Giao Lạc, ngày 05 tháng 02 năm 2011 Lop6.net (2) THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Rèn kĩ tìm ƯCLN – BCNN và các bài toán liên quan Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng cho học sinh lớp Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 10 tháng 11 năm 2010 đến ngày 20 tháng 12 năm 2010 Tác giả: Họ và tên: Phạm Văn Thuân Nơi sinh: Giao Châu – Giao Thuỷ - Nam Định Nơi thường trú: Giao Châu – Giao Thuỷ - Nam Định Trình độ chuyên môn: Cao dẳng – chuyên ngành: Toán Chức vụ công tác: Giáo viên Trường THCS Giao Lạc Nơi làm việc: Trường THCS Giao Tân – Giao Thuỷ - Nam Định Địa liên hệ: Trường THCS Giao Tân – Giao Thuỷ - Nam Định Điện thoại: - DĐ: Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THCS Giao Tân Địa chỉ: Xã Giao Tân – Giao Thuỷ - Nam Định Điện thoại: Cơ quan: Lop6.net (3) I Điều kiện hoàn cảnh tạo sáng kiến: Toán học đời gắn liền với người và lịch sử phát triển xã hội, nó có ý nghĩa lý luận và thực tiễn vô cùng lớn lao và quan trọng Trong thời đại công nghiệp hoá đại hoá thiết phải đặt trên tảng dân trí Vì phải có chiến lược nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài trên lĩnh vực Sự phát triển khoa học tự nhiên lại đặt trên tảng khoa học toán học Vậy dạy toán trường THCS ngoài mục đích cung cấp tri thức toán học cho học sinh, điều đặc biệt là phải dạy cho học sinh cách phân tích, nghiên cứu, tìm tòi, đào sâu khai thác, phát triển bài toán để tổng quát hoá, khái quát hoá kiến thức Với mục tiêu trên việc lên lớp và truyền thụ kiến thức cho học sinh vô cùng quan trọng Vì vậy, tôi đã đặt cho mình mục tiêu giáo dục nhằm hình thành và phát triển các kỹ và sử dụng phương pháp linh hoạt, phát triển lực trí tuệ, khả tư duy, quan sát, dự đoán và tưởng tượng, tư lôgíc, cách sử dụng ngôn ngữ có khả thích ứng với thay đổi sống, biết diễn đạt ý tưởng mình và nắm bắt ý tưởng người khác Hình thành cho học sinh tư tích cực độc lập sáng tạo, nâng cao khả phát và giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh II Thực trạng: Trong quá trình dạy toán Trường THCS Giao Lạc đối tượng học sinh không đồng đều, điều kiện sở vật chất còn chưa đầy đủ, tình hình kinh tế dân còn khó khăn nên ít có điều kiện quan tâm đến việc học em mình, đa số các em chưa ý thức cho mình việc học tập Trên sở củng cố và phát triển kết tiểu học, mục tiêu chung giáo dục THCS là “ Tiếp tục phát triển toàn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ nhân cách người Việt Nam XHCN có trình độ học vấn và hiểu biết ban đầu kỹ thuật hướng nghiệp để tiếp tục học THPT, THCN học nghề vào sống lao động” Với thực trạng trên việc lên lớp và truyền thụ kiến thức cho học sinh còn nhiều hạn chế và kết đạt chưa cao Vì tôi đã đặt cho mình mục tiêu giáo dục nhằm hình thành và phát triển các kỹ phương pháp học tập và ý thúc tự giác cho học sinh Với học sinh lớp việc học toán và khả nhận biết, phân tích bài toán là vô cùng quan trọng, vì việc hướng dẫn học sinh cách học nào để đạt hiệu qủa cao là vấn đề mà tất giáo viên quan tâm “ Hướng dẫn học sinh cách tìm ước chung lớn và bội chung nhỏ nhất” (ƯCLN và BCNN ¦) là phần quan trọng chương trình số học vì nó liên quan đến nhiều kiến thức các lớp Vì tôi đã hướng dẫn học sinh cách tìm tòi bài toán để giúp các em có kỹ học tập tốt đặc biệt giúp các em có kỹ và kiến thức ƯCLN và BCNN Lop6.net (4) III Các giải pháp: Tìm hiểu nội dung chương trình: ƯCLN và BCNN là phần kiến thức quan trọng chương trình số học, vì nó có liên quan đến nhiều kiến thức khác Vì việc nắm vững nội dung và làm thành thạo các bước tìm ƯCLN và BCNN là quan trọng Giáo viên phải truyền đạt và khắc sâu kiến thức như: - Thế nào là ƯCLN hai hay nhiều số, nào là hai số nguyên tố cùng - Biết tìm ƯCLN và BCNN hai hay nhiều số cách phân tích các số thừa số nguyên tố Tìm hợp lý tong trường hợp cụ thể và vận dụng vào các bài toán cụ thể -Phân biệt điểm giống và khác hai quy tắc tìm ƯCLN và BCNN Các biện pháp để tổ chức thực hiện: Trước hết giáo viên cần cho học sinh nắm và khắc sâu các bước tìm ƯCLN và BCNN hình thức đưa bài tập trắc nghiệm ghép đôi Ví dụ: Viết các số thứ tự cụm từ lấy từ cột A, đặt vào vị trí tương ứng phù hợp cột B STT Cột A Cột B Phân tích số thừa số nguyên tố Tìm ƯCLN Tìm BCNN Xét các thừa số nguyên tố chung Xét các thừa số nguyên tố chung và riêng Lập tích các thừa số đó, thừa số lấy số mũ nhỏ Lập tích các thừa số nguyên tố, thừa số lấy số mũ lớn Sau làm xong các bài tập trắc nghiệm giáo viên đưa các số cụ thể và yêu cầu học sinh tìm ƯCLN và BCNN các số Ví dụ: a) Tìm ƯCLN ( 36; 84; 504) b) Tìm BCNN ( 12; 10) Giáo viên yêu cầu học sinh làm theo đúng các bước quy tắc Giáo viên chốt lại vấn đề mở rộng cho học sinh số tính chất ƯCLN, BCNN và quan hệ ƯCLN và BCNN - Tính chất ƯCLN: Tính chất 1: ƯCLN ( a,b ) chia hết cho ƯC ( a,b ) Nghĩa là tập hợp các ƯC ¦ ( a, b ) tập hợp các ước ƯCLN ( a, b ) Tính chất 2: Với a, b, k N* thì: ƯCLN ( ka, kb ) = k ƯCLN ( a, b ) Tính chất 3: Nếu các số tự nhiên a và b nguyên tố cùng Số c a và c b thì c ab Tính chất 4: ƯCLN ( a, b, c ) = ƯCLN (ƯCLN ¦ ( a, b ), c ) Lop6.net (5) = ƯCLN (ƯCLN ¦ ( a, c ), b ) = ƯCLN (ƯCLN ¦ ( b, c ), a ) - Tính chất BCNN: Tính chất 1: Mọi BC ( a, b ) là bội BCNN ( a, b ) Tính chất 2: BCNN ( ka, kb ) = k BCNN ( a, b ) với a, b, k N* Tính chất 3: BCNN ( a, b ) = a.b : ƯCLN ( a, b ) Để củng cố và khắc sâu các tính chất và mối quan hệ ƯCLN và BCNN Giáo viên đưa ví dụ: Ví dụ: Tìm hai số tự nhiên, biết chúng có tổng là 27, ƯCLN là và BCNN là 60: Giáo viên hướng dẫn giải và yêu cầu học sinh nhận xét các tính chất đã áp dụng bài tập này Giải Giả sử a, b là hai số cần tìm thì phải có a+ b = 27, ƯCLN ( a, b ) = và BCNN ( a, b ) = 60 Theo tính chất ta có: a.b = ƯCLN ( a, b ) BCNN ( a, b ) = 60 = 180 Đặt a1 a b1 b Ta có: a1 + b1 = và ( a1 ; b1 ) = Điều này xảy trường hợp a1 = 1, b1 = a1 = 2, b1 = a1 = 4, b1 = Nếu a1 = 1, b1 = thì a = 3; b = 24 a b = 72 180 (loại l) Nếu a1 = 2, b1 = thì a = 6; b = 21 a b = 126 180 (loại l) Nếu a1 = 4, b1 = thì a = 12; b =15 a b = 180 (nhận n) Vậy hai số cần tìm là 12 và 15 *) Đây là bài tập khó nên giáo viên đưa cuối bài để hướng dẫn học sinh đưa vào học bồi dưỡng cho học sinh khắc sâu tính chất *) Sau các tiết học khắc sâu cách tìm ƯCLN và BCNN các số Giáo viên đưa số bài tập có liên quan đến tìm ƯCLN và BCNN Một số dạng bài toán áp dụng ƯCLN và BCNN Dạng 1: Tìm hai số đó biết ƯCLN chúng Lop6.net (6) Ví dụ 1: Điền dấu “ X “ vào ô trống mà em chọn: Tìm ƯCLN và BCNN Đúng Sai ƯCLN ( 2003; ) = ƯCLN ( 8; 16; 48 ) = ƯCLN ( 24; 16; ) = 48 BCNNN ( 5; 7; ) = = 280 Học sinh điền xong giáo viên có thể hỏi thêm: Những kết sai em có thể sửa lại cho đúng nào? Giáo viên đưa bài tập khó dành cho đối tượng khá giỏi Ví dụ 2: Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 84, ƯCLN chúng Hướng dẫn: Bài toán này cho biết gì? các số cần tìm phải thoả mãn đIều kiện nào? Giải: Gọi hai số phải tìm là a, b ( a b ) Ta có: ƯCLN ( a, b ) = Nên a =6 a/, b =6 b/ Trong đó ( a/ , b/ ) = ( a, b, a/, b/ N) Do a + b = 84 nên ( a/ ; b/ ) = 84 a/ + b/ = 14 Chọn cặp số a /, b/ nguyên tố cùng có tổng 14 ( a/ b/ ) Ta a/ b/ 13 11 Do đó a 18 30 b 78 66 54 Dạng 2: Các bài toán phối hợp BCNN và ƯCLN Lop6.net (7) Bài tập trắc nghiệm dạng điền khuyết (dành cho học sinh trung bình) Ví dụ 1: Điền số thích hợp vào ô trống bảng sau Giáo viên: Yêu cầu học sinh nhận xét các tích của: BCNN( a, b, c) ƯCLN (a, b, c) với tích: a b.c ? Cho biết đã dựa vào tính chất nào a 4 20 b 20 c 16 20 ƯCLN ( a, b, c ) BCNN(a , b, c ) ƯCLN ( a, b, c ) BCNN(a , b, c ) a b c Ví dụ 2: Tìm hai số tự nhiên biết ƯCLN chúng 10 và BCNN chúng 900 *) Bài tập này học sinh có thể vận dụng vào ví dụ phần bài tập dạng để làm Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh điểm giống và khác hai bài tập này Do học sinh còn chưa quen với các bài tập trình bày theo lôgíc khoa học nên giáo viên cần giải cặn kẽ bước cho học sinh khắc sâu Giải Gọi các số phải tìm là a và b Giả sử a b Ta có: ƯCLN ( a, b ) = 10 Nên a = 10 a/ ; b = 10 b/ Trong đó ƯCLN ( a/, b/ ) = a/ b/ Do đó: ab = 100 a/b/ (1 ) Lop6.net (8) Mặt khác a.b = BCNN ( a, b ) ƯCLN ( a, b ) = 900 100 = 9000 ( ) Từ (1) và (2) a/b/ = 90 Ta có các trường hợp sau a/ b/ 90 45 18 10 Do đó a 10 20 50 90 b 900 450 180 100 Dạng 3: Những bài toán thực tế Câu 1: Một lớp có 28 nam và 24 nữ a, Có thể chia đươc nhiêu bao nhiêu tổ Sao cho số nam các tổ và số nữ các tổ ? b, Khi đó số nam và số nữ tổ là bao nhiêu ? Giải: a, Gọi a là số tổ nhiều có thể chia Theo bài ta có: a là ƯCLN ( 28, 24 ) (1) 28 = ………… 24 = ………… => ƯCLN ( 28, 24 ) = ………… (2) Từ (1) và (2) ta có: a = …… Vậy: Số tổ nhiều có thể chia là: … (tổ) b, Số nam tổ là: 28 : … = …… ( nam ) Số nữ tổ là: 24: … = … (nữ) Đáp số: Mỗi tổ có… nam và … nữ Câu 2: Học sinh khối trường Giao Lạc, xếp hàng 3, hàng 14, hàng 15 vừa đủ Hỏi số học sinh khối trường đó là bao nhiêu? Biết số học sinh khối đó nằm khoảng 200 đến 300 Giải: a, Gọi b là số học sinh khối Theo bài ta có: b là BC ( 3, 14,15 ) và 200 < b < 300 (1) = …… 14 = …… 15 = …… => BCNN( 3, 14, 15 ) = ……… => BC ( 3, 14,15 ) = B ( … ) = ………………………… ( ) Lop6.net (9) Từ (1) và (2) ta có: b = …… Vậy: Số học sinh khối là : … ( học sinh ) * Chú ý: - Nếu bài có từ nhiều thường liên quan đến tìm ƯCLN - Nếu bài có từ ít (hoặc khoảng từ … đến….) thường liên quan đến tìm BCNN Dạng 4: Tìm ƯCLN hai số thuật toán Ơ Clít *) Giới thiệu thuật toán Ơ - Clít Ta có thể tìm ƯCLN hai số tự nhiên không cần phân tích chúng thành thừa số nguyên tố Theo quy tắc đây gọi là thuật toán Ơ - Clít Để tìm ƯCLN ( a, b ) ta thực - Chia a cho b có số dư là r - Nếu r = thì ƯCLN ( a, b ) = b việc tìm ƯCLN dừng lại - Nếu r > ta chia b cho r số dư r1 - Nếu r1 = thì ƯCLN ( a, b ) = r Dừng việc tìm ƯCLN - Nếu r1 > ta chia r cho r1 và lập lại quá trình trên ƯCLN ( a, b ) là số dư khác nhỏ tronh dãy phép chia nói trên + ) Ví dụ: Tìm ƯCLN ( 1575; 343 ) Ta có: 1575 = 343 + 203 (dư 203 d > ) 343 = 203 + 140 (dư 140 d > ) 203 = 140 63 + 14 (dư 14 d > ) 140 = 63 + 14 (dư 14 d > ) 63 = 14 + (dư d > ) 14 = + (chia hết c) Ta thấy: là số dư nhỏ lớn dãy phép chia Vậy: ƯCLN ( 1575; 343 ) = Trong thực hành người ta đặt phép chia sau: Lop6.net (10) 1575 343 63 14 343 203 203 140 140 63 14 4 ƯCLN ( 1575; 343 ) = Chú ý: Trường hợp tìm ƯCLN ba số ta tìm ƯCLN hai số tìm ƯCLN kết với số thứ Sau giảng đầy đủ hai cách làm giáo viên cho học sinh làm bài tập củng cố Ví dụ: Tìm ƯCLN ( 900; 420; 240 ) cách phân tích thành thừa số nguyên tố và thuật toán Ơ - Clít Giáo viên đưa các dạng bài khó có liên quan và hướng dẫn cho học sinh nhằm phát nhân tài và có kế hoạch bồi dưỡng thêm Dạng 5: Hai số nguyên tố cùng + Hai số nguyên tố cùng là hai số có ƯCLN Ví dụ: Chứng minh a) Hai số tự nhiên liên tiếp (khác k) là hai số nguyên tố cùng b) Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng c) 2n + và 3n + ( n N ) là hai số bguyên tố cùng Giải a ) Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là n, n + Ta có: ƯCLN ( n; n + ) = d ( n + ) – n d d d = Vậy: ( n; n + ) = nguyên tố cùng Lop6.net (11) b ) Gọi hai số lẻ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + ƯCLN ( 2n + 1; 2n + ) = d ( 2n + ) – ( 2n + ) d d d 1;2 Nhưng d là ước số lẻ d Vậy: d = 2n 1;2n 3 Nguyên tố cùng c) Gọi d ƯC 2n 1;3n 1 32n 1 23n 1 d 1 d d Vậy 2n 1;2n 3 nguyên tố cùng Dạng 6: Tìm ƯCLN các biểu thức Ví dụ: Tìm ƯCLN 2n 1;9n ( n N ) Giải Gọi d ƯC 2n 1;9n 29n 92n 1 d 17 d d 1;17 Ta có: 2n 1d 2n 1817 2n 17 n 17 n 17 k (kN) Nếu n 17k + thì 2n – 17 Do đó: ƯCLN ( 2n – 1; 9n + ) = Ngoài các bài tập thuộc các dạng trên quá trình học giáo viên đưa thêm vào các bài tập đố vui tổ chức các trò chơi để tạo tinh thần thoải mái và thi đua các cá nhân, các nhóm Tạo hứng thú học tập cho học sinh Ví dụ: Trò chơi: “ Thi làm toán nhanh” Giáo viên đưa hai bài tập lên bảng phụ - Tìm ƯCLN ( 36; 60; 72 ) - Tìm BCNN ( 24; 36; 72 ) Cử hai đội chơi: Mỗi đội gồm em Mỗi em lên bảng viết dòng đưa phấn cho em thứ làm tiếp, làm kết cuối cùng Lop6.net (12) *Lưu ý: Em sau có thể sửa sai cho em trước Đội thắng là đội làm nhanh và đúng Cuối trò chơi giáo viên nhận xét đội và phát thưởng IV Hiệu sáng kiến đem lại: Với cách tổ chức lớp học trên áp dụng vào thực tế giảng dạy tôi thấy việc hoạt động học học sinh tương đối tốt Học sinh tham gia hoạt động nhiều, có ham muốn tìm tòi, khám phá kiến thức Đa số học sinh hiểu bàivà vận dụng kiến thức linh hoạt, chất lượng học nâng cao, số học sinh đạt khá giỏi tăng lên, số học sinh yếu kém giảm nhiều, đa số học sinh có ý thức tự giác học tập Kết cụ thể sau: Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu - Kém 6C 39 10 em 27 em em em 6D 39 em 25 em em em V Đề xuất, kiến nghị: Để đạt kết cao quá trình giảng dạy tôi mong các cấp lãnh đạo tạo điều kiện tốt sở vật chất, đồ dùng dạy học và tổ chức các thảo luận chuyên môn để giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm để tổ chức học tốt Trên đây là ý kiến thân tôi quá trình công tác Vì thời gian ngắn nên bài viết có nhiều thiếu sót Rất mong góp ý, rút kinh nghiệm quý bạn đọc để sáng kiến tôi hoàn thiện và vào thực tiễn TÁC GIẢ SÁNG KIẾN ( Ký ghi rõ họ tên ) Lop6.net (13) CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN ( Xác nhận, đánh giá, xếp loại) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… (Ký tên, đóng dấu) PHÒNG GD - ĐT GIAO THUỶ ( Xác nhận, đánh giá, xếp loại) …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ( Lãnh đạo phòng ký tên, đóng dấu) Lop6.net (14)