Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƢƠNG TRINH-PHƢƠNG TRÌNH BÂC HAI MỘT ẨN A.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ.. I..[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƢƠNG TRINH-PHƢƠNG TRÌNH BÂC HAI MỘT ẨN A.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
I MỤC TIÊU: Học sinh nắm
- Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn: / / / c y b x a c by ax
và Cách giải - Một số dạng tốn hệ phương trình bậc hai ẩn
II NỘI DUNG:
Dạng 1: Giải hệ phƣơng trình có đƣa dạng
1.Ví dụ:- Vận dụng quy tắc quy tắc cộng đại số để giải hệ phương trình sau: Giải hệ phương trình phương pháp
thế y x y x x y x x ) ( x y x x 4 10 x y x 14 y x y x
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) = (2;1)
Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số
y x y x 10 4 y x y x 14 y x x 2 y x y x
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) = (2;1)
2 Bài tập tự rèn:
Bài 1: Giải hệ phương trình
1) y x y x 2) 10 y x y x 3) 14 y x y x 4) 14 3 y x y x 5) ) ( ) ( y x y x 6) 3 , , , y x y x 7) 10 y x y x
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
1) xy y x xy y x ) )( ( ) )( ( 2) ) ( ) ( ) ( ) ( y x y x y x y x 3) 12 ) ( ) 3 )( ( 54 ) ( ) )( ( x y y x y x y x 4) 27 5 x y y x x y x y
Bài 3: Giải hệ phƣơng trình sau cách đặt ẩn số phụ 1) 15 12 1 y x y x 2) 2 x y y x x y y x 3) 4 y x x y x x
Dạng 2: Tìm tham để hệ có nghiệm (x;y) = (x0;y0) nghiệm
1) Phƣơng pháp:
Hệ PT có nghiệm (x0;y0) <=> (*)
ax + by = c a’x + b’y = c’
ax0 + by0 = c
(2) Giải hệ (*) tìm giá trị tham số
2) Ví dụ: Tìm m n để hệ PT
2
1
x m y m n
nx m y
(I) có nghiệm (x;y) = (-3; 2) Giải
Hệ (I) có nghiệm (-3; 2) <=> <=>
<=>
Vậy với (m; n) = (1; -1) hệ PT cho có nghiệm (-3; 2)
3) Bài tập tự rèn:
Bài 1: Tìm giá trị m, n cho hpt ẩn x, y sau
a) hpt
2 1
1
mx n y m n
m x m n y
có nghiệm (2; 1); đáp số:
2
;
9
m n
b) hpt 1 93
4
mx n y
nx my
có nghiệm (1; -5); đáp số: m1;n17 c) hpt
2 25
2
m x ny
mx n y
có nghiệm (3; -1); đáp số: m2;n 5
Dạng 3: Toán nâng cao ( Dạng chứa tham số)
1.Ví dụ:
Ví dụ1: Định m ngun để hệ có nghiệm nghiệm nguyên:
1 2
1
m my x
m y mx
HD Giải:
1 2
1
m my x
m y mx
m m y m mx
m y mx
2
2
2
1 2
) )( ( )
( 2
m my x
m m
m m y m
để hệ có nghiệm m2
– 0 hay m 2 Vậy với m 2 hệ phương trình có nghiệm
2
2 2
1
) )( (
2
m m
m x
m m
m m
m m
y
Để x, y số nguyên m + Ư(3) = 1;1;3;3
Vậy: m + = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5
Ví dụ 2: Định m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức cho
trước
Cho hệ phương trình:
8 my x
y mx
2.(-3) + (m+1).2 = m+2n-1 n.(-3) + (1-m).2 =
m - 2n =3 2m + 3n = -1 m =
(3)Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 2x + y +
4 38
2
m =
HD Giải:
- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nhất: m 2 - Giải hệ phương trình theo m
8 my x
y mx
m y m mx
y mx
8
2
8
9 ) (
my x
m y m
4 32
4
2
m m x
m m y
- Thay x =
4 32
2
m m
; y =
4
2
m m
vào hệ thức cho ta được: 2.
4 32
2
m m
+
4
2
m m
+
4 38
2
m =
=> 18m – 64 +8m – + 38 = 3m2 – 12 3m2 – 26m + 23 =
m1 = ; m2 =
3 23
(cả hai giá trị m thỏa mãn điều kiện) Vậy m = ; m =
3 23 2.Bài Tập Tự Rèn: Bài 1:
a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm (2; -1)
3 ) (
) (
m ny x m
n m y m mx
HD:
Thay x = ; y = -1 vào hệ ta hệ phương trình với ẩn m, n b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + = có hai nghiệm x = x = -2
HD:
thay x = x = -2 vào phương trình ta hệ phương trình với ẩn a, b c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx –
chia hết cho 4x – x +
HD: f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + nên Biết f(x) chia hết cho ax + b
f(-a b
) =
0 ) (
0 ) ( f f
0 3 18
0
b a
b a
Giải hệ phương trình ta a = 2; b = 11
d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + Xác định hệ số a b biết f(2) = , f(-1) =
HD:
0 ) (
6 ) ( f f
4 2
b a
b a
3 b a
Bài 2:
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)
(4)Đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình
2
b a
b a
3 b a
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm
a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0)
Bài 3:
Định m để đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m x + 2y = đồng quy
DH giải:
- Tọa độ giao điểm M (x ; y) hai đường thẳng 3x + 2y = x + 2y = nghiệm hệ phương trình:
3
4
y x
y x
25 ,
5 , y x
Vậy M(0,2 ; 1,25)
Để ba đường thẳng đồng quy điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m m = -0,85
Vậy m = -0,85 ba đường thẳng đồng quy
B PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
PHẦN I: KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM VỮNG
1 Công thức nghiệm:
Phương trình ax2+bx+c = (a 0) có = b2- 4ac +Nếu < phương trình vơ nghiệm
+Nếu = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
a b
+Nếu > phương trình có nghiệm phân biệt: x1 =
a b
2
; x2 = a b
2
2 Cơng thức nghiệm thu gọn:
Phương trình ax2+bx+c = (a 0) có ’=b’ 2- ac ( b =2b’ ) +Nếu ’
< phương trình vơ nghiệm +Nếu ’
= phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
a b
+Nếu ’> phương trình có nghiệm phân biệt:
x1 =
a b '
; x2 =
a b '
PHẦN II: NỘI DUNG I TOÁN CƠ BẢN
LOẠI TỐN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CƠNG THỨC VÀO TÍNH TỐN
Bài 1: Giải phương trình a) 3x2 + 2x + = b) x2 – 6x + = c) x2 - 49x - 50 =
d) (2- 3)x2 + 3x – – = Giải:
a) Giải phương trình 3x2 + 2x + =
Dùng công thức nghiệm (a = 3; b = 2; c = 1) = 22- 4.3.1 = - <
(5)(a = 1; b = -6; c = 9) = (-6)2- 4.1.9 =
Do = nên phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =
+ Lời giải 2: Dùng HĐT ta biên đối thành (x – 3)2 = suy x = c) Giải phương trình x2 - 49x - 50 =
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = - 49; c = 50) = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601; = 51
Do > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
2 51 ) 49 (
1
x ; 50
2 51 ) 49 (
2
x
+ Lời giải 2: Ứng dụng định lí Viet Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) =
Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = 50
1 50
d) Giải phương trình (2- 3)x2 + 3x – – = Giải:
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2- 3; b = 3; c = – – 3) = (2 3)2- 4(2- 3)(– – 3) = 16; =
Do > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
) (
4
1
x ; (7 3)
) (
4
2
x
+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn (a = 2- 3; b’ = 3; c = – – 3) ’ = ( 3)2 - (2 - 3)(– – 3) = 4; =
Do ’ > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
3
2
1
x ; (7 3)
3
2
2
x
+ Lời giải 3: Ứng dụng định lí Viet
Do a + b + c = 2- + 3+ (- - 3) =
Nên phương trình có nghiệm: x1 = 1; x1 = (7 3)
3
3
2
*Yêu cầu:
+ Học sinh xác định hệ số a, b, c áp dụng công thức + Áp dụng công thức (khơng nhẩm tắt dễ dẫn đến sai sót) + Gv: cần ý rèn tính cẩn thận áp dụng cơng thức tính tốn
* Bài tương tự: Giải phương trình sau: 3x2 – 7x - 10 =
2 x2 – 3x + = x2 – 4x – = x2 – 3x + =
5 x2 – (1+ 2)x + = 3x2 – (1- 3)x – = x2 – 8x =
8 2x2 – 18 =
II TOÁN NÂNG CAO: LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN
(Phương trình bậc hai chứa tham số) 1.Ví dụ:
Bài 1: Cho phương trình: x2
(6)b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm
d) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thoả mãn x1
+x2
10 e) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2
Giải
a) Ta có: ’ = (m-1)2 – (– – m ) =
4 15
1
m
Do 2
m với m;
15
> với m Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình ln có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c < – – m < m > -3 Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm
Khi theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3)
Khi phương trình có hai nghiệm âm S < P >
3
) (
0 ) (
m
m m m
m
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3)
Khi A = x1
+x2
= (x1 + x2)
- 2x1x2 = 4(m-1)
+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo A 10 4m2 – 6m 2m(2m-3)
0
2 3
0
0
0
m m
m m m m
m m
m m
Vậy m
2
m
e) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có:
6
2
2
) (
) (
2
2
1
m x
x
m x x m
x x
m x
x
x1 + x2+2x1x2 = -
Vậy x1 + x2 + 2x1x2 + = hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - x1(1+2x2) = - ( +x2)
2
2
8 x x x
Vậy
2
2
8 x x x
(
2
2
x )
2.Bài tập tự rèn:
Bài 1: Cho phương trình: x2
+ 2x + m -1= ( m tham số) a) Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo
(7)c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn
2 1
1 x x
y ;
1 2
1 x x
y với x1; x2 nghiệm
phương trình Giải
a) Ta có ’ = 12 – (m-1) = – m
Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo
2
1
1
'
m
m m m
m P
Vậy m =
b) Ta có ’ = 12 – (m-1) = – m
Phương trình có nghiệm – m m (*) Khi theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – (2)
Theo bài: 3x1+2x2 = (3)
Từ (1) (3) ta có: 2 1
1 2 2
2 2 5
3 2
x x x x x x
x x x x x x x
Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 m = - 34 (thoả mãn (*)) Vậy m = -34 giá trị cần tìm
d) Với m phương trình cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – (2)
Khi đó:
1 2
1 2
1 2
2
1
x x m
y y x x x x
x x x x m m
(m≠1)
2
1 2
2 1
1 1
( )( ) 2
1
m
y y x x x x m
x x x x m m
(m≠1)
y1; y2 nghiệm phương trình: y
-
m m
1
.y +
1
2
m m
= (m≠1) Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 =
Bài 2: Cho phương trình : x2
– 4x + m + = a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m cho phương trình có nghiệm x1, x2 `thoả mãn: x1
+ x2
= 10 Giải
a) Ta có ’ = – (m+1) = – m
Để phương trình có nghiệm – m m b) Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = (1); x1x2 = m +
Do x1
+ x2
= 10 (x1+ x2)
- x1x2 = 10 16 – 2m - = 10 m = (nhận)
Vậy m =
Bài 3: Tìm m để phương trình : x22(m1)xm23m0. có nghiệm x1, x2 thoả mãn
x1
+ x2