Cho haøm f(x) xaùc ñònh vaø khaû tích treân [a,b].[r]
(1)Chương 5
TÍNH GẦN ĐÚNG
(2)I TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM :
Cho hàm y = f(x) bảng số
x xo x1 x2 xn y yo y1 y2 yn
Để tính gần đạo hàm, ta xấp xỉ hàm đa thức nội suy Lagrange Ln(x)
Ta coù / /
/ / / /
( ) ( )
( ) ( )
n n
f x L x
f x L x
(3)1 TH bảng có điểm nuùt :
x x0 x1
y y0 y1
h = x1- x0 y0 = f(x0)
y1 = f(x1) = f(x0+h)
Đa thức nội suy Lagrange
0
0
0 1
0
1
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
n
x x x x
L x y y
x x x x
x x x x
y y
h h
Do với x [x0, x1] ta có
1 ( ) ( )0
'( ) y y f x h f x
f x
h h
(4) Công thức sai phân tiến :
0
0
( ) ( )
'( ) f x h f x
f x
h
Công thức sai phân lùi :
1
'( ) y y
f x
h
Thay x1 baèng x0
0
0
( ) ( )
'( ) f x f x h
f x
h
(5) Công thức sai số :
0
2 max | "( ) |[ , ]
2 x x x
M h
với M f x
Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x Tính Xấp xỉ
f’(1.8) sai số với h = 0.1, 0.01, 0.001
Ta coù f '(1.8) f (1.8 h) f (1.8)
h
Sai soá
2
1 "( )
f x
x
2 max | "( ) | 12
1.8
M f x
2
2(1.8)
h
(6)h f’(1.8)
0.1 0.540672212 0.016
0.01 0.554018037 0.16x10-2
0.001 0.555401292 0.16x10-3
2 TH bảng có điểm nút cách :
x x0 x1 x2 y y0 y1 y2
h = x2 - x1 = x1 - x0 y0 = f(x0)
(7)Đa thức nội suy Lagrange
0
1
0
0 1 2
0 2
2
2 2
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 n
x x x x x x x x
x x x x
L x y y y
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
y y y
h h h
Do với x [x0, x2] ta có
0
2 0
2 2
( ) ( ) ( )
'( ) ( ) ( ) ( )
2 2
x x x x x x
f x y y y y y y
h h h
2
2
( )
"( ) y y y
f x
h
(8)Suy đạo hàm cấp
0
0
2
1
0
2
( )
'( )
2
( )
'( )
2
( )
'( )
2
y y y
f x
h
y y
f x
h
y y y
f x h
Công thức thứ gọi công thức sai phân tiến
0 0
0
3 ( ) ( ) ( )
'( )
2
f x f x h f x h
f x
h
(9)Công thức thứ gọi công thức sai phân hướng tâm thường viết dạng (thay x1 = x0)
0
0
( ) ( )
'( )
2
f x h f x h
f x
h
Công thức thứ gọi công thức sai phân lùi
thường viết dạng (thay x2 = x0)
0 0
0
( ) ( ) ( )
'( )
2
f x h f x h f x
f x
h
Công thức sai số :
0 2
3
3 max | "'( ) |[ , ]
6 x x x
M h
với M f x
(10)đạo hàm cấp
2
1
( )
''( ) y y y
f x
h
Thay x1 = x0 ta
0 0
0
( ) ( ) ( )
''( ) f x h f x f x h
f x
h
Công thức sai số :
0 2
(4)
4 max |[ , ] ( ) |
12 x x x
M h
với M f x
(11) Ví dụ : Cho haøm f(x) = ln x – 2/x3
a Dùng cơng thức sai phân hướng tâm, tính xấp xỉ f’(3) với h = 0.1, 0.01, 0.001
b Tính xấp xỉ f”(3) với h = 0.1, 0.01, 0.001
giaûi
(3 ) (3 )
'(3)
2
f h f h
f
h
h f’(3)
(12)2
(3 ) (3) (3 )
''(3) f h f f h
f
h
h f’’(3)
(13)II TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN :
Cho hàm f(x) xác định khả tích [a,b] Ta cần tính gần tích phân :
( )
b
a
I f x dx
Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn với bước h = (b-a)/n
xo= a, x1 = x0 +h, , xk = x0 + kh, , xn = b
(14)Đa thức Lagrange TH điểm cách
0
( 1)
( ) ( 1) ( )
!( )!( )
n k n
n k
k
L x q q q n y
k n k q k x a với q h 0
( 1) ( 1) ( )
( )
!( )!( )
( 1) ( 1) ( ) ( )
!( )!( )
b n b n k
n k
k
a a
n n k n
k k
q q q n
I L x dx y dx
k n k q k
q q q n b a
dq y
k n k q k n
(15)Công thức gọi công thức Newton-cotes, hệ số Hk gọi hệ số cotes
Hệ số cotes có tính chất sau :
0
1
0, n
k k
n k k
H
H H k n
0
* ( )
n
k k k
I I b a H y
0
( 1) ( 1) ( )
!( )! ( )
n n k
k
q q q n
với H dq
n k n k q k
(16) Công thức sai số : 2
( 1) ( 2)
1 [ , ] [ , ]
| ( 1) ( ) | ( 1)!
| *|
| ( 1) ( ) | ( 2)!
max | ( ) | max | ( ) |
n n n
n n n
n n
n x a b n x a b
M h
q q q n dq với n lẻ n
I I
M h
q q q n dq với n chẵn n
M f x vaø M f x
(17)1 Cơng thức hình thang :
Xét n = 1, ta có h= b-a
I (b-a)(Hoyo + H1y1)
1
0
0
1
( 1)
2
H q dq 1 0
2
H H
Vaäy ( ) ( 0 1) ( ) ( ( ) ( ))
2
b a b a
I y y f a f b
Công thức sai số :
3
2
0
| ( 1) |
2! 12
M h M h
q q dq
(18) Cơng thức hình thang mở rộng :
Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn [x0, x1], [x1, x2], , [xn-1, xn]
Ta coù
1
0 1
( ) ( ) ( )
n
n
x
x x
x x x
I f x dx f x dx f x dx
1 1
0 1
0 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
( ) ( ) ( )
2 2
n n
n n
n n
x x x x x x
y y y y y y
h h h
y y y y y y
Cơng thức hình thang mở rộng :
(19)Vaäy
0 1
( 2 2 )
2 n n
h
I y y y y
Công thức sai số :
3
2 ( )
12 12
M h M h
n b a
(20)2 Công thức Simpson :
Xét n = 2, ta có h = (b-a)/2
I (b-a)(Hoyo + H1y1+H2y2)
1
0
0
1
( 1)( 2)
4
H q q dq
2
1
H H
0
2
3
H H H H
Vaäy ( ) ( 0 1 2)
6
b a
(21) Công thức sai số :
4
2
4
0
| ( 1)( 2) |
4! 90
M h M h
q q q dq
Công thức Simpson mở rộng :
Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn [x0, x1], [x1, x2], , [xn-1, xn]