Đang tải... (xem toàn văn)
Nên ta có một tổng với các đặc điểm: các số hạng liên tiếp luôn đối nhau số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau liên tiếp, cứ như vậy các số hạng trong tổng đều được khử liên [r]
(1)Trường THCS Nguyễn đình Chiểu Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách Năm học 2010-2011 Bµi 1: TÝnh B = + + + + 98 + 99 NhËn xÐt: NÕu häc sinh nµo cã sù s¸ng t¹o sÏ thÊy tæng: + + + + 98 + 99 có thể tính hoàn toàn tương tự bài 1, cặp số là 51 và 50, (vì tæng trªn chØ thiÕu sè 100) vËy ta viÕt tæng B nh sau: B = + (2 + + + + 98 + 99) Ta thÊy tæng ngoÆc gåm 98 sè h¹ng, chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + + (51 + 50) = 49.101 = 4949, đó B = + 4949 = 4950 Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, ta chia các số hạng đó thành cặp (mỗi cÆp cã sè h¹ng th× ®îc 49 cÆp vµ d sè h¹ng, cÆp thø 49 th× gåm sè h¹ng nµo? Số hạng dư là bao nhiêu?), đến đây học sinh bị vướng mắc Ta cã thÓ tÝnh tæng B theo c¸ch kh¸c nh sau: C¸ch 2: B = + + + + 97 + 98 + 99 + B = 99 + 98 + + + + 2B = 100 + 100 + + 100 + 100 + 100 2B = 100.99 B = 50.99 = 4950 Bµi 2: TÝnh C = + + + + 997 + 999 Lêi gi¶i: Cách 1: Từ đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ ¸p dông c¸c bµi trªn ta cã C = (1 + 999) + (3 + 997) + + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tæng trªn cã 250 cÆp sè) C¸ch 2: Ta thÊy: = 2.1 - = 2.2 - = 2.3 - 999= 2.500- Quan sát vế phải, thừa số thứ theo thứ tự từ trên xuống ta có thể xác định ®îc sè c¸c sè h¹ng cña d·y sè C lµ 500 sè h¹ng ¸p dông c¸ch cña bµi trªn ta cã: C = + + + 997 + 999 Lop7.net (2) Trường THCS Nguyễn đình Chiểu + C = 999 + 997 + + + Năm học 2010-2011 2C = 1000 + 1000 + + 1000 + 1000 2C = 1000.500 C = 1000.250 = 250.000 Bµi TÝnh D = 10 + 12 + 14 + + 994 + 996 + 998 Nhận xét: Các số hạng tổng D là các số chẵn, áp dụng cách làm bài tập để tìm số các số hạng tổng D sau: Ta thÊy: 10 = 2.4 +2 12 = 2.5 +2 14 = 2.6 +2 998 = 2.498 + Tương tự bài trên: từ đến 498 có 495 số nên ta có số các số hạng D là 495, mÆt kh¸c ta l¹i thÊy: 495 998 10 hay sè c¸c sè h¹ng = (sè h¹ng ®Çu - sè h¹ng cuèi) : kho¶ng c¸ch råi céng thªm Khi đó ta có: D = 10 + 12 + + 996 + 998 + D = 998 + 996 + + 12 + 10 2D = 1008 + 1008 + + 1008 + 1008 2D = 1008.495 D = 504.495 = 249480 Thùc chÊt D (998 10)495 Qua các ví dụ trên , ta rút cách tổng quát sau: Cho dãy số cách u1, u2, u3, un (*), kho¶ng c¸ch gi÷a hai sè h¹ng liªn tiÕp cña d·y lµ d, Khi đó số các số hạng dãy (*) là: n un u1 (1) d Tæng c¸c sè h¹ng cña d·y (*) lµ n(u1 un ) (2) Sn §Æc biÖt tõ c«ng thøc (1) ta cã thÓ tÝnh ®îc sè h¹ng thø n cña d·y (*) lµ: un = u1 + (n - 1)d HoÆc u1 = d = th× S1 = + + + + n n(n 1) Bµi TÝnh E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 99,10 Lêi gi¶i Lop7.net (3) Trường THCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2010-2011 Ta cã thÓ ®a c¸c sè h¹ng cña tæng trªn vÒ d¹ng sè tù nhiªn b»ng c¸ch nh©n c¶ hai vế với 100, đó ta có: 100E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + + 9899) + 9910 (1011 9899).98 9910 = 485495 + 9910 = 495405 E = 4954,05 (Ghi chó: V× sè c¸c sè h¹ng cña d·y lµ (9899 1011) 98 ) 101 Bµi Ph©n tÝch sè 8030028 thµnh tæng cña 2004 sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp Lêi gi¶i Gäi a lµ sè tù nhiªn ch½n, ta cã tæng cña 2004 sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp lµ: a (a 4006) S = a + (a + 2) + + (a + 4006) = 2004 (a 2003).2004 Khi đó ta cã: (a + 2003).2004 = 8030028 a = 2004 VËy ta cã: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + + 6010 NhËn xÐt: Sau giải các bài toán dạng trên ta không thấy có vướng mắc gì lớn, vì đó là toàn bài toán mà học sinh khá không gặp khó khăn tiếp thu Tuy nhiên đó là các sở đầu tiên để từ đó chúng ta tiếp tục nghiên cứu các dạng toán mức độ cao hơn, phức tạp chút Dạng 2: Dãy số mà các số hạng không cách Bµi TÝnh A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) Lêi gi¶i Ta thấy số hạng tổng trên là tích hai số tự nhên liên tiếp, đó: Gäi a1 = 1.2 3a1 = 1.2.3 3a1= 1.2.3 - 0.1.2 a2 = 2.3 3a2 = 2.3.3 3a2= 2.3.4 - 1.2.3 a3 = 3.4 3a3 = 3.3.4 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4 ………………… an-1 = (n - 1)n 3an-1 =3(n - 1)n 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n an = n(n + 1) 3an = 3n(n + 1) 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) Cộng vế các đẳng thức trên ta có: 3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2) 1.2 2.3 n(n 1) = n(n + 1)(n + 2) A = Lop7.net n(n 1)(n 2) (4) Trường THCS Nguyễn đình Chiểu C¸ch 2: Ta cã Năm học 2010-2011 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) A = n(n 1)(n 2) * Tæng qu¸t ho¸ ta cã: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1) Trong đó k = 1; 2; 3; … Ta dÔ dµng chøng minh c«ng thøc trªn nh sau: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1) Bµi TÝnh B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) Lêi gi¶i ¸p dông tÝnh kÕ thõa cña bµi ta cã: 4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + … + (n - 1)n(n + 1).4 = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) B= (n 1)n(n 1)(n 2) Bµi TÝnh C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3) Lêi gi¶i Ta thÊy: 1.4 = 1.(1 + 3) 2.5 = 2.(2 + 3) 3.6 = 3.(3 + 3) 4.7 = 4.(4 + 3) …… n(n + 3) = n(n + 1) + 2n VËy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n = 1.2 + +2.3 + + 3.4 + + … + n(n + 1) + 2n = [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + + + … + 2n) 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + + + … + 2n) = = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + + + … + 2n) = = n(n + 1)(n + 2) + 3(2n 2)n n(n 1)(n 2) 3(2n 2)n n(n 1)(n 5) = C= 3 Bµi TÝnh D = 12 + 22 + 32 + … + n2 NhËn xÐt: C¸c sè h¹ng cña bµi lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp, cßn ë bµi này là tích hai số tự nhiên giống Do đó ta chuyển dạng bài tập 1: Lop7.net (5) Trường THCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2010-2011 Ta cã: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + … + + n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + … + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + … + n2 ) + (1 + + + … + n) MÆt kh¸c theo bµi tËp ta cã: A= n(n 1)(n 2) n(n 1) vµ + + + … + n = 12 + 22 + 32 + … + n2 = = n(n 1)(n 2) n(n 1) n(n 1)(2n 1) = Bµi TÝnh E = 13 + 23 + 33 + … + n3 Lêi gi¶i Tương tự bài toán trên, xuất phát từ bài toán 2, ta đưa tổng B tổng E: cã: B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1) + … + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + … + (n3 - n) = = (23 + 33 + … + n3) - (2 + + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) - (1 + + + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) (13 + 23 + 33 + … + n3) = B + n(n 1) n(n 1) (n 1)n(n 1)(n 2) Mà ta đã biết B = E = 13 + 23 + 33 + … + n3 = (n 1)n(n 1)(n 2) n(n 1) n(n 1) = + = C¸ch 2: Ta cã: A1 = 13 = 12 A2 = 13 + 23 = = (1 + 2)2 A3 = 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + + 3)2 Gi¶ sö cã: Ak = 13 + 23 + 33 + … + k3 = (1 + + + … + k)2 (1) Ta chøng minh: Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + + + … + (k + 1)]2 (2) Thật vậy, ta đã biết: + + + … + k = Ak = [ k (k 1) ] k (k 1) (1') Céng vµo hai vÕ cña (1') víi (k + 1)3 ta cã: Ak + (k + 1)3 = [ k (k 1) k (k 1) ] + (k + 1)3 Ak+1 = [ ] + (k + 1)3 2 (k 1)(k 2) = Vậy tổng trên đúng với Ak+1, tức là ta luôn có: Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + + + … + (k + 1)]2 = Lop7.net Ta (6) Trường THCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2010-2011 (k 1)(k 2) = Vậy đó ta có: n(n 1) E = 13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + + + … + n)2 = Lêi b×nh: - Víi bµi tËp trªn ta ¸p dông kiÕn thøc vÒ quy n¹p To¸n häc - Bµi tËp trªn chÝnh lµ d¹ng bµi tËp vÒ tæng c¸c sè h¹ng cña mét cÊp sè nh©n (líp 11) nhng chóng ta cã thÓ gi¶i quyÕt ®îc ph¹m vi ë cÊp THCS Bµi (Trang 23 SGK To¸n tËp 1) Biết 12 + 22 + 32 +…+ 102 = 385, đố em tính nhanh tổng S = 22 + 42 + 62 + … + 202 Lêi gi¶i Ta cã: S = 22 + 42 + 62 + … + 202 = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.10)2 = = 12.22 + 22.22 + 22.32 + …+ 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 + … + 102) = (12 + 22 + 32 + … + 102) = 4.385 = 1540 Nhận xét: Nếu đặt P = 12 + 22 + 32 + … + 102 thì ta có: S = 4.P Do đó, cho S thì ta tính P và ngược lại Tổng quát hóa ta có: P = 12 + 22 + 32 +…+ n2 = n(n 1)(2n 1) (theo kÕt qu¶ ë trªn) Khi đó S = 22 + 42 + 62 + … + (2n)2 tính tương tự bài trên, ta có: S = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.n)2 = 4.( 12 + 22 + 32 + … + n2) = = 4n(n 1)(2n 1) 2n(n 1)(2n 1) = Cßn: P = 13 + 23 + 33 + …+ n3 n(n 1) = Ta tÝnh S = 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 nh sau: S = (2.1)3 + (2.2)3 + (2.3)3 + … + (2.n)3 = 8.(13 + 23 + 33 + … + n3) lóc nµy S = 8P, VËy ta cã: S = 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 = n(n 1) 8.n (n 1) 2n (n 1) ¸p dông c¸c kÕt qu¶ trªn, ta cã bµi tËp sau: Bµi a) TÝnh A = 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2 b) TÝnh B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 Lêi gi¶i a)Theo kÕt qu¶ bµi trªn, ta cã: 12 + 22 + 32 +…+ (2n)2 = = 2n(2n 1)(4n 1) n(2n 1)(4n 1) Mµ ta thÊy: Lop7.net (7) Trường THCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2010-2011 2 2 2 2 + + + + (2n -1) = + + +…+ (2n) - 2 + 43 + 63 +…+ (2n)2 = = n(2n 1)(4n 1) 2n(n 1)(2n 1) 2n (2n 1) = 3 b) Ta cã: 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = 13 + 23 + 33 + … + (2n)3 - 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 ¸p dông kÕt qu¶ bµi tËp trªn ta cã: 13 + 23 + 33 + … + (2n)3 = n2(2n + 1)2 VËy: B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = n2(2n + 1)2 - 2n2(n + 1)2 = = 2n4 - n2 Ngµy d¹y: 20/9/2009 Mét sè bµi tËp d¹ng kh¸c Bµi TÝnh S1 = + + 22 + 23 + … + 263 Lêi gi¶i C¸ch 1: Ta thÊy: S1 = + + 22 + 23 + … + 263 (1) 2S1 = + 22 + 23 + … + 263 + 264 (2) Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta cã: 2S1 - S1 = + 22 + 23 + … + 263 + 264 - (1 + + 22 + 23 + … + 263) = 264 - Hay S1 = 264 - C¸ch 2: Ta cã: S1 = + + 22 + 23 + … + 263 = + 2(1 + + 22 + 23 + … + 262) (1) = + 2(S1 - 263) = + 2S1 - 264 S1 = 264 - Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc S = +3 + 32 + 33 + … + 32000 (1) Lêi gi¶i: C¸ch 1: ¸p dông c¸ch lµm cña bµi 1: Ta cã: 3S = + 32 + 33 + … + 32001 (2) Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta ®îc: 3S - 2S = (3 + 32 + 33 + … + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 + … + 32000) Hay: 2S = 32001 - S = 32001 Cách 2: Tương tự cách bài trên: Ta cã: S = + 3(1 +3 + 32 + 33 + … + 31999) = + 3(S - 32000) = + 3S - 32001 2S = 32001 - S = 32001 *) Tæng qu¸t ho¸ ta cã: Lop7.net (8) Trường THCS Nguyễn đình Chiểu Sn = + q + q2 + q3 + … + qn Năm học 2010-2011 (1) Khi đó ta có: C¸ch 1: qSn = q + q2 + q3 + … + qn+1 Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta cã: (q - 1)S = C¸ch 2: (2) qn+1 q n 1 -1 S= q 1 Sn = + q(1 + q + q2 + q3 + … + qn-1) = + q(Sn - qn) = + qSn - qn+1 qSn - Sn = qn+1 - hay: Sn(q - 1) = qn+1 - S= q n 1 q 1 Bµi Cho A = + + 22 + 23 + … + 29; B = 5.28 H·y so s¸nh A vµ B C¸ch 1: Ta thÊy: B = 5.28 = (23 + 22 + + + + + + + 1).26 = 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 = 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 25 + 25 (V× 26 = 2.25) VËy râ rµng ta thÊy B > A Cách 2: áp dụng cách làm các bài tập trên ta thấy đơn giản hơn, thËt vËy: A = + + 22 + 23 + … + 29 (1) 2A = + 22 + 23 + … + 29 + 210 (2) Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta cã: 2A - A = (2 + 22 + 23 + … + 29 + 210) - (1 + + 22 + 23 + … + 29) = 210 - hay A = 210 - Cßn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28 VËy B > A * Ta có thể tìm giá trị biểu thức A, từ đó học sinh có thể so sánh A víi B mµ kh«ng gÆp mÊy khã kh¨n Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc S = + 2.6 + 3.62 + 4.63 + … + 100.699 Ta cã: (1) 6S = + 2.62 + 3.63 + … + 99.699 + 100.6100 (2) Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta ®îc: 5S = - 2.6 + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) + … + (99.699 - 100.699) + + 100.6100 - = 100.6100 - - (6 + 62 + 63 + … + 699) (*) §Æt S' = + 62 + 63 + … + 699 6S' = 62 + 63 + … + 699 + 6100 6100 6100 499.6100 100 thay vµo (*) ta cã: 5S = 100.6 - = S' = 5 Lop7.net (9) Trường THCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2010-2011 499.6 25 100 S= Bài Người ta viết dãy số: 1; 2; 3; Hỏi chữ số thứ 673 là chữ số nào? Lêi gi¶i Ta thấy: Từ đến 99 có: + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu bài ta còn thiếu số các ch÷ sè cña d·y lµ: 673 - 189 = 484 ch÷ sè, nh vËy ch÷ sè thø 673 ph¶i n»m d·y c¸c sè cã ch÷ sè VËy ta xÐt tiÕp: Từ 100 đến 260 có: 3.161 = 483 chữ số Như từ đến 260 đã có: 189 + 483 = 672 chữ số, theo đầu bài thì chữ số thứ 673 sÏ lµ ch÷ sè cña sè 261 Mét sè bµi tËp tù gi¶i: TÝnh: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + … + (n - 2) … (n + 1) TÝnh: B = 1.2.4 + 2.3.5 + … + n(n + 1)(n + 3) TÝnh: C = 22 + 52 + 82 + + (3n - 1)2 TÝnh: D = 14 + 24 + 34 + + n4 TÝnh: E = + 74 + 77 + 710 + … + 73001 TÝnh: F = + 83 + 85 + … + 8801 TÝnh: G = + 99 + 999 + … + 99 … (ch÷ sè cuèi gåm 190 ch÷ sè 9) TÝnh: H = 1.1! + 2.2! + … + n.n! Cho d·y sè: 1; 2; 3; … Hái ch÷ sè thø 2007 lµ ch÷ sè nµo? ***************************************************** thÓ lo¹i to¸n vÒ ph©n sè: Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = 1 1 1.2 2.3 3.4 (n 1).n Lêi gi¶i 1 1 1 sau bá dÊu ngoÆc ta cã: Ta cã: A = 2 n 1 n n A = 1 n 1 n Nhận xét: Ta thấy các giá trị tử không thay đổi và chúng và đúng hiệu hai thừa số mẫu Mỗi số hạng có dạng: Lop7.net m 1 (HiÖu hai thõa sè ë b(b m) b b m (10) Trường THCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2010-2011 mẫu luôn giá trị tử thì phân số đó luôn viết dạng hiệu hai phân số khác với các mẫu tương ứng) Nên ta có tổng với các đặc điểm: các số hạng liên tiếp luôn đối (số trừ nhóm trước số bị trừ nhóm sau liên tiếp), các số hạng tổng khử liên tiếp, đến tổng còn số hạng đầu và số hạng cuối, lúc đó ta thực phép tính đơn giản Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B = 4 4 3.7 7.11 11.15 95.99 4 4 B = vËn dông c¸ch lµm cña phÇn nhËn xÐt, ta 3.7 7.11 11.15 95.99 có: - = (đúng tử) nên ta có: 1 1 1 1 1 32 B = = 95 99 99 99 7 11 11 15 Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc C = 72 72 72 72 2.9 9.16 16.23 65.72 NhËn xÐt: Ta thÊy: - = ≠ 72 ë tö nªn ta kh«ng thÓ ¸p dông c¸ch lµm cña các bài trên (ở tử chứa 72), giữ nguyên các phân số đó thì ta không thể tách thành hiệu các phân số khác để rút gọn tổng trên Mặt khác ta thấy: 1 , vì để giải vấn đề ta phải đặt làm thừa số chung ngoài 2.9 dấu ngoặc, đó thực bên ngoặc đơn giản Vậy ta có thể biến đổi: C = 7 7 1 1 1 1 = = 65.72 65 72 2.9 9.16 16.23 9 16 16 23 = 72 72 72 1 35 29 Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc D = 3 3 1.3 3.5 5.7 49.51 Lêi gi¶i Ta lại thấy: - = ≠ tử phân số tổng nên cách nào đó ta ®a ngoµi vµ ®a vµo thay thÕ Ta cã: D = 2 3 3 3 2 2 = 1.3 3.5 5.7 49.51 1.3 3.5 5.7 49.51 = 1 1 1 1 1 50 25 = A 1 3 5 49 51 51 51 17 Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc E = 1 1 1 91 247 475 775 1147 Lêi gi¶i Lop7.net (11) Trường THCS Nguyễn đình Chiểu Ta thÊy: = 1.7 ; 91 = 13.7 ; Năm học 2010-2011 247 = 13.19 ; 475 = 19.25 775 = 25.31 ; 1147 = 31.37 Tương tự bài tập trên ta có: E= 1 6 6 6 = 1.7 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37 1 1 1 1 1 1 1 1 36 = = 1 7 13 13 19 19 25 25 31 31 37 37 37 37 Bµi (§Ò thi chän HSG To¸n - TX Hµ §«ng - Hµ T©y - N¨m häc 2002 - 2003) So s¸nh: A = B= 2 2 vµ 60.63 63.66 117.120 2003 5 5 40.44 44.48 76.80 2003 Lêi gi¶i L¹i ¸p dông c¸ch lµm ë bµi trªn ta cã: A= 2 3 = 60.63 63.66 117.120 2003 1 1 1 2 1 2 = = = 60 63 63 66 117 200 2003 60 120 2003 120 2003 = 180 2003 Tương tự cách làm trên ta có: B= 5 1 5 5 40 80 2003 80 2003 64 2003 Ta l¹i cã: 2A = 4 Tõ ®©y ta thÊy 180 2003 180 2003 90 2003 B > 2A th× hiÓn nhiªn B > A Bµi (§Ò thi chän HSG To¸n n¨m häc 1985 - 1986) So s¸nh hai biÓu thøc A vµ B: A = 124 1 1 16.2000 1.1985 2.1986 3.1987 B= 1 1 1.17 2.18 3.19 1984.2000 Lêi gi¶i Ta cã: A = = 124 1 1 1 1 = 1984 1985 1986 1987 16 2000 1 1 1 16 16 1985 1986 2000 Lop7.net (12) Trường THCS Nguyễn đình Chiểu Cßn B Năm học 2010-2011 1 1 1 = 16 17 18 1984 2000 = 1 1 1 = 16 1984 17 18 2000 = 1 1 1 1 1 1 16 16 17 18 1984 17 18 1984 1985 2000 = 1 1 1 16 16 1985 1986 2000 VËy A = B ************************************************ thÓ lo¹i to¸n vÒ ph©n sè (tiÕp) Bµi Chøng tá r»ng: 1 1 víi mäi n N 13 25 n n 1 Lêi gi¶i Ta kh«ng thÓ ¸p dông c¸ch lµm cña c¸c bµi tËp trªn, mµ ta thÊy: 2 2 ; ; ta ph¶i so s¸nh: víi: n (n 1) 2n(2n 1) 2.4 13 4.6 25 6.8 ThËt vËy: 1 1 = cßn 2 n (n 1) n (n 1) 2n 2n 2n(2n 2) n(2n 2) 2n 2n 2 < n N n (n 1) 2n(2n 1) 1 1 2 2 VËy ta cã: 13 25 2.4 4.6 6.8 2n(2n 2) n n 1 nªn hiÓn nhiªn 2 1 1 1 1 ; ; nªn: 2.4 4.6 6.8 2n(2n 2) 2n 2n 2 2 1 1 1 1 1 = 2.4 4.6 6.8 2n(2n 2) 4 6 2n 2n 2 2n 2 Mµ: lµ hiÓn nhiªn víi mäi sè tù nhiªn n 1 1 1 1 1 1 hay 13 25 n (n 1) 4 6 2n 2n 1 1 13 25 n (n 1) 2n Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M = 2 (1.2) (2.3) n(n 1) VËy: Lêi gi¶i Lop7.net (13) Trường THCS Nguyễn đình Chiểu Ta cã ngay: M = = 1 Năm học 2010-2011 1 1 1 1 2 2 2 2 (n 1) n n (n 1) (n 1) (n 1)(n 1) n 2n n 2n n(n 2) = (n 1) (n 1) (n 1) (n 1) (n 1) (n 1) Bµi 10 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc N = 1 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2) Lêi gi¶i Ta cã: N = 1 2 2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n.(n 1)(n 2) = 1 1 1 1 1 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 n.(n 1) (n 1)(n 2) = 11 (n 1)(n 2) Bµi 11 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: H = 1 1.2.3.4 2.3.4.5 (n 1).n(n 1)(n 2) Lêi gi¶i 3 Ta cã: H = 1.2.3.4 2.3.4.5 (n 1).n.(n 1).(n 2) 1 1 1 1 = 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 (n 1).n.(n 1) n.(n 1).(n 2) 11 = n(n 1)(n 2) Bµi 12 Chøng minh r»ng P = 12 12 12 12 1.4.7 4.7.10 7.10.12 54.57.60 Lêi gi¶i Ta cã: P = 54.57.60 1.4.7 4.7.10 7.10.13 6 6 = = 54.57 57.60 1.4 4.7 4.7 7.10 7.10 10.13 1 1 1 1 1 854 427 427 1 VËy P < = 2 57.60 3420 855 854 2 Bµi 13 Chøng minh r»ng S = 1 1 2 2 1002 Lêi gi¶i Ta thÊy: 1 1 1 1 ; 2 ; 2 ¸p dông c¸ch lµm bµi tËp trªn 2 1.2 2.3 3.4 100 99.100 ta cã: 1 1 11 hay S < 1.2 2.3 3.4 99.100 100 1 Bµi 14 §Æt A = 1.2 3.4 2005.2006 S < 1 Lop7.net (14) Trường THCS Nguyễn đình Chiểu B= Năm học 2010-2011 1 A Chøng minh r»ng Z 1004.2006 1005.2006 2006.1004 B Lêi gi¶i ¸p dông c¸c bµi trªn, ta cã: 1 1 1 1 = = 1.2 3.4 2005.2006 2005 2006 1 1 1 = 1 = 2005 2006 1 1 1 = 1 - = 2006 2006 2 1 1 1 1 1 = 1 - 1 = 2006 1003 1004 1005 2006 1 A 3010 1505 Z Cßn B = 3010 1004 1005 2006 B A= Như vậy, phần này ta đã giải lượng lớn các bài tập dãy số dạng phân số Tuy nhiên đó là các bài tập nhìn chung không đơn giản Vì để áp dụng có hiệu thì chúng ta cần linh hoạt việc biến đổi theo các hướng sau: - Nếu mẫu là tích thì cách biến đổi thành hiệu các phân số, từ đó ta rót gän ®îc biÓu thøc råi tÝnh ®îc gi¸ trÞ - §èi víi c¸c bµi tËp chøng minh ta còng cã thÓ ¸p dông c¸ch lµm vÒ tÝnh gi¸ trÞ cña dãy số, từ đó ta có thể biến đổi biểu thức cần chứng minh dạng quen thuộc Mét sè bµi to¸n kh¸c Bµi Víi n N * , kÝ hiÖu an (1)n n2 n n! H·y tÝnh tæng a1 + a2 + a3 + … + a2007 Lêi gi¶i n2 n n 1 n n 1 n n n Ta thÊy: n N * th×: an (1) = (1) (1) n! n! (n 1) n! n! n 3 2006 2007 Do đó: a1 + a2 + a3 + … + a2007 = a1 + 1! 2! 2! 3! 2005! 2006! 2006 2007 2007 2007 1 - 3 2005! 2006! 1! 2006! Bµi XÐt biÓu thøc: S = 2006! 1992 1991 Chøng minh r»ng S < 2 2 Lêi gi¶i Ta cã: 2S = 4 1992 2 1 1991 1990 990 1990 = 2 2 2 2 2 2 2 = 1990 1991 1991 1990 = 2 2 2 2 2 1 1991 1992 Lop7.net 1992 1 (15) Trường THCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2010-2011 1 1 1992 = S 1991 2 1 1989 1990 1992 S 1991 2 2 1990 S=4- 1992 21991 hay S < Bài Ta viết các phân số sau: 1990 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Sè đứng vị trí nào các phân số trên? 1 2 3 1930 Lêi gi¶i Sè thø nhÊt cña d·y sè cã tæng cña tö sè vµ mÉu sè b»ng 2, hai sè tiÕp theo cã tæng cña tö sè vµ mÉu sè b»ng 3, ba sè tiÕp theo cã tæng cña tö vµ mÉu sè b»ng 4… Lại quan sát tiếp ta thấy: Kể từ phân số đầu, cách phân số đến mẫu số là 2, cách phân số đến mẫu số 3, … phân số 1990 đứng vị trí thứ 1930 và nhóm các số 1930 có tổng tử và mẫu số 1990 + 1930 = 3920 Số các số đứng trước nhóm nµy b»ng + + + … + 3918 = 1959.3919 V× nhãm cã tæng cña tö vµ mÉu sè b»ng 3920 thì gồm 3919 số nên nhóm đứng trước nhóm này gồm 3918 số VËy sè 1990 đứng vị trí n = 1959.3919 + 1930 = 7679251 1930 Bµi tËp tù gi¶i 1 1 TÝnh: A = 5.6 6.7 7.8 24.25 2 5 52 TÝnh: B = 1.6 6.11 11.16 26.31 1 1 Chøng minh r»ng: 1990 996 1990 n 1 2! 3! 4! n! 2! 2! 2! 2! Chøng tá r»ng: D = < 3! 4! 5! n! 1 1 Cho biÓu thøc P = 199 200 1 a) Chøng minh r»ng: P = 101 102 200 TÝnh: C = b) Gải bài toán trên trường hợp tổng quát Chøng minh r»ng: n Z (n 0, n 1) th× Q = 1 1 kh«ng 1.2 2.3 3.4 n(n 1) ph¶i lµ sè nguyªn Chøng minh r»ng: S = 1 1 2 200 Lop7.net (16)