Với m tìm được hãy xác định tọa độ tiếp điểm của mặt phẳng P và mặt cầu S... PHẠM HỒNG DANH-TRẦN MINH QUANG –TRẦN VĂN TOAØN TRUNG TÂM LUYỆN THI CLC VĨNH VIỄN.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ 10: HÌNH CẦU TÓM TẮT CÔNG THỨC (1) Phöông trình maët caàu 1) Phöông trình maët caàu (S) coù taâm I(a, b, c) baùn kính R laø (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 2) Daïng toång quaùt cuûa phöông trình maët caàu laø x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = seõ coù taâm I(a, b, c) baùn kính R = a + b2 + c2 − d neáu ta coù ñieàu kieän a + b2 + c – d > 3) Điều kiện tiếp xúc mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có tâm I bán kính R là khoảng cách từ I đến (P) bán kính R Ví duï 1: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2, 3, –1) cắt đường thẳng (d) ⎧5x − y + 3z + 20 = ⎨ ⎩3x − y + z − = taïi hai ñieåm A vaø B cho AB = 16 Giaûi Gọi (P) là mặt phẳng qua I và vuông góc đường thẳng (d) Ta có phương trình tham số đường (d) laø ⎧ x = t − 14 ⎪ 25 ⎪ ⎨y = t − 2 ⎪ z = − t ⎪⎩ G Gọi (P) là mặt phẳng qua I(2, 3, –1) và vuông góc đường thẳng (d) nên có pháp vectơ là a = ⎛ ⎞ ⎜ 1, , −1⎟ Vaäy phöông trình (P) vieát ⎝ ⎠ (x – 2) + (y – 3) - (z + 1) = ⇔ 2x + y – 2z – = Giao điểm K (d) và (P) có tọa độ ( t – 14, thoûa phöông trình (P) Vaäy ta coù Lop6.net 25 t– , –t 2 ) (2) 2(t – 14) + ( 25 t– 2 ) +2t – = Suy t = 11 Vaäy ta coù K (–3, –7, –11) Khoảng cách từ I đến (d) là IK = Do đó bán kính mặt cầu là R = 25 + 100 + 100 = 15 IK + AB2 = 225 + 64 Neân phöông trình maët caàu vieát laø : (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 289 Ví duï 2: Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d) ⎧2 x + 4y − z − = ⎨ ⎩4 x + 5y + z − 14 = và tiếp xúc với hai mặt phẳng có phương trình (P) : x + 2y – 2z – = ; (Q) : x + 2y – 2z + = Giaûi Ta có (P) // (Q) nên gọi A, B là giao điểm (d) với (P) và (Q) thì tâm I mặt cầu tiếp xúc với (P) và (Q) phải là trung điểm đoạn AB và bán kính mặt cầu khoảng cách từ I đến (P) Ta có tọa độ A là nghiệm hệ ⎧2x + 4y − z − = ⎪ ⎨4 x + 5y + z − 14 = ⎪ x + 2y − 2z − = ⎩ ⇒ A(2, 1, 1) Ta có tọa độ B là nghiệm hệ ⎧2x + 4y − z − = ⎪ ⎨4 x + 5y + z − 14 = ⎪ x + 2y − 2z + = ⎩ ⇒ B(–4, 5, 5) Vaäy taâm maët caàu laø I(–1, 3, 3) vaø baùn kính R = Neân phöông trình maët caàu vieát thaønh (x + 1)2 + (y – 3)2 + (z – 3)2 = Ví dụ ( ĐH KHỐI D –2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (2; 0; 1); B(1;0;0); C (1; 1; 1) vaø maët phaúng (P): x + y + z – = Vieát phöông trình maët caàu ñi qua ñieåm A, B, C vaø coù taâm thuoäc maët phaúng (P) Giaûi Lop6.net (3) Caùch 1: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = Maët caàu qua A, B, C vaø coù taâm thuoäc maët phaúng (P) neân ta coù: ⎧ 4a + 2c + d = −5 ⎧ a = −1 ⎪2a + d = −1 ⎪b = ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎨ ⎪2a + 2b + 2c + d = −3 ⎪ c = −1 ⎪⎩a + b + c = −2 ⎪⎩d = ⇔ x2 + y2 + z2 – 2x – 2z + = Caùch 2: Goïi I(x; y; z) laø taâm maët caàu ⎪⎧ IA = IB2 = IC2 ⎪⎩ I ∈ (P) Giaû thieát cho: ⎨ ⎧(x − 2)2 + y2 + (z − 1)2 = (x − 1)2 + y + z ⎪⎪ ⇔ ⎨(x − 1)2 + y2 + z2 = (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 ⎪x + y + z − = ⎪⎩ ⎧x = ⎧2x + 2z − = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨y + z = ⇔ ⎨y = ⇒ I (1; 0; 1) ⎪x + y + z − = ⎪z = ⎩ ⎩ Baùn kính R = IB = Suy phöông trình maët caàu: (x – 1)2 + y2+ (z –1)2=1 Ví dụ4 ( Đề Dự Trữ KHỐI D -2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho đường ⎧2x − 2y − z + = thaúng d : ⎨ vaø maët caàu ⎩x + y − z − = (S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) hai điểm M, N cho khoảng cách hai điểm đó Giaûi Phöông trình maët caàu (S) : (x + 2)2 + (y – 3)2 + z2 = 13 – m ÑK : m < 13 13 − m Vì MN = ⇒ HM = HN = (IH ⊥ MN) ⎧−2y − z + = ⎧ y = ⇒⎨ ⇒ A(0; 1; −1) (d) cho x = ⇒ ⎨ ⎩2y − 2z − = ⎩z = −1 (S) coù taâm I(−2; 3; 0), R = ⎡→ → n1 = (2, − 2, − 1) ⇒ a = 3(2; 1; 2) (d) coù ⎢ → ⎢ ⎢⎣ n = (1, 2, − 2) ⎯→ ⎯→ → AI = (−2; 2; 1), [ AI , a ] = (9; 18; − 18) = 9(1; 2; − 2) ⎯→ → IH = d(I, d) = ⏐[ AI , a ]⏐ → ⏐a⏐ = 1+ + 4 + 1+ Δ vuoâng IHN ta coù : IM2 = IH2 + HN2 ⇔13 – m = + = 81 117 = 4 Lop6.net (4) ⇔m= − 65 Ví dụ ( ĐỀ DỰ TRỮ KHỐI D -2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z – m2 – 3m = (m laø tham soá) vaø maët caàu (S) : (x – 1)2 + (y + 1)2 + (z – 1)2 = Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Với m tìm hãy xác định tọa độ tiếp điểm mặt phaúng (P) vaø maët caàu (S) Giaûi Maët caàu (S) coù taâm I(1; −1; 1), baùn kính R = Mặt phẳng P tiếp xúc với (S) ⇔ d(I: P) = R ⇔ − + − m − 3m = + + ⇔ m2 + 3m – = hay m2 + 3m – = −9 ⇔ m2 + 3m – 10 = hay m2 + 3m + = (VN) ⇔ m = −5 hay m = ⇒ (P) : 2x + 2y + z – 10 = ⎧ x = + 2t ⎪ Phương trình đường thẳng Δ qua I và ⊥ (P) : Δ ⎨ y = −1 + 2t ⎪z = + t ⎩ Theá vaøo phöông trình mp (P) ⇒ 2(1 + 2t) + 2(−1 + 2t) + + t – 10 = ⇒ t = ⇒ Tieáp ñieåm M cuûa P vaø (S) laø M(3; 1; 2) Caùch khaùc IM2 = ⇔ 4t2 + 4t2 + t2 = ⇒ t = ± ⇒ M(3; 1; 2) hay M(-1; -3; 0).Vì M∈ P ⇒ M(3; 1; 2) PHẠM HỒNG DANH-TRẦN MINH QUANG –TRẦN VĂN TOAØN ( TRUNG TAÂM LUYEÄN THI CLC VÓNH VIEÃN ) Lop6.net (5)