Đang tải... (xem toàn văn)
Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.. Giả sử M là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn này, kẻ MH vuông góc với AB tại H. Chứng minh 3 đường thẳng CD, MH, A[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2010-2011
MÔN TỐN
(Vịng 2: Dành cho thí sinh thi vào chun Tốn) Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề
Đề thi có trang
Câu (2 điểm)
a) Tìm số tự nhiên A nhỏ thoả mãn: lấy số A chia cho số: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 số dư tương ứng là: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
b) Chứng minh phương trình x2 – 2x – = có hai nghiệm x
1, x2 thoả mãn:
2
1
1
x x
x x
= Câu (2 điểm)
Cho tam giác vng có diện tích 96cm2, chu vi 48cm Tính độ dài cạnh
tam giác Câu (2 điểm)
a) Giải hệ phương trình
2
x y 10xy
x y
0
x y 20
b) Giải phương trình
2
2 2x 4x 3 5x 4 x 3 Câu (3 điểm)
Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Giả sử M điểm chuyển động nửa đường trịn này, kẻ MH vng góc với AB H Từ O kẻ đường thẳng song song với MA cắt tiếp tuyến B với nửa đường tròn (O) K
a) Chứng minh điểm O, B, K, M thuộc đường tròn
b) Giả sử C D hình chiếu vng góc H lên đường thẳng MA MB Chứng minh đường thẳng CD, MH, AK đồng quy điểm
c) Gọi E F trung điểm AH BH Xác định vị trí M để diện tích tứ giác CDFE đạt giá trị lớn nhất?
Câu (1 điểm)
Cho số dương a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = abc Tìm giá trị lớn biểu thức
2 2 2
a b c
S
bc a ca b ab c
(2)Chú ý: Cán coi thi không giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2010-2011
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MƠN TỐN
(Vịng chun Tốn: trang) I M t s ý ch m b iộ ố ấ à
Hướng dẫn chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm
Điểm thi tổng điểm thành phn khụng lm trũn s II Đáp án biểu ®iĨm C©u (2 điểm)
a) Tìm số tự nhiên A nhỏ thoả mãn: lấy số A chia cho số: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 số dư tương ứng là: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
b) Chứng minh phương trình x2 – 2x – = có hai nghiệm x
1, x2 thoả mãn:
2
1
1
x x
x x
=
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM
a) Từ giả thiết suy ra: A + chia hết cho số tự nhiên từ đến 10, A
+ nhỏ bội số chung nhỏ số tự nhiên từ đến 10 0,50 điểm Như vậy: A + = 5.7.8.9 = 2520 Vậy A = 2519 0,50 điểm b) Dễ thấy phương trình có hai nghiệm trái dấu,
2
1
1
2
x x
x x
=
2
1
1
2 x x
x x
x x
0,75 điểm
= + = 0,25 điểm Câu (2 điểm) Cho tam giác vuông có diện tích 96cm2, chu vi 48cm Tính độ
dài cạnh tam giác
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM
Giả sử tam giác ABC vng A có BC = a, CA = b, AB = c Khi
2 48
96
a b c bc
a b c
2
48 192
b c a
bc
a b c
1,00 điểm
Giải hệ phương trình ta tìm được:
20, 16, 12 20, 12, 16
a b c
a b c
(3)Vậy cạnh tam giác 20cm, 12cm, 16cm Câu (2 điểm)
a) Giải hệ phương trình
2
3 10
3
3 20
x y xy
x y x y
b) Giải phương trình 2 x24x3 5x4 x23
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM
a) Hệ phương trình cho tương đương với
2 10 3
3 20
xy x y x y x y 2 2
3 10
3
3 20
x y x y x y x y
Do
x
x ,
y
y nghiệm phương trình:
2
0 20 10
t t
t t
0,50 điểm
Khi ta có hệ phương trình
2 x x y y
(I)
2 2 1 x x y y
(II)
Giải hệ (I) ta tìm được: (x; y)
1; , 1; , 3; , 3;
2
, cịn hệ (II)
vơ nghiệm Đáp số (x; y)
1; , 1; , 3; , 3;
2 0,50 ®iĨm
b) Tập xác định: R
Phương trình cho tương đương với
2x23 5x4 x2 3 2x28x0 Đặt t = x2 3 3 phương trình trở thành
2t2 5x4t2x28x0
2
2t 4xt x4 t 2x x4 0 t 2x 2t x 4 0
(4)Nếu t = 2x x2 3 2x 2
2
3
x
x x
x = 1. 0,25 điểm
Nếu 2t = x +
x2 3 x
2
4
4 16
x
x x x
4 7
3
x
x
Vậy phương trình có nghiệm x1 = 1,
2
4
x
,
4
x
0,25 điểm
Câu (3 điểm) Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Giả sử M điểm chuyển động nửa đường tròn này, kẻ MH vng góc với AB H Từ O kẻ đường thẳng song song với MA cắt tiếp tuyến B với nửa đường tròn (O) K
a) Chứng minh điểm O, B, K, M thuộc đường tròn
b) Giả sử C D hình chiếu vng góc H lên cạnh MA MB Chứng minh đường thẳng CD, MH, AK đồng quy điểm
c) Gọi E F trung điểm AH BH Xác định vị trí M để diện tích tứ giác CDFE đạt giá trị lớn ?
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM
I M
O
N
A H B
D
C K
F E
a) Vì OK // AM nên OK BM, OK đường trung trực BM
Khi KB = KM 0,50 điểm
Như OBK = OMK OMK 900
Vậy điểm O, B, K, M thuộc đường tròn 0,50 điểm b) Ta thấy CMDH hình chữ nhật nên CD MH đồng quy trung điểm I
của đường 0,25 điểm
Giả sử AM cắt tiếp tuyến B nửa đường trịn (O) N Vì tam giác BMN vng M KB = KM nên KB = KN
Gọi I/ giao điểm AK MH thì:
/ / /
I H AI MI KBAKKN .
(5)Từ suy I/ trung điểm MH, I/ trùng I
Vậy CD, MH, AK đồng quy điểm 0,25 điểm
c) Vì E trung điểm AH nên: dt(CHE) =
1
2dt(CAH).
Tương tự dt(DHF) =
1
2dt(DBH) Dễ thấy dt(HCD) =
1
2dt(CMDH) nên dt(CDFE) =
1
2dt(MAB)
0,50 điểm
Ta có dt(MAB) =
1
2.AB.MH R.MO = R2
Dấu “=” xảy M điểm cung AB.
Vậy maxdt(CDFE) =
2
2
R
M điểm cung AB.
0,50 điểm
Câu (1 điểm) Cho số dương a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = abc Tìm giá trị lớn biểu thức
2 2
a b c
S
bc a ca b ab c
Đáp án biểu điểm
t x =
a, y =
1
b, z =
1
c x, y, z > xy + yz + zx = 1, đồng thời
S =
2 2
1
1
1 1 1 1 1 1 1
y
x z
y z x z x y x y z
= 2
yz zx xy
x y z
Vì xy + yz + zx = nên + x2 = xy + yz + zx + x2 = (x + y)(x + z) Do áp
dụng bất đẳng thức Cơsi ta có
yz y z
x x y x z
1
y z
x y x z
Dấu “=” xảy
y z
x y x z y = z.
0,50 điểm
Tương tự
zx y
1
z x
y z y x
Dấu “=” xảy z = x.
xy z
1
x y
z x z y
Dấu “=” xảy x = y.
Do S
3
2 Dấu “=” xảy
x y z
xy yz zx
x = y =z =
1 3.
(6)Vậy maxS =
2 a = b = c = 3.