Chương II. §1. Nửa mặt phẳng

Hái sè häc sinh tham gia lao ®éng ngµy h«m nay thay ®æi thÕ nµo so víi sè häc sinh ngµy h«m qua.. b..[r]

PHẦN I : CÁC ĐỀ THI

§Ị Sè 1

A §Ị thi chọn học sinh giỏi lớp chuyên toán ( Quận Ba Đình - năm học 1991-1992)

21 54+

3 75 :

(3965+0,415− 33 600):

21 72−18,25+1315

36−16 17 102

Bµi 1: ( ®iĨm )

Bµi 2: ( ®iĨm )

Tìm hai số tự nhiên a,b thoả mÃn điều kiện: a + 2b = 48 vµ (a,b) + [a,b] = 114

Bài 3: Hình học ( điểm )

1 Cho điểm A,B,C thẳng hàng AB + BC =AC Điểm nằm hai điểm lại? Tại sao?

2 Cho gúc aOb tia 0c nằm hai tia Oa Ob Od tia đối tia Oc Chứng minh rằng:

a Tia Od không nằm hai tia Oa Ob. b Tia Ob không nằm hai tia Oa vµ Od. A=

7 31+ 41+

9 10 41+

7 10 57B=

7 19 31+

5 19 43+

3 23 43+

11

23 57 Bài 4: ( điểm )

TÝnh tû sè A

B biÕt

b §Ị thi chän häc sinh giái líp chuyên toán ( Quận Ba Đình - năm học 1993-1994)

Câu 1 : (6 điểm) Thực tính d·y

) 47 , : 29 ( 100 : 29

72 65

18 65 44

54 22

5 : 45 21 13 56 21 17 67

3

3 

   

 

        

 

Câu 2 : (5 điểm) Tìm số tự nhiên thoả mÃn:

- Tổng BSCNN ƯSCLN số 174. - Tổng số nhỏ trung bình cộng số Êy lµ 57

Câu 3 : (4 điểm) Cho điểm A, B, C, D, E khơng có điểm thẳng hàng.

- Có đoạn thẳng mà đoạn thẳng nối điểm cho.Kể tên đạon thẳng ấy. - Có thể dựng đợc đờng thẳng khơng qua điểm điểm cho mà cắt đoạn thẳng đoạn thẳng nói khơng? Giải thích sao:

C©u 4 : (5 ®iÓm)

Lúc giờ, ngời xe đạp từ A đến B với vận tốc 12km /h Lát sau ngời thứ 2 từ A đến B với vận tốc 20km /h Tính hai ngời gặp B Ngời thứ 2 đợc nửa quãng đờng AB tăng vận tốc lên thành 24km /h Vì ngời gặp nhau cách B km.Hỏi ngời gặp lúc giờ?

§Ị Sè 2

A §Ị thi chän häc sinh giỏi lớp chuyên toán ( Quận Ba Đình - năm học 1993-1994)

Bài 1:( 4 điểm ) A=34

7 13+ 51 13 22+

85 22 37+

68

37 49B= 39 16+

65 16 31+

52 31 43+

26

TÝnh tû sè A

B

Bài 2: ( 4 điểm )

Tìm chữ số a,b cho sè 7a4b chia hÕt cho chia hết cho 7. Bài :( 4 điểm )

Lúc ngời từ A dến B với vận tốc 25 km/h Khi cách B 20km ngời tăng vận tốc lên 30 km/h Sau làm việc B 30 phút, quay trở về A với vận tốc không đổi 30 km/h đến Alúc 12 phút Tính chiều dài quãng đ-ờng AB.

Bµi 4: ( điểm )

Trên tia Ax ta lấy điểm B, C, Dsao cho AB = 5cm; AC = 1cm; AD = cm. a Chøng minh r»ng ®iĨm D nằm hai điểm C B

b Trên đoạn thăng AB lấy điểm M cho CM = cm Chứng minh điểm C nằm giữa hai điểm A m

Bài5: ( 4 điểm )

Tìm phân số a

b thoả mÃn điều kiện: 7<

a b<

2

3 vµ 7a + 4b = 1994 B §Ị thi chän häc sinh giái TOáN lớp

( Quận Ba Đình - năm học 1994-1995)

Bài 1: ( 6 điểm ) (235

9−22 12)(

24 42+

21 165+

39 143) 3,12−8,76

Thùc hiÖn d·y tÝnh: Bài 2: ( điểm )

Tỡm s t nhiên nhỏ có chữ số hàngđơn vị 5, chia cho 11 d 4, chia cho 13 d chia hết cho 7.

Bµi 3: ( ®iĨm )

Trªn tia Ox cho ba ®iĨm A, B, C ph©n biƯt Chøng minh r»ng: a NÕu OA + OB < OC thi điểm B Nằm hai ®iĨm O vµ C. b NÕu OA + AB + BC = OC điểm Bnằm hai điểm A C.

Bài 4: ( 4 điểm )

Ba máy bơm bơm vào bể lớn , dùng máy máy hai thì sau 20 phút bể đầy, dùng máy hai máy ba sau 30 phút bể đầy còn dùng máy máy ba bể đầy sau 24 phút.

Hỏi máy bơm đợc dùng bể đầy sau bao lâu?

§Ị Sè 3

A §Ị thi tun sinh vào lớp chuyên toán ( Quận Ba Đình - năm học 1992-1993)

(27 19 26

4 13)(

3 4+

19 59−

3

upload.123doc.net)

(34+x) 27 33

=

1 13 16+

1 14 17

13 15+ 14 16+

1 15 17

Bài 1: ( điểm)

Tìm x biết: Bài 2: ( điểm )

Tìm số tự nhiên a, b thoả mÃn điều kiện: a + 2b = 49 vµ [a,b] + (a,b) = 56 Bài 3: ( điểm )

Tìm chữ số a,b cho số 2a3b chia hÕt cho vµ chia hÕt cho 7.

Bài 4: ( điểm )

Cho góc AMC = 600 Tia Mx tia đối tia MA, My phân giác góc CMx, Mt tia phân giác góc xMy.

b Chøng minh r»ng MC vu«ng gãc víi Mt.

Bài 5: ( điểm )

Chứng minh r»ng: 21993 < 7714

B §Ị thi tun sinh vào lớp chuyên toán ( Quận Ba Đình - năm học 1995-1996)

Bài 1: Thực dÃy tÝnh: (5 ®iĨm)

13 46.(28 13 −27

5 18) 59 212(

14+ 84+

5 204+

5 374)

Bµi 2: (5 ®iĨm)

Tìm chữ số 14a8b chia cho chia cho d 2.

Bài 3: (5 điểm)

Cho tam giác ABC có AB = BC M, N điểm nằm điểm A C cho AM + NC < AC.

a) Chøng minh ®iĨm M nằm điểm A N. b) Chứng minh AM = NC BM = BN

Bài 4: Tìm phân số a

b thoả mÃn điều kiện: (3 điểm)

9< a b<

10 21

vµ 5a - 2b = 3 Bài 5: (2 điểm)

Cho s tự nhiên tuỳ ý Chứng minh ta chọn đợc hai số mà tổng hoặc hiệu chúng chia hết cho 5.

§Ị Sè 4

a Đề thi chọn học sinh giỏi TOáN lớp ( Trờng THCS Lê Ngọc Hân-Năm học 1994-1995)

Bài : Tìm x :

(3,75:1 4+2

2

5⋅1,25)−(

2⋅0,8−1,2: 2)

(11

2+0,75)x

=64

Bài : Tìm sè cã ch÷ sè xyzt biÕt xyzt 10001 = 1a8 bc 9d7

( Trong a; b ; c ; d chữ số

Bµi : Chøng minh r»ng: A= ( 1999 + 19992 + 19993 + + 19991998 ) 

2000

Bµi : 11

3 Trên quãng đờng AB, Hai ô tô ngợc chiều khởi

hành sau gặp nhau, biết vận tèc cđa xe ®i tõ A b»ng 11

3 vËn tèc xe

đi từ B Hỏi xe từ A phải khởi hành sau xe từ B để hai xe gặp nhau đờng?

Bài : Trong số học sinh tham gia lao động ngày hôm qua có 40% học sinh khối 6; 36% họo sinh khối 7, cịn lại khối Ngày hơm số học sinh khối giảm 75% Số học sinh khối tăng 37,5%; Số học sinh khối tăng 75% Hỏi số học sinh tham gia lao động ngày hôm thay đổi so với số học sinh ngày hơm qua.

b §Ị thi tuyển sinh vào lớp chuyên toán ( Quận Ba Đình - năm học 1995-1996)

A= 8+

1 13+

1

13 18+⋯⋯+ 33 38

B=

3 10+ 10 17+

1 17 24+

1 24 31+

1 31 38

T×m x biÕt:

(283 7−27

5 9)(2

26

+5 412) 88(x −4) =

B A

Bài 2: ( điểm )

Tìm số chia thơng phép chia số 2541562 biết số d phép chia lần lợt 5759 ; 5180 ;5938.

Bài 3: ( điểm )

Tìm hai số có tổng 504 , sè íc sè chung cđa chóng lµ 12 số lớn không chia hết cho số nhỏ.

Bài 4: ( điểm )

Cho tam giỏc ABC, tia đối tia BA lấy BD = BA, tia Dx song song với BC nửa mặt phẳng có bờ đờng thẳng AD chứa điểm C, Lấy DM = BC Chứng minh rằng:

a BM = AC b MC// AD

Bài 5: ( điểm )

Chøng minh r»ng : 21995 < 5863 §Ị Sè 5

A §Ị thi chän häc sinh giái líp chuyên toán

( Quận Ba Đình - năm học 1995-1996)

Bài 1: ( điểm )

Tìm chữ số a,b cho số 12a4b1996 chia hÕt cho 63.

A=40 31 39+

35 39 16 +

30 23 92+

25

29 64 B= 91 19 31+

65 19 43+

39 989+

143

1311 Bµi 2: ( ®iĨm )

TÝnh tû sè A/B Bài 3: ( điểm )

Mt ngi xe đạp từ A B với vận tốc 12 km/h Lát sau ngời thứ hai cũng từ A B với vận tốc 21 km/h Tính hai ngời gặp B Sau đi đợc nửa quãng đờng ngời thứ hai tăng vận tốc lên 24 km/h hai ngời gặp nhau khi cịn cách B km Tính chiều dài qng ng AB.

Bài 4: ( điểm )

Cho tam giác ABC có AB = AC Mlà điểm nằm A C N điểm nằm A B sao cho CM = BN.

a Chứng minh đoạn thẳng BM cắt đoạn thẳng CN. b Chøng minh r»ng gãc B b»ng gãc C BM = CN.

Bài 5: ( điểm )

Tìm số tự nhiên a,b thoả mÃn ®iỊu kiƯn:

11 17<

a b<

23

29 vµ 8b - 9a = 31

B §Ị thi chän häc sinh giái líp chuyên toán ( Quận Ba Đình - năm học 1990-1991)

Câu 1:(6 điểm) Thực dÃy tính

102 12 16 36 15 13 25 , 18

49 21 : 600

33 415 , 65 39 : 75

3 54 21

2       

 

Câu 2 : (5 điểm)

Tìm số tự nhiêna, b, thoả mÃn: a + 2b = 48 vµ (a, b) + 3[ a, b] = 114 Câu : (4 điểm)

b, Cho góc aOb tia Oc nằm tia Oa Ob Od tia đối tia Oc Chứng minh rằng: - Tia Od không nằm tia Oa Ob.

- Tia Ob kh«ng n»m tia Oa Od.

Câu4:(6 điểm) Cho B

A sè tû Ýnh 57 23 11 43 23 43 19 31 19 57 10 41 10 41 7 31 T B A        

§Ị Sè 6

a §Ị thi chän häc sinh giái TO¸N líp

( Trờng THCS Lê Ngọc Hân-Năm học 1997-1998)

Câu 1: a, Cho abcdeg chia hÕt cho 37 Chøng minh r»ng abcdeg chia hÕt cho 11. b, T×m x biÕt 20x20x20x20x chia hết cho 7

Câu :Tìm x:

96 23 3 49 12 15 20 11 11 10 16 1 :                           x

Câu : So sánh: 1999

1 1999 vµ 1999 1999 2009 1989 2000 1999       N M C©u : TÝnh tỉng:

308 305 14 11 11 8 30 29 28 27 1                 B A

C©u : Mét cửa hàng bán trứng số ngày Ngày thứ bán 100 và

10

số lại Ngày thứ hai bán 20 10

số lại Ngày thứ bán 300 và 10

1

số cịn lại Cứ bàn nh vừa hết số trứng số trứng bàn mỗingày bằng Tính tổng sổ trứng bán số ngày cửa hàng bán.

B §Ị thi chän häc sinh giái TO¸N líp

( Qn Ba Đình - năm học 1996-1997)

Câu 1: (3 điểm) Tìm chữ số a, b cho 12a96b chia hết cho 63.

Câu :(6 điểm) Thực hiÖn d·y tÝnh

                              24 28 : 25 , 75 , 2 11 23 3 : 153 34 4545 1414 15

C©u 4 : (4 điểm) Trên tia Ox lấy điểm A, B, C, D cho OA=1cm, OB = cm, AC= cm, BD=6cm a, Chøng minh điểm C nằm giữa điểm A B.

b, Tính độ dài đoạn thẳng CD.

Câu : (3 điểm) Cho số tự nhiên tuỳ ý Chứng minh ta chọn đợc số mà tổng chúng chia hết cho 4.

( híng dÉn: Tríc hÕt nhËn xÐt r»ng sè tù nhiªn tuú ý bao giê còng cã Ýt nhÊt sè chẵn lẻ)

Đề Số 7

A Đề thi chọn học sinh giỏi TOáN lớp

( Quận Ba Đình - năm học 1997-1998)

Câu 1: Tìm chữ số a, b cho 12a4b1996 chia hÕt cho 63.

C©u :Cho B

A sè tû Ýnh 1311

143 989

39 43 19

65 31 19

91

2962 25 2392

30 46 39

35 38 31

40

T B

A

  



 

 

Câu : Một ngời xe đạp từ A B với vận tốc 12km /h Lát sau ngời thứ cũng từ A B với vận tốc 21km /h Tính hai ngời gặp Ngời thứ đi đợc nửa quãng đờng AB tăng vận tốc lên thành 24km /h Vì ngời gặp cách B km.Tính chiều dài quãng đờng AB.

C©u 4 : Cho tam giác ABC có AB=AC M điểm nằm A C, N điểm nằmg A vµ B cho CM=BN.

a, Chøng minh đoạn thẳng BM cắt đoạn thẳng CN, b, Chøng minh r»ng gãc B = gãc C, BM=CN

Câu : Tìm số tự nhiên a, b thoả mÃn đièu kiện sau:

29 23 17

11  

b a

vµ 8a - 9b = 31

b Đề thi chọn học sinh giỏi TOáN lớp

( Trờng THCS Lê Ngọc Hân-Năm học 1997-1998) 3−

92−1 9−

2 10 −

3 11 −⋅−

92 100

45+ 50+

1 55+⋅

1 500

Bµi 1 TÝnh

26 :[ :(0,2−0,1) 2,5.(0,8+1,2)+

(34,06−33,81)4 6,84 :(28,75−25,15)]+

2 3:

4 21

a, b,

Bài Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho th× d 1, chia cho th× d 5.

Bài Hai ôtô từ hai điểm A B phía Xe khởi hành lúc giờ, xe khởi hành lúc 7giờ 10phút Biết để quãng đờng AB xe cần giờ, xe cần Hai xe gặp lúc gi?

Bài Vẽ tam giác ABC cạnh BC lấy điểm D ( D không trùng B, C), đoạn thẳng DC lấy điểm E (E không trùng D, C).

a, Những điểm gọi điểm nằm hai điểm nào?Những tia nằm hai tia nào? b, Nếu BD=3cm, DE=2cm, EC=4cm TÝnh BC

Bài Tổng kết năm học 100 học sinh giỏi mơn Văn, Tốn , Ngoại ngữ có 70 học sinh giỏi Toán, 50 giỏi Văn Trong 40 học sinh giỏi Tốn+ Ngoại ngữ, 35 học sinh giỏi Toán+ Văn, 20 Học sinh giỏi Văn+ Ngoại ngữ Hỏi :

a, Cã bao nhiªu häc sinh giỏi môn. b, Có học sinh giỏi Ngoại ngữ. c, Có học sinh giỏi môn

mộT Số Đề THI HọC SINH GiỏI

CủA QUậN HAI Bà TR NGƯ

Năm học 1996 - 1997

Câu 1: ( điểm) Chứng minh số có d¹ng abcabc chia hÕt Ýt nhÊt cho sè nguyªn tè.

Câu : ( điểm) Cho dãy phân số đợc viết theo qui luật: 21.26;

; 21 16

2 ; 16 11

2

a, Tìm phân số thø 45 cđa d·y sè nµy. b, TÝnh tỉng cđa 45 phân số này.

Câu : ( ®iĨm) Hai trêng A vµ B cã 1500 häc sinh Sè häc sinh giái trêng A chiÕm 20%; Sè häc sinh giái trêng B chiÕm 15% Tæng céng hai trêng cã 255 häc sinh giái TÝnh sè häc sinh trờng?

Cõu : Mt ngi i từ A đến B với vận tốc 12km /h Một lát sau ngời khác cũng đi từ A đến B với vận tốc 20km /h.Tính ngời gặp B Ngời thứ đợc nửa quãng đờng AB tăng vận tốc lên thành 24km /h Hỏi hai ngời gặp địa điểm cách B km? Biết quãng ng AB di 80km.

Năm học 1997 - 1998

Câu ( điểm) Từ sáu chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, Viết tất số có ba chữ số khác nhau chia hết cho vµ cho 5.

Câu : ( điểm) Một phép chia có thơng số d 12 Nếu lấy số bị chia chia cho tổng số chia số d ta đợc thơng số d 18 Tìm số b chia.

Câu : ( điểm) Tính tổng sau cách hợp lý nhất:

a, 306

1 272

1 240

1 210

1

  

b, 306

95 272 129 240 161 210 191

  

C©u : ( điểm) Lớp 6A có số học sinh Giỏi Khá chiÕm 12

sè häc sinh c¶ líp Số học sinh Giỏi Trung bình chiếm 8

5

Năm học 1998 - 1999

Câu : Một ngời đem 6000000đ gửi tiền tiết kiệm " Không kỳ hạn" với lãi xuất 0,8% tháng Hỏi sau tháng ngời thu đợc tiền lãi ( sau tháng rút hết vốn lẫn lãi)

Câu : Một xí nghiệp làm số dụng cụ, giao cho phân xởng thực Số dụng cụ phân xởng I làm 28% tổng số Số dụng cụ phân xởng II làm gấp rỡi số dụng cụ phân xởng I Phân xởng III làm phân xởng II 72 Tính số dụng cụ mỗi phân xởng làm.

C©u : H·y viÕt ph©n sè 15 11

dới dạng tổng phân số có tử số I có mẫu số khác nhau.

Câu : a, Tìm số có chữ số biết tích số tổng chữ số nó 1360.

b, Chứng tỏ tìm đợc nhiều số tự nhiên gồm chữ số chữ s chia ht cho 1999

Năm học 1999 - 2000

Câu : Hãy so sánh hai phân số sau tất cách đợc:

a, 20002000

19992000 ;

2000 1999

b, 32

1

1

      

C©u : KÕt thóc häc kú I líp 7A cã sè häc sinh xÕp loại văn hoá 8

s hc sinh đợc xếp loại Đến cuối năm có học sinh vơn lên đạt loại giỏi học sinh loại giỏi bị chuyển loại xuống nên số học sinh giỏi 13

9

sè häc sinh kh¸ TÝnh sè häc sinh líp 7A biÕt c¶ hai häc kú líp 7A chØ cã học sinh xếp loại văn hoá Khá Giỏi.

Câu : Một thùng đầy nớc có khối lợng 5,7 kg Nếu thùng 25% nớc thì thùng nớc có khối lợng 2,4 kg Tính khối lợng thùng không.

PHN II : HƯỚNG DẪN GIẢI

đề số 1

A đề thi chọn học sinh giỏi lớp chuyờn toỏn

(Quận Ba Đình năm học 1991 - 1992)

21 54+

3 75 :

0,96 30

12+13 12−16

1

=21 54+

3 75:

2,24 28 =

8

9 Bµi 1 Bµi 2:

a+2b=48⇒a⋮2;144⋮3;3[a , b]⋮3⇒(a , b)⋮3⇒a⋮3⇒a⋮6;a+2b=48⇒a<48

⇒a∈{6;12;18;24;30;36;42}

a 12 18 24 30 36 42

b 21 18 15 12

(a,b) 12

[a,b] 42 36 90 24 90 36 42

(a,b) + [a,b] 129 114 273 84 114 114 129

VËy a = 12; b = 18 hc a = 36 ; b = Bµi 4:

1 A=

4 31+

6 35 41+

9 50 41+

7 50 57=

1 31−

1 57

2B= 19 31+

5 19 43+

3 23 43+

11 23 57=

1 31 −

1 57 }

⇒1

5 A= 2B⇒

A B=

5

b đề thi chọn học sinh giỏi lớp chun tốn (Quận Ba Đình năm học 1993 - 1994) Bài 1: =

36

Bµi 2: (a,b) + [a,b] = 174 ; 3a + b = 114  b  ; [a,b]  vµ 174   (a,b)   a 

Mµ 3a + b = 114  3a < 114  a < 38

a 12 15 18 21 24 27 30 33 36

b 105 96 87 78 69 60 51 42 33 24 15

(a,b) 6 6 6

[a,b] 105 96 261 156 345 180 357 168 297 120 165 36

Tæng 108 112 264 162 348 186 360 174 300 126 168 42

Bµi 4:

Hiệu vận tốc nửa quãng đờng đầu : 20 - 12 = (km/h) Hiệu vận tốc nửa quãng đờng sau : 24 - 12 = 12 (km/h)

Hiệu vận tốc nửa quãng đờng đầu theo dự định 2/3hiệu vận tốc quãng đ-ờng sau Chỉ xét nửa quãng đđ-ờng sau thời gian xe II đuổi kịp xe I thực tế 2/3thời gian xe hai đuổi kịp xe I theo dự định

Thêi gian hai xe đuổi kịp sớm : 4: 12 =

3 h = 20 ' Thời gian hai xe đuổi kịp theo dự định: 20 = 60 ' = 1h

Thoì gian xe hai cần để đuổi kịp xe quãng đờng : = 2h Quãng đờng xe I trớc là: 16 : =

3 h = 1h 20'

Thời gian hai xe gặp theo dự định: h + 1h 20' +2h = 11h 20' Do hai xe thực tế gặp sớm dự định 20'

đề số 2

A đề thi chọn học sinh giỏi lớp chuyên toán

(QuËn Ba Đình năm học 1994 - 1995) A=34

7 13+ 51 13 22+

85 22 37+

68 37 49=

34 (

1 7−

1

13)+ .+ 68 12(

1 37−

1 49)=

17 (

1 7−

1 49) B=39

7 16+ 65 16 31+

52 31 43+

26 43 49=

39 (

1 7−

1

16)+ + 26

6 ( 43−

1 49)=

13 (

1 7−

1 49)

⇒A

B= 34 49:

26 49=

17

Bµi 1:

Bàì 2:

:

7a4b44b4b{0;4;8}

7a4b⋮7⇒a4b⋮7⇒(7040+100a+b)⋮7⇒(2a+b+5)⋮7 b=0⇒(2a+5)⋮7⇒a∈{1;8}

b=4⇒(2a+9)⋮7⇒a=6 b=8⇒(2a+13)⋮7⇒a=4 Vậy số là: 7140 ; 7840 ; 7644 7448 Bài 3:

Gọi điểm cách B 20km C

Thi gian quãng đờng CB BC là: ( 20 ) : 30 = 1h 20'

Thời gian quãng đờng AC CA là: 12h 2' - 8h - 30' -1h 20' = 132' Tỷ số vận tốc qãng đờng AC CA

6 nên tỷ số vận tốc quảng đờng AC CA

5

Thời gian quãng đờng AC : 132 : 11 = 72' = h Chiều dài quãng đờng AC

5 25 = 30 (km) Chiều dài quãng đờng AB : 50 km

Bµi 5:

¿ 7a+4b=1994⇒a=1994−4b

7 ⇒

a b=

1994−4b 7b ⇒

4 7<

1994−4b 7b <

2 3⇒4<

1994−4b b <

14

⇒

1994

b −4>4⇒ 1994

b >8⇒b< 1994

8 ⇒b<294 1994

b −4< 14

3 ⇒ 1994

b > 26

3 ⇒b>230 13

⇒231<b<249 ¿ ¿ 7a+4b=1994⇒4b=7k+6(k∈N)⇒b=7k+6

4 ;b∈N⇒k=4l+2(l∈N)⇒b=7l+5 {

¿

b đề thi chọn học sinh giỏi toán lp

(Quận Ba Đình năm học 1994 - 1995) Bµi 1: 10

x⋮5; x⋮7⇒x⋮35⇒x=35q⇒2q=11k+4⇒q=11k+4

2 ⇒k⋮2⇒k=2n(n∈N)⇒q=11n+2 35q=13q '+6⇒9q=13l+6⇒q=13l+6

9 ⇒(4l+6)⋮9⇒4l=9r+3⇒l= 9r+3

4 ⇒(r+3)⋮4

⇒r=4m+1(m∈N)⇒l=9m+3⇒q=13m+5⇒11n+2=13m+5⇒n=13m+3

11 ⇒(2m+3)⋮11 Gä

i số x

Theo đề x giá trị nhỏ nhát  2m + = 11  m =  q = 57  x = 35 57 =1985 Bài 4:

Một máy hai bơm đợc

4 bể , máy hai ba bơm

3 bể, máy ba bơm

12 bể ba máy bơm ( 4+

2 3+

5 12):2=

11 12 bể Máy ba bơm đầy bể

Máy bơm đầy bể Máy hai bơm ®Çy bĨ

đề số 3

A đề thi tuyển sinh vào lớp chuyên toán

(QuËn Ba Đình năm học 1992 - 1993) Bài 1:

Tư sè vÕ tr¸i = 1

13 16+ 14 17=

1 3(

1 13 −

1 16+

1 14 −

1

17) Tư sè vÕ ph¶i: ¿1

2( 13−

1 16+

1 14−

1 17)

⇒

(34+x) 27 33

=2 3⇒(

3 4+x)

27 33=

3 2⇒x=

13

12 Mâ số vế phải Bài 2:

Gäi (a,b) = d

a + 2b = 49  49 ⋮ d ; [a,b] + d = 56  56 ⋮ d  (56,49) ⋮ d  d0 ; 7

NÕu d =  ab = [a,b]  [a,b] + = 56  [a,b] = 55  ab = 55

a 55 11

b 55 11

Thay vào a + 2b = 49 giá trị không thoả mãn Nếu d =  ab = [a,b]  a = 7a' ; b = 7b' (a',b') =1  a'b' =

a' =1 ; b' =  a =7 ; b = 49 (lo¹i) a' =7 ; b' =  a =49 ; b = (lo¹i)

Vậy khơng có hai số a b thoả mãn điều kiện đề Bài 3:

2a3b⋮7,⋮6⇒b∈{0;2;4;6;8}

2a3b⋮3⇒(2030+10a+b)⋮3⇒(a+b+2)⋮3⇒a+b∈{1;4;7;10;13;16} (2030+10a+b)⋮7⇒(2a+b)⋮7

VËy a = ; b = hc a= ; b = 210=1025

¿ 73=343

⇒210<3 73⇒(210)238<3238.(73)238⇒22380<3238 7714

¿ ¿28=256

35=243 ⇒35<28

¿Matkhac 3238=33.3235=33.(35)47<33(28)47<25 2376=2381⇒3238<2381 {

¿ ¿ ¿

¿ Bµi 5:

B đề thi tuyn sinh lp chuyờn toỏn

(Quận Ba Đình năm học 1995 - 1996) Bài 1:

A=

13 46.295

13 18 212.5 (

2 7+ 7+

1 17+

1 11 17)

=

12

295 59 212 18

2 11.17 =

187

315 Bµi 2: 14a8b :7 vµ :8 d

XÐt b   ( 14a8b –2 ) 7,  14a8c 7, ( c<8 ) 14a8c  8c c = 0,4,8  c = ;

14a8c 7 a8c  ( 100a +c+80 )  [ 7( 14a +11 ) +2a +c +3 ]

 (2a + c ) :7 d

  2a +c =4 ; 11 ; 18 ; 25

V× c  ( 2a + c)  2a+c =4; 18

a8c ( 100a +c )  (4a +c )

 XÐt c=0 NÕu 2a+ c =4  a=2  4a +c = 8  Tho¶ m·n NÕu 2a+ c =18  a=9  4a +c = 36  lo¹i

 XÐt c=4 NÕu 2a+ c =4  a=0  4a +c =  lo¹i

NÕu 2a+ c =18  a=7  4a +c = 32  Tho¶ m·n

 XÐt b=0  14a80 :7, :8 d  14a78 , Cã 78  14a78 lo¹i

 XÐt b=1  14a81 :7, :8 d  14a79 , Cã 14a79  lo¹i

Vậy a=2, b=2 a=7,b=6 Bài 4

9<

2n+1 5n+1<

10

21 vµ 5a - 2b =3  a=( 3+ 2b )/5 Cã a, b  N  2b : d  2b = 5k +2  k  k=2n §Ỉt b= 5n +1 , a= 2n +

9< 2n+1 5n+1<

10 21

9< 2n+1 5n+1

2n+1 5n+1<

10 21 20n + <18n + 42n+12 < 50n+10

2n < 9n >11

 n 0;1;2 n=2

VËy n =  a

b= 11 Bµi 5.

NÕu sè ta chän cã sè cã cïng sè d ph¸p chia cho

XÐt sè cã sè d kh¸c phÐp chia cho

+ Số d 0,1,2,3  tổng số có số d chia hết cho + Số d 0,1,2,4  tổng số có số d chia hết cho + Số d 0,1,3,4  tổng số có số d chia hết cho + Số d 0,2,3,4  tổng số có số d chia hết cho + Số d 1,2,3,4  tổng số có số d chia hết cho Vậy khẳng định đề cho

đề số 4

A đề thi chọn học sinh giỏi lớp

(Trờng THCS Lê Ngọc Hân năm học 1991 - 1992) Bµi 1.

( 15

4 .4− 12

5 4)−(

7

4 5−

6

2 3)

4 x

=64⇒16=64.

4x⇒x= Bµi 2

xyzt 10001 = xyzt 10000 + xyzt = xyztxyzt

 xyztxyzt = 1a8 bc 9d7

 c=1 , a=9 , d=8 , b=7

 xyzt =1987 Bµi 3

A = 1999 (1 +1999) +19993 (1+1999) +….+19991997 (1+1999) = 2000 (1999 +19993+…+ 19991997) 2000  A  2000 Bµi 4

Vì vận tốc xe từ A =4/3 vận tốc xe từ B nên xe khởi hành đến gặp nhau, quãng đờng xe từ A đợc 4/3 quãng đờng xe từ B đợc

Xe từ A đợc 4/7 quãng đờng AB, xe từ B 3/7 quãng đờng AB hết

 Thời gian xe từ A nửa quãng đờng AB 6: 4/7 :2 =21/4 (h)

 Thời gian xe từ B nửa quãng đờng AB 6: 3/7 :2 =7 (h)

Để xe gặp qng đờng AB xe từ B phải trớc – 21/4 = 7/4 (h) = 1h 45 phút

Bµi 5

So víi tỉng sè häc sinh h«m qua, sè häc sinh khối hôm chiếm số phần: 40% 25% = 10%

So víi tỉng sè häc sinh h«m qua, sè häc sinh khèi h«m chiÕm sè phÇn 36% 137,5%= 49,5%

So víi tỉng sè häc sinh h«m qua, sè häc sinh khèi hôm chiếm số phần 24% 175% = 42%

So víi tỉng sè häc sinh h«m qua, tỉng số học sinh hôm chiếm số phần 10% +49,5% +42% = 101,5%

VËy so víi h«m qua, h«m só học sinh tăg 1,5%

b thi tuyển sinh lớp chuyên toán

A = 8+

1 13+

1

13 18+ + 33 38=

1 5(

1 3−

1 38) B =

3 10+

10 17+ .+ 31 38=

1 7(

1 3−

1 38)

 A B=

1 5:

1 7=

7 5⇒

B A=

5 55

63 

24

224(x −4) =

5 55

7(x −4)= 7⇒

11

x −4=1⇒x=15 Bµi 3 Gäi a lµ sè lín, b lµ sè nhá

a+b =504 =23 32 7 (a,b)=d  d cã 12 íc sè

504 d  d= 2m 3n 7p (m  , n , p ) cã : ( m+ 1) ( n+ )( p + ) =12 = 22 3

m +1

n +1 3

p +1 2

m

n 2

p 1

d 72 84 126

Cã a= a'd, b=b'd , víi (a', b')= V× a>b  a' >b', a b  b'  NÕu d= 72  a' + b' =7  cã b¶ng

a'

b'

A 360 144

B 288 216

NÕu d= 84  a' + b' =6 giá trị a' b' NÕu d= 126  a' + b' =4  kh«ng có giá trị a' b'

Bµi Cminh 21995 < 863

Cã : 210 =1024, 55 =3025  210 <55

 21720 3172 <5860

Cã 37 =2187 ; 210 =1024  37 >211

3172 = (37)24 34 > (211)24 > (211) 26 = 2270

 21720.2270 < 21720 3172 < 5860

VËy 21990 <5860

25 < 53  21995 <5863

đề số 5

A đề thi chọn học sinh giỏi lớp chuyên toỏn

(Quận Ba Đình năm học 1995 - 1996) Bài 1: Đặt 12a4b1996=N

N 63 N  vµ N  7

N   (1+2+a+4+b+1+9+9+6 )   (a+b+5)   (a+b) {4,13} N = 120401996 + 1000000a + 10000b   (a+4b+1) 

+ NÕu a+b =  (4+3b+1)   (3b + 5)  3b : d

 b =  a =

+ NÕu a+b = 13  (13+3b+1)   3b 7  b   b  {0; 7}

 b = ; a =

a

12a4b1996 121431996 126471996 Bµi 2:

A = 40 31 39+

35 39 46+

30 46 52+

25 52 57 = 40

8 ( 31 −

1 39)+

35 (

1 39−

1 46)+

30 (

1 46 −

1 52)+

25 ( 52 − 57) = 5(

31 − 57)=

5 26 31 57 B = 91

19 31+ 65 19 43+

39 23 43+

143 69 19 ¿13 19( 31+ 43)+

13 23(

3 43+

11

57)=13( 24 31 19+

28

43 57)= 13 52

57 ⇒

A B=

5 26 31 57 :

13 52

57 =

5 62 Bµi 3:

Hiệu vận tốc nửa quãng đờng đầu 21 - 12 = (km/h)

sau : 24 - 12 = 12(km/h) Do nửa quãng đờng sau hiệu vận tốc

3 hiệu vận tốc nửa quãng đờng đầu(theo dự định) Nên thời gian xe thứ từ quãng đờng đến chỗ gặp

4 thời gian xe nửa quãng đờng đầu

Thời gian xe nửa quãng đờng là: 12 4=

7 (h) Quãng đờng AB dài là:

3 21=98(km) Bµi 5: T×m a,b  N cho 11

7 < a b<

23

29 vµ 8b - 9a = 31 8b - 9a = 31  b = 31+9a

8 =

32−1+8a+a

8  N  (a-1)   a = 8q + 1(q  N) b =

¿ 31+9(8q+1)

8 =9q+5¿⇒ 11 17<

8q+1 9q+5<

23 29 ¿

11(9q+5) < 17(8q+1)  37q > 38  q >

29(8q+1) < 23(9q+5)  25q < 86  q <  q  {2; 3} q =  a

b= 23

17 q = 

a b=

32 25

b đề thi chọn học sinh giỏi lớp chuyên toỏn

(Quận Ba Đình năm học 1990 - 1991) Bµi 1:

7 18+

1 25 :

(35+ 83 200−

11 200):

3 49−181

4+13 12−16

2 17 = 18+ 25 : 56 25 102 2861 =

8+ 25:

56 2861 25 102 =

7 8+

1 25 102 25 2861 56=

7 18+

2861 56 102=

15247 32 17 Bµi 2:

a+2b = 48 vµ (a,b) + [a,b] = 114

114  ; 3[a,b]   (a,b)  vµ a + 2b = 48  a   a 

 a  { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42}

a 12 18 24 30 36 42

b 21 15 12

(a,b) 16 12

3[a,b] 126 108 270 72 270 108 126

(a,b)+3[a,b] 129 114 360 84 360 114 168

Bµi 4: A =

31 7+ 41+

9 10 41+

7 10 57=

1 7(

4 31+

6 41)+

1 10(

9 41+

7 57)=

50 31 41+

80 41 57=

130 31 57 B=

19 31+ 19 43+

3 23 43+

11 23 57=

1 19(

7 31+

5 43)+

1 23(

3 43+

11 57 )=

24 31 43+

28 43 57=

52 31 57 A B= 130 52

đề số 6

A đề thi chọn học sinh giỏitoán lớp 6

(Trờng Lê Ngọc Hân năm học 1997 - 1998) Bài 1: Không chứng minh đợc điều vì:

XÐt : abc+deg=127+465=592⋮37 abc deg=127465  11

b) 20x20x20x20x=20x.1001001

 20x⋮7  (200 + x )   (4 + x )   x = Bµi 2:

6 :5 3− 17 16 21 10 11 + 57 11 − 35 60 12 49 35 = 10−51 56 42 11 + 57 11 −1 32 = 509

56 11 99− 32= 509 504 − 224= 1955 2016 1955 2016 x= 215 96 ⇒x=

215 96 2016 1955= 903 391=2 121 391 Bµi 3:

19991999 + > 19991989 + 1 19992000 + < 19992009 + 1

 1999

1999

+1 19992000=1>

19991989+1 19992009+1 Bµi 4:

1

n(n+1)(n+2)(n+3)=

3

3n(n+1)(n+2)(n+3)=

3+n− n 3n(n+1)(n+2)(n+3) ¿1

3[

n+3

n(n+1)(n+2)(n+3)−

n

n(n+1)(n+2)(n+3)]= 3[

1

n(n+1)(n+2)−

1

(n+1)(n+2)(n+3)] A =

1 4+ 5+

1

3 6+ .+

1 27 28 29 30 =

3[ 1 3−

1

28 29 30]=

4059

28 29 30= 451 8120 B =

3( 5−

1 8)+

4 3(

1 8−

1

11)+ + 3(

1 305+

1 308)=

4 3(

1 5−

1 308)=

4 303 308=

303 485 Bµi 5:

Ngày thứ bán 100

10 số trứng lại Ngày thứ hai bán 200 10 số trứng lại mà số trứng hai ngày bán nh

10 số trứng lại sau lấy 100 nhiều

trớc lấy

10 số trứng lại sau lần lấy 1000 Lần cuối

10 số trứng lại 900 ngày thứ lấy 900 trứng

Sè trøng lµ (900 - 100) :

10 + 100 = 8100 (quả) Số lấy trứng 8100 : 900 = (lần)

b thi chọn học sinh giỏi toán lớp

(Quận Ba Đình năm học 1996 - 1997) Bài 1:

: 12a96b:63 giống đề số Bài 2:

(157 + 14 45+

2 9):

72 23 −

3 11 (

8 3−

7 4)

(37− 4)

2

:( 28 −

1 24)

= 23 72 −

1 25 28

11

= 72

28 11 25 =

77 540 Bµi 3:

Gọi số abcd

abcd + = abcd  a <  a =  d  bcd +6 = dcb d số lẻ d {5,7,9} d =  bc 5+6=5 cb

 5000 + 500b + 50c + 31 = 5000 + 100c + 10b +

 c = 49b −196

5 =9b+

4b −196

5 ∈N

 4b −196

5 ∈N → b=5q+4→b∈{4,9} b =  c =

b =  c = 51  Lo¹i NÕu d =  c = 9b + 4b −395

5 → b∈{0;5}→ loại Số 1407

Bµi 5:

Gọi số a1; a2; a7

Trong sè tù nhiªn tuú ý bao giê có số chẵn lẻ Tổng chúng số chẵn Xét a1, a2, a3 :

Không tính tổng quát giả sử a1,2 = a1+ a2 số chẵn Xét a4, a5, a6 a4,5 số chẵn

Xét a3, a6, a7 a3,6 số chẵn

Xét a1,2; a4,5 ; a3,6 số chẵn ta chia số cho b1,2 ; b4,5 ; b3,6

b1,2,4,5 = b1,2 + b4,5 số chẵn

a1,2 +a4,5 = 2( b1,2 + b4,5 ) v× (b1,2 + b4,5 ) 

(a1,2 + a4,5 )

(a1 + a2 + a4 + a5 )

Vậy số tự nhiên tuỳ ý chọn đợc số mà tổng chúng



đề số 7

A đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp

PhầnA Giống đề 5A b đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp ( Trờng Lê Ngọc Hân năm học 1997 - 1998) Bài 1

a 26: (30 +

0,25

1,9 )+1=26 :(6+ 25

190+1)=26 38 233 +1=

988+233

233 =

1221 233 =5

56 233 b (

1−1 9)+(1−

2

10)+ .+(1− 92 100)

45+

50+ + 500

= 9+

8 10+

8 100

5( 9+

1

10+ + 100)

=8 :1 5=40

Bài 2: Gọi số n

 n = 5q + ; n = 7r +  q = 7r+4

 (2r + 4)   r = 3k +

T×m sè nhá nhÊt  r =  q = n = 26 Bµi 3:

Chọn quãng đờng AB làm đơn vị qui ớc Trong h xe đợc

2 quãng đờng AB Trong 1h xe đợc

3 quãng đờng AB Trong 1h xe đợc

6 quãng đờng AB Trong 10 phút trớc xe

12 quãng đờng AB Thời gian xe để gặp 11

12: 6=

11

10 h = 16 Hai xe gỈp lóc 7h 10ph + 1h ph = 8h 16ph

§Ị THI HäC SINH GiáI CđA QN HAI Bà TRƯNG

năm học 1996- 1997

Câu 1:

abcabc=abc 1000+abc=1001 abc=7 11 13 abc⇒abcabc⋮7;11;13 Vậy số chia hết cho số ngun tố , 11, 13

¿ a2 ¿

231 236¿b¿= 5(

5 11 16+

5

16 21+ + 231 236)=

2 5(

1 11 −

1 16 +

1 16 −

1

21+ .+ 231 −

1 236)=

Câu 3:

20% số học sinh hai trêng lµ: 1500 20% = 300(häc sinh) 5% sè häc sinh trêng B lµ: 300 - 255 = 45 (häc sinh)

Sè häc sinh trêng B lµ: 45 : 5% = 900 (häc sinh) Sè häc sinh trêng A lµ : 1500 - 900 = 600 (häc sinh) C©u 4:

HiƯu vËn tèc cđa hai ngêi lµ: 20 - 12 = (km/h)

Thời gian ngời thứ hết quãng đờng AB là: 80: 12 = 20

3 h = 6h40' Thời gian ngời thứ hai hết quãng đờng AB là: 80: 20 = (h)

Thời gian ngời thứ hai trớc ngời thứ là: 6h40' - 4h = 2h40'= h Quãng đờng ngời thứ trớc là:

3 12 = 32 (km)

Khoảng cách hai ngời ngời thứ hai tăng vận tốc là: 32 - = 16 (km) Thời gian từ ngời thứ hai tăng vận tốc đến lúc gặp là: 16: (24 -12)=

3 h Đến lúc gặp ngời thứ hai quãng đờng là: 40 + 24

3 = 72 (km) Chỗ gặp cách B là: 80 - 72 = (km)

Năm học 1997- 1998

C©u 1:

120; 150; 210; 510; 450; 540; 345; 105; 435; 405; 315; 135 C©u 2:

Gäi số bị chia a; số chia b (b  0)

PhÐp chia cã th¬ng b»ng sè d 12 Số bị chia bớt 12 lÇn sè chia  a = 5b+12

Số bị chia chia cho tổng số chia số dđợc thơng số d 18  Số bị chia bớt 18bằng lần tổng số chia số d  a = (b +12) + 18 = 3b + 54

 5b + 12 = 3b + 54  b = 21  a = 117 a¿

210+ 240+

1 272+

1 306=

1 14 15 +

1 15 16+

1 16 17+

1 17 18=

1 14 −

1 18=

1

63 Vậy số bị chia 117

C©u 3: 401 210=1+

91 210 ;

401 240=1+

261 240 ;

401 272=1+

129 272 ;

401 306=1+

95 306

⇒B+4=401.( 210+

1 240+

1 272+

1

306)⇒B=401

63 −4=2 23 63

b ) Nhận xét phân số có tổng tử mẫu 401

C©u 4: Cách

Phân số số học sinh giỏi yếu là: ( 12+

5 8)1=

5

24 (häc sinh c¶ líp) Sè häc sinh lớp là: 10 24

Sè häc sinh giái lµ: ( 14 + 10 ) : = 12 (häc sinh) Sè häc sinh yÕu lµ: 12 - 10 = (häc sinh)

Sè học sinh giỏi trung bình là: 48

8=30 (học sinh) Số học sinh trung bình là: 30 - 12 = 18 (häc sinh)

Sè häc sinh là: 48 - (18 + + 14) = 16 (häc sinh)

C¸ch 2

Líp chia 24 phần phàn có: 10 : = (học sinh) Số học sinh trung bình là:

8− 12=

1

24 (häc sinh líp) = (häc sinh) Sè häc sinh trung bình là: (34 + 2): = 18 (học sinh)

Số học sinh là: 18 - = 16 (häc sinh)

Sè häc sinh giái vµ yÕu lµ: 48 - (18 + 16) = 14 (häc sinh) Sè häc sinh giái lµ: (14 + 10): = 12 (häc sinh)

Sè häc sinh yÕu lµ: 12 - 10 = (học sinh)

Năm học 1998- 1999

C©u 1:

Số tiền ngời có sau tháng là: 6000000 100,8% = 6048000 (đồng) Số tiền ngời có sau tháng là: 6048000 100,8% = 6096384 (đồng) Số tiền ngời có sau tháng là: 6096384 100,8% = 6145155 (đồng) Câu 2:

So víi tỉng sè, sè dơng cụ phân xởng làm chiếm số phần là: 28 %.3

2=42 % So víi tỉng sè, sè dơng cụ phân xởng làm chiếm số phần là:

100% - (42 %+ 28%)= 30%_

So với tổng số, 72 chiếm số phần là: 42% - 30 % = 12%

Tèng sè s¶n phÈm ba phân xởng làm là: 72 : 12% = 600 (dụng cụ) Số sản phẩm phân xởng làm lµ: 600 28% = 168 (dơng cơ)

Sè sản phẩm phân xởng làm là: 600 42% = 252 (dụng cụ) Số sản phẩm phân xởng lµm lµ: 600 30% = 180 (dơng cơ) 11

15= 44

60 ⇒U(60)={1;2;3;4;5;6;10;1215;20;30;60} 30+10+4=44⇒44

60 = 10 60+

30 60+

4 60 ⇒

11 15=

1 6+

1 2+

1 15

C©u 3: C©u 4:

a.Gọi số abc⇒(a+b+c) abc=1360 1360 = 16 17 = 17

Ta cã 24 < 100 17 tổng chữ số abc17abc=17 xx>5  a + b + c < 16

a + b + c 10

abc 680 340 170 136

TÝch 1360 1360 1360 1360

Vậy số là: 680 ; 340; 170; 136 1;11; ;11 11⏟

1999cs b.XÐt d·y sè:

D·y số có 1999 chữ số cóhai trờng hợp xảy

Cú ớt nht mt s chia hết cho 1999.Gỉả sử số là:11 11 (n chữ số)  11 10 (n+1 chữ số) chia hết cho 1999  Khẳng định đề cho ỳng

Năm 1999 - 2000

Bµi 1:

a) Cách :Qui đồng mẫu số so sánh tử Cách 2: 1999

2000=

19991999 20002000<

19992000 20002000 C¸ch 3: 1999

2000+ 2000=

19992000 20002000+

10000

20002000=1⇒ 1999 2000<

19992000 20002000 b)

1 2n −1+

1 2n=

4n −1 4n2−2n>

1

n(n∈N ;n ≥2)

⇒1

3+

4+ + 32>

1 2+

1

3+ + 16>

1 2+

1

2+ .+ 8>1+

1 2+

1 3+

1 4>2 Bµi 2:

Số học sinh lớp : + = 11 (phÇn) Sè häc sinh giái kú I chiÕm :

11 häc sinh c¶ líp Sè häc sinh giái kú II chiÕm :

22 häc sinh c¶ líp häc sinh øng víi số phần lớp:

22 11=

3

22 (c¶ líp) Sè häc sinh c¶ líp lµ: :

22=44 häc sinh VËy sè học sinh 7A 44 bạn

Bài 3:

25% =

Khèi lỵng cđa

4 níc thïng lµ: 5,7 - 2,4 = 3,3 (kg) Khối lợng nớc thùng đầy nớc 3,3 :

4 = 4,4 (kg) Khèi lỵng thïng không : 5,7 - 4,4 = 1,3 (kg)

Bài 4:

Số phải tìm là: A = abcd (0<a < 10;  b,c,d  9) A  11  ( (b + d) - (a + c))  11 vµ (a + b + c + d)  11

 (a + c )  11 vµ 2b + d  11  a + c vµ b + d chØ cã thĨ lµ hc 11

* a + c = 11 b + d = (b = d = 0) Có cặp (a, c) để a + c = 11 : (2,9); (3,8) Có số có chữ số  11

* a + c = 11 b + d = 11 có cặp (a,c) cặp (b,d) ghép cặp ta đợc 64 số có chữ số chia hết cho 11