Đang tải... (xem toàn văn)
a)Haõy cho bieát phöông trình truïc ñoái xöùng cuûa parabol, bieát raèng noù song song vôùi truïc tung. b) Tìm ñieåm ñoái xöùng vôùi goác toïa ñoä qua truïc ñoái xöùng trong caâu a). c[r]
(1)Chương I : MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP §1: Mệnh đề và mệnh đề chứa biến A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Ñònh nghóa :
Mệnh đề là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai 2.Mệnh đề phủ định:
Cho mệnh đề P.Mệnh đề “Không phải P ” gọi là mệnh đề phủ định của P
Ký hiệu là P Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng Ví dụ: P: “ 3 > 5 ” thì P: “ 3 5 ”
3 Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo :
Cho 2 mệnh đề P và Q Mệnh đề “nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo
Ký hiệu là P Q Mệnh đề P Q chỉ sai khi P đúng Q sai
Cho mệnh đề P Q Khi đó mệnh đề Q P gọi là mệnh đề đảo của P Q 4 Mệnh đề tương đương
Cho 2 mệnh đề P và Q Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” gọi là mệnh đề tương đương , ký hiệu P Q.Mệnh đề P Q đúng khi cả P và Q cùng đúng 5 Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX, P x( )”
Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX, P x( )” Ví dụ:
Cho x laø soá nguyeân döông ;P(x) : “ x chia heát cho 6” ; Q(x): “ x chia heát cho 3”
Ta có : P(10) là mệnh đề sai ; Q(6) là mệnh đề đúng P x( ): “ x không chia hết cho 6”
Mệnh đề kéo theo P(x) Q(x) là mệmh đề đúng
“x N*, P(x)” đúng có phủ định là “x N*, P(x)” có tính sai B: BAØI TẬP
Bài 1: Các câu sau dây, câu nào là mệnh đề, và mệnh đề đó đúng hay sai :
a) Ở đây là nơi nào ?
b) Phöông trình x2 + x – 1 = 0 voâ nghieäm
(2)Bài 2: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau : a) “Phương trình x2 –x – 4 = 0 vô nghiệm ” b) “ 6 là số nguyên tố ”
c) “nN ; n2 – 1 laø soá leû ”
Bài 3: Xác định tính đúng sai của mệnh đề A , B và tìm phủ định của nó : A = “ x R : x3 > x2 ”
B = “ x N , : x chia heát cho x +1”
Bài 4: Phát biểu mệnh đề P Q và xét tính đúng sai của nó và phát biểu mệnh đề đảo :
a) P: “ ABCD là hình chữ nhật ” và Q:“ AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
b) P: “ 3 > 5” vaø Q : “7 > 10”
c) P: “Tam giaùc ABC laø tam giaùc vuoâng caân taïi A” vaø Q :“ Goùc B = 450 ”
Bài 5: Phát biểu mệnh đề P Q bằng 2 cách và và xét tính đúng sai của nó a) P : “ABCD là hình bình hành ” và Q : “AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
b) P : “9 là số nguyên tố ” và Q: “ 92 + 1 là số nguyên tố ” Bài 6:Cho các mệnh đề sau
a) P: “ Hình thoi ABCD có 2 đường chéo AC vuông góc với BD” b) Q: “ Tam giác cân có 1 góc = 600 là tam giác đều”
c) R : “13 chia heát cho 2 neân 13 chia heát cho 10 ”
- Xét tính đúng sai của các mệnh đề và phát biểu mệnh đề đảo : - Biểu diễn các mệnh đề trên dưới dạng A B
Bài 7: Cho mệnh đề chứa biến P(x) : “ x > x2” , xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) P(1) b) P( 1
3) c) xN ; P(x) d) x N ; P(x) Bài 8: Phát biểu mệnh đề A B và A B của các cặp mệnh đề sau và xét tính đúng sai
(3)B: “Điểm M nằm trên đường phân giác góc xOy”
Bài 9: Hãy xem xét các mệnh đề sau đúng hay sai và lập phủ định của nó : a) xN : x2 2x
b) x N : x2 + x khoâng chia heát cho 2 c) xZ : x2 –x – 1 = 0
Bài 10 : Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng a) A : “Một số tự nhiên tận cùng là 6 thì số đó chia hết cho 2” b) B: “ Tam giác cân có 1 góc = 600 là tam giác đều ”
c) C: “ Nếu tích 3 số là số dương thì cả 3 số đó đều là số dương ” d) D : “Hình thoi có 1 góc vuông thì là hình vuông”
Bài 11:Phát biểu thành lời các mệnh đề x: P(x) và x : P(x) và xét tính đúng sai của chúng :
a) P(x) : “x2 < 0” b)P(x) :“ 1
x > x + 1”
c) P(x) : “ 2
x 4
x 2
= x+ 2” x) P(x): “x2-3x + 2 > 0”
§2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VAØO PHÉP SUY LUẬN TOÁN HỌC A:
TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
1:Trong toán học định lý là 1 mệnh đề đúng
Nhiều định lý được phát biểu dưới dạng “xX , P(x) Q(x)”
2 Chứng minh phản chứng đinh lý “xX , P(x) Q(x)” gồm 2 bước sau: - Giả sử tồn tại x0 thỏa P(x0)đúng và Q(x0) sai
- Dùng suy luận và các kiến thức toán học để đi đến mâu thuẫn 3: Cho định lý “xX , P(x) Q(x)” Khi đó
P(x) là điều kiện đủ để có Q(x) Q(x) là điều kiện cần để có P(x) 4: Cho định lý “xX , P(x) Q(x)” (1)
Nếu mệnh đề đảo “xX , Q(x) P(x)” đúng được gọi là dịnh lý đảo của (1) Lúc đó (1) được gọi là định lý thuận và khi đó có thể gộp lại
“xX , P(x) Q(x)” Gọi là P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x)
(4)đủ”
a) Neáu 2 tam giaùc baèng nhau thì chuùng coù cuøng dieän tích b) Soá nguyeân döông chia heát cho 6 thì chia heát cho 3
c) Mộthình thang có 2 đường chéo bằng nhau là hình thang cân Bài 2: Dùng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh :
a) Với n là số nguyên dương, nếu n2 chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3 b) Chứng minh rằng 2 là số vô tỷ
c) Với n là số nguyên dương , nếu n2 là số lẻ thì n là số lẻ
Bài 3: Phát biểu các định lý sau bằng cách sử dụng khái niệm “Điều kiện đủ ” a)Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với nhau
b)Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau c)Nếu số nguyên dương a tận cùng bằng 5 thì chia hết cho 5 d)Nếu tứ giác là hình thoi thì 2 đường chéo vuông góc với nhau Bài 4: Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm“Điều kiện cần ”
a)Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với nhau
b)Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau c)số nguyên dương a chia hết cho 24 thì chia hết cho 4 và 6
d)Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì 4 cạnh bằng nhau Bài 5: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
a) Nếu abc thì a2 +b2 + c2 > ab + bc + ca b) Nếu a.b chia hết cho 7 thì a hoặc b chia hết cho 7 c) Nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0
Bài 6 :Cho các đinh lý sau, định lý nào có định lý đảo, hãy phát biểu : a) “Nếu 1 số tự nhiên chia hết cho 3 và 4 thì chia hết cho 12” b) “Một tam giác vuông thì có trung tuyến tương ứng bằng nửa cạnh
huyeàn ”
c) “Hai tam giác đồng dạng và có 1 cạnh bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”
(5)§3 TẬP HỢP VAØ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
1 Tập hợp là khái niệm của toán học Có 2 cách trình bày tập hợp Liệtkê các phần tử :
VD : A = a; 1; 3; 4; b hoặc N = 0 ; 1; 2; ; n ;
Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp ; dạng A = {x/ P(x) VD : A = x N/ x lẻ và x < 6 A = 1 ; 3; 5
* Tập con : A B (x, xA xB) Cho A ≠ có ít nhất 2 tập con là và A 2 các phép toán trên tập hợp :
Phép giao Phép hợp Hiệu của 2 tập hợp
AB = x /xA vaø xB
AB = x /xA hoặc xB
A\ B = x /xA vaø xB
Chú ý: Nếu A E thì CEA = A\ B = x /xE và xA 3 các tập con của tập hợp số thực
Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn
Đoạn [a ; b] xR/ a x b Khoảng (a ; b )
Khoảng (- ; a)
(6)Nửa khoảng [a ; b) Nửa khoảng (a ; b] Nửa khoảng (- ; a] Nửa khoảng [a ; )
R/ a x < b xR/ a < x b
xR/ x a xR/ a x
B: BAØI TAÄP :
Bài 1: Cho tập hợp A = {x N / x2 – 10 x +21 = 0 hay x3 – x = 0} Hãy liệt kê tất cả các tập con của A chỉ chứa đúng 2 phần tử
Baøi 2: Cho A = {x R/ x2 +x – 12 = 0 vaø 2x2 – 7x + 3 = 0} B = {x R / 3x2 -13x +12 =0 hay x2 – 3x = 0 }
Xác định các tập hợp sauA B ; A \ B ; B \ A ; AB Bài 3: Cho A = {xN / x < 7} và B = {1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8}
a) Xaùc ñònh AUB ; AB ; A\B ; B\ A b) CMR : (AUB)\ (AB) = (A\B)U(B\ A) Baøi 4: Cho A = {2 ; 5} ; B = {5 ; x} C = {x; y; 5}
Tìm các giá trị của cặp số (x ; y) để tập hợp A = B = C Bài 5: Xác định các tập hợp sau bẳng cách nêu tính chất đặc trưng A = {0 ; 1; 2; 3; 4} B = {0 ; 4; 8; 12;16}
C = {-3 ; 9; -27; 81} D = {9 ; 36; 81; 144} E = Đường trung trực đoạn thẳng AB
F = Đường tròn tâm I cố định có bán kính = 5 cm
Bài 6: Biểu diễn hình ảnh tập hợp A ; B ; C bằng biểu đồ Ven A = {0 ; 1; 2; 3} B = {0 ; 2; 4; 6} C = {0 ; 3; 4; 5} Bài 7 : Hãy liệt kê tập A, B:
A= {(x;x2) / x
{-1 ; 0 ; 1}} B= {(x ; y) / x2 + y2 2 vaø x ,y Z} Baøi 8: Cho A = {x R/ x 4} ; B = {x R / -5 < x -1 8 }
Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng A B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( AB)
Bài 9: Cho A = {x R/ x2 4} ; B = {x R / -2 x +1 < 3 } Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng
A B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( AB) Bài 10: Gọi N(A) là số phần tử của tập A Cho N(A) = 25; N(B)=29, N(AUB)= 41.Tính N(AB) ; N(A\B); N(B\A)
(7)c) Tìm A; B bietá A B = {0;1;2;3;4}; A\B = {-3 ; -2} ; B\A = {6 ; 9;10} Bài 12: Cho A = {xR/ x -3 hoặc x >6 } B={xR / x2 – 25 0}
a) Tìm các khoảng , doạn, nửa khoảng sau : A\B ; B\ A ; R \ ( AB); R \ (AB) ; R \(A\B)
b)Cho C={xR / x a} ; D={xR / x b } Xác định a và b biết rằng CB và DB là các đoạn có chiều dài lần lượt là 7 và 9 Tìm CD
Bài 13: Cho A = {x R/ x2 4} ; B = {x R / -3 x < 2 } Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng A B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( AB) Bài 14: Viết phần bù trong R của các tập hợp sau :
A= {xR / – 2 x < 1 0} B= {xR / x> 2} C = {xR / -4 < x + 2 5}
Bài 15: Cho Tv = tập hợp tất cả các tam giác vuông T = tập hợp tất cả các tam giác
Tc = tập hợp tất cả các tam giác cân Tđ = tập hợp tất cả các tam giác đều Tvc= tập hợp tất cả các tam giác vuông cân Xác định tất cả các quan hệ bao hàm giữa các tập hợp trên Bài 16: Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê
A= { xQ / (2x + 1)(x2 + x - 1)(2x2 -3x + 1) =0} B= { xZ / 6x2 -5x + 1 =0} C= { xN / (2x + x2)(x2 + x - 2)(x2 -x - 12) =0} D= { xN / x2 > 2 vaø x < 4} E= { xZ / √x 2 vaø x > -2}
Baøi 17:Cho A = {x Z / x2 < 4} B = { xZ / (5x - 3x2)(x2 -2 x - 3) = 0} a) Lieät keâ A ; B
b) CMR (A B) \ (A B) = (A \ B) (B \ A) Baøi 18: Cho E = { xN / 1 x < 7} A= { xN / (x2-9)(x2 – 5x – 6) = 0 }
B = { xN / x là số nguyên tố 5} a) Chứng minh rằng A E và B E
b) Tìm CEA ; CEB ; CE(AB)
c) Chứng minh rằng : E \ (A B)= (E \A) ( E \B) E \ ( AB) = ( E \A) ( E \ B) Bài 19 :
a) Cho A C và B D , chứng minh rằng (AB) (CD) b) CMR : A \(B C) = (A\B)(A\C)
(8)(9)Chương II: HAØM SỐ §1: Đại cương về hàm số A:TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1: Cho D R hàm số f xác định trên D là 1 quy tắc ứng với mỗi xD là 1 và chỉ 1 số Khi đó f(x) gọi là giá trị hàm số, x gọi là biến số , D gọi là tập xác định 2: Sự biến thiên hàm số Cho f(x) xác định trên K
f đồng biến ( tăng) trên K x1;x2K ; x1 < x2 f(x1) < f(x2) f nghịch biến ( giảm) trên K x1;x2K ; x1 < x2 f(x1) > f(x2) 3: Hàm số chẵn, hàm số lẻ :
f gọi là chẵn trên D nếu xD -x D và f(-x) = f(x), đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng
f gọi là lẻ trên D nếu xD -x D và f(-x) = - f(x), đồ thị nhận O làm tâm đối xứng
4: Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ (NC) Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có
Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p)
B VÍ DUÏ :Tìm mieàn xaùc ñònh vaø xeùt tính taêng , giaûm cuûa haøm soá 2
( ) 1
3
y f x x
x
GIAÛI
\ 3
D R .
Xeùt tæ soá
2 1
1 2
2 1 2 1
( ) ( ) 2
1 , ,
( 3).( 3)
f x f x
T x x D
x x x x
Ta có :Với
1 1 2
2
3 0
, ;3 0
3 0
x y
x x
x x
Với
1 1 2
2
3 0
, 3; 0
3 0
x
x x T
x
Vậy hàm số đã cho đồng biến trong ;3 3; C:
(10)Baøi 1:Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau:
a) 2
1 1 x y
x
b) 2
2 1
2 1
x y
x x
c)
3 4
( 2) 4
x y
x x
d) y = x 8 2 x 7 +
1 1 x
Baøi 2:Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau:
a) y= 2x 4 + 6 x b) y = 2
2
6 8
9
x x
x
c) y= x2 4 + 2 1
4 3
x x d) y =
1; 0 1 2
; 0
2
x x
x x
x x
Baøi 3: Cho haøm soá y = 5 x + 2x 3a
Định a để tập xác định của hàm số là đoạn thẳng có độ dài = 2 đơn vị
Baøi 4:Cho haøm soá
3
, 0
1 ( )
1
, 1 0
1
x x x f x
x
x x
a) Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y=f(x) b) Tính f(0), f(2),f(-3),f(-1)
Baøi 5: Cho haøm soá f x( )x2 x1 a) Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá
b) Tính giá trị gần đúng của f(4), f( 2), ( )f chính xác đến hàng phần trăm Bài 6: Bằng cách xét tỉ số
2 1 2 1
( ) ( )
f x f x
x x
, hãy nêu sự biến thiên của các hàm số
sau (không yêu cầu lập bảng biến thiên của nó) trên các khỏang đã cho: a) y = x2 + 2x – 3 trên mỗi khỏang ( , 1) và ( 1, )
b) y = - x2 – 4x + 2 treân moãi khoûang ( , 2) vaø ( 2, )
c) 1
x y
x
treân moãi khoûang ( , 1) vaø ( 1, )
d)
2 3
2
x y
x
(11)Baøi 7: Xeùt tính chaün leû cuûa caùc haøm soá sau:
a) y3x43x2 2 b) y2x3 5x
c) y x x d) y 1x 1 x Baøi 8: Xeùt tính chaün leû cuûa caùc haøm soá sau:
a) y 1x 1 x b) y = x(
x - 2) c) y =
2 3
1 x
x x
d) y =
2 2
1 1
x x
x x
Bài 9 : Cho hàm số y = f(x) có miền xác định là R Tìm công thức của hàm số đó biết rằng hàm số y = f(x) vứa là hàm số chẵn , vừa lẻ
Bài 10: Giả sử hàm số 2
y x
có đồ thị là (H)
a) Nếu tịnh tiến (H) xuống dưới 3 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào? b) Nếu tịnh tiến (H) sang phải 2 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào? c) Nếu tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, rồi sang trái 4 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào?
Baøi 11: Cho haøm soá y = f(x) coù mieàn xaùc ñònh R thoûa f(x + y) = f(x) + f(y) , x,y R a) Tính f(0)
b) CMR : y = f(x) laø haøm soá leû
Baøi 12: Cho haøm soá y = f(x) coù mieàn xaùc ñònh R thoûa f(x + y) + f( x – y) = 2f(x).f(y) , x,y R c) Tính f(0)
d) Xeùt tính chaün leû cuûa haøm soá
§2: HAØM SOÁ BAÄC NHAÁT A:TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
1: Haøm soá daïng y = ax = b , a;b R vaø a≠ 0 Haøm soá baäc nhaát coù taäp xaùc ñònh D = R
(12)B: VÍ DUÏ
Tìm hàm số bậc nhất y=f(x) biết đồ thị của nó đi qua 2 điểm A(0 ; 4) , B (-1;2) Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số yg x( ) f x( )
Giaûi Haøm soá baäc nhaát coù daïng y ax b a , 0.
Đồ thị hàm số qua điểm A , B
4 2
2 4
b a
a b b
Vẽ đồ thị hàm g x( ) 2x4 , ta vẽ đồ thị hai hàm số y= 2x+4 và y=-2x-4 trên cùng 1 hệ trục tọa độ ,rồi bỏ đi phần phía trên trục Ox
Vẽ đồ thị hàm g x( ) 2x4 Bảng biến thiên
C: BAØI TAÄP
Bài 1: Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của k sao cho đồ thị của hàm số y = -2x +k(x+1)
a) Đi qua gốc tọa độ O b) Đi qua điểm M(-2,3)
c) Song song với đường thẳng y 2x
Bài 2: Trong mỗi trường hợp sau, xác định a và b sao cho đường thẳng y= ax+b X - + x - +
y = ax + b (a > 0)
+
-
y = ax + b (a < 0)
+
(13)a) Cắt đường thẳng y=2x+5 tại điểm có hòanh độ bằng -2 và cắt đường thẳng y= -3x+4 tại điểm có tung độ bằng -2
b)Song song với đường thẳng 1 2
y x
và đi qua giao điểm của hai đường thẳng 1
1 2
y x
vaø y= 3x+5
Bài 3: a) Cho điểm A x y( , )o o , hãy xác định tọa độ của điểm B, biết rằng B đối xứng với A qua trục hòanh
b) Chứng minh rằng hai đường thẳng y=x-2 và y=2-x đối xứng với nhau qua trục hòanh
c) Tìm biểu thức xác định hàm số y=f(x), biết rằng đồ thị của nó là đường thẳng đối xứng với đường thẳng y= -2x+3 qua trục hòanh
Bài 4 : a) Tìm điểm A sao cho đường thẳng y=2mx+1-m luôn đi qua A, dù m lấy bất kỳ giá trị nào
b) Tìm điểm B sao cho đường thẳng y=mx-3-x luôn đi qua B, dù m lấy bất kỳ giá trị nào
Bài 5: Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của m sao cho a) Ba đường thẳng y=2x, y= -3-x và mx+5 phân biệt và đồng quy b) Ba đường thẳng y= -5(x+1), y=mx+3 và y=3x+m phân biệt và đồng quy
Bài 6: Cho Cho 2 đường thẳng 1 : y = (2m -1)x +4m - 5 ; 2 : y = (m – 2) x + m + 4
a) Tìm 2 điểm cố định của 2 đường thẳng b) Định m để đồ thị 1 song song với 2 Bài 7: Cho (H) là đồ thị hàm số y = 3x
(14)§3:HAØM SOÁ BAÄC HAI A:TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
Hàm số có dạng y = ax2 + bx + c với a ; b; c
R vaø a ≠ 0
a > 0 a < 0
Taäp xaùc ñònh laø R Ñænh I ( 2
b a
; 4a
)
Hàm số NB trên khoảng ( -; 2
b a
) và ĐB trên khoảng ( 2
b a
; +) Baûng bieán thieân
x
- 2
b a
+ y + +
4a
Trục đối xứng là đường x = 2
b a
Taäp xaùc ñònh laø R Ñænh I ( 2
b a
; 4a
)
Hàm số ĐB trên khoảng (-; 2
b a
) và NB trên khoảng ( 2
b a
; +) Baûng bieán thieân
x
- 2
b a
+ y
4a
- - Trục đối xứng là đường x = 2
b a
B Ví dụ Xác định hàm số bậc hai y = 2x2 + bx + c biết đồ thị của nó 1) Có trục đối xứng là x=1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4 2) Có đỉnh là (-1;-2)
3) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm (1;-2) GIẢI 1) Trục đối xứng 1 2 4 4
b b
x b
a
(15)2) Ñænh
2
1 4
2 4
4 16 8
2 0
4 8
b b
x b
a
b ac c
y c
a
3) Hoành độ đỉnh 2 4 2 8
b b
x b
a
Đồ thị qua điểm (1;-2) 2y(1) 6 c c4.
C: BAØI TAÄP
Baøi 1: Xaùc ñònh phöông trình Parabol:
a) y = ax2 + bx + 2 qua A(1 ; 0) và trục đối xứng x = 3 2 b) y = ax2 + bx + 3 qua A(-1 ; 9) và trục đối xứng x = - 2 c) y = ax2 + bx + c qua A(0 ; 5) và đỉnh I ( 3; - 4)
d) y = ax2 + bx + c qua A(2 ; -3) và đỉnh I ( 1; - 4)e) y = x2 + bx + c biết rằng qua diểm A(1 ; 0) và đỉnh I có tung độ đỉnh yI = - 1
Baøi 2:Cho haøm soá
2
2 3
y x
có đồ thị là parabol(P) Phải tịnh tiến (P) như thế nào để được đồ thị của hàm số
2 2 2
2 2 2
) 2 7 ) 2 5 ) 2( 3)
) 2( 4) ) 2( 2) 5 ) 2 6 1
a y x b y x c y x
d y x e y x f y x x
Bài 3:Không vẽ đồ thị, tìm tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng của mỗi parabol sau đây Tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của mỗi hàm số tương ứng a) y2(x3)2 5 b) y(2x1)24 c) y 2x24x
Bài 4: Vẽ đồ thị của hàm số yx25x6 Hãy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm chung của parabol yx25x6 và đường thẳng y=m
Bài 5: Một parabol có đỉnh là điểm I(-2,-2) và đi qua gốc tọa độ
a)Hãy cho biết phương trình trục đối xứng của parabol, biết rằng nó song song với trục tung
b) Tìm điểm đối xứng với gốc tọa độ qua trục đối xứng trong câu a) c) Tìm hàm số có đồ thị là parabol đã cho
(16)đường thẳng song song với trục hòanh, cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B thì trung điểm C của đọan thẳng AB thuộc trục đối xứng của parabol (P)
b) Một đường thẳng song song với trục hoành cắt đồ thị (P) của một hàm số bậc hai tại hai điểm M(-3,3) và N(1,3) Hãy cho biết phương trình trục đối xứng của parabol (P)
Baøi 7:Haøm soá baäc hai f(x) = ax2 + bx + c coù giaù trò nhoû nhaát baèng 3 4 khi
1 2
x
vaø nhaän giaù trò baèng 1 khi x=1
a)Xác định các hệ số a,b và c Khảo sát sự biến thiên ,vẽ đồ thị (P) của hàm số vừa nhận được
b) Xét đường thẳng y=mx, ký hiệu bởi (d) Khi (d) cắt (P) tại hai điểm A và B phân biệt, hãy xác định tọa độ trung điểm của đọan thẳng AB
BAØI TAÄP OÂN TAÄP CHÖÔNG II
1) Chứng minh rằng y= 0 là hàm số duy nhất xác định trên R và có đồ thị nhận trục hòanh làm trục đối xứng
2) Giả sử y=f(x) là hàm số xác định trên tập đối xứng S (nghĩa là x S thì -x S).Chứng minh rằng :
a/ Haøm soá F(x)= 1
2[f(x) + f(-x)] laø haøm soá chaün xaùc ñònh treân S. b/ Haømsoá G(x)=
1
2[f(x) - f(-x)}laø haøm soá leû xaùc ñònh treân S.
3) Gọi A vàB là hai điểm thuộc đồ thị của hàm số f(x)=(m-1)x +2 và có hòanh độ lần lượt là -1 và 3
a/ Xác định tọa độ của hai điểm A và B
b/ Với điều kiện nào của m thì điểm A nằm ở phía trên trục hòanh ? c/ Với điều kiện nào của m thì điểm B nằm ở phía trên trục hòanh ? d/ Với điều kiện nào của m thì hai điểm A và B cùng nằm ở phía trên trục hòanh? Từ đó hãy trả lời câu hỏi : Với điều kiện nào của m thì f(x) > 0 với mọi x thuộc đọan [-1,3] ?
4) Cho hàm số y = - 3x2 có đồ thị là parabol (P)
a/ Nếu tịnh tiến (P) sang phải 1 đơn vị rồi tịnh tiến parabolvừa nhận được xuống dưới 3 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào?
b/ Nếu tịnh tiến (P) sang trái 2 đơn vị rồi tịnh tiến parabol vừa nhận được lên trên 2 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào?
(17)hòanh độ là -1 và 5 Vẽ parabol (P) cùng các đường thẩng y=-2,5 và y=2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ
Chöông III : PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH
§1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Các phép biến đổi tương đương của phương trình:
Thực hiện các phép biến đổi trong từng vế nhưng không làm thay đổi tập xác định của
phöông trình
Duøng quy taéc chuyeån veá
Nhân hai vế của phương trình với cùng một biểu thức xác định và khác 0 với mọi giá trị
cuûa aån thuoäc taäp xaùc ñònhcuûa phöông trình
Bình phöông hai veá cuûa phöông trình coù hai veá luoân luoân cuøng daáu khi aån laáy moïi giaù trò
thuộc tập xác định của phương trình 2.Phép biến đổi cho phương trình hệ quả :
Bình phương hai vế của một phương trình ta đi đến phương trình hệ quả
B: BAØI TAÄP :
(18)a) x - = + 3 b) = x – 4 c) - = Baøi 2:.Tìm nghieäm nguyeân cuûa moãi phöông trình sau baèng caùch xeùt ñieàu kieän a) 4 x - 2 = x - x b) 3 x2 = 2 x + 2 2
Baøi 3:.Giaûi caùc phöông trình sau :
a) x + x = x - 1 b) x2 + 2 x = 2 x + 9
Bài 4:.Giải phương trình sau bằng cách phép biến đổi phương trình hệ quả a) 2x + 3 = 1 b) 2 – x = 2x - 1
c) 3x 2 = 1 -2x d) 5 2 x = x1
Baøi 5:.Tìm ñieàu kieän xaùc ñònh cuûa phöông trình hai aån roài suy ra taäp nghieäm cuûa noù
2 ( 1)2
x y
+ xy = (x+1)(y+1)
§2: PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT VAØ BAÄC HAI MOÄT AÅN A: TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
1.Giaûi vaø bieän luaän phöông trình daïng ax+b = 0 a ≠ 0: Phöông trình coù nghieäm duy nhaát x=
b a
a = 0 vaø b ≠ 0: Phöông trình voâ nghieäm
a = 0 và b=0: Phương trình nghiệm đúng với mọi xR 2.Giải và biện luận phương trình dạng ax2+bx+c = 0
a= 0 :Trở về giải và biện luận phương trình bx + c = 0 a ≠ 0 Lập = b2 4ac
Neáu > 0:phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät x = 2
b a
v x = 2
b a
Neáu = 0 : phöông trình coù nghieäm keùp : x = 2
b a
(19)B VÍ DUÏ :
Ví duï 1 Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : m(x - m ) = x + m - 2 (1) Giaûi :
phương trình (1) (m - 1)x = m2 + m - 2 Ta xét các trường hợp sau đây :
1)Khi (m-1) ≠ 0 m ≠ 1 neân phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát x =
2 2
1
m m
m
= m - 2
2)Khi (m – 1) = 0 m = 1 phương trình (1) trở thành 0x = 0: phương trình nghiệm đúng với mọi x R
Keát luaän : m ≠ 1 : Taäp nghieäm laø S = {m - 2} m = 1 : Taäp nghieäm laø S = R
Ví duï 2: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình theo tham soá m : (m + 1)x2 - (2m + 1)x + (m - 2) = 0
Giải : Với m = - 1 , phương trình có nghiệm x = 3 Với m ≠ - 1 Lập = 8m + 9
Do đó m < - 9
8 thì phöông trình voâ nghieäm m = -
9
8 phöông trình coù ngieäm keùp x = 5
Với m (-9
8 ; 1) (1; +), phöông trình coù hai nghieäm
x =
2 1 8 9
2( 1)
m m
m
; x =
2 1 8 9
2( 1)
m m
m
C: BAØI TAÄP :
Baøi 1: Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình sau :
a) (m2+2)x - 2m = x -3 b) m(x -m+3) = m(x -2) + 6 c) m2(x- 1) + m = x(3m -2) d) m2x = m(x + 1) -1 e) m2(x – 3) +10m = 9x + 3 f) m3x –m2 -4 = 4m(x – 1) g) (m+1)2x + 1 – m = (7m – 5)x h) a2x = a(x + b) – b i) (a + b)2x + 2a2 = 2a(a + b) + (a2 + b2)x
(20)b) Định m để phương trình (mx + 2)(x + 1) = (mx + m2)x có nghiệm duy nhất c)Định a ; b đề phương trình (1 – x)a + (2x + 1) b= x + 2 vô số nghiệm d) Định m để phương trình m2x = 9x +m2 -4m + 3 vô số nghiệm
xR
Baøi 3: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình theo tham soá m: a)mx2 + 2x + 1 = 0
b)2x2 -6x + 3m - 5 = 0
c)(m2 - 5m -36)x2 - 2(m + 4)x + 1 = 0
Bài 4: Cho a ; b ; c là 3 cạnh của Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm
a2x2 + (c2 – a2 –b2)x +b2 = 0 Baøi 5: Cho a ; b ; c 0 vaø 3 phöông trình ax2 +2bx + c = 0
bx2 +2cx + a = 0 cx2 +2ax + b = 0 CMR ít nhaát 1 trong 3 phöông trình coù nghieäm
Bài 6: Cho phương trình : x2 + 2x = a Bằng đồ thị , tìm các giá trị của a để phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 1 Khi đó , hãy tìm nghiệm lớn hơn 1 đó
Bài 7: Giả sử x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình : 2x2 - 11x + 13 = 0 Hãy tính :
a) x13 + x23 b) x14 + x24 c) x14 - x24 d)
2 1 2
x x
+
2 2 1
x x
Bài 8:Các hệ số a, b , c của phương trình trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0 phải thỏa điều kiện gì để phương trình đó
a)Voâ nghieäm b) Coù moät nghieäm c) Coù hai nghieäm d) Coù ba nghieäm e) Coù boán nghieäm
Baøi 9: Giaûi vaø bieän luaän:
a) (m-2)x2 -2(m-1)x +m – 3 = 0 b) (m-1)x2 -2mx +m +1 = 0
Bài 10: Cho phương trình : x2 -2(m-1)x +m2 – 3m = 0 a)Định m để phương trình có nghiệm x1 = 0 Tính nghiệm x2
(21)a) CMR: phương trình luôn có nghiệm x1 = 1 ; m Tính nghiệm x2 b) Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa 1 2
1 1 1
x x
c) Định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu có giá trị tuyệt đối bằng nhau
Bài 12: Giả sử phương trình ax2 +bx + c = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt x1 ; x2. a) CMR phương trình cx2 +bx + a = 0 cũng có 2 nghiệm dương phân biệt x3 ; x4 b) CMR x1 + x2 + x3 + x4 4
Bài 13: Cho phương trình (m +2)x2 -2(4m – 1)x -2m + 5=0 a) Định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó
b) Tìm hệ thức độc lập đối với m giữa các nghiệm suy ra nghiệm câu a Bài 14: Cho 2 số x1; x2 thỏa hệ
(x1+ x2) - 2 x1 x2 = 0
m x1x2 – (x1+ x2) = 2m + 1 (Với m 2) a) lập phương trình có 2 nghiệm x1; x2
b) Định m để phương trình có nghiệm
c) Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là 2 cạnh tam giác vuông có cạnh huyền = 2
Bài 15: Cho 2 phương trình x2 +b1x + c1 = 0 và x2 +b2x + c2 = 0 thỏa b1b2 2(c1 + c2 )Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 2 phương trình có nghiệm
Bài 16: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3m + 4 = 0 a) Định m để phương trình có 2 nghiệm thỏa x12 + x22 = 20 b) Định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó c) Tìm hệ thức độc lập giữa 2 nghiệm Suy ra giá trị nghiệm kép §3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1/ Phöông trình daïng: ax + b = cx + d Caùch 1:
ax b cx d pt
ax b (cx d)
Cách 2: ax + b = {cx + d{ (ax + b)2 = (cx + d)2 2/ Giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
(22) Quy đồng mẫu thức Giải và biện luận phương trình thu được
3/ Giaûi phöông trình baèng phöông phaùp ñaët aån soá phuï
Phương pháp:Biến đổi biểu thức có trong phương trình, đặt ẩn số phụ để chuyển phương trình đã cho về phương trình bâc hai
B- VÍ DUÏ
Ví du 1: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình
1 3 2
mx m x
Giaûi
Ñieàu kieän: x -2
Với điều kiện phương trình mx-m+1 = 3x + 6 (m-3)x = m+5 (1) Biện luận:
m 3 (1)
m 5
x 2
m 3
m + 5 -2m + 6 -2m + 6 m 1 3 m = 3 (1) 0x = 8 : Phöông trình voâ nghieäm
Kết luận: m = 3 hoặc m = 1
3 : Phöông trình voâ nghieäm m 3 vaø m
1
3 : Phöông trình coù nghieäm duy nhaát
5 3
m x
m
Ví duï 2 : Giaûi phöông trình 2x x 2 6x212x 7 0 (1) Giaûi: Ñaët t = 6x212x70 t2 = 6x2 - 12x + 7
2 2 7 t
2x x 6
Luùc naøy (1)
2
7 t t 0 6
-t2 + 6t + 7 = 0
2 2
t 7 6x 12 7 7
t 1 (loại) 2 7 0 1 2 2
x
x x x
C: BAØI TAÄP:
Baøi 1: Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình
a) mx - x + 1 = x + 2 b) mx + 2x - 1 = x c) mx - 1 = 5 d) 3x + m = 2x - 2m
(23)Bài 3: Giải và biện luận các phương trình (m, a và k là những tham số) a)
a 1
1
x 2 x 2a b)
mx m 3 1 x 1
c)
3x k x k
x 3 x 3
d)
x m x 1
+
x 2 x
= 2 e) xx −+m2 + xx −+m2 = 2 f )
1 x x m
+
2
x x m
= 2 2
2(x m) 2 m x
Baøi 4:Giaûi caùc phöông trình
a) x2 x 1 3 x b) x26x 9 2x 1
Baøi 5: Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình a) (mx 1) x 1 0 b)
2a 1 a 2 x 2
Baøi 6:Giaûi caùc phöông trình (baèng caùch ñaët aån phuï) a) 4x2 - 12x - 5 4x212x 11 0 b) x2 + 4x - 3
x + 2 + 4 = 0 c) 4x2 + 2
1 2x 1 6 0
x
x d) x2 – x + x2 x 9 =3 e) x2 + 2 x2 3x 11 =3x + 4 f) x2 +3 x - 10 + 3 x(x 3) = 0 Câu 7: Định tham số để phương trình
a) 1
x m x
=
1 1
x x
coù nghieäm duy nhaát)
2
x x m
+
1
x x
= 2 voâ nghieäm
§4:HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN A TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
I) Ñònh nghóa: Heä phöông trình baäc nhaát hai aån laø heä coù daïng:
ax + by = c
a'x + b'y = c' Với a2 + b2
0, a’2 + b’2 0
Tính:
a b
D ab' - a'b
a' b'
; x
c b
D cb' - c'b
c' b'
; y
a c
D ac' - a'c
a' c'
(24) D 0 : Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với
y
D y
D
D = 0 vaø x y
D 0
D 0
: Heä voâ nghieäm
D = Dx = Dy = 0 : Hệ có vô số nghiệm (x; y) tính theo công thức
by c x
a y R
(a 0) hoặc
x R ax c y
b
(neáu b 0)
II ) Phöông phaùp giaû heä phöông trìnhbaäc nhaát ba aån :
Daïng
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d
Choïn moät phöông trình, bieåu dieãn moät aån theo hai aån coøn laïi
Thế ẩn đó vao hai phương trình còn lại ta được hệ hai phương trình bậc nhất
hai ẩn Giải hệ này tìm giá trị hai ẩn từ đó tìm đươc giá trị ẩn còn lại
B CAÙC VÍ DUÏ :
Ví duï1: Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình sau: x my 0
mx y m 1
Giaûi Ta coù
2
1 m
D 1 m (m 1)(m 1)
m 1
x
0 1
D (m 1)
m 1 m
y
1 0
D m 1
m m 1
Bieän luaän:
1) D 0 m2 - 1 0 m 1
x
D (m 1) 1
x
D (m 1)(m 1) m 1
y
D m 1 1
y
D (m 1)(m 1) m 1
Heä 1 nghieäm duy nhaát :
1 ; 1
1 1
m m
2) D = 0 m = -1 V m = 1
(25) m = -1 D = Dx = Dy = 0 và hệ trở thành
x y 0 x R
x y 0
x y 0 y x
Keát luaän: m 1 : Heä coù nghieäm duy nhaát
1 ; 1
1 1
m m
m = 1 : Heä voâ nghieäm
m = -1 : Heä coù voâ soá nghieäm (x, y) coù daïng
x R y 2 x
Ví dụ2: Định m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm 4x my 1 m
(m 6)x 2y 3 m
Giaûi:
4 m
D
m 6 2
= -m2 - 6m - 8 = 0
m = -2 vaø m = -4
X
1 m m D
3 m 2
= -m2 - m + 2 = 0
m =1 vaø m = 2
y
4 m 1
D
m 6 3 m
= =m2 - 11m - 18 = 0
m = -2 vaø m = 9 Heä phöông trình coù voâ soá nghieäm D = Dx = Dy =0 m = -2 Ví duï 3: Giaûi heä phöông trình sau
2x y 28 (1) 3y 2z 26 (2) z x 4 (3)
(3) z = 4 + x Theá vaøo (2) 3y + 2z = 3y + 2(x + 4) = 26 2x + 3y = 18 (4)
(1) (4)
33
2x y 28 x
2
2x 3y 18 y -5
(3) z = x + 4 =
33 41
4
2 2 Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình (x; y; z) =
33 41
; 5;
2 2
C BAØI TAÄP:
Bài 1: Bằng định thức giải các hệ phương trình
a)
5x 4y 3 7x 9y 8
b)
3x 2y 1
2 2x 3y 0
(26)a)
x my 1 mx 3my 2m 3
b)
mx y 4m 2x (m 1)y m
c)
(a 2)x (a 4)y 2 (a 1)x (3a 2)y 1
d)
mx y m 1 x my 2
Baøi 3: Tìm m, a, b sao cho heä phöông trình sau coù voâ soá nghieäm a)
mx y 2m x my 1-m
b)
4x my 1 m (m 6)x 2y 3 m
c)
ax by a bx ay b
d)
(a 1)x by a bx (1 a)y b
Baøi 4: Tìm m, a, b sau cho heä phöông trình sau voâ nghieäm
a)
ax y 2 6x by 4
b)
x my 1 mx 3my 2m 3
c)
m 1 2mx y 1 m m 1 x y
Baøi 5: Cho heä phöông trình :
4 2
mx y m
x my m
a) Giaûi vaø bieän luaän
b) Định m Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên
Baøi 6: Cho heä
2 2
(m+1) x - 2y = m - 1 m x - y = m + 2m a) Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên
Bài 7 : Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nguyên
2 2
(m 1)x 2y m 1
m x y m 2m
Baøi 8:: Cho heä 2x y 3m 3
x +2y = 4 -m
a) Giaûi heä phöông trình
(27)Baøi 9 : Cho heä 2y x 10m 5
2x +y = 5
Với giá trị nào của m thì tích 2 nghiệm x.y đạt giá trị lớn nhất
a) m = 2 b) m = 8 c) m = -1
8 d) Keát quaû khaùc Baøi 10: Giaûi
a)
28 3 3 100
4 5z 107
x y z
5x y z
2x y b)
2 2
5 5
4z 8
x-3y z -2x y z
3x-7y c)
2 2 8
z 5
-x+5y z 2x-9y z
(28)A TÓM TẮT LÝ THUYẾT : .CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP
Daïng 1 : 2 2
ax by c (1) Ax By Cxy Dx Ey F 0 (2)
Phöông phaùp: - Tính x theo y (y theo x)
- Thế vào (2) để được phương trình bậc 2) theo 1 ẩn duy nhất
Dạng 2: Hệ đối xứng hai ẩn loại 1 Là hệ có tính chất: Khi thay x bởi y thì mỗi phương trình trong hệ không thay đổi
Phöông phaùp: Ñaët x + y = S, xy = P
Ñöa heä phöông trình veà heä 2 aån S, P x, y laø nghieäm X2 - SX + P = 0
Chuù yù : ñieàu kieän heä coù nghieäm: S2 - 4P
0
Dạng 3: Hệ đối xứng hai ẩn loại 2 Là hệ phương trình có tính chất khi thay x bởi y thì phương trình này trong hệ sẽ biến thành phương trình kia
Phương pháp: - Trừ hai vế của phương trình - Dùng phương pháp thế để giải hệ
B: CAÙC VÍ DUÏ :
Ví duï 1 :Giaûi heä phöông trình
2 2
x 2y 5 (1) x 2y 2xy 5(2)
Giaûi (1) x = 5 - 2y
(I) 2 2 2
x 5 2y x 5-2y
(5 2y) 2y 2(5 2y)y 5 10y 30y 10 0
x 5 2y x 3 x 1
V
y 1 vaø y 2 y 1 y 2
Vaäy nghieäm heä phöông trình (3, 1); (1, 2)
Ví duï 2: Giaûi heä phöông trình:
2 2
x xy y 4
xy x y 2
(29)Giaûi:
Ñaët S = x + y, P = xy
Heä phöông trình
2 2 2
S 2P P 4 S P 4 S S 6 0
S P 2 S P 2 P 2 S
S 3 V S 2 S -3 S 2
V
P s S P 5 P 0
TH1: S 3 P 5
x, y laø nghieäm phöông trình: X2 + 3X + 5 = 0 = 9 - 20 < 0 : Voâ nghieäm
TH2: S 2 P 0
x, y laø phöông trình X2 - 2X = 0
X 0 X 2
Nghieäm heä phöông trình (0, 2) hay (2, 0)
Ví duï 3:Giaûi heä phöông trình
2 2
x 2x y y 2y x I
Giaûi (I) 2 2 2
x y 2(x y) (x y) x 2x y
2
(x y)(x y 1) 0 x 2x y
2
x y 0 ( ) x 2x y II
V 2
x y 1 0 ( ) x 2x y III
* (II) 2
x y x 3x 0
x 0 y 0 V x 3 y 3
* (III) 2
y 1 x x 2x 1 x
2
x x 1 0
y 1 x
1 5 x 2 y 1 x
1 5 x 2
1 5 1 5
(30)Keát luaän heä phöông trình coù 4 nghieäm (0, 0) (3, 3) , 2 2 , 2 2
C BAØI TAÄP :
Baøi 1: Giaûi caùc heä phöông trình
a) 2 2 x y 2
x y 164
b) 2 2
x 5xy y 7
2x y 1
c) 2 2
2x y 7 0
y x 2x 2y 4 0
d) 2
4x 9y 6 3x 6xy x 3y 0
Baøi 2: Giaûi caùc heä phöông trình
a) 2 2
11 30
x y xy
y y x
x b) 30 35
x y y x
x x y y
c) 2
2 4 28 xy y x d) 2 2 7 2 5 2
x y xy
y y x
x
e) 2
2 2
4
x y xy xy y x
f) 2 2
3 1
x y xy xy y x
g) 2 2 3
6
xy x y
x y xy y x
h) 2 2
2 164 x y y x
i) 2 2
1 1 2
4
x x y y y
x y y x ( ) ( )
j) 3 3 1 61 x y y x
k) 3 3
2 2
xy x y y x ( ) l) 5 13 6 x y x y y x
m) 2 2 6 2 2 x y xy y x
( ) n) 2 2
5 6
x y xy
y y x
x
o) 2 2
1 1 18
65 x y y x ( )( ) p) 2 2 2 2 13 3 3 3 1 xy y x xy y x
q)
2 2 2 2
7 3
x y xy
x y xy
r) 2 2 2
2( ) 1
0
x y xy
x y xy
Baøi 3: Giaûi caùc heä phöông trình
a) 2 2
2x +xy= 3x
2y + xy= 3y b)
2 2 x -2x=y y -2y=x c)
2 2 2 2
(31)d)
2 2
x = 3x+2y
y =3y+2y e)
2 2
x xy y 7
x xy y 5
f) 2 2
3( ) 160
x y xy
x y
Baøi 4: Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình
x y 4 xy m
Baøi 5: Cho heä phöông trình 2 2 4
x y m y x
a) Giaûi heä khi m =10 b) Giaûi vaø bieän luaän Baøi 6: Cho heä
x y xy m 1 (x y)xy m
a) Giải hệ khi m =2 b) Định m để hệ có nghiệm
Baøi 7: Cho heä phöông trình 2 2
2 1
2
x y m xy y
x m
a) Giải hệ khi m = 5 b) Định m để hệ có nghiệm
Baøi 8: Cho heä phöông trình 2 2
x y xy m m y x
a) Giaûi heä khi m =5 b) Giaûi vaø bieän luaän
Baøi 9: Cho heä phöông trình
2 2 2
4 2 1
x y
m y
x
( )
( )
* Giaûi heä khi m =10 * Giaûi vaø bieän luaän
Bài 10 : Định m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
2 3 2 2 3 2
x y 4y my
y x 4x mx
(32)§ 1 +2 CÁC ĐỊNH NGHĨA - TỔNG VÀ HIỆU HAI VÉCTƠ BÀI TẬP
PHÂN TÍCH MỘT VECTO THÀNH HAI VECTO KHÔNG CÙNG PHƯƠNG
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
PP: Sử dụng định lý mọi vectơ đều phân tích được thành 2 vectơ không cùng phương
Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành
II GIẢI BÀI TẬP
Bài 1 (B2-SGK) Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC.Hãy phân tích các vectơ AB, BC, AC theo 2 vectơ u AK v; BM
Bài 2 (B3-SGK) Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC, lấy một điểm M sao cho vectơ MB = 3 MC Hãy biểu diễn vectơ AM theo hai vectơ
;
u AB v BC
(33)Bài 3 Cho tứ giác ABCD, trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao
cho: AM k AB DN; k DC k, 1
Hãy phân tích vectơ MN theo hai vectơ ;
x AD y BC
Bài 4 Cho ΔABC Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của
BC, N là điểm thuộc AC sao cho CN2NA
K là trung điểm của MN Chứng minh: a)
1 1
4 6
AK AB AC
b) 1 1 4 3
KD AB AC
Bài 5 Cho hình bình hành ABCD, đặt
,
AB a AD b
Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI Phân tích các vectơ BI AG,
theo véctơ a b, Bài 6 Cho lục giác đều ABCDEF Phân tích các vectơ BC
và BD theo các véctơ , AF AB
Bài 7 Cho hình bình hành ABCD, M là một điểm trên cạnh BC sao cho MB = 3MC
a) Chứng minh:
1 3
4 4
AM AB AC
b Gọi N là điểm trên cạnh CD thỏa ND = 2 CN Tính các vectơ AN MN, theo , AC AB
III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1 Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC Hãy phân tích vectơ AM theo các vectơ OA OB OC, ,
Bài 2 Cho Δ ABC Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
a Chứng minh: AA1BB1CC10
b Đặt BB1u CC, 1v
Tính BC CA AB, ,
theo u v,
Bài 3 Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O a Biễu diễn OA
theo hai véctơ AB AD,
b Biễu diễn BD
theo hai véctơ AB AC,
(34)
đẳng thức AB k AC với k ≠ 0.
Để chứng minh hai điểm M, N trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức OM ON
, với O là một điểm nào đó hoặc MM O.
II PP GIẢI BÀI TẬP
Bài 1 Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : OA 2OB 3OC0 Chứng tỏ rằng A,
B, C thẳng hàng
Bài 2 Cho tam giác ABC, gọi G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC CMR 3 điểm G, H, O thẳng hàng
Bài 3 Cho hình bình hành ABCD TrênBC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho:
1 1
;
5 6
BH BC BK BD
Chứng minh: A, K, H thẳng hàng
Bài 4 Cho DABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: 1
2 ; ;
2
IB IC JC JA KAKB
a) TínhIJ ,IK
theo AB AC,
b) Chứng minh I , J , K thẳng hàng
Bài 5 Cho hình bình hành ABCD Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao
1AF, 1
2 2
AD AB AE
cho Chứng minh: a Ba điểm F, C, E thẳng hàng
b Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành
Bài 6 Cho ΔABC Hai điểm I, J được xác định bởi: IA3IC0,JA2JB3JC0
Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng Bài 7 Cho tam giác ABC Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức
2 ,
BM BC AB CN x AC BC
Xác định x để A, M, N thẳng hàng
Bài 8 Cho DABC Gọi A’, B’, C’ là các điểm định bởi: 2 'A B3 'A C 0 , 2 ' C A 3 'C B 0 , 2 'B C3 'B A0 Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm
III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1 Cho tam giác ABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho 3MA4MB0,NB3NC PC, 4PA
a) Tính PM PN,
theo AB, AC
b) Chứng minh M,N,P thẳng hàng Bài2 Cho Δ ABC Hai điểm M, N được xác định bởi:
2 2 0
MB MCNA NCPA PB
Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của Δ ABC
(35)a) Tính PM PN,
theo AB, AC
b) Chứng minh M,N,P thẳng hàng
TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC Dạng 1: Tìm độ dài đại số véctơ trên trục
Bài 1 : Trên trục tọa độ (O ; i
) cho 3 điểm A ; B ; C có tọa độ lần lượt là –2 ; 1 và 4
a) Tính tọa độ các vec tơ : AB; BC CA;
b) Chứng minh B là trung điểm của AC GIẢI:
a) AB 1 2 3 BC3 CA6
b) BA3BCBABC
Vậy B là trung điểm của AC Tổng quát :
Cho A ; B trên trục ( O ; i
) có tọa độ là a và b M là trung điểm của ABa+b = 2m (m là tọa độ của M)
Dạng 2 Chứng minh một hệ thức liên quan đến độ dài đại số của các véctơ trên trục
Thí dụ :
Hàng đi m đi u hòa : Trên tr c t a đ (O ; ể ề ụ ọ ộ i ) cho 4 điểm A ; B ; C ; D có
tọa độ lần lượt là a ; b ;c ; d (ABCD) là một hàng điểm đều hòa
DA CA
DB CB
a) (a b c d )( ) 2( ab cd )
b) I A2 IB2IC ID Với I là trung điểm AB
c)
2 1 1
(36)) ( )( ) ( )( )
2( ) 2( ) ( ) ( )
2( ) ( )( )(1)
a a d b c b d c a
b d b c
DB CB
ab ac bd cd bc ab cd ad
ab cd ac bc ad bd ab cd c a b d a b
ab cd a b c d
b) Chọn trung điểm I của AB làm gốc tọa độ , ta có:a = - b
2
2 2 2
-a
(1) 2(ab cd) 0 ab -cd cd IA IB IC ID
b cd
c) Chọn A làm gốc tọa độ ta có : a = 0
2 1 1 2 1 1
(1) 2cd bc bd
b c d hay AB AC AD
BÀI TẬP:
1.Trên trục tọa độ (O; i
) Cho 2 điểm A và B có tọa độ lần lượt a và b a)Tìm tọa độ điểm M sao cho MA k MB k ( 1)
ĐS: xM = 1
kb a k
b)Tìm t a đ trung đi m I c a AB S:ọ ộ ể ủ Đ I 2
a b
x
c)Tìm t a đ đi m N sao cho ọ ộ ể 2NA5NB
ĐS:
5 2 7 N
b a
x
2.Trên trục (O ; i
) cho 3 điểm A ; B ; C có tọa độ lần lượt là a ; b ;c Tìm điểm I sao cho :
0
IA IB IC
ĐS: I 3
a b c
x
3.Trên trục tọa độ cho 4 điểm A ; B ;C ;D bất kỳ a.Chứng minh
0
AB CD AC DB AD BC
b.Gọi I,J ,K ,L lần lượt là trung điểm của AC ; BD;AB và CD Chứng minh IJ và KL có chung trung điểm
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ I.Lý thuyết :
1.Tọa độ điểm – Tọa độ vec tơ
1; 2 : 1 2 1; 2
; : ( ; )
a mpOxy a a R a a i a j a a a
M mpOxy x y R OM xi y j M x y
(37)
Trong mp Oxy cho các vec tơ a ( ; ) ;a a1 2 b ( ; )b b1 2 ta có: 1 1 2 2 a b a b a b
a b (a1b a1; 2b2)
a b (a1b a1; 2 b2)
1 2
( ; )
k a ka ka
, a b,
cùng phương k a, kb
3.Tọa độ một số điểm đặt biệt :
Trong mpOxy cho 3 điểm A(x1;y1) , B(x2;y2) và C(x3;y3) Tọa độ vecto ABx2 x y1; 2 y1
Tọa độ M là trung điểm của AB
1 2; 1 2
2 2
x x y y
M
T a đ tr ng tâm G c a tam giác ABC ọ ộ ọ ủ
123123 ; 33 xxxyyy G II.BÀI TẬP:
Dạng 1 Chứng minh 2 vecto u ( ; ) ;a a1 2 v ( ; )b b1 2
cùng phương Phương Pháp:
Gi s 2 vecto cùng ph ng =>ả ử ươ
1 1 2 2 a kb u kv a kb
Nếu hệ trên có nghiệm thì 2 vecto đó cùng phương ; Nếu hệ trên vô nghiệm thì 2 véctơ đó không cùng phương
Chú ý :N u bế 1; b20 thì u v;
cùng phương 1 2 1 2 a b a b
Thí dụ 1 :
Cho 2 véctơ u ( 1;3);v (2; 6)
Xét tính cùng phương của 2 vecto trên Giải :
Giả sử u , v cùng phương 1
1 2 2 1
3 6 1 2
2
p p
u p p
p p Hệ có nghiệm ; vậy u v;
cùng phương
Thí dụ 2:
Trong mpOxy cho 3 điểm A(–1; –2) B(3 ; 2) và C(4 ; –1) , Chứng minh ABC là một tam giác
GIẢI
4 4
( 4; 4), (5;1), ;
5 1
AB AC AB AC
(38)Thí dụ 3:
Cho
2 2 ;4 , ( ; 2)
u m m vm
Định m để 2 vecto đó cùng phương GIẢI :
Xét m = 0 =>
0 2
( 2; 4) ; (0; 2) ;
2 4
u v u v
không cùng phương Xét m 0 ≠ u ;v
cùng phương
2
2 2
m 2 4 2 2 2 0
2
m m m m m m
m
mm21 BÀI TẬP:
1.Trong mpOxy cho 4 điểm A (1 ;–2) B(0 ; 3) C(–3; 4) D(–1 ; 8) Bộ ba trong 4 điểm trên bộ nào thẳng hàng ĐS: A ; B ;D
2.Trong mpOxy cho 3 điểm A(1 ;–2) B(3 ; –1) C(–3 ; 5) a.Chứng minh ABC là một tam giác
b.Tìm tọa độ trọng tâm của tam gia1cABC c)Gọi I(0 ; 2) Chứng minh A ; G; M thẳng hàng d) Gọi D(-5;4) Chứng minh ABCD là hình bình hành
Dạng 2:Tìm tọa độ của vecto:
PP.Áp dụng các phép toán của véctơ : Thí dụ :
Cho 3 véctơ :
3; 2 1;5 2; 5
a b c
Tìm tọa độ của véctơ u 2a b 4c , v a2b5c
GIẢI
2 (6;4) ( 1;5) 4 (8;20) (13;29)
( 3; 2) 2 ( 2;10) 5 ( 10; 25) ( 15; 17)
a b c u
a b c v
Bài tập
1.Cho các vecto
2; 0 1;1 4;6
2
a b c
Tìm tọa độ véctơ
2 4 5
u a b c
ĐS: u (28; 32)
2.Cho tam giác ABC , G là trọng tâm của tam giác Tính tọa độ véctơ
3 2 4
u GA GC GB
ĐS: (1 ; -14)
Dạng 3: Phân tích véctơ c ( ; )c c1 2
theo a (a ;a ) , b (b ;b ) 1 2 1 2
(39)Phương pháp: Giả sử
1 1 1 2 2 2
c xa y b xa yb c
xa yb c
giải hệ tìm x,y Thí dụ :
Cho a 3; 2 , b 1;5 , c 2; 5
a) Chứng minha b;
không cùng phương b) Phân tích
c theo vecto a vaø b2
Giải 3 2
) ;
-1 5
a a b
không cùng phương b) Giả sử: c xay b
15
3 2 17 15 11
2 5 5 11 17 17
17 x x y
c a b
x y y BÀI TẬP
1) Choa 1; 2 , b 3;1 , c 4; 2 Phântích vecto a theo b ,c
ĐS 3 7 : 5 10
a b c
2.Cho
5; 2 , 4;1 , 2; 7
a b c
a) Chứng minh a b;
khoâng cuøng phöông b) Phaân tích vecto c theo 2 vecto a b;
ĐS:c 2a 3b
Dạng 4: Tìm tọa độ đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD khi biết A(x1;y1); B (x2y2 ) ;C(x3;y3)
Thí duï :
Cho tam giác ABC với A(1; –2) B(3 ;–1) C(–3 ; 5) Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
GIAÛI :
(40)3 2
( 5; 4) 1 3
x
D y
Baøi taäp:
1.Cho 3 ñieåm A(2;1) B(2;–1) C(–2 ;–3)
a.Chứng minh A,B,C không thẳng hàng Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành ĐS: D(–2;–1) 2.Cho tam giác ABC với A(–1;–2) B(3;2) C(4 ; -1)
a.Tìm trung ñieåm I cuûa AC
b.Tìm D sao cho ABCD laø hình bình haønh
ÑS: I 3 3
; (0; 5)
2 2 D
3.Trong mpOxy cho 3 điểm M(-4 ; 1) N(2;4) P(2 ; –2) lần lượt là trung điểm của 3 cạnh BC ; CA và AB của tam giác ABC
a.Tìm A ; B ;C ÑS: A(8;1) B(-4;-5) C(-4;7)
b.Chứng minh 2 tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm 4.Cho tam giác ABC với A(–3;6) B(9;–10) C(-5;4) a.Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ĐS: b.Tìm D sao cho BGCD là hình bình hành
Dạng 5: Tìm giao điểm của 2 đoạn thẳng AB và CD với A(x1;y1); B(x1;y2);
C(x3;y3) ; D(x4;y4) Caùch giaûi:
Gọi I (x;y) là giao điểm của đường thẳng AB và CD ; c ng phuong
; cung phuong
AI AB u CI CD
Giaûi tìm I(x;y)
I là giao điểm của đoạn AB và CD
; ;
IA IB nguoc huong IC ID nguoc huong
Thí duï 1:
Trong mpOxy cho 4 điểm A(0 ; 1) B(1; 3) C(2 ;7 ) và D(0;3) Tìm giao điểm của 2 đoạn thẳng AC và BD
GIAÛI:
; (1)
; cung phuong (2)
AI AC cung phuong
I AC BD
BI BD
1
( ; 1) ; (2;6) (1) 6 2 2
2 6
x y
AI x y AC x y
(41)( 1; 3) ( 1;0) (2) 3
BIx y BD y
2 2 2 4
;3 ; 2) ; 4 2
3 3 3 3
x I IA IC IA I AC
1;0 2;0) 2 1;0 2 BD
3 3 3
IB ID IB I
Vaäy 2 I ;3
3
laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD
Baøi taäp :
1 Trong mpOxy cho 4 điểm A(0 ; 1) B(1; 3) C(2 ;7 ) và D(0;3).Tìm giao điểm của hai đoạn thẳng ADvà BC (ĐS: Đoạn AD không cắt BC)
2 Trong mpOxy cho 4 điểm A(0 ; 1) B(-1; -2) C(1 ;5 ) và D(-1;-1). a.Tìm giao điểm của 2 đoạn thẳng AC và BD
b, Tìm giao ñieåm cuûa BD vaø AC
3.Cho 4 điểm A(-2 ; -3) B(3;7) C(0;3) và D(-4 ; -5) a.Chứng minh AB //CD
b Tìm giao ñieåm I cuûa AD vaø BC ÑS (-12;-13)
Dạng 6 Tìm tọa độ điểm trong mặt phẳng
Thí dụ : Cho hình bình hành ABCD có AD = 4 và chiều cao ứng với cạnh AD = 3, BAD=600 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Tìm tọa độ các vecto
; ; ;
AB BC CD AC
(42)H
A D x
B C
Keû BH AD =>BH=3 ;AB=2 √3 ; AH = √3
(0;0) ; ( 3;3) (4 3;3) (4;0)
3;3 (4;0) 3; 3
4 3;3
A B C D
AB BC CD
AC
Baøi taäp:
1.Cho tam giác đều ABC có cạnh là a Chọn hệ trục tọa độ Oxy như sau: O là trung điểm BC , trục hoành cùng hướng với tia OC , trục tung cùng hướng với tia OA
a.Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC b.Tìm tọa độ trung điểm I của AC
c.Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
C¸c c«ng thøc c¬ b¶n :
a) sin2x + cos2x = 1 b) tgx.cotgx = 1
c) tgx =
sin cos
x
x d) cotgx =
cos sin
(43)e) 2
1
cos x = 1 + tg2x f) 2
1
sin x = 1 + cotg2x Bài 1: Rút gọn hay đơn giản các biểu thức :
a) cos2x + cos2x.tg2x b) sin2x.cotg2x + sin2x
c)
2 2
sin a(1 cot ga) cos a(1tga)
d) 2 2sin 1 sin cos a a a e)
2 2 2 2
cos a(1tg a) sin a(1 cot g a)
f) 2 2cos 1 sin cos a a a g) 2 2 2 1 sin 2 1 sin a tg a a
Bµi 2: Rót gän biÓu thøc :
A =
1 sin 1 sin 1 sin 1 sin
a a
a a
víi 0 < a < 900
B =
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
a a
a a
víi 900 < a < 1800
C =
cos 2
a 1 1
1 cos a1 cos a víi 00 < a < 900
D =
2 1 1
cosa 1 sin a1 sin a víi 00 < a < 900
Bài 3: Chứng minh các đẳng thức sau :
a)
2
2 2
1 sin 2 1
1 sin
a tg a
a
b)
cos 1
1 sin cos
a tga
a a
c)
sin 1 cos 2
1 cos sin sin
a a
a a a
d) 2 2 cot 1 1 cot 1
tga g a
ga tg a e) 2 2 2
1 cos 1 2cot 1 cos
a g a
a
f)
sin cot 1
1 cos sin
a ga
a a
g)
2 2
cot 1 1
cot
g a tg a
ga tga h) 2 2 cot
1 cot 1
n n
tga ga
tg a g a
i) 1 sin cot sin 1 cos
a
ga
a a j)
cos 1 sin 2
1 sin cos cos
a a
a a a
k) 2 2
sin sin cos
sin cos
sin cos 1
a a a
a a
a a tg a
l) sin4a + cos4a = 1 – 2sin2a.cos2a m) sin6a + cos6a = 1 – 3.sin2a.cos2a
(44)a) sinx = 5 , 900 < a < 1800 b) tgx = 3 , 00 < a < 900
c) cotg15O = 2+
√3 d) tgx = √2 -1
Bµi 5: Cho tgx = 3 TÝnh sè trÞ cña c¸c biÓu thøc sau :
A = sin 3cos sin 2cos x x x x
B =
2 2 4 cos 3 sin x x B = 2 2 2
sin 6sin cos 2cos sin 2sin cos
x x x x
x x x
C =
2 2
2cot 1 cot cot
tgx g x
gx g x
E = 2 sin cos 1 cos x x x
F = sin4x + cos4x
G = sin6x – cos6x H = sinx.cosx –cos2x
Bµi 6: Cho sina + cosa = √2 TÝnh sè trÞ c¸c biÓu thøc :
P = sina.cosa Q = sin4a + cos4a R = sin3a + cos3a
S = sin5a + cos5a T = tg2a + cotg2a U = cotg3a + tg3a
Bµi 7: Cho tga + cotga = 3 TÝnh
A = tga – cotga B = tg2a – cotg2a C = tg2a + cotg2a
D = tg4a + cotg4a E = tg3a + cotg3a F = 1
sina cosa
Bµi 8: Chøng minh :
a)
2
cos 1 cot cos
tga a ga a = 2 2 2 2 cos 1 cot cos
tg a a
g a a
b)
cos 1 cot cos
n tga a ga a = cos 1 cot cos
n n
n n
tg a a
g a a
n Z+
c) sin2a.tga + cos2a.cotga + 2sina.cosa = tga + cotga
d) tga.tgb =cot cot tga tgb
ga gb
e)
2 2 2 2
2 2 2 2
sin sin
sin sin
tg a tg b a b
tg a tg b a b
f) cotg2a.cotg2b
2 2 2 2
cos sin sin sin
s a b
a b
= 1 g)
2 2
1 1 sin 1 sin 4 1 sin 1 sin
a a tg a a b h) 2
2 2 2 2
2 2
sin sin ( )
cot cot sin sin
a b tg a tg b tga tgb
ga gb a b
Bµi 9: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x
A = 2(cos6x + sin6x) – 3(cos4x + sin4x) B = 2 2 2
sin cos
tg x
x x
(45)C =
2 2
sin cos
1 cot 1
x x
gx tgx
+ sinx.cosx D =
2 2 2
cot cos sin cos cot cot
g x x x x
gx g x
E = 3(sin8x – cos8x) + 4(cos6x - 2sin6x) + 6sin4x
F = 2(sin4x + cos4x + sin2x.cos2x)2 – sin8x – cos8x
Bài 10: Tìm tất cả các giá trị tham số m để biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x
P = cos6x + sin6x + ( m -1)sin2x.cos2x
Q = m(sin4x + cos4x) + 4(m + 1)sin2x.cos2x + sin6x + cos6x
R =
8 8 4 4
(sin cos ) cos sin 4
m x x x x
S = m(sin8x – cos8x) + 4(2sin6x – cos6x) – nsin4x TÍCH VÔ HƯỚNG 1.Cho hai vectơ a
vàb
Chứng minh rằng :
a.b =
2 2 2
a b a b
=
2 2
2
a b a b
=
2 2
a b a b
2.Cho hai vectơ a
,b
có a
= 5 , b
= 12 vàa b
= 13.Tính tích vô hướng
a a b
và suy ra góc giữa hai vectơ a
và a b
3.Cho tam giác đều ABC cạnh a Gọi H là trung điểm BC,tính a)AH BC
b) AB AC
c) AC CB
4.Cho hình vuông ABCD tâm O,cạnh a.Tính: a) AB AC
b) OA AC
c) AC CB
5 Tam giác ABC có AC = 9 ,BC = 5 ,C = 90o ,tính AB AC
6 Tam giác ABC có AB = 5 ,AC = 4 ,A = 120o a)tính AB BC
b) Gọi M là trung điểm AC tính AC MA
7 Tam giác ABC có AB = 5 ,BC = 7 ,CA = 8 a)Tính AB AC
.1 rồi suy ra giá trị góc A b)TínhCA CB
c)Gọi D là điểm trên cạnh CA sao cho CD = CA Tính CD CB
8.Cho hai vectơ a
vàb
thỏa mãn |a
| = 3 , |b
| = 5 và (a
,b
) = 120o Với giá trị nào của m thì hai vectơ a
+ mb
và a
– mb
vuông góc nhau
9 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(– 3;1) ,C(3;– 1) a)Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
b)Kẻ đường cao AH Tìm tọa độ chân đường cao H
10.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A,B,C,D với A(– 1;1) ,B(0;2) ,C(3;1) và D(0;– 2) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD là hình thang cân
(46)b)Tính góc B của tam giác ABC
12.Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A,B với A(5;4) ,B(3;– 2).Một điểm M thay đổi trên trục hoành.Tìm giá trị nhỏ nhất của
13.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;– 3) ,D(– 1;6) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn