PhÇn II: H×nh häc.. Chøng minh tø gi¸c AECF néi tiÕp.. Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AD. VÏ EF vu«ng gãc AD. Gäi M lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn cung nhá AB lÊy mét ®iÓm[r]
(1)Môc lôc
Môc lôc
Phần I: đại số
Chủ đề 1: Căn thức Biến đổi thức 2
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa 2
Dạng 2: Biến đổi đơn giản cn thc 2
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán 4
Ch đề 2: Phơng trình bậc hai định lí Viét 6
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai 6
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiƯm 6
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm phơng trình bậc hai cho trớc 7
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghiệm 9
Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mãn điều kiện cho trớc 10
D¹ng 6: So sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số 11
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số 11
Dạng 8: Mối quan hệ nghiệm hai phơng trình bậc hai 12
Chủ đề 3: Hệ phơng trình 14
HƯ hai phơng trình bậc hai ẩn: 15
Dng 1: Giải hệ phơng trình đa đợc dạng 15
Dạng 2: Giải hệ phơng pháp đặt ẩn phụ 15
Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc 15
Một số hệ bậc hai đơn giản: 17
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I 17
Dạng 2: Hệ đối xứng loại II 17
Dạng 3: Hệ bậc hai giải phơng pháp cộng đại số 18
Chủ đề 4: Hàm số đồ thị 18
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số 18
Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng 18
Dạng 3: Vị trí tơng đối đờng thẳng parabol 19
Chủ đề 5: Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình 20
Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, đờng sơng có tính n dũng nc chy) 20
Dạng 2: Toán làm chung riêng (toán vòi nớc) 21
Dng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm 21
Dạng 4: Toán có nội dung hình học 21
Dạng 5: Toán tìm số 22
Ch đề 6: Phơng trình quy phơng trình bậc hai 23
Dạng 1: Phơng trình có ẩn số mẫu 23
Dạng 2: Phơng trình chứa thức 23
Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyt i 23
Dạng 4: Phơng trình trùng phơng 23
Dạng 5: Phơng trình bậc cao 23
Phần II: Hình học 25
Ch 1: Nhn biết hình, tìm điều kiện hình 26
Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm nằm đờng tròn 27
Chủ đề 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đờng thẳng đồng quy 30
Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định 31
Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng chứng minh đẳng thức hình học 32
Chủ đề 6: Các tốn tính số đo góc số đo diện tích 33
Chủ đề 7: Tốn quỹ tích 34
(2)Phần I: đại số
Chủ đề 1: Căn thức
–
Biến đổi thức.
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa.Bài 1: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ biểu thức sau).
¿
1√3x−1 8¿
√
x2+3¿2¿ √5−2x 9¿√
x2−2¿3¿√7x−14 10¿
√
x−3x+7¿4¿ √2x−1 11¿
√
2x2−5x+3¿5¿ √3− x√7x+2 12¿
1
√
x2−5x+6
¿6¿
√
x+37− x 13¿
1 √x −3+
3x
√5− x¿7¿
1
√
2x− x2 14¿ √6x−1+√x+3¿Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức. Bài 1: Đa thừa số vào dấu căn.
2
3 2
a) ; b) x (víi x 0); c) x ;
5 x
x
d) (x 5) ; e) x
25 x x
Bµi 2: Thùc hiƯn phÐp tÝnh.
a) ( 28 14 7) 7 8; d) 6 5; b) ( 10)( 0,4); e) 11 11 c) (15 50 200 450): 10; f)
3
3;
3 3
7
g) 20 14 20 14 ; h) 26 15 26 15
Bµi 3: Thùc hiƯn phÐp tÝnh.
2 216 14 15
a) ( ) b) ):
3
8
5 15
c)
7 10
Bµi 4: Thùc hiÖn phÐp tÝnh.
¿
6 √10−√¿
5 3−√¿
¿
5 3+√¿
a(4+√15)(¿
√
4−√15 b) (¿√
3+√5+(√
3−√5¿c)√
3+√5−√
3−√5−√2 d)√
4−√7−√
4+√7+√7¿e¿ 6,5+12+6,512+26Bài 5: Rút gọn biểu thức sau:
¿
a
√
7−√24+1−1
√
7+√24+1 b¿√3
√
√3+1−1−√3
√
√3−1+1¿c¿√
5+2√6
5−√6 +
√
5−2√6
5+√6 d¿
√
3+√53−√5+
√
3−√5 3+√5¿ (3)¿
a6+2
√
5−√
13+√48 b¿√
4+√
5√3+5√
48−10√
7+4√3¿ c¿1+√2+
1 √2+√3+
1
√3+√4+ +
1 √99+√100¿
Bµi 7: Rót gän biĨu thøc sau:
¿
aa√b+b√a
√ab :
√a −√b, víi a>0, b>0 vµ a≠ b.¿b¿
(
1+ a+√a√a+1
)(
1−a −√a
√a −1
)
, víi a>0 vµ a≠1 ¿c¿a√a −8+2a−4√a
a −4 ;¿d¿
2a−1⋅
√
5a(1−4a+4a2)¿e¿
x2− y2⋅
√
3x2+6xy+3y2
4
Bài 8: Tính giá trị biểu thøc
¿
a=x2−3x√y+2y, x=
√5−2;y=
9+4√5¿b¿ B=x
3
+12x−8 víi x=
√
34(√5+1)−√
34(√5−1);¿c¿ C=x+y , biÕt (x+√
x2+3)(y+√
y2+3)=0;¿d¿ D=√
16−2x+x2+√
9−2x+x2 , biÕt√
16−2x+x2−√
9−2x+x2=1 ¿e¿ E=x√
1+y2+y√
1+x2 , biết xy+(1+x2)(1+y2)=a.Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán. Bài 1: Cho biÓu thøc P= x −3
√x −1−√2
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P nÕu x = 4(2 - √3 ) c) TÝnh giá trị nhỏ P
Bài 2: Xét biÓu thøc A= a
2
+√a
a −√a+1−
2a+√a
√a +1 a) Rót gän A
b) Biết a > 1, so sánh A với |A| c) Tìm a để A =
d) Tìm giá trị nhỏ A Bµi 3: Cho biĨu thøc C=
2√x −2− 2√x+2+
√x
1− x a) Rút gọn biểu thức C
b) Tính giá trị cđa C víi x=4
9
c) Tính giá trị x để |C|=1
3
Bµi 4: Cho biÓu thøc M= a
√
a2− b2−(
1+ a√
a2− b2)
: b a −√
a2−b2 a) Rót gän Mb) Tính giá trị M a b=
3
c) Tìm điều kiện a, b để M <
Bµi 5: XÐt biĨu thøc
1− x¿2 ¿ ¿
P=
(
√x −2x −1 −
√x+2
x+2√x+1
)
⋅¿a) Rót gän P
b) Chøng minh r»ng nÕu < x < th× P > c) T×m giá trị lơn P
Bài 6: Xét biÓu thøc Q= 2√x −9
x −5√x+6−
√x+3
√x −2−
2√x+1
(4)a) Rót gän Q
b) Tìm giá trị x để Q <
c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng Q số nguyên Bài 7: Xét biểu thức H=
(
x − y√x −√y−
√
x3−√
y3 x − y)
:(√x −√y)2+√xy √x+√y a) Rót gän H
b) Chøng minh H ≥ c) So sánh H với H Bài 8: Xét biÓu thøc A=
(
1+ √aa+1
)
:(
1 √a −1−
2√a
a√a+√a −a −1
)
a) Rót gọn A
b) Tìm giá trị a cho A >
c) TÝnh c¸c gi¸ trị A a=200722006 Bài 9: Xét biểu thøc M=3x+√9x−3
x+√x −2 −
√x+1
√x+2+
√x −2 1−√x a) Rót gän M
b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng M số nguyên Bài 10: Xét biểu thức P=15√x −11
x+2√x −3+
3√x −2 1−√x −
2√x+3
√x+3
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trÞ cđa x cho P=1
2
c) So s¸nh P víi
3
***************************************
Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai định lí Viét.
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai.Bài 1: Giải phơng trình
1) x2 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ;
3) 3x2 + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ;
5) x2 – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ;
7) x2 + 2
√2 x + = 3(x + √2 ) ; 8) √2 x2 + x + =
√3 (x + 1) ;
9) x2 – 2(
√3 - 1)x - √3 =
Bài 2: Giải phơng trình sau cách nhẩm nghiÖm:
1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ;
3) x2 – (1 +
√3 )x + √3 = ; 4) (1 - √2 )x2 – 2(1 +
√2 )x + + √2 = ;
5) 3x2 – 19x – 22 = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ;
7) ( √3 + 1)x2 + 2
√3 x + √3 - = ; 8) x2 – 11x + 30 = ;
(5)D¹ng 2: Chøng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm. Bài 1: Chứng minh phơng trình sau có nghiệm.
1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ;
3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12
= ;
5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ;
7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – (2m – 1)x –
3 + m = ;
9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0.
Bµi 2:
a) Chøng minh với a, b , c số thực phơng trình sau có nghiệm: (x a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) =
b) Chøng minh r»ng víi ba sè thøc a, b , c phân biệt phơng trình sau có hai nghiệm phân biÕt:
x −a+
1
x − b+
1
x − c=0 (Èn x)
c) Chứng minh phơng trình: c2x2 + (a2 b2 – c2)x + b2 = v« nghiƯm víi a, b,
c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh phơng trình bậc hai:
(a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = lu«n cã hai nghiƯm phân biệt.
Bài 3:
a) Chứng minh phơng trình bậc hai sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1)
bx2 + 2cx + a = (2)
cx2 + 2ax + b = (3)
b) Cho bốn phơng trình (ẩn x) sau:
x2 + 2ax + 4b2 = (1)
x2 - 2bx + 4a2 = (2)
x2 - 4ax + b2 = (3)
x2 + 4bx + a2 = (4)
Chứng minh phơng trình có phơng trình có nghiệm c) Cho phơng trình (ẩn x sau):
ax22bb+c b+c x+
1
c+a=0 (1)
bx2−2c√c+a c+a x+
1
a+b=0 (2)
cx2−2a√a+b a+b x+
1
b+c=0 (3)
với a, b, c số dơng cho trớc
Chứng minh phơng trình có phơng trình có nghiệm Bài 4:
a) Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0.
Biết a ≠ 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phơng trình cho có hai nghiệm b) Chứng minh phơng trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm một
(6)a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c =
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc hai cho trớc.
Bµi 1: Gäi x1 ; x2 lµ nghiệm phơng trình: x2 3x =
TÝnh:
A=x12+x22; B=|x1− x2|; C=
x1−1
+
x2−1
; D=(3x1+x2) (3x2+x1);
E=x13+x23; F=x14+x24 Lập phơng trình bậc hai có nghiệm x
11
vµ
x2−1
Bµi 2: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình: 5x2 3x = Không giải phơng
trình, tính giá trị biểu thức sau:
A=2x13−3x12x2+2x23−3x1x22;
B=x1
x2
+ x1
x2+1
+x2
x1
+ x2
x1+1
−
(
x1− x2
)
2
;
C=3x1
2+5x1x2+3x22
4x1x22+4x12x2
Bµi 3:
a) Gäi p vµ q lµ nghiệm phơng trình bậc hai: 3x2 + 7x + = Không giải phơng
trình hÃy thành lập phơng trình bậc hai với hệ số số mà nghiệm p
q 1
q p 1
b) Lập phơng trình bậc hai có nghiệm
1072 10+62
Bài 4: Cho phơng trình x2 – 2(m -1)x – m = 0.
a) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm x1 ; x2 víi mäi m
b) Víi m 0, lập phơng trình ẩn y thoả mÃn y1=x1+
x2 vµ y2=x2+
x1
Bài 5: Không giải phơng trình 3x2 + 5x = HÃy tính giá trị biểu thức sau:
A=(3x1−2x2) (3x2−2x1); B= x1
x2−1
+ x2
x1−1
; C=|x1− x2|; D=x1+2
x1 + x2+2
x2 Bài 6: Cho phơng tr×nh 2x2 – 4x – 10 = cã hai nghiệm x
1 ; x2 Không giải phơng
trình hÃy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 =
2x2 – x1
Bµi 7: Cho phơng trình 2x2 3x = cã hai nghiÖm x
1 ; x2 H·y thiết lập phơng
trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 tho¶ m·n:
¿
a¿y1=x1+2¿y2=x2+2¿ b¿ ¿ ¿y1=
x12 x2 ¿y2=
x22 x1 { Bài 8: Cho phơng trình x2 + x – = cã hai nghiÖm x
1 ; x2 HÃy thiết lập phơng trình
(7)¿
a¿y1+y2=x1
x2+ x2
x1¿ y1
y2+ y2
y1=3x1+3x2¿ ; b¿ ¿ ¿y1+y2=x12+x22¿y12+y22+5x1+5x2=0 { Bài 9: Cho phơng trình 2x2 + 4ax – a = (a tham sè, a ≠ 0) cã hai nghiÖm x
1 ; x2 H·y
lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 tho¶ m·n:
y1+y2=1
x1+
1
x2 vµ
1
y1+
1
y2=x1+x2
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghiệm.
Bài 1:
a) Cho phơng trình (m 1)x2 + 2(m – 1)x – m = (Èn x).
Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phơng trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + =
Tìm m để phơng trình có nghim
c, Cho phơng trình: (m 1)x2 2mx + m – = 0.
- Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm
- Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép d, Cho phơng trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – = 0.
Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 2:
a) Cho ph¬ng tr×nh: 4x
2
x4
+2x2+1−
2(2m−1)x
x2
+1 +m
2
− m−6=0 Xác định m để phơng trình có mt nghim
b) Cho phơng trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = X¸c
định m để phơng trình có nghiệm
Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mãn
điều kiện cho trớc. Bài 1: Cho phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép
2) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại 3) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dơng (cùng âm) 5) Định m để phơng trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đơi nghiệm 6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = -
7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 x1x2 nhn
giá trị nhỏ
Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra: a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x
1 + 1)(4x2 + 1) = 18
b) mx2 – (m – 4)x + 2m = ; 2(x
12 + x22) = 5x1x2
c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x
12 + x22) = 5x12x22
d) x2 – (2m + 1)x + m2 + = ; 3x
1x2 – 5(x1 + x2) + =
Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra:
a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x
(8)b) x2 – 4mx + 4m2 – m = ; x
1 = 3x2
c) mx2 + 2mx + m – = ; 2x
1 + x2 + =
d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = ; x
1 = x22
e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x
1 = x22
f) x2 – 4x + m2 + 3m = ; x
12 + x2 =
Bµi 4:
a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 (2m 1)x + m = Tìm điều kiện m
để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm gấp đôi
nghiƯm
b) Ch phơng trình bậc hai: x2 – mx + m – = Tìm m để phơng trình có hai
nghiƯm x1 ; x2 cho biÓu thøc R=
2x1x2+3
x12+x
22+2(1+x1x2)
đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn
c) Định m để hiệu hai nghiệm phơng trình sau mx2 – (m + 3)x + 2m + = 0.
Bài 5: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0).
Chứng minh điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm 9ac = 2b2.
Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chøng minh r»ng ®iỊu kiƯn
cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp k lần nghiệm (k > 0) : kb2 = (k + 1)2.ac
Dạng 6: So sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số. Bài 1:
a) Cho phơng trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = Xác định m để phơng trình có
hai nghiƯm x1 ; x2 tho¶ m·n < x1 < x2 <
b) Cho phơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = Xác định m để phơng trình có hai
nghiƯm ph©n biƯt x1 ; x2 tho¶ m·n: - < x1 < x2 <
Bµi 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1.
a) Chøng minh r»ng phơng trình f(x) = có nghiệm với m
b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có hai nghiệm lớn hn
Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
a) Với giá trị tham số a, phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn –
Bµi 4: Cho phơng trình: x2 + 2(m 1)x (m + 1) = 0.
a) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn
b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ Bài 5: Tìm m để phơng trình: x2 – mx + m = có nghiệm thoả mãn x
1 - x2
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình bËc hai kh«ng phơ thc tham sè.
(9)a) Cho phơng trình: x2 mx + 2m = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm
của phơng trình không phụ thuộc vào tham số m
b) Cho phơng trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m 1) = Khi phơng
trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phơ thc vµo tham sè m
c) Cho phơng trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = Định m để phơng trình có
hai nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí
các nghiệm hai số –
Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = Khi phơng
trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Bài 3: Cho phơng trình: x2 – 2mx – m2 – = 0.
a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 víi mäi m
b) T×m biĨu thøc liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn:
x1 x2
+x2
x1
=−5
2
Bµi 4: Cho phơng trình: (m 1)x2 2(m + 1)x + m = 0.
a) Giải biện luận phơng trình theo m
b) Khi phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 ; x2:
- Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m
- T×m m cho |x1 – x2|
Bài 5: Cho phơng trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – = Chứng minh
phơng trình cã hai nghiƯm x1 ; x2 th×: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + =
D¹ng 8: Mèi quan hệ nghiệm hai phơng trình bậc hai. KiÕn thøc cÇn nhí:
1/ Định giá trị tham số để phơng trình có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm phơng trỡnh kia:
Xét hai phơng trình:
ax2 + bx + c = (1)
a’x2 + b’x + c’ = (2)
trong hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m
Định m để cho phơng trình (2) có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm phơng trình (1), ta lm nh sau:
i) Giả sử x0 nghiệm phơng trình (1) kx0 nghiệm phơng trình
(2), suy hệ phơng trình:
¿
ax02+bx0+c=0
a'k2x02+b'kx0+c'=0
(∗)
¿{
¿
Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số để tìm m
(10)Xét hai phơng trình:
ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (3)
a’x2 + b’x + c’ = (a’ ≠ 0) (4)
Hai phơng trình (3) (4) tơng đơng với hai phơng trình có tập nghiệm (kể tập nghiệm rỗng)
Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với ta xét hai trờng hợp sau:
i) Trờng hợp hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tøc lµ:
¿
Δ(3)<0
Δ(4)<0
¿{
¿
Giải hệ ta tịm đợc giá trị tham số
ii) Trờng hợp hai phơng trình có nghiệm, ta giải hệ sau:
¿
Δ(3)≥0
Δ(4)≥0
S(3)=S(4)
P(3)=P(4)
¿{ { {
¿
Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phơng trình (*) đa hệ phơng trình bậc ẩn
nh sau:
¿
bx+ay=−c
b'x+a'y=−c'
¿{
Để giải tiếp toán, ta lµm nh sau:
- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm tính nghiệm (x ; y) theo m - Tìm m thoả mãn y = x2.
- Kiểm tra lại kết
Bi 1: Tỡm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0
4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0
Bài 2: Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0.
b) 2x2 + mx – = 0; mx2 – x + = 0.
c) x2 – mx + 2m + = 0; mx2 – (2m + 1)x – = 0.
Bµi 3: XÐt phơng trình sau:
ax2 + bx + c = (1)
cx2 + bx + a = (2)
Tìm hệ thức a, b, c điều kiện cần đủ để hai phơng trình có nghiệm chung
Bài 4: Cho hai phơng trình:
(11)x2 – mx + 10m = (2)
Tìm giá trị tham số m để phơng trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm phng trỡnh (1)
Bài 5: Cho hai phơng trình:
x2 + x + a = 0
x2 + ax + = 0
a) Tìm giá trị a hai phơng trình có nghiệm chung b) Với giá trị a hai phơng trình tơng ng
Bài 6: Cho hai phơng trình:
x2 + mx + = (1)
x2 + 2x + m = (2)
a) Định m để hai phơng trình có nghiệm chung b) Định m để hai phơng trình tơng đơng
c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghim phõn bit
Bài 7: Cho phơng trình:
x2 – 5x + k = (1)
x2 – 7x + 2k = (2)
Xác định k để nghiệm phơng trình (2) lớn gấp lần nghiệm phơng trình (1)
***************************************************
Chủ đề 3: H phng trỡnh.
A - Hệ hai phơng trình bËc nhÊt hai Èn:
Dạng 1: Giải hệ phơng trình đa đợc dạng bản
Bài 1: Giải hệ phơng trình
1¿3x−2y=4¿2x+y=5¿; 2¿ ¿ ¿4x−2y=3¿6x−3y=5¿; 3¿ ¿ ¿2x+3y=5¿4x+6y=10¿ ¿ ¿4¿ ¿3x−4y+2=0¿5x+2y=14¿; 5¿ ¿ ¿2x+5y=3¿3x−2y=14¿; 6¿ ¿ ¿4x−6y=9¿10x−15y=18¿ ¿ ¿ ¿{¿ ¿
(12)¿
1¿(3x+2) (2y−3)=6xy¿(4x+5)(y −5)=4xy¿; 2¿ ¿ ¿(2x-3) (2y+4)=4x(y −3)+54¿(x+1) (3y−3)=3y(x+1)−12¿; ¿ ¿ ¿ ¿ 3¿ ¿2y-5x
3 +5= y+27
4 −2x¿ x+1
3 +y=
6y−5x
7 ¿; 4¿ ¿ ¿
7x+5y-2
x+3y =−8¿
6x-3y+10
5x+6y =5¿ ¿ ¿{¿ ¿
Dạng 2: Giải hệ phơng pháp t n ph
Giải hệ phơng trình sau
¿
1¿
x+2y+
1
y+2x=3¿
4
x+2y−
3
y+2x=1¿; 2¿ ¿ ¿
3x
x+1−
2
y+4=4¿
2x
x+1−
5
y+4=9¿; 3¿ ¿ ¿
x+1
x −1+ 3y
y+2=7¿
2
x −1−
y+2=4¿;¿ ¿ ¿ ¿4¿ ¿2(x
2
−2x)+√y+1=0¿3(x2−2x)−2√y+1+7=0¿; 5¿ ¿ ¿5|x −1|−3|y+2|=7¿2
√
4x2−8x+4+5√
y2+4y+4=13 ¿ ¿ ¿{¿ ¿Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc Bài 1:
a) Định m n để hệ phơng trình sau có nghiệm (2 ; - 1)
¿
2mx(n+1)y=m n (m+2)x+3ny=2m3
{
b) Định a b biết phơng trình: ax2 - 2bx + = cã hai nghiƯm lµ x = vµ x = -2.
Bài 2: Định m để đờng thẳng sau đồng quy:
a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m –
b) mx + y = m2 + ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – ;
(2 - m)x – 2y = - m2 + 2m – 2.
Bµi 3: Cho hệ phơng trình
mx+4y=10m
x+my=4
(m lµ tham sè)
¿{
¿
a) Giải hệ phơng trình m = 2 b) Giải biện luận hệ theo m
c) Xác định giá tri nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y >
d) Với giá trị ngun m hệ có nghiệm (x ; y) với x, y số nguyên dơng e) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho S = x2 – y2 đạt giỏ tr nh nht
(câu hỏi tơng tự víi S = xy)
f) Chứng minh hệ có nghiệm (x ; y) điểm M(x ; y) nằm đờng thẳng cố định m nhận giá trị khác
Bài 4: Cho hệ phơng trình:
(m−1)x −my=3m−1
2x− y=m+5
¿{
¿
a) Giải biện luận hệ theo m
(13)c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) mà P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Xác định m để hệ có nghiệm (x ; y) thoả mãn x2 + 2y = (Hoặc: cho
M (x ; y) n»m trªn parabol y = - 0,5x2).
e) Chứng minh hệ có nghiệm (x ; y) điểm D(x ; y) luôn nằm đờng thẳng cố định m nhận giá trị khác
Bµi 5: Cho hệ phơng trình:
x+my=2
mx2y=1
{
a) Giải hệ phơng trình m =
b) Tỡm cỏc số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x > y <
c) Tìm số ngun m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x, y số ngun d) Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) mà S = x – y đạt giá trị lớn
B - Một số hệ bậc hai đơn giản:
Dạng 1: Hệ i xng loi I
Ví dụ: Giải hệ phơng tr×nh
¿
x+y+xy=11
x2+y2+3(x+y)=28
¿{
Bài tập tơng tự:
Giải hệ phơng trình sau:
1x2+y2+x+y=8x2+y2+xy=7 ¿ ¿x2+xy+y2=4¿x+xy+y=2¿ ¿ ¿3¿ ¿ ¿xy+x+y=19¿x2y+xy2=84¿ 4¿ ¿ ¿x2−3xy+y2=−1¿3x2−xy+3y2=13¿ ¿ ¿5¿ ¿ ¿(x+1) (y+1)=8¿x(x+1)+y(y+1)+xy=17¿ 6¿ ¿ ¿(x2+1)(y2+1)=10¿(x+y)(xy−1)=3¿ ¿ ¿7¿ ¿ ¿x+xy+y=2+3√2¿x2+y2=6¿ 8¿ ¿ ¿x2+xy+y2=19(x − y)2¿x2−xy+y2=7(x − y)¿ ¿ ¿9¿ ¿ ¿(x − y)2−(x − y)=6¿5(x2+y2)=5xy¿ 10¿ ¿ ¿ ¿{¿ ¿
Dạng 2: Hệ đối xng loi II
Ví dụ: Giải hệ phơng trình
¿
x3+1=2y
y3
+1=2x
{
Bài tập tơng tự:
Giải hệ phơng trình sau:
1x2+1=3yy2+1=3x 2¿ ¿ ¿x2y+2=y2¿xy2+2=x2¿ ¿ ¿3¿ ¿ ¿x3=2x+y¿y3=2y+x¿ 4¿ ¿ ¿x2+xy+y=1¿x+xy+y2=1¿ ¿ ¿5¿ ¿ ¿x2−2y2=2x+y¿y2−2x2=2y+x¿ 6¿ ¿ ¿x −3y=4 y
x ¿y −3x=4 x
y ¿ ¿¿7¿ ¿ ¿2x+
1
y=
3
x¿2y+
1
x=
3
y¿ 8¿ ¿ ¿x
3
=3x+8y¿¿{¿ ¿ ¿
9¿x2−3x=y¿y2−3y=x¿ 10¿ ¿ ¿x3=7x+3y¿y3=7y+3x¿ ¿{¿
Dạng 3: Hệ bậc hai giải phơng pháp cộng đại số
Giải hệ phơng trình sau:
1¿x+y −1=0¿x2+xy+3=0¿ 2¿ ¿ ¿x2−xy− y2=12¿xy− x2+y2=8¿ ¿ ¿3¿ ¿ ¿2 xy− x2+4x=−4¿x2−2 xy+y −5x=4¿ 4¿ ¿ ¿x+2y+2 xy−11=0¿xy+y − x=4¿ ¿ ¿5¿ ¿ ¿2(x+y)2−3(x+y)−5=0¿x − y −5=0¿ 6¿ ¿ ¿5(x − y)2+3(x − y)=8¿2x+3y=12¿ ¿ ¿7¿ ¿ ¿x −2y+2=0¿2y − x2=0¿ 8¿ ¿ ¿x2− y=0¿x − y+2=0¿ ¿ ¿9¿ ¿ ¿x2+y2−2 xy=1¿2x2+2y2−2 xy− y=0¿ 10¿ ¿ ¿2x−3y=5¿x2− y2=40¿ ¿ ¿11¿ ¿¿3x+2y=36¿(x −2) (y −3)=18¿ 12¿ ¿ ¿xy+2x− y −2=0¿xy−3x+2y=0¿ ¿ ¿13¿ ¿ ¿xy+x − y=1¿xy−3x+y=5¿ 14¿ ¿ ¿x2+y2−4x−4y−8=0¿x2+y2+4x+4y−8=0¿ ¿ ¿{¿ ¿
***************************************
Chủ đề 4: Hàm số đồ thị.
(14)Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số sau:
a) y = 2x – ; b) y = - 0,5x +
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi:
a) a = ; b) a = -
Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng
Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết: a) (d) qua A(1 ; 2) B(- ; - 5)
b) (d) qua M(3 ; 2) song song với đờng thẳng () : y = 2x – 1/5 c) (d) qua N(1 ; - 5) vng góc với đờng thẳng (d’): y = -1/2x + d) (d) qua D(1 ; 3) tạo với chiều dơng trục Ox góc 300.
e) (d) qua E(0 ; 4) đồng quy với hai đờng thẳng f) (): y = 2x – 3; (’): y = – 3x điểm
g) (d) qua K(6 ; - 4) cách gốc O khoảng 12/5 (đơn vị dài)
Bài 2: Gọi (d) đờng thẳng y = (2k – 1)x + k – với k tham số. a) Định k để (d) qua điểm (1 ; 6)
b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y – = c) Định k để (d) vng góc với đờng thẳng x + 2y =
d) Chứng minh khơng có đờng thẳng (d) qua điểm A(-1/2 ; 1)
e) Chứng minh k thay đổi, đờng thẳng (d) qua điểm cố định
Dạng 3: Vị trí tơng đối đờng thẳng parabol
Bµi 1:
a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm (- ; -1) Hãy tìm a vẽ đồ thị (P) đó.
b) Gọi A B hai điểm lần lợt (P) có hồnh độ lần lợt - Tìm toạ độ A B từ suy phơng trình đờng thẳng AB
Bµi 2: Cho hµm sè y=−1
2x
a) Khảo sát vẽ đồ thị (P) hàm số
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) tiếp xúc với (P) Bài 3:
Trong cïng hÖ trơc vu«ng gãc, cho parabol (P): y=−1
4x
đờng thẳng (D): y = mx - 2m -
a) Vẽ độ thị (P)
b) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P)
c) Chứng tỏ (D) qua điểm cố định A thuộc (P) Bài 4: Cho hàm số y=−1
2x
a) Vẽ đồ thị (P) hàm số
b) Trên (P) lấy hai điểm M N lần lợt có hồnh độ - 2; Viết phơng trình đờng thẳng MN
c) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) song song với đ ờng thẳng MN cắt (P) điểm
(15)Trong hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) đờng thẳng (D): y = kx +
b
1) Tìm k b cho biết (D) qua hai điểm A(1; 0) B(0; - 1) 2) Tìm a biết (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc câu 1) 3)Vẽ (D) (P) vừa tìm đợc câu 1) câu 2)
4) Gọi (d) đờng thẳng qua điểm C
(
32;−1
)
vµ cã hƯ sè gãc ma) Viết phơng trình (d)
b) Chng tỏ qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) vng góc với
************************************************
Chủ đề 5: Giải tốn cách lập phơng trình,
hệ phơng trình.
Dạng 1: Chuyển động
(trên đờng bộ, đờng sơng có tính đến dịng nớc chảy) Bài 1:
Một ôtô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đờng AB thời gian dự định lúc đầu
Bµi 2:
Một ngời xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định trớc Sau đợc
3 quãng đờng AB ngời tăng vận tốc thêm 10 km/h quãng đờng
lại Tìm vận tốc dự định thời gian xe lăn bánh đờng, biết ngời đến B sớm dự định 24 phút
Bµi 3:
Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngợc từ B trở A Thời gian xi thời gian ngợc 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B Biết vận tốc dòng nớc km/h vận tốc riêng canơ lúc xi lúc ngợc
Bµi 4:
Một canô xuôi khúc sông dài 90 km ngợc 36 km Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều thời gian ngợc dòng vận tốc xuôi dòng vận tốc ngợc dòng km/h Hỏi vận tốc canô lúc xuôi lúc ngợc dòng
Dạng 2: Toán làm chung riêng (toán vòi nớc) Bài 1:
Hai ngời thợ làm chung công việc 12 phút xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ hai làm hai ngời làm đợc
3
4 công việc Hỏi ngời làm cơng việc xong?
(16)Nếu vòi A chảy vòi B chảy đợc
5 hồ Nếu vòi A chảy
3 gi v vịi B chảy 30 phút đợc
2 hồ Hỏi chảy mỗI
vòi chảy đầy hồ Bài 3:
Hai vòi nớc chảy vào bể sau đầy bể Nếu vòi chảy cho đầy bể vòi II cần nhiều thời gian vòi I Tính thời gian vòi chảy đầy bể?
Dng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm. Bài 1:
Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc chi tiết máy?
Bài 2:
Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A B triệu ngời Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 045 000 ngời Tính số dân tỉnh năm ngoái năm nay?
Dạng 4: Toán có nội dung hình học. Bài 1:
Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280 m Ngời ta làm lối xung quanh vờn (thuộc đất vờn) rộng m Tính kích thớc vờn, biết đất lại v-ờn để trồng trọt 4256 m2.
Bµi 2:
Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm
600 m2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.
Bài 3:
Cho tam giác vuông Nếu tăng cạnh góc vuông lên cm cm diện tích tam giác tăng 50 cm2 Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm2.
Tính hai cạnh góc vuông Dạng 5: Toán tìm số. Bài 1:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số tăng thêm 27 đơn vị
Bµi 2:
Tìm số có hai chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị số cần tìm chia cho tổng chữ số đợc thơng số d
(17)Nếu tử số phân số đợc tăng gấp đơi mẫu số thêm giá trị phân số
4 NÕu tö số thêm mẫu số tăng gấp giá trị phân số
24 Tìm
phân số Bài 4:
NÕu thªm vào tử mẫu phân số giá trị phân số giảm Nếu bớt vào tử mẫu, phân số tăng
2 Tìm phân số
Chủ đề 6: Phơng trình quy phơng trình bậc hai
.
D¹ng 1: Phơng trình có ẩn số mẫu. Giải phơng tr×nh sau:
¿
a x x −2+
x+3
x −1=6¿b¿ 2x−1
x +3= x+3
2x−1¿c¿
t2
t −1+t= 2t2
+5t
t+1
Dạng 2: Phơng trình chứa thức.
¿
Lo¹i √A=√B⇔ A ≥0 (hayB≥0)
A=B
¿
Lo¹i √A=B⇔
B ≥0
A=B2
{
Giải phơng trình sau:
¿
a
√
2x2−3x−11=√
x2−1 b¿√
(x+2)2=√
3x2−5x+14¿c¿√
2x2+3x−5=x+1 d¿√
(x −1)(2x−3)=− x −9¿e¿ (x −1)√
x2−3x¿Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Giải phơng trình sau:
¿
(18)D¹ng 4: Phơng trình trùng phơng. Giải phơng trình sau:
a) 4x4 + 7x2 – = ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0;
c) 2x4 + 5x2 + = ; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – = 0.
Dạng 5: Phơng trình bậc cao.
Gii cỏc phơng trình sau cách đa dạng tích đặt ẩn phụ đa phơng trình bậc hai:
Bµi 1:
a) 2x3 – 7x2 + 5x = ; b) 2x3 – x2 – 6x + = ;
c) x4 + x3 – 2x2 – x + = ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2.
Bµi 2:
a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – = c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x +
11 =
¿
c x¿2− x+2
√
x2− x+3=0 d¿ 4(
x2+x2
)
−16(
x+1
x
)
+23=0¿e¿ x2+x −5
x +
3x
x2+x −5+4=0 f¿
21
x2−4x+10− x
2
+4x−6=0¿g¿ 3(2x2+3x−1)2−5(2x2+3x+3)+24=0 h¿ x
2 −
48
x2−10
(
x3−
x
)
=0¿i¿2x
2x2−5x+3+
13x
2x2+x+3=6 k¿
√
x2−3x
+5+x2=3x+7 ¿
Bµi 3:
a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = 0
b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = 0
c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = 1
d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = 0
Bài tập nhà:
Giải phơng tr×nh sau:
¿
1 a ¿ 2(x −1)+
3 x2−1=
1
4 b¿ 4x
x+1+
x+3
x =6¿ c¿ 2x+2
4 − x= x −2
x −4 d¿ x2
+2x−3
x2−9 +
2x2−2
x2−3x+2=8¿
2
a) x4 – 34x2 + 225 = 0 b) x4 – 7x2 – 144 = 0
c) 9x4 + 8x2 – = 0 d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = 0
e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = (a ≠ 0)
3
a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = 0
b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = 0
c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2
d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = 0
e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = 0
4
a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = 0 b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = 0
c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = 0 d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = 0
5
a) x3 – x2 – 4x + = 0 b) 2x3 – 5x2 + 5x – = 0
c) x3 – x2 + 2x – = 0 d) x3 + 2x2 + 3x – = 0
e) x3 – 2x2 – 4x – = 0
6
a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = 0 b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 =
(19)c) x2 – 4x – 10 - 3
√
(x+2) (x −6) = d)(
2x−1x+2
)
2
−4
(
2x−1x+2
)
+3=0e) √x+√5− x+
√
x(5− x)=57
a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 5
c) 3
(
x2+x2
)
−16(
x+x
)
+26=0 d) 2(
x2
+
x2
)
−7(
x −x
)
+2=08
¿
a
√
x2−4x=√x+14 b¿
√
2x2+x −9=|x −1|¿c¿√
2x2+6x+1=x+2 d¿√
x3+3x+4=x −2¿e¿√
4x2−4x+1+x −2=x2−3 f¿ |x3+x2−1|=x3+x+1¿9 Định a để phơng trình sau có nghiệm
a) x4 – 4x2 + a = b) 4y4 – 2y2 + – 2a = 0
c) 2t4 – 2at2 + a2 – = 0.
Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện một
hình.
Bµi 1:
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O D E lần lợt điểm cung AB AC DE cắt AB I cắt AC L
a) Chøng minh DI = IL = LE
b) Chứng minh tứ giác BCED hình chử nhật
c) Chứng minh tứ giác ADOE hình thoi tính góc hình Bài 2:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn có đờng chéo vng góc với I
a) Chứng minh từ I ta hạ đờng vng góc xuống cạnh tứ giác đờng vng góc qua trung điểm cạnh đối diện cạnh
b) Gọi M, N, R, S trung điểm cạnh tứ giác cho Chứng minh MNRS hình chữ nhật
(20)c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật qua chân đờng vng góc hạ từ I xuống cạnh tứ giác
Bµi 3:
Cho tam giác vng ABC ( A = 1v) có AH đờng cao Hai đờng trịn đờng kính AB AC có tâm O1 O2 Một cát tuyến biến đổi qua A ct ng trũn (O1) v (O2)
lần lợt M N
a) Chứng minh tam giác MHN tam giác vuông b) Tứ giác MBCN hình g×?
c) Gọi F, E, G lần lợt trung điểm O1O2, MN, BC Chứng minh F cách
®iĨm E, G, A, H
d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A E vạch đờng nh nào? Bài 4:
Cho hình vng ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đờng trịn phía hình vng.Lấy AB làm đờng kính , vẽ 1/2 đờng trịn phía hình vng Gọi P điểm tuỳ ý cung AC ( không trùng với A C) H K lần lợt hình chiếu P AB AD, PA PB cắt nửa đờng tròn lần lợt I M
a) Chứng minh I trung điểm AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chứng minh PM = PK = AH
d) Chứng minh tứ giác APMH hình thang c©n
đ) Tìm vị trí điểm P cung AC để tam giác APB
Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh
nhiều điểm nằm đờng trịn.
Bµi 1:
Cho hai đờng tròn (O), (O') cắt A, B Các tiếp tuyến A (O), (O') cắt (O'), (O) lần lợt điểm E, F Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF
a) Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành OO'//BI b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' thuộc đờng tròn
c) Kéo dài AB phía B đoạn CB = AB Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp Bài 2:
Cho tam giác ABC Hai đờng cao BE CF cắt H.Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC
a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đợc đờng trịn.Xác định tâm O đờng trịn
b) Đờng thẳng DH cắt đờng tròn (O) điểm thứ I Chứng minh điểm A, I, F, H, E nằm đờng trịn
Bµi 3:
Cho hai đờng trịn (O) (O') cắt A B Tia OA cắt đờng tròn (O') C, tia O'A cắt đờng tròn (O) D Chứng minh rằng:
a) Tø gi¸c OO'CD néi tiÕp
b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ suy năm điểm O, O', B, C, D nằm đờng tròn
(21)Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng trịn đờng kính AD Hai đờng chéo AC BD cắt E Vẽ EF vng góc AD Gọi M trung điểm DE Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp đợc b) Tia CA tia phân giác góc BCF c)* Tứ giác BCMF nội tiếp đợc
Bµi 5:
Từ điểm M bên ngồi đờng trịn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD AB, CE MA, CF MB
Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp đợc
b) CD2 = CE CF
c)* IK // AB Bµi 6:
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đờng tròn Vẽ hai đờng cao BD CE
a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đờng tròn b) Chứng minh xy// DE, từ suy OA DE
Bµi 7:
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Đ-ờng thẳng qua A song song với BM cắt CM N
a) Chứng minh tam giác AMN tam giác b) Chứng minh MA + MB = MC
c)* Gọi D giao điểm AB vµ CM Chøng minh r»ng:
AM+ MB=
1 MD
Bµi 8:
Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm A C Một đờng tròn (O) thay đổi qua B C Vẽ đờng kính MN vng góc với BC D ( M nằm cung nhỏ BC).Tia AN cắt đờng tròn (O) Tại điểm thứ hai F Hai dây BC MF cắt E Chứng minh rằng:
a) Tứ giác DEFN nội tiếp đợc b) AD AE = AF AN
c) Đờng thẳng MF qua điểm cố định Bài 9:
Từ điểm A bên đờng tròn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn Gọi M trung điểm AB Tia CM cắt đờng tròn điểm N Tia AN cắt đờng tròn điểm D
a) Chøng minh r»ng MB2 = MC MN
b) Chøng minh r»ng AB// CD
c) Tìm điều kiện điểm A tứ giác ABDC hình thoi Tính diện tích cử hình thoi
Bµi 10:
Cho đờng tròn (O) dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ đờng kính MN Cắt AB I Gọi D điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đờng tròn (O) C
(22)b) Chứng minh tích MC MD có giá trị khơng đổi D di động dây AB c) Gọi O' tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD
Chøng minh r»ng MAB =
2 AO'D
d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hàng MA tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD
Bµi 11:
Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB Vẽ CE vng góc với AD ( E AD)
a) Chøng minh r»ng AHEC tứ giác nội tiếp
b) Chng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC c) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE
d) TÝnh diƯn tÝch h×nh giíi hạn đoạn thẳng CA CH cung nhỏ AH đ-ờng tròn nói biết AC= 6cm, ACB = 300.
Bµi 12:
Cho đờng trịn tâm O có đờng kính BC Gọi A Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D điểm thuộc bán kính OC Đờng vng góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F
a) Chứng minh ADCF tứ giác nội tiÕp
b) Gọi M trung điểm EF Chứng minh AME = ACB c) Chứng minh AM tiếp tuyến đờng tròn (O)
d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC đờng tròn (O) biết BC= 8cm, ABC = 600.
Bµi 13:
Cho nửa đờng trịn tâm O, đờng kính AB = 2R Điểm M thuộc nửa đờng tròn Vẽ đ-ờng tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H tiếp điểm) Kẻ tiếp tuyến AC, BD với đ đ-ờng tròn (M) ( C, D tiếp điểm)
a) Chứng minh C, M, D thẳng hàng
b) Chứng minh CD tiếp tuyến đờng trịn (O) c) Tính tổng AC + BD theo R
d) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ABDC biÕt AOM = 600.
Bài 14:
Cho tam giác vuông cân ABC (A = 900), trung điểm I cạnh BC XÐt mét ®iĨm D
trên tia AC Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm tơng ứng M, N, P
a) Chứng minh điểm B, M, O, I, N nằm đờng tròn b) Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng
c) Gäi giao điểm tia BO với MN, NP lần lợt H, K Tam giác HNK tam giác gì, t¹i sao?
d) Tìm tập hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí tia AC
Chủ đề 3: Chứng minh điểm thẳng hàng,
đ-ờng thẳng đồng quy.
(23)Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt hai điểm A B Đờng thẳng AO cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt C C' Đờng thẳng AO' cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt D D'
a) Chøng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiÕp
c) Đờng thẳng CD đờng thẳng D'C' cắt M Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp Bài 2:
Từ điểm C đờng tròn ( O) kể cát tuyến CBA Gọi IJ đờng kính vng góc với AB Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) M, N
a) Chứng minh IN, JM AB đồng quy điểm D
b) Chứng minh tiếp tuyến đờng tròn (O) M, N qua trung điểm E CD
Bµi 3:
Cho hai đờng trịn ( O; R) ( O'; R' ) tiếp xúc A ( R> R' ) Đờng nối tâm OO' cắt đờng tròn (O) (O') theo thứ tự B C ( B C khác A) EF dây cung đ-ờng trịn (O) vng góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đđ-ờng tròn (O') ti D
a) Tứ giác BEFC hình gi?
b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hµng
c) CF cắt đờng trịn (O’) G Chứng minh ba đờng EG, DF CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng tròn (O’)
Bµi 4:
Cho đờng trịn (O) (O’) tiếp xúc C AC BC đờng kính (O) (O’), DE tiếp tuyến chung (D (O), E (O’)) AD cắt BE ti M
a) Tam giác MAB tam giác gì?
b) Chứng minh MC tiếp tuyến chung cđa (O) vµ (O’)
c) Kẻ Ex, By vng góc với AE, AB Ex cắt By N Chứng minh D, N, C thẳng hàng d) Về phía nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đờng tròn đờng kính AB OO’ Đờng thẳng qua C cắt hai nửa đờng tòn I, K Chứng minh OI // AK
Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định.
Bài 1:Cho đờng tròn (O ; R) Đờng thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d ngồi (O) Từ điểm P cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K
a) Chøng minh tø gi¸c PDKI néi tiÕp b) Chøng minh: CI.CP = CK.CD
c) Chứng minh IC phân giác tam gi¸c AIB
d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhng qua A, B Chứng minh IQ qua điểm cố định
Bµi 2:
Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) M di động AB N di động tia đối tia CA cho BM = CN
(24)c) MN cắt BC K Chứng minh DK vng góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN lớn Bài 3:
Cho (O ; R) Điểm M cố định (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A B Tiếp tuyến (O) A B cắt C
a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đờng tròn tâm K
b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định O H cát tuyến quay quanh M c) CH cắt AB N, I trung điểm AB Chứng minh MA.MB = MI.MN
d) Chøng minh: IM.IN = IA2.
Bµi 4:
Cho nửa đờng trịn đờng kính AB tâm O C điểm cung AB M di động cung nhỏ AC Lấy N thuộc BM cho AM = BN
a) So s¸nh tam gi¸c AMC BCN b) Tam giác CMN tam giác gì?
c) Kẻ dây AE//MC Chứng minh tứ giác BECN hình bình hành
d) ng thng d i qua N vng góc với BM Chứng minh d ln qua điểm cố định
Bµi 5:
Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng d cắt (O) hai điểm C D Điểm M tuỳ ý d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I trung điểm CD
a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B thuộc đờng tròn b) Gọi H trực tâm tam giác MAB, tứ giác OAHB hình gì? c) Khi M di đồng d Chứng minh AB qua điểm c nh
d) Đờng thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lợt E K Chøng minh EC = EK
*******************************
Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và
chứng minh đẳng thức hình học.
Bµi 1:
Cho đờng tròn (O) dây AB M điểm cung AB C thuộc AB, dây MD qua C
a) Chøng minh MA2 = MC.MD.
b) Chøng minh MB.BD = BC.MD
c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B
d) Gọi R1, R2 bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACD Chứng
minh R1 + R2 không đổi C di động AB
Bµi 2:
Cho nửa đờng trịn tâm O, đờng kính AB = 2R điểm M nửa đờng tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến M nửa đờng tròn cắt tiếp tuyến A, B lần lợt C E
a) Chøng minh r»ng CE = AC + BE b) Chøng minh AC.BE = R2.
(25)d) Xét trờng hợp hai đờng thẳng AB CE cắt F Gọi H hình chiếu vng góc M AB
+ Chøng minh r»ng: HA
HB = FA FB
+ Chứng minh tích OH.OF khơng đổi M di động nửa đờng tròn Bài 3:
Trên cung BC đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P Các đờng thẳng AP BC cắt Q Chứng minh rằng:
PQ= PB+
1 PC
Bµi 4:
Cho góc vng xOy Trên tia Ox đặt đoạn OA = a Dựng đờng tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox A cắt Oy hai điểm B, C Chứng minh hệ thức:
a)
AB2+ AC2=
1
a2
b) AB2 + AC2 = 4R2.
*************************
Chủ đề 6: Các tốn tính số đo góc số đo
diện tích.
Bµi 1:
Cho hai đờng tròn (O; 3cm) (O’;1 cm) tiếp xúc A Vẽ tiếp tuyến chung BC (B (O); C (O’))
a) Chøng minh r»ng gãc O’OB b»ng 600.
b) Tính độ dài BC
c) Tính diện tích hình giới hạn tiếp tuyến BC cung AB, AC hai đờng trịn
Bµi 2:
Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm Vẽ phía AB nửa đờng trịn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đờng vng góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M, N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đờng tròn (I), (K)
a) Chøng ming r»ng EC = MN
b) Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đờng tròn (I), (K) c) Tính độ dài MN
d) Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn Bài 3:
Từ điểm A bên ngồi đờng trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đờng tròn Từ điểm M cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến P Q
a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động cung BC nhỏ chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi
b) Cho biết BAC = 600 bán kính đờng trịn (O) cm Tính độ dài của
tiếp tuyến AB diện tích phần mặt phẳng đợc giới hạn hai tiếp tuyến AB, AC cung nhỏ BC
(26)Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp , K tâm đờng trịn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK
a) Chứng minh rằng: điểm B, I, C, K thuộc đờng tròn b) Chứng minh rằng: AC tiếp tuyến đờng tròn (O)
c) Tính bán kính đờng trịn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm Bài 5:
Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB = 2R E điểm đờng tròn mà AE > EB M điểm đoạn AE cho AM.AE = AO.AB
a) Chøng minh AOM vuông O
b) OM ct ng trũn C D Điểm C điểm E phía AB Chứng minh ACM đồng dạng với AEC
c) Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEM d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm AEC
3 TÝnh AC, AE, AM, CM theo
R
***************************
Chủ đề 7: Tốn quỹ tích.
Bài 1:Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O) M điểm di động đờng trịn Gọi D hình chiếu B AM P giao điểm BD với CM
a) Chøng minh BPM c©n
b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển đờng tròn (O) Bài 2:
Đờng tròn (O ; R) cắt đờng thẳng d hai điểm A, B Từ điểm M d ngồi đờng trịn (O) kẻ tiếp tuyến MP, MQ
a) Chứng minh góc QMO góc QPO đờng trịn ngoại tiếp tam giác MPQ qua hai điểm cố định M di động d
b) Xác định vị trí M để MQOP hình vng?
c) Tìm quỹ tích tâm đờng trịn nội tiếp tam giác MPQ M di động d Bài 3:
Hai đờng tròn tâm O tâm I cắt hai điểm A B Đờng thẳng d qua A cắt đờng tròn (O) (I) lần lợt P, Q Gọi C giao điểm hai đờng thẳng PO QI
a) Chøng minh r»ng c¸c tø gi¸c BCQP, OBCI néi tiÕp
b) Gọi E, F lần lợt trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF Khi đờng thẳng d quay quanh A K chuyển động đờng nào?
c) Tìm vị trí d để tam giác PQB có chu vi lớn
Chủ đề 8: Một số toán mở đầu hình học
khơng gian.
Bµi 1:
Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = cm; AC = cm A’C = 13 cm Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp chữ nht ú
(27)Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’ cã diƯn tÝch mỈt chÐo ACC’A’ b»ng 25 √2
cm2 Tính thể tích diện tích tồn phần hình lập phơng đó.
Bµi 3:
Cho hình hộp nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm góc A’AC’ 600 Tính thể tích diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật đó.
Bµi 4:
Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ Tính diện tích xung quanh thể tích biết cạnh đáy dài cm góc AA’B 300.
Bµi 5:
Cho tam giác ABC cạnh a Đờng thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Trên đờng thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC
a) Chøng minh r»ng SA = SB = SC
b) TÝnh diện tích toàn phần thể tích hình chóp S.ABC, cho biÕt SG = 2a Bµi 6:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a đờng cao a√2
2
a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp
Bµi 7:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên a a) Tính diện tích tốn phần hình chóp
b) TÝnh thĨ tÝch hình chóp Bài 8:
Cho hỡnh chúp t giác S.ABCD có chiếu cao 15 cm thể tích 1280 cm3.
a) Tính độ dài cạnh đáy
b) TÝnh diƯn tÝch xung quanh cđa h×nh chãp Bµi 9:
Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ 75 cm2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích
đáy nhỏ chiều cao cm Tính thể tích hình chóp cụt Bài 10:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD)
a) TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp
b) Chøng minh bốn mặt bên tam giác vuông a) TÝnh diƯn tÝch xung quanh cđa h×nh chãp
Bµi 11:
Một hình trụ có đờng cao đờng kính đáy Biết thể tích hình trụ 128 cm3, tính
diƯn tÝch xung quanh cđa nã Bµi 12:
Một hình nón có bán kính đáy cm diện tích xung quanh 65 cm2.
Tính thể tích hình nón Bài 13:
Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn cm, đờng cao 12 cm đờng sinh 13 cm
a) Tính bán kính đáy nhỏ
(28)Bµi 14: