Xứ Đoài (II) 2012

Đến đây bài toán được giải quyết... Bài tập: Giải các phương trình sau:.[r]

Phơng trình , Bất phơng trình vô tỉ

Bài 1: Giải phơng trình

a) x3 23 x1

  

    

3

3

1 2

2 1

x x

y x y x

- Phơng trình đợc chuyển thành hệ



    

  

 

        

        

   



        

  

   

  

   

  



3

3 3 2

3

1

1 2

2

1 2( ) 0( )

1

2

x y x y

x y

x y x y

x y

y x x y x y x xy y vn

x y x y

- Vậy phơng trình cho có nghiệm

b) 1 1 x2 x(1 1  x2) §S:x=1/2; x=1

c)        

2

( 3x x 1) 4x 3x 5x 2 §S: x=2.

d)



    



( 3)( 1) 4( 3)

3 x

x x x

x §S: x 1 13;x 1

e)

   12   1

2 x (x )

x x - Sư dơng B§T Bunhia. f) x 4 1 x  2 x §S: x=0

Bài 2: Giải BPT:

a) 5x 4x 13 x ĐS: x≥1/4

b)

 

  

 

2

2( 16)

3

3

x x

x

x x

§K

  

  

  

2

16

4

x

x x

- Biến đôỉ bất phơng trình dạng

          



  

 

      

  

 

   

 

2

2

2( 16) 2( 16) 10

10

5

10 10 34

10 34

2( 16) (10 )

x x x x x

x

x

x x

x

x x

- Kết hợp ĐK ta có nghiƯm cđa BPT lµ x10 34 c) (x1)(4 x)  x

d)

 

 1

3 x

x .

§K:



   

     

 

  



1

0

1 2

1

0

2 x x

x

- Thực phép nhân liên hợp ta thu đợc BPT

      

    

    

   



 



  

    

  



  



    

 

      



2

2

2

2

4 3(1 ) 4

3 4

1

1 1

2

2

3

9(1 ) (4 3) 4

9(1 ) (4 3)

x x x x

x x

x x

x x

x

x x

x x

- Kết hợp ĐK thu đợc nghiệm 

   



   

1

0

1

2 x x C¸ch 2:

- XÐt TH:

 Víi

 1 0  4  1

2 x BPT x x

 Víi

 1    

0

2

x BPT x x

e) 5x2 10x  1 2x x2 §K:

5 5

5 10

5 5 x

x x

x   

      

     

- Với Đk 5 5x210x 1 36 5 x210x1

- Đặt t 5x2 10x1;t0 - ĐS: x≤-3 x≥1 Bài 3: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:

2 1 1

x x x x m. Giải: Xét hàm sè

2 1 1

y x   x x  x  Miền xác định D =R

Đạo hàm



   

        

  

  

      



2

2

2 2

2

'

2

' (2 1) (2 1)

(2 1)(2 1)

(vo nghiem) (2 1) ( 1) (2 1) ( 1)

x x

y

x x x x

y x x x x x x

x x

x x x x x x

y(0) =1> nên hàm số ĐB

 Giíi h¹n

     

 

 

     

2

2

lim lim

1

lim

x x

x

x y

x x x x

y

 

 BBT

y’ +

y

-1

Vậy phơng trình có nghiệm chØ -1 < m <1

Bài 4: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực x  1 x m Giải:

- Đặt t x1;t0 Phơng trình cho trở thành: 2t = t2-1+m  m = -t2+2t+1

- XÐt hµm sè y = -t2+2t+1; t ≥ 0; y’= -2t+2

x 0 +∞ y’ + -y

1 -∞

- Theo yêu cầu toán đờng thẳng y=m cắt ĐTHS m≤2

Bài 5: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm dơng: x2 4x5 m 4x x2 Giải:- Đặt

2

2

( ) 5; '( ) ; '( )

4 x

t f x x x f x f x x

x x



       

  .

XÐt x>0 ta cã BBT:

x 0 +∞ f’(x) - +

f(x) 5

+∞

- Khi phơng trình cho trở thành m=t2+t-5 t2+t-5-m=0 (1).

- Nếu phơng trình (1) có nghiệm t1; t2 t1+ t2 =-1 Do (1) có nhiều nghiệm t≥1

- Vậy phơng trình cho có nghiệm dơng phơng trình (1) có nghiệm t(1; 5) - Đặt g(t) = t2+ t -5 Ta tìm m để phơng trình g(t) = m có nghiệm t(1; 5).

f’(t) = 2t+1 > víi mäi t(1; 5) Ta cã BBT sau: t

1 g’(t) +

g(t)

-3

Từ BBT suy -3 < m < giá trị cần tìm Bài 6: Xác định m để phơng trình sau có nghiệm

2 2

( 1 2) 1

m x   x    x  x   x .

- §iỊu kiƯn -1≤ x Đặt t 1x2 x2 .

- Ta cã

2

2

1 0; 0

2 2 2;

x x t t x

t x t t x

       

    

- Tập giá trị t lµ 0;  

  (t liên tục đoạn [-1;1]) Phơng trình cho trở thành:

2

( 2) (*)

2 t t

m t t t m

t   

     



- XÐt

2

( ) ;0

2 t t

f t t

t   

  

 Ta có f(t) liên tục đoạn 0; 2 Phơng trình cho có nghiệm x phơng trình (*) có nghiệm t thuộc 0; 2 0; 0;

min ( )f t m max ( )f t

   

   

  

- Ta cã

2

0; 0;

4

'( ) 0, 0; ( ) 0;

( 2)

Suy ( ) ( ) 1;ma x ( ) (0)

t t

f t t f t NB

t

f t f f t f

   

   

     

    

   



    

- VËy 1 m1 Bài 7: Tìm m để bất phương trình mx x 3 m (1) có nghiệm

Giải: Đặt t x 3;t[0;) Bất phương trình trở thành:

2

2

( 3) ( 2)

2 t

m t t m m t t m

t           

 (2)

(1)có nghiệm (2) có nghiệm t ≥  có điểm ĐTHS y =

2 t t



 với t≥0 khơng phía đường

thẳng y = m.Xét y =

2 t t



 với t ≥ có

2 2

2 '

( 2)

t t

y t    

 t  1 3  1 3 + y’ - +  +

-y

4 

Từ Bảng biến thiên ta có m≤

4 

Bài 8: Tìm m để phương trình 3x 6 x (3x)(6 x)m có nghiệm

Giải:Đặt tf x( ) 3x  6 x với x [ 3;6]

6

' '( )

2 (6 )(3 )

x x

t f x

x x

  

 

 

f(x)  3 2 

Vậy t[3;3 2] Phương trình (1) trở thành 2 9 2 t t t  m   t m (2) Phương trình (1) có nghiệm Phương trình (2) có nghiệm t[3;3 2] đường thẳng y=m có điểm chung với đồ thị y= 2 t t    với t[3;3 2]. Ta có y’=-t+1 nên có t 3 2 y’ + -  -  y

2  Bài 9: Cho bất phương trình (4 )(2 ) (18 ) x x a x x       Tìm a để bất phương trình nghiệm với x[-2;4]. Giải: Đặt Bất phương trình trở thành: 2 (10 ) 10 t  a t  a t t (2) (1)ghiệm  (2) có nghiệm t[0;3] đường thẳng y=a nằm ĐTHS Y = t2- 4t +10 với t[0;3] y’= 2t - 4; y’ =  t=2 t

y’  - + 

y 10

Vậy m≥10 Bài 10: Cho phương trình x4x2 x m x( 1)2 (1) Tìm m để phương trình có nghiệm Giải: Phương trình cho tương đương 2 2 2 2 2 4( ) ( 1) 2 ( ) (1 ) (1 ) 1 x x x x x x x x m m m x x x x               Đặt t= 2 x x  ; t[-1;1]. Khi phương trình (1) trở thành 2t + t2 = 4m. (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t[-1;1] Xét hàm số y = f(t) = t2 + 2t với t[-1;1] Ta có f’(t)=2t+2 ≥ với t[-1;1] t -1

f

-1

Từ BBT -1≤ 4m ≤3

1

4 m    

Bài 11 Giải phương trình sau : x 3 3x 1 x 2x2

Giải: Đk x0

Bài 12 Giải phương trình sau :

3

2

1

1

3

x

x x x x

x



       

Giải:

Điều kiện : x1

: ,

3

2

1

(2) 1

3

x

x x x x

x



       



Bình phương vế ta được:

3

2

1

1 2

3 1 3

x x

x x x x

x x

   

        

   

Bài 13 Giải phương trình sau :





2 2

3x  5x 1 x   x  x  x  3x4

Giải:

Ta trục thức vế :





2

2

2

2

3

x x

x x x

x x x x

  



   

    

Dể dàng nhận thấy x=2 nghiệm phương trình Bài 14 : x212 3  x x25

Giải: :

2

12 5

3

x   x   x   x









2

2

2

2

4

12 3

12

2

2

12

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

 

          

   

   

       

   

 

Dễ dàng chứng minh : 2

2

3 0,

3

12

x x

x

x x

 

    

   

Bài 15 Giải phương trình :3 x2 1x x3 Giải :Đk x3

Nhận thấy x=3 nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình

















2

3

2

2

3

3

3

1

2

1

x x x

x

x x x x

x

x x

 

  



 

            

 

   

 

Ta chứng minh :









2

2 3

3

3

1

1 1

x x

x x x

 

   

      

2

3

x x

x

  

 

Vậy pt có nghiệm x=3

Bài 16 Giải phương trình sau : 2x2  x 2x2 x  1 x Giải:

4

x nghiệm Xét x4

Trục thức ta có :

2

2

2

4 2

2

x

x x x x x

x x x x



        

    

Vậy ta có hệ:

2

2

2

0

2 2

2 8

2 7

x

x x x x

x x x

x

x x x x x

        

 

     



        



 

Thử lại thỏa; phương trình có nghiệm : x=0 v x= Bài 17 Giải phương trình : 2x2  x x2 x 1 3x

Ta thấy :



 



2 2

2x  x  x  x1 x 2x

, không thỏa mãn điều kiện

Ta chia hai vế cho x đặt

t x



tốn trở nên đơn giản

Bài 18 Giải phương trình : 3 x 1 x2 1  x23x2

Giải:



 



3 1 1 2 1 0

1

x

pt x x

x

         

 

Bi 19 Giải phương trình : 3 x 1 x2 3 x3 x2x Giải:

+ x0, nghiệm

+ x0, ta chia hai vế cho x:





3 3

3 x x x x 1 x x

x x

 

 

           

 

Bài 20 Giải phương trình: x 3 2x x 1 2x x24x3 Giải: dk x: 1 pt



 



1

3 1

0

x

x x x

x

 

       

 

Bài 21 Giải phương trình :

4

3

3

x

x x

x

  



Giải: Đk: x0 Chia hai vế cho x3:

2

4 4

1 1

3 3

x x x

x

x x x

 

        

    

Đk: 0 x pt đ cho tương đương :x3 3x2 x 0

3 3

1 10 10

3 3

x x 

 

      

 

Bài 23 Giải phương trình sau :2 x 3 9x2 x Giải:

Đk:x3 phương trình tương đương :





2

1 3

1 5 97

3

18

x

x x

x x

x

x x

     



       

    

 

Bài24 Giải phương trình sau :









2

2

3

2 9 x x2 2x3 3x x2 Giải : pttt





3

3 x 2 33x 0 x 1

     

Bài 25 Giải phương trình: x x2 1 x x2 2

Điều kiện: x1

Nhận xét x x2 x x2 1 Đặt t  x x2 phương trình có dạng:

1

2

t t

t

   

Thay vào tìm x1

Bài 26 Giải phương trình: 2x2 6x 1 4x5

Giải

Điều kiện:

4

x

Đặt t  4x5(t0)

2 5

t x 

Thay vào ta có phương trình sau:

4

2

10 25

2 ( 5) 22 27

16

t t

t t t t t

 

        

2

(t 2t 7)(t 2t 11)

     

Ta tìm bốn nghiệm là: t1,2  1 2; t3,4  1 Do t 0 nên nhận gái trị t1 1 2,t3 1

Từ tìm nghiệm phương trình l: x 1 x 2

Cách khác: Ta bình phương hai vế phương trình với điều kiện 2x2 6x 0

Ta được: x x2(  3)2  (x 1)2 0, từ ta tìm nghiệm tương ứng Đơn giản ta đặt : 2y 3 4x5 đưa hệ đối xứng

Bài 27 Giải phương trình sau: x 5 x 6

Điều kiện: 1 x

Đặt y x 1(y0) phương trình trở thnh: y2 y5 5  y4 10y2 y20 0 ( với y 5)

2

(y y 4)(y y 5)

     

1 21 17

,

2 (loại)

y  y  

  

Từ ta tìm giá trị

11 17

Bài 28 Giải phương trình sau :









2

2004 1

x  x   x

Giải: đk 0 x

Đặt y 1 x pttt









2 2

2 y y y 1002 y x

        

Bài 29 Giải phương trình sau :

2 2 3 1

x x x x

x

   

Giải:

Điều kiện:   1 x

Chia hai vế cho x ta nhận được:

1

2

x x

x x

   

Đặt

1

t x x

 

, ta giải Bài 30 Giải phương trình : x23 x4 x2 2x1

Giải: x0 nghiệm , Chia hai vế cho x ta được:

3

1

2

x x

x x

 

   

 

 

Đặt t=

3 x

x



, Ta có : t3 t 0 

1

1

2

t   x 

Bài 31 Giải phương trình :





2

2 x 2 5 x 1 Giải: Đặt u x1,v x2 x1

Phương trình trở thành :



2



2

2 1

2

u v

u v uv

u v

  

  

 

 Tìm được:

5 37

x 

Bài 32 Giải phương trình :

2 3 1 1

3

x  x  x x 

Bài 33: giải phương trình sau :2x25x 7 x3

Giải:

Đk: x1 Nhận xt : Ta viết

















2

1 1

x x x x x x



 



     

Đồng thức ta được:

















2

3 x1 2 x  x 7 x x  x

Đặt u x , v x 2  x 0, ta được:

9

3 1

4

v u

u v uv

v u

  

  

  

Ta :x 4

Bài 34 Giải phương trình :





3

3 3 2 2 6 0

x  x  x  x

Nhận xét : Đặt y x2 ta biến pt phương trình bậc x y :

3 3

3

2

x y

x x y x x xy y

x y

 

         



 Pt có nghiệm :x2, x 2

Bài 35 giải phương trình : x23 x2 1 x4 x21 Giải:

Ta đặt :

2

1

u x

v x

   

  

 phương trình trở thành : u3v u2 v2

Bài 36.Giải phương trình sau : x22x 2x 1 3x24x1 Giải Đk

1

x

Bình phương vế ta có :



x2 2x





2x 1



x2 1



x2 2x





2x 1





x2 2x





2x 1



          

Ta đặt :

2

2

u x x

v x

   

 

 ta có hệ :

2

1

2

1

2

u v

uv u v

u v

       

 

  

Do u v, 0





2

1 5

2

2

u  v x  x  x

Bài 37 giải phương trình : 5x2 14x 9 x2 x 20 5 x1 Giải:

Đk x5 Chuyển vế bình phương ta được:









2

2x  5x 2 x  x 20 x1

:







 

 

 

 







2 20 1 4 5 1 4 4 5

x  x x  x x x  x x  x

Ta viết lại phương trình:









2

2 x  4x 3 x4 5 (x  4x 5)(x4)

Đến toán giải

Bài 38 Giải phương trình :





2 3 2 1 2 2

x   x  x  x 

Giải:

2 2

t  x  , ta có :





2

2 3

1

t

t x t x

t x

        

  

Bài 39 Giải phương trình :





2

1

x x  x x 

Giải:

Đặt : t  x2 2x3, t  Khi phương trình trở thnh :





2

1

x t x   x2 1



x1



t 0

Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có  chẵn :

















2 2 3 1 2 1 0 1 2 1 0

1

t

x x x t x t x t x

t x

                

Bài 40 Giải phương trình sau : 4 x 1 3 x2 1 x 1 x2 Giải:

Nhận xét : đặt t  1 x, pttt: 1x 3x2t t 1x (1)

Ta rút x 1 t2 thay vào pt:









2

3t  2 1x t4 1x 0

Nhưng khơng có may mắn để giải phương trình theo t









2

2 x 48 x 1

      

khơng có dạng bình phương

Muốn đạt mục đích ta phải tách 3x theo



 



2

1 x , 1x Cụ thể sau : 3x



1 x



2 1



x



thay vào pt (1) ta được: Bài 41 Giải phương trình: 2 2x4 2  x  9x216

Giải

Bình phương vế phương trình:













2

4 2x4 16 4 x 16 2 x 9x 16 Ta đặt :





2

2

t   x 

Ta được: 9x2 16t 32 8 x0

Ta phải tách









2 2

9x 



2 4 x  2



x  8



cho t có dạng phương

2

3

3 7x 1 x  x 8 x  8x 1 2

33x 1 35 x 32x 9 34x 3 0

       

Bài 42 Giải phương trình :x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 x 2 x

Giải :

2

u x

v x

w x

   



  



  

 , ta có :



 





 





 



2

2

2

3

5

u v u w u uv vw wu

v uv vw wu u v v w

w uv vw wu v w u w

   

    

 

       

 

     

  

  , giải hệ ta được:

30 239

60 120

u  x

Bài 43 Giải phương trình sau : 2x2 1 x2 3x 2 2x22x 3 x2 x2

Giải Ta đặt :

2

2

2

3

2

2

a x

b x x

c x x

d x x

   

    



  

 

   

 , ta có : 2 2

2

a b c d

x

a b c d

   

  

   

Bài 44 Giải phương trình sau

1) 4x25x 1 x2 x 1 9x

2)













3 4 3 2

4

4 1 1

x x  x   x   x x  x  x

Bài 45.Giải phương trình:





325 325 30

Đặt y335 x3  x3y335

Khi phương trình chuyển hệ phương trình sau: 3

( ) 30 35

xy x y

x y

  

 

  

 , giải hệ ta tìm được

( ; ) (2;3) (3;2)x y   Tức nghiệm phương trình x{2;3}

Bài 46Giải phương trình:

4

1

2

x x

   

Điều kiện: 0 x 1

Đặt

4

2

0 1,0

x u

u v

x v

    

      

   

Ta đưa hệ phương trình sau:

4

2

2 4

4 1

2

1

2

2

u v

u v

u v v v



 

 

 

 



 

 

        

  

 

Giải phương trình thứ 2:

2

2

4

( 1)

2

v   v  

  , từ tìm v thay vào tìm nghiệm phương trình.

Bài 47. Giải phương trình sau: x 5 x 6

Điều kiện: x1

Đặt a x1,b 5 x1(a0,b0) ta đưa hệ phương trình sau:

2

5

( )( 1) 1

5

a b

a b a b a b a b

b a

   

            

  



Vậy

11 17

1 1

2

x    x  x   x x 

Bài4 Giải phương trình:

6

3

5

x x

x x

 

 

 

Giải

Điều kiện: 5x5

Đặt u 5 x v,  5 y



0u v,  10



Khi ta hệ phương trình:

2

2 10 ( ) 10 2

2

4 ( ) 1

2( )

3

u v uv

u v

u v u z

uv u v



     

 



   

  

      

 

   

Bài 49 Giải phương trình: x2 2x2 2x1 Điều kiện:

1

Ta có phương trình viết lại là: (x 1)2 2 x1

Đặt y 1 2x ta đưa hệ sau:

2

2 2( 1) 2( 1)

x x y

y y x

    



   



Trừ hai vế phương trình ta (x y x y )(  ) 0

Giải ta tìm nghiệm phương trình là: x 2

Bài 50 Giải phương trình: 2x2 6x 1 4x5

Giải

Điều kiện

5

x

Ta biến đổi phương trình sau: 4x2 12x 2 4 x5  (2x 3)2 2 4x 5 11

Đặt 2y 3 4x5 ta hệ phương trình sau:

2

(2 3)

( )( 1)

(2 3)

x y

x y x y

y x

   



    



  

 

Với x y 2x 3 4x 5 x 2

Với x y  0  y 1 x x 1

Kết luận: Nghiệm phương trình {1 2; 1 3}

Bài 51 Giải phương trình: 4x2 5 13x 3x 1

Nhận xét : Nếu nhóm phương trình trước :

2

13 33

2

4

x x

 

   

 

 

Đặt

13

2

4

y  x

khơng thu hệ phương trình mà giải Điều kiện:

1

x

, Đặt

3

3 (2 3), ( )

2

x  y y

Ta có hệ phương trình sau:

2

(2 3)

( )(2 5)

(2 3)

x y x

x y x y

y x

    



    



   



Với

15 97

x y x 

Với

11 73

2

8

x y   x 

Kết luận: tập nghiệm phương trình là:

15 97 11 73 ;

8

   

 

 

 

 

Bài 52 Giải phương trình : 2

9

1 x x

x   

Ta có :





2

2

2

2

1

1

x

x x x

x

x x

 

    

  

      

     

  

   

     

Dấu

2 1

7

1 x

x x

   

 

Bài 53 Giải phương trình : 13 x2 x4 9 x2x4 16 Giải: Đk:   1 x

Biến đổi pt ta có :





2

2 13 1 9 1 256

x  x  x 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

















2

2 2 2

13 13 1 x 3 3 1x 13 27 13 13  x  3 3x 40 16 10 x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi:





2

2 16

10 16 10 64

2

x  x     

Dấu

2

2

2

5

3

2 10 16 10

5

x x

x

x

x x



   

  



  



 

 

 



Bài 53 giải phương trình: x3` 3x2 8x40 4 x4 0

Ta chứng minh : 44 x4  x 13



 



2

3 3 8 40 0 3 3 13

x  x  x   x x  x

1)









2 2

2x  2x 1 2x  1 x 1 2x  1 x 1 2)

2 4 5 10 50 5

x  x  x  x 

Bài 54 Giải phương trình :













2

2x1 2 4x 4x4 3 2x  9x 3 0 Giải:



2x 2







2x 1



2 3





3x





2



3x



2 3



f



2x 1



f



3x



             

Xét hàm số

 





2

2

f t t  t 

, hàm đồng biến R, ta có

1

x

Bài 55 Giải phương trình x3 4x2 5x 6 7x29x

Giải Đặt y37x29x 4, ta có hệ :









3

3

2

4

1

7

x x x y

y y x x

x x y

     

     



   

Xét hàm số : f t

 

 t3 t, hàm đơn điệu tăng Từ phương trình

 









5

1 1 1 5

2

x

f y f x y x x x x

x

  

                 

Bài 56 Giải phương trình sau :









2

3

2

1 1

3

x

x  x x  

      

 

 

Giải:

Điều kiện : x 1

Với x [ 1;0]:









3

1x  1 x 0

(ptvn)

[0;1]

x ta đặt : x cos ,t t 0;



 

   

  Khi phương trình trở thành:

1

2 cos sin sin cos

2

x  t  t  t 

  phương trình có nghiệm :

1

x

Bài 57 Giải phương trình sau : 1)

1 2

1 2

1 2

x x

x x

x x

 

    

  HD:

1 2cos tan

1 2cos

x x

x

 



2)





2

1 1 x x 1  x

Đs:

x

3) x3 3x x2 HD: chứng minh x 2 vô nghiệm

Bài 58 Giải phương trình sau: 3 6x 1 2x Giải: Lập phương vế ta được:

3

8

2

x  x  x  x

Xét : x 1, đặt xcos ,t t



0;





Khi ta

5

cos ;cos ;cos

9 9

S 









  mà phương trình bậc có

tối đa nghiệm tập nghiệm phương trình

Bài 59 Giải phương trình

2

2

1

1

x

x

 



 



 

Giải: đk: x 1, ta đặt

1

, ;

sin 2

x t

t

 

 

   

 

Khi ptt:





2

cos

1 cot 1

sin sin

2

t t

x t

 



  

  

Phương trình có nghiệm : x 2



1



Bài 60 Giải phương trình :









2 2

2

2

1

1

2

x x

x

x x x

 

  

Giải: đk x0,x1 Ta đặt :

tan , ;

2

x t t 

 



 

Khi pttt





2

2sin cos2t tcos2t1 0  sin sint  t 2sin t 0

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm

3

x

Bài 61 Giải phương trình :





2 2

3 2

x   x  x  x 

Giải: t  x22 , ta có :





2

2 3

1

t

t x t x

t x

        

  

Bài 62 Giải phương trình :





2

1

x x  x x 

Giải:

Đặt : t  x2 2x3, t 

Khi phương trình trở thnh :



x1



t x21 x2 1



x1



t 0 Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có  chẵn

















2 2

2 1

1

t

x x x t x t x t x

t x

                

  

Từ phương trình đơn giản :



1 x 1x

 

1 x 2 1x



0, khai triển ta pt sau Bài 63 Giải phương trình sau : 4 x 1 3 x2 1 x 1 x2

Giải:

Nhận xét : đặt t  1 x, pttt: 1x 3x2t t 1x (1)

Ta rt x 1 t2 thay vo pt:









2

3t  2 1x t4 1x1 0

Nhưng khơng có may mắn để giải phương trình theo t









2

2 x 48 x 1

      

khơng có dạng bình phương

Muốn đạt mục đích ta phải tách 3x theo



 



2

1 x , 1x Cụ thể sau : 3x



1 x



2 1



x



thay vào pt (1) ta được: Bài6 Giải phương trình: 2 2x4 2  x  9x216

Giải

Bình phương vế phương trình:













2

4 2x4 16 4 x 16 2 x 9x 16 Ta đặt :





2

2

t   x 

Ta được: 9x2 16t 32 8 x0

Ta phải tách









2 2

9x 



2 4 x  2



x  8



cho t có dạng chình phương

Nhận xét : Thơng thường ta cần nhóm cho hết hệ số tự đạt mục đích

a) (4x1) x3 1 2x32x1 b) x2 2 x x2 2x

c) x2 2 x x22x d) x24x(x2) x2 2x4

Bài 64 Giải phương trình :













2

2x1 2 4x 4x4 3 2x  9x 3 0

pt

































2

2x 2x 3x 3x f 2x f 3x

             

Xét hàm số

 





2

2

f t t  t 

, hàm đồng biến R, ta có

1

x

Bài tập đề thi tuyển sinh.

Bài :

a)(ĐHXD) Giải pt

x

2



6

x



6 2



x



1

b) (CĐSP MG 2004)



x

2



4

x



3 2



x



5

c) (CĐSP NINH BÌNH)

3

x



2



x



7 1



d) (CĐ hoá chất)

x

 

8

x



x



3

e) (CĐ TP 2004)

2

x



2

x



1 7



g) (CĐSP bến tre)

5

x



1



3

x



2



x



1 0



h) (CĐ truyền hình 2007)

7



x

2



x x



5



3 2



x x



ĐS:

a) x=1 b) x=14/5 c) x=9 d)x=1 e) x=5 g) x=2 h) x=-1

Bài 2:

a)(ĐHNN-2001) Giải phương trình

x

 

1

4



x



(

x



1)(4



x

) 5.



b) (CĐ Nha trang 2002) :

x



2



5



x



(

x



2)(5



x

) 4



Hdẫn:

a) ĐK: -1≤x≤4

Đặt t=

x

 

1

4



x



0

Giải t=-5 (loại), t=3 Giải t=3 x=0 b) x=

3 5

2



Bài

a)(ĐHQG KD-2001) Giải phương trình

4

x



1



4

x

2



1 1



b) (CĐXD 2003)3

2

x

 

1

2

x



2



2

x

 

3 0

Hdẫn: a) ĐK: x≥1/2

Xét hàm số y=

4

x



1



4

x

2



1

HSĐB [1/2;+∞) Và f(1/2)=1 Vậy phương trình có nghiệm x=1/2

b)x=-1 nghiệm

Bài : Giải pt

2

x

2



8

x



6



x

2



1 2



x



2

ĐK : x ≤-3,x=-1,x≥1

-Với x=-1 Thoả mãn pt -Với x≤-3 VP<0 loại -Với x≥1 pt

2

(

1)(2

6)

(

1)(

1) (

1)

2

6

1 2

1

x

x

x

x

x

x

x

x



















 







Tiếp tục bình phương vế thu x=1 Vậy pt có nghiệm x=1 ; x=-1

Bài : (ĐH mỏ điạ chất) Giải pt

x



4



x

2

 

2 3

x

4



x

2 ĐK :

x



2

Đặt t=

x



4



x

2 Giải t=2 ; t=-4/3 +t=2 x=0, x=2

+t=-4/3

2

14

2

14

;

3

3

x



 

x



 

(loại) KL : Pt có nghiệm

Bài : (HV CNBCVT) Giải pt

3

4

1

3

2

5

x

x

 

x







Giải : ĐK : x≥2/3

Trục thức ta

3

3

( 4

1

3

2)

4

1

3

2 5

5

x

x

 



x

 

x





x

 

x





PT có nghiệm x=2

HS y=

4

x

 

1

3

x



2

ĐB x=2 nghiệm Bài 7: Giải phương trình

3(2



x



2) 2



x



x



6

ĐK: x≥2

pt

2(3

)

6 2

2

2(3

)(

6 2

2) 8(3

)

3

6 2

2 4

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x































 











KL: x=3; x=

11

15

2



Bài 8: Giải phương trình

x

2



x



7 7



ĐK:x



-7

Đặt

t



x



7 0

 

t

2

 

x

7

Phương trình trở thành

2

2

2

7

(

)

(

)(

1) 0

x

t

x

t

x t

x t x t

t

x



 















 





 





Giải x=2; x=

1

29

2

a) x3 1 2 23 x1   

    

3

3

1 2

2 1

x x

y x y x

- Phơng trình đợc chuyển thành hệ



    

  

 

        

        

   



        

  

   

  

   

  



3

3 3 2

3

1

1 2

2

1 2( ) 0( )

1

2

x y x y

x y

x y x y

x y

y x x y x y x xy y vn

x y x y

- Vậy phơng trình cho có nghiệm c)

2

3(2 x) 3(7x)  3(7 x)(2 x) 3

-Đặt :

2

2

3

2

3

.

3

3

3 7

9

3

1;

2

1; 6

2

u

v

uv

u

x

pt

v

x

u

v

u v

u

v

x

uv

 

 

 

 

 

  





















 



 

   



d) 32 x  1 x1 ÑK : x1

3 2

1;

0

1

0;1; 2;

1;0;3

3

2 1

1;2;10

u

x

v

x

v

u

v

u

v

u

v

x

    

    











 



 











Bài 9: Giải phương trình

x



2



x



2 2



x

2



4 2



x



2

ĐK: x≥2

Đặt

t



x



2



x



2



t

2



2

x

2



4 2



x

Thế vào phương trình giải t=1; t=-2 từ giải x=2

Bài 10: (Tham khảo 2002) giải phương trình

x



4



x



4 2



x



12 2



x

2



16

ĐK:x≥4

Phương trình



x



4



x



4 (



x



4



x



4)

2



12

Đặt t=

x



4



x



4

≥0 giải phương trình ẩn t t=4; t=-3 (loại) Giải x=5

Bài 11 :

a)(CĐSP 2004) Giải pt

3

2

1

2

1

2

x

x



x





x



x







Pt

3

1 1

1 1

2

x

x

x







 







Xét 1≤x≤2 : giải nghiệm x=1