[r]
(1)Bi
Båi dìng häc sinh giái phÇn sè häc I) Lý thuyÕt chia hÕt
1) Cho a;bZ ;b 0; a b nÕu cã q Z cho a = bq + r hay cßn nãi b chia
hÕt a ;hay b lµ íc cđa a
2) Với aZ ;bZ ; b ln tìm đợc q r cho a = bq + r (0 r <| b |)
3) Cho m Z ; vµ a,b Z
ta cã a b(mod m) nÕu cã a - b m
4) Tính chất đồng d thức
a)giả sử a1,b1,k1 Z i 1,n a1 b1 (modm)v× i 1,n
th× 1
(mod )
n n
i i i i
i i
k a k b m
b )nÕu a b(mod m) th× an bn (mod m) víi mäi n Z
5) Cho 1<p N
P đợc gọi nguyên tố p có ớc p ;nh p nguyên tố không tồn số nguyên tố a;b >1 cho p= ab
6) Sè tù nhiªn a >1 nguyên tố gọi hợp số
Vậy số tự nhiên a >1 hợp số tồn < b < a cho b lµ íc cđa a
7) Định lý Fermat
Cho a Z ;p số nguyên tố ap
Thì ap-1 (mod p)
*) Các phơng pháp chứng minh chia hÕt
1) Dïng tÝnh chÊt n số nguyên liên tiếp (n>1) có sè chia hÕt cho n
2) Dïng c«ng thøc khai triÓn an - bn a – b víi mäi nZ
(2)an - bn a + b nÕu n ch½n (a - b )
( a+ b )n bn (mod a)
3) Dùng định lý chia có d
Khi chia n cho p có số d 0;1;2; p-1 ho¹c1;2 ; ;
1
p
NÕu p lỴ
4) Dùng quy nạp tốn học 5) Dùng định lý Fermat
P lµ nguyên tố apa (mod p)
(a,p) =1 ap - (mod p) II) Các dạng bµi tËp
Bµi 1: Chøng minh víi mäi số tự nhiên n số n5 n có chữ sè tËn cïng
gièng nhau
Gi¶i Ta chøng minh n5 – n 10
Ta cã n5 – n = n( n2 -1)( n2 +1) = n( n – 1) ( n+ 1) (n2 +1)
Vì n(n-1) số TN liên tiếp => n(n-1) => n5 – n 2
Ta C/M n5 – n n
* n5 – n = n( n2 -1)(n2+1) = n(n2 -1) (n2 – +5)
2 2
5
( 1)( 4) ( 1)
n n n n n
V× (2,5) =1 => n5 – n 10 hay n5 vµ n có chữ số tận cùng
*Hoạc có thÓ xÐt theo sè d
=> n5 – n 10 hay n5 vµ n cã cïng sè tËn cïng
Bµi tËp : Sư dơng tÝnh chÊt chứng minh chia hết : n sô nguyên
liên tiếp có số chia hết cho n dùng cách xét theo số d theo béi cđa 5n cã thĨ b»ng 5k ; 5k 1;5k2
Các tập sử dụng tính chất trên
Chøng minh:
(3)b) n3 + 11n 6
c) Chøng minh r»ng víi sè tự nhiên n 2n + 7
d) Cho < n N Chøng minh r»ng 2n = 10a +b th× ab6
e) n5 m –nm5 30
f) Tìm số nguyên dơng n để A = 2n + 13
Bµi 2: Cho p lµ sè nguyªn tè > chøng minh p2 -1 24
Gi¶i
P2 – = (p+1)(p -1)
Vì p nguyên tố > => p lẻ => P+1 p -1 số chẵn liên tiÕp nªn (p + ) (p – 1) 8
Mặt khác (p + ), (p 1) , p số tự nhiên liên tiếp nên chia hÕt cho => p +1 hc p – chia hÕt cho => (p + ) (p – 1) 3
Mµ (3,8) =1 => p2 -1 24
Bài tập tơng tự :
a) Chøng minh 42k -1 15
b) Chøng minh 31998 + 5 1998 13
c) Chøng minh p4 - 1240
Bµi :
Chøng minh : Q = a8 +4a7 + 6a6 +4a5 +a4lµ béi cđa 16 víi aN
Gi¶i
Q= a4 ( a4 + 4a3 + 6a2 +1) = a4 ( a+1) 4 = [a(a+1)]4
Vì a(a+1) 2 nên [a(a+1)]4 = 24k4 lµ béi cđa 16
Bµi tËp tơng tự
a) CMR m số lẻ M= m4 +9 ( 9- 2m2 ) 16
(4)Bµi 4:
Cho P = (10x + 192 y) (11x+ 191y) (19x+183y) víi x, y Z
BiÕt P101 , hái P có chia hết cho 10110 không ?
Giải:
Vì P có 10 thừa số mà P101 => mét c¸c thõa sè cã thõa sè chia
hÕt cho 101
Gi¶ sư thõa sè 10x + 192y 101 ta cã :
10x + 192y = 10x -10y + 202y =10(x-y) + 202y Vì 10x + 192y 101 mà 202y 101 => 10(x-y) 101
Mµ (10;101) = => x – y 101
VËy ta cã:
101 101 101
10( ) 202 11( ) 202 19( ) 202
P x y y x y y x y y
=> P10110
Bài tập tơng tự
Giả sử a,b số nguyên có (16a + 17b) (17a + 16b) 11
Chøng minh (16a + 17b) (17a + 16b) 121
Bi 8
Bµi :
Cho A = 9999931999 – 5555571997 chøng minh A5
Gi¶i :
XÐt 31999 =( 34)499 33 = 8499.33 sè nµy cã tËn cïng lµ 7
XÐt 71997 = (74)499 sè nµy cã tËn cïng lµ 7
A cã số tận nên A 5
Bài tËp t¬ng tù : Chøng minh : B = 31998 + 51998 13
Gi¶i :
(5)= [(32)909 + (22)999] + [(53)666 – (23)666]
= (9999+4999) + (125666 – 8666)
=( 9+ 4) A + (125 – 8) C = 13A + 117C 13
Bài 6:
CMR a2 + b25 2a + b, 2b – a hc hai sè
2a – b, 2b + a chia hÕt cho
Chøng minh
Ta cã a2 + b2 = ( a2- 4b2 ) + 5b2 = (a – 2b)( a+ 2b) + 5b2
=> (a – 2b) (a + 2b) 5
* NÕu a – 2b 5 => 2b – a 5
Vµ 2( 2b – a) + ( 2a + b) = 5b 5 => 2a + b 5
* NÕu a + 2b 5 => 2(2a – b) + ( a+ 2b) = 5a 5 => 2a – b 5
Bài 7: CMR số tự nhiên
1 1
1.2.3 2003.2004
2 2003 2004
A
Chia hÕt cho 2005
Gi¶i :
1 1
1
2 2003 2004
2 4 5 n d n d
n d n d
1 1
2005
2004 2.2003 3.2002 1002.1003
1 1
1.2.3 2003.2004.2005
2004 2.2003 3.2002 1002.1003
A
=2005 (B)
B biểu thức tự nhiên => A2005
(6)Cho
1 1
1
2 1992
m n
CMR: m1993 vµ tìm toán tổng quát
Bài Cho phân sè
2 4 n A n
hái cã bao nhiªu sè tù nhiªn tho¶ m·n
n 2 004 soa cho A phân số cha tối giản
Giải
Gọi d ớc n2 +4 n + th× ta cã
2 4 5 n d n d
n d n d
=>[(n+5)2 – (n2 +4)] d => (10n+21)d hay 10( n+5) – 29 d
Mµ 10( n+5) d => 29d
Để A cha tối giản d >1 mà d ớc 29 nên d = 29 Do n + = 29 k ( kN*)
=> n = 29 k –
V× n 2004 nªn 29k - 2004 <=> 29k 2009 => k = , , , ,69
VËy cã 69 sè nguyên dơng thoả mÃn đầu Bài tập tơng tự
* Chứng minh phân số tối giản với sè tù nhiªn n
3 2 n n n n
* cho a/b tèi gi¶n chøng minh 2
ab a b
* Chøng minh víi a/b tèi giản
( )
a b a a b
tèi gi¶n
Bài : Cho số tự nhiên A ngời ta đổi chỗ chữ số A để đợc số B
gÊp ba lÇn sè A Chøng minh B 27
Gi¶i :
(7)Nhng tổng chữ số A B nh ( Ngời ta đổi chỗ chữ số ) => A 3 (2)
Tõ (1) vµ (2) => B 9 => A9 (3)
Tõ (1) vµ (3) => B 27
Bµi 10 :
Cho sè N = 1.3.5 1997, chøng minh r»ng sè tù nhiªn liªn tiÕp
2N – , 2N, 2N + kh«ng cã sè số phơng
Ta ý kÕt luËn :
+ Mét sè chÝnh ph¬ng chẵn 4
+ Một số phơng không chia hÕt cho th× chia cho d Gi¶i
* Ta cã 2N = 2( 1.3.5 1997) số chẵn nhng không chia hết cho => 2N số phơng
* Ta cã 2N – = ( 2N – 3) +2 mµ 2N – 3
=> 2N – chia cho d nªn 2N – số phơng * Giả sử 2N + = k2 ( k lỴ )
=> 2N = k2 -1 = ( k+1) (k – ) 4
=> N chẵn vô lý
Vậy 2N + số phơng Bài tập tơng tự
a) Tìm tất số nguyên N cho n2 + 2002 sè chÝnh ph¬ng
b) Cho N = 1.2.3 + 2.3.4 + + n( n+1 ) ( n+ 2)
Chøng minh sè 4N + 1lµ mét sè chÝnh phơng với số nguyên dơng n Bài 11 :
Chøng minh sè A = 29 + 299 100
Gi¶i
A = 29 + 299 = 29 + (211)9
=( + 211) ( 28 -27.211 + 26 222 - 2.277 + 288
= 2050 2B = 4100 B 100
(8)Ta chøng minh 29 + 299 (mod 25)
ThËt vËy2102024 -1 (mod 25)
=> 29 +299= 29 ( 1+290) = 29[1+ (210)9] (mod 25)
Bài tơng tự
a) Chứng minh : (a2 +3a +1)2 – 24 víi aN
b)Chøng minh 10n +18n -1 27 víi nN
c) Chøng minh 10k - 4k -3b lµ béi cđa
d) CMR nÕu a,b 3 th× a6 – b6 9
………
Buæi 9 Bài tập
a) CMR tổng bình phơntg số nguyên liên tiếp số phơng
b) CMR tổng luỹ thừa chẵn số nguyên liên tiếp số phơng
c) Sè 19 1997 + 91997 + 7 1997 có số phơng không ? sao
d) Hình vuông có cạnh số tự nhiên cã thĨ cã diƯn tÝch lµ 1997
111 11 so
đợc không? sao?
Bµi 12:
Cho
3
1993 1991
3
x x x
A
CMR x số nguyên A nhận giá trị nguyên Giải
Ta cã
3
3986 31991
6
x x x
A
Ta chøng minh xZ th× B = 3986x3 + 3.1991x2 +x chia hÕt cho 6
(9)NÕu x lỴ =>(3986x2 + 3.1991x +1 )2
NÕu x = 3k (kZ) => B = x[(3984x2 +3.1991x )+2x2 +1]3
X = 3k th× x2 =3m+1 (mZ )
=> 2x2 +1 = (6m+3) 3 => B 3
VËy B 2 vµ mµ (2,3) =1 => B6
Chøng tỏ A có giá trị nguyên x nguyên Bài tập tơng tự
a) CMR với số nguyên n th×
5 7
5 15
n n n
b) CMR : ax3 + bx2 + cx+d số nguyên vỡi xZ
Khi vµ chØ 6a,2b,a+b+c vµ d số nguyên Bài 13
CMR: với số tự nhiên n số N=5.72n+2 +23n 41
Giải :
N= 5(49n+1 - 8n+1 )+41.8n
= 5.49n+1 -5,8n+1 +41.8n
= 5.49n+1 – 40.8n +41.8n
Bài tập tơng tự
a) ( 62n + 19n – 2n+1)7
b) ( 7.52n + 12.6n )19
c) (5n+2 + 26.5n + 82n+1 )59
Bµi 14
Cho a lµ sè nguyên dơng chẵn không chia hết cho 10.tìm chữ sô hàng trục a20 chữ số hàng trăm a200
Giải
Vì a số chẵn => a20 4 a kh«ng chia hÕt cho 10 => a kh«ng chia hÕt cho
5 a có dạng 5k 1; 5k2 với kN => a20 = (5k1 )20 chia cho 25
d
(10) (mod 25)
VËy ch÷ sè tËn cïng cđa a 01;26;51;76 Vì a20 4 nên chữ số hàng trục a
Tơng tự a chẵn nên a200 =( a2)1008 mà (a,5) = 1
Nªn a100 (mod 125) a200 (mod 125)
VËy ch÷ sè tËn cïng cđa a 001;126;251;376;501;625;751;876 Vì a200 8 nên chữ số hàng trăm a200 phải 3
Bài 15:
CMR: 16n – 15n – 225
Gi¶i
Ta cã 16n – 15n - = (16 – 1) ( 16n-1 + 16 n- 2 + + 16 +1) + 15n
= 15( 16n – 1 + 16 n – 2 + + 16+1 – n)
= 15( ( 16n – -1 + 16 n – 2 -1+ + 16-1 +1 -1)
V×
1 n
n
=> chia hÕt cho 15 15 = 225 Bµi 16: CMR :
6
2
2 n
6
2
2 n 19
Ta co 26n+2 = 4.26n = 4.(23)2n = 4.( – ) 2n 4(mod 18)
=> 6n+2 = 18K +4
Nªn
6
2 18 4 18 18
2 n k 2 k 16(2 )k
Theo Fermat ta cã (2k)181 (mod 19)
=> 16.(2k)18 16 (mod 19)=>
6
2
2 n
(mod 19)
Phần : Số phơng
1) Định nghĩa : số có dạng n2 ,nZ
2) Tính chất
1) Số phơng chẵn chia hết cho 4, số phơng lẻ chia cho d
2)NÕu a = 3k th× a2 o (mod 9) ;NÕu a 3k th× a2 (mod 3)
(11)4) Số phơng có tận 2;3;7;8;
5) NÕu hiƯu cđa sè nguyªn b»ng 2n tích chúng thêm n2
sè chÝnh ph¬ng
6) NÕu a.b chÝnh ph¬ng ,(a,b) =1 Thì a phơng; b phơng HD: G/s ab = c2 vµ gäi d =(a,c) => a =a
1d ;c =c1d ; (c1,a1) =1
Do ab = c12d
+)Do c12\ a1b => c12\ b v× (a1,c1) =1
+) Do b\ c12d => b\c12 v× (b.d)=(b,a)=1 b=c12 ;
2
c
a d
b
7) Nếu số phơng chia hết cho p; p nguyên tố số phơng chia hết cho p2 Do số a chia hết cho s
nguyên tố p nhng số không chia hết cho p2 a không số
ph-ơng
8) Số phơng tận số số chẵn 9) Số ớc số phơng lẻ ngợc lại 3) Bài tập
Bài 1 CMR tổng số chẵn liên tiếp không phơng
G/s số chẵn liên tiếp 2n +2 vµ 2n
Ta cã 2n+2 +2n = n +2 (mod 4) => Không phơng
Bài 2 :CMR : a,b số nguyên thoả mÃn hệ thức 2a2 + a =3b2+ b thì
a- b 2a+2b+1 số phơng Giải
Cách 1: ta có a2 -2 b2 + a – b= b2 (1) suy (a – b) ( 2a+2b+1) =b2
Đặt d =(a-b, 2a+2b+1) => d \ a-b d \ 2a+2b+1
d chia hết (2a+2b+1 –2(a-b) = 4b+1 mặt khác từ (1) => d2\ b2 =>d \ b => d=1
Vậy số phơng
Cách 2:+) Nếu a =0 => b=0 => đpcm + ) NÕu a0 => b => ab
(12)đặt b’ =a’ +r (r 0) ; ( a’,r)=1 Ta có (a’d)2 +a’d = (b’d)2 + b’d
2a’2 d2 +a’d = 3b’2d2 + b’d
2a’2 d +a’ = 3b’2d +b’ =3(a’+r)2 d +a’ +r
=> 2a’2 d = 3a’2d + 6a’rd+3r2d +r
a’2d + 6a’rd+3r2d +r =0 (*)
Vì rd => a2d r (a,r) =1 => dr => r =d
+) NÕu r =d ; (*) => a’2 +6a’d +3d2 +1 =0 => a’2 +1 3 v« lý