[r]
(1)
BÀI BẤT ĐẲNG THỨC VÀ HƯỚNG DẪN Tiếp theo ( 21 – 40)
21 Cho x, y, z số dương Chứng minh
2( )
1 x y z x y z
y z x xyz
Hướng dẫn:
Ta có
3
2( ) 2( )
1 x y z x y z x y z x y z x y z
y z x xyz y z x z x y xyz
3
2( )
x y z x y z x y z
y z x z x y xyz
Ta có
2 2
3 x y z x x y y y z z z x x x y y y z z z x
y z x y y z z z x x x y xy y z yz z x zx x y
3 3
3x 3y 3z
xyz xyz xyz
22 Cho ba số dương x ,y, z Chứng minh
3 3
x y z
x y z yz zx zx
Hướng dẫn:
Ta có
3
3
x
y z x yz
3
y
z x y zx
3
z
x y z xy
Cộng bất đẳng thức
23.Cho ba số dương a, b, c Chứng minh a2b2 c2 2(ab ac )
Hướng dẫn:
Ta có
2
2 2 ( ) 2 2( )
2
b c b c
(2)24.Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh 2
3
1 1
a b c
b c a
.
Hướng dẫn:
Ta có
2
2 2 2
1
a ab ab ab
a a a
b
b b
ab bc ca 3
25. Chøng minh r»ng : a) a
2
+b2
2 ≥(
a+b
2 )
2
; b) a
2
+b2+c2
3 ≥(
a+b+c
3 )
2
Hướng dẫn:
a) Ta xÐt hiÖu a
2
+b2
2 −(
a+b
2 )
2
= 2(a
2
+b2)
4 −
a2+2ab+b2
4
=
4(2a
2
+2b2− a2−b2−2 ab)
=
4(a −b)
2≥0
VËy a
2
+b2
2 ≥(
a+b
2 )
2
DÊu b»ng x¶y a=b b) Ta xÐt hiÖu
a
2
+b2+c2
3 −(
a+b+c
3 )
2
=
9[(a − b)
2
+(b − c)2+(c − a)2]≥0
VËy a
2
+b2+c2
3 ≥(
a+b+c
3 )
2
DÊu b»ng x¶y a = b =c
26 Chứng minh m,n,p,q ta có
m ❑2 + n
❑2 + p ❑2 + q ❑2 +1 m(n+p+q+1)
Hướng dẫn:
⇔(m2
4 −mn+n
2
)+(m
2
4 −mp+p
2
)+(m
2
4 −mq+q
2
)+(m
2
4 − m+1)≥0
⇔(m
2− n)
2
+(m
2− p)
2
+(m
2 − q)
2
+(m
2 −1)
2
(3)DÊu b»ng x¶y
{m2 −n=0
m
2− p=0
m
2 −q=0
m
2 −1=0
⇔ {
n=m
2
p=m
2
q=m
2
m=2
⇔ { m=2
n=p=q=1
27 Cho a, b, c, d,e số thùc,
Chøng minh r»ng
a) a2
+b
2
4 ≥ab
b) a2
+b2+1≥ab+a+b
c) a2
+b2+c2+d2+e2≥ a(b+c+d+e) Hướng dẫn:
a) a2
+b
2
4 ≥ab
⇔4a2
+b2≥4 ab ⇔4a2−4a+b2≥0
⇔(2a −b)2≥0 (bất đẳng thức đúng) Vậy a2+b
2
4 ≥ab (dÊu b»ng x¶y 2a=b)
b) a2+b2+1≥ab+a+b ⇔2(a2+b2+1)>2(ab+a+b) ⇔a2−2ab
+b2+a2−2a+1+b2−2b+1≥0
b −1¿2≥0
a −1¿2+¿
a −b¿2+¿
⇔¿
Bất đẳng thức cuối
VËy a2
+b2+1≥ab+a+b
DÊu b»ng x¶y a=b=1
c) a2+b2+c2+d2+e2≥ a(b+c+d+e)
⇔ 4(a2+b2+c2+d2+e2)≥4a(b+c+d+e) ⇔ (a2−4 ab+4b2)+(a2−4 ac+4c2)+(a2−4 ad+4d2)+(a2−4 ac+4c2)≥0
⇔ (a −2b)2+(a−2c)2+(a−2d)2+(a−2c)2≥0 Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh
28 Chøng minh r»ng: (a10+b10) (a2+b2)≥(a8+b8)(a4+b4)
Hướng dẫn:
(a10
+b10) (a2+b2)≥(a8+b8)(a4+b4) ⇔ a12+a10b2+a2b10+b12≥ a12+a8b4+a4b8+b12 ⇔ a8b2(a2− b2)
+a2b8(b2− a2)≥0
⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6) ⇔ a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0
(4)29 Cho x.y =1 vµ x.y = Chøng minh x
2
+y2
x − y 2√2
Hướng dẫn:
x2+y2
x y 22 :x y nên x- y ⇒ x2+y2 2√2 ( x-y)
⇒ x2+y2- 2
√2 x+ 2√2 y ⇔ x2+y2+2- 2
√2 x+ 2√2 y -2
⇔ x2+y2+( √2 )2- 2√2 x+ 2√2 y -2xy 0 x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y- √2 )2 Điều luôn Vậy ta có điều phải chứng minh
30 Cho a, b ,c số không âm chøng minh r»ng
(a+b)(b+c)(c+a) 8abc
Hướng dẫn:
Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: (x+y)2≥4 xy
Tacã (a+b)2≥4 ab ; (b+c)2≥4 bc ; (c+a)2≥4 ac ⇒ (a+b)2 (b+c)2 (c+a)2 64a2b2c2=(8 abc)2 ⇒ (a+b)(b+c)(c+a) 8abc
DÊu “=” x¶y a = b = c
31 Cho a>b>c>0 vµ a2
+b2+c2=1 Chøng minh r»ng:
3 3 1
2
a b c
b c a c a b Hướng dẫn:
Do a,b,c đối xứng ,giả sử a b c ⇒ {
a2≥ b2≥c2 a
b+c≥
b a+c
c a+b áp dụng BĐT Trê- b-sép ta cã
a2 a
b+c+b
2
b
a+c+c
2
c
a+b≥
a2+b2+c2
3 (
a b+c+
b a+c+
c a+b) =
1
3
2 =
1
VËy a
3
b+c+
b3
a+c+
c3
a+b≥
1
2 DÊu b»ng x¶y a=b=c= √3
32 Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 Chøng minh r»ng:
a2
+b2+c2+d2+a(b+c)+b(c+d)+d(c+a)≥10
Hướng dẫn:
Ta cã a2+b2≥2 ab c2+d2≥2 cd Do abcd =1 nªn cd =
ab (dïng x+
x≥
1
2 )
Ta cã a2+b2+c22(ab+cd)=2(ab+
ab)4 (1)
Mặt khác: a(b+c)+b(c+d)+d(c+a)
=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) = (ab+
ab)+(ac+
ac)+(bc+
bc)≥2+2+2
(5)33 Cho sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng:
b+d¿2 ¿
a+c¿2+¿ ¿
√¿
Hướng dẫn:
Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd √a2
+b2.√c2+d2
mµ (a+c)2+(b+d)2=a2+b2+2(ac+bd)+c2+d2
(a2+b2)+2√a2+b2.√c2+d2+c2+d2
⇒
b+d¿2 ¿
a+c¿2+¿ ¿
√¿
34 Cho <a,b,c <1 Chøng minh r»ng:
2a3+2b3+2c3
<3+a2b+b2c+c2a
Hướng dẫn:
Do a < ⇒ a2<1 vµ Ta cã (1− a2).(1− b
)<0 ⇒ 1-b- a2 + a2 b > 0
⇒ 1+ a2 b2 > a2 + b
mµ 0< a,b <1 ⇒ a2 > a3 , b2 > b3
Tõ (1) vµ (2) ⇒ 1+ a2 b2 > a3 + b3 VËy a3 + b3 < 1+ a2 b2
T¬ng tù b3 + c3 1+b2c c ❑3 + a3
1+c2a
Cộng bất đẳng thức ta có :
2a3+2b3+2c3≤3+a2b+b2c+c2a
35 Cho a,b,c,d > Chøng minh r»ng
1< a
a+b+c+
b b+c+d+
c c+d+a+
d d+a+b<2 Hướng dẫn:
Theo tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc ta cã a
a+b+c<1⇒
a a+b+c<
a+d
a+b+c+d (1)
Mặt khác : a
a+b+c>
a
a+b+c+d (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã
a
a+b+c+d <
a a+b+c <
a+d
a+b+c+d (3)
T¬ng tù ta cã
b
a+b+c+d<
b b+c+d<
b+a
a+b+c+d (4)
c
a+b+c+d<
c c+d+a<
b+c
(6)d
a+b+c+d<
d d+a+b<
d+c
a+b+c+d (6)
céng vÕ víi vÕ cđa (3); (4); (5); (6) ta cã
1< a
a+b+c+
b b+c+d+
c c+d+a+
d
d+a+b<2 ®iỊu ph¶i chøng minh
36 Cho a
b < c
d vµ b,d > Chøng minh r»ng
a b <
ab+cd
b2
+d2<
c d
Hướng dẫn:
Tõ a
b < c
d ⇒
ab
b2<
cd
d2 ⇒
ab
b2<
ab+cd
b2
+d2<
cd
d2=
c d
VËy a
b <
ab+cd
b2
+d2<
c
d điều phải chứng minh
37 Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng
2<
n+1+
1
n+2+ +
1
n+n<
3
Hướng dẫn:
Ta cã
n+k>
1
n+n=
1
2n víi k = 1,2,3,…,n-1
Do đó:
n+1+
1
n+2+ +
1 2n>
1 2n+ +
1 2n=
n
2n=
1
38 Chøng minh r»ng:
1+
√2+
√3+ +
√n>2(√n+1−1) ( Víi n số nguyên dng)
Hng dn:
Ta có
√k=
2 2√k>
2
√k+√k+1=2(√k+1−√k)
Khi cho k chạy từ đến n ta có > (√2−1)
√2>2(√3−√2)
………
√n>2(√n+1−√n)
Cộng vế bất đẳng thức ta có 1+
√2+
√3+ +
√n>2(√n+1−1)
39 Cho a;b;clà số đo ba cạnh tam gi¸c chøng minh r»ng a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Hướng dẫn:
a)V× a,b,c số đo cạnh tam giác nên ta cã {
0<a<b+c
0<b<a+c
0<c<a+b
{
a2<a(b+c)
b2<b(a+c)
(7)Cộng vế bất đẳng thức ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b) Ta cã a > b-c b − c¿
2
a2
>a2−¿ > b > a-c c −a¿
2
b2>b2−¿ > c > a-b a −b¿
2
>0
c2>c2−¿ Nhân vế bất đẳng thức ta đợc
⇒a2b2c2>[a2−(b − c)2][b2−(c − a)2] [c2−(a −b)2]
⇒a2b2c2>(a+b − c)2(b+c − a)2(c+a −b)2
⇒abc>(a+b − c).(b+c −a).(c+a −b)
40 Cho a,b,c > vµ a+b+c <1
Chøng minh r»ng
a2+2 bc+
1
b2+2 ac+
1
c2+2 ab9 (1) Hng dn:
Đặt x = a2+2 bc ; y = b2+2 ac ; z = c2+2ab Ta cã x+y+z=(a+b+c)2<1
(1) ⇔1
x+
1
y+
1
z≥9 Víi x+y+z < vµ x ,y,z >
Theo bất đẳng thức Cơsi ta có x+y+z ≥ 3
√xyz
x+
1
y+
1
z≥
3
√ xyz
⇒ (x+y+z).(1
x+
1
y+
1
z)≥9
Mµ x+y+z < VËy
x+
1
y+
1
z≥9 (®pcm)