english 6 new ki 2 track 2

Bài tập Bài tập 1: Giải các phương trình sau. a.[r]

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT A/TÓM TẮT KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

I) CÁC ĐỊNH NGHĨA :

1) Lũy thừa với số mũ nguyên dương:

an= a.a…a ( tích n số a) với n>1

2) Luỹ thừa với số mũ nguyên âm : a0 = a-n =

an ( với a n nguyên dương )

3) luỹ thừa với số mũ hữu tỉ :

a=a

m n

=√n am ( Với a >

+¿❑

r=m

n , m∈Z , n∈Z¿

)

4) Lôga rit số a b: loga b a b (0 a 1,b 0) 

      

II) CÁC TÍNH CHẤT VÀ CƠNG THỨC :

1) Luỹ thừa : Với số a> , b> , α ; β tuỳ ý ta có:

aα.aβ=aα+β ; aα:aβ=aα − β ; a

α

¿β=aαβ

¿

a.b¿α=aα.aβ

¿ ;

a:b¿α=aα:bα

¿

2) Lôgarit: Với giả thiết biểu thức xét có nghĩa , ta có ;

loga1=0

; logaa1



log b

a a b; alogab=b

loga(b.c)=logab+logac loga

b

c=logab −logac ; loga(

c)=−logac

logab α

=α logab ( với α tuỳ ý ) ; loga n

√b=1

nlogab ; n∈N❑

logbx=logax logab

, tức logab logba=1 ( Công thức đổi số)

1

log loga ; log loga

a b b a b b



 



 

 

B/ PHẦN BÀI TẬP : I/ PHƯƠNG TRÌNH MŨ

 Một số phương pháp giải phương trình mũ

@Phương trình mũ bản : ax m xlogam(0a1;m0) @ Phương pháp đưa số

*Biến đổi vế số sử dụng phép biến đổi sau để giải

 



 



 

 

( ) ( )

( ) ( )

0 1

f x g x

a a f x g x

a

a./

2

x 3x

1

3

   

  

   

  b./ 2x 1 2x 2 36

Giải:

a./

2

2

x 3x

(x 3x 1) 2 x

1

3 3 (x 3x 1) x 3x

x

 

  

  

 

              



  

 



  

b./

x x x

x x x

x x

2 8.2

2 36 2.2 36 36

4

9.2 36.4 16 x

  

      

      

Ví dụ 2: Giải phương trình sau

a.2x2 x 41 3x b

2

x 6x

2

2   16 2

c.2x 2x 1 2x 2 3x  3x 1 3x 2 d.

2

2 x

(x  x 1)  1

@ Phương pháp đặt ẩn phụ Dạng : A.a2f(x) + B.af(x) + C = (1)

Đặt t = af(x) >

Ta có phương trình : At2 + Bt + C = (2)

* Phương trình ( 1) có nghiệm phương trình ( ) có nghiệm t > Ví dụ : Giải phương trình sau

a).2.16x  15.4x  80 b) 32x 8  4.3x 5 27 0

Ví dụ : Tìm m để phương trình sau có nghiệm

x x

(m 4).9  2(m 2).3 m 1 0 Dạng : A.af(x) + B.bf(x) + C = (1) a.b=1

Đặt t = af(x) >  bf(x)=

1

t

Ta có phương trình : At +

B

t + C =  At2Ct B 0 (2)

* Phương trình ( 1) có nghiệm phương trình ( ) có nghiệm t > Ví dụ1 : Giải phương trình sau

a/ (3 5)x 16(3 5)x 2x 3

b) ( 2 3 )x( 2 3 )x 4 c) 43 os2xc  7.41 osc 2x 0

Ví dụ : Giải biện luận phương trình

x x

(m 2).2 m.2 m0. Dạng : A.a2f(x) + B.af(x).bf(x) + C.b2f(x) = (1)

Chia hai vế cho b2f(x) > ta có : A

2 ( ) ( )

0

f x f x

a a

B C

b b

   

  

   

   

Đăt t =

( )

f x a b

   

 Phương trình ( 1) có nghiệm phương trình ( ) có nghiệm t > Ví dụ 1: Giải phương trình sau

a./ 25x x 15 0 b./ 34x-4.32x 1 27 0

c./ 3x2 32x 24 d) 64 9x – 84 12x + 27 16x =

Giải:

a./  

2

25x x 15 0  5x  x 15 0 Đặt t = 5x, t >0 ta có phương trình: t2 – 2t – 15= 0

5

5

3 (loai)  

     

 

x

t

x t

b./

 2x2

2x

2

2

4x 2x+1

3 - 4.3 +27=0 12 27

Nêu t=3 t>0 ta có : t 12 27

1

3 3

2

9 2 1

   

  

 

      

      



   

    

;

x

x x

t

t x x

t x x

c./ Đặt t3x 0, ta có

2

9t 24 1 3

( loai)

  

       

  

x

t

t x

t

d/64 9x – 84 12x + 27 16x = 

2

4 16

2

3

4

27 84 64

1

3 4 4

3

x

x x

x

x x

   

   

  

    

    

      

      

      

Bài tập áp dụng:

: Giải phương trình sau

a) 6.9x 13.6x6.4x 0 b) 3 8x+4 12x−18x−2 27x=0 c) 22x−9 14x+7 72x=0 d) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x e) 2x2

+x−4 2x2

− x−22x

+4=0 g) 12 3x+3 15x−5x+1=20

2. Tìm tất giá trị tham số m để phương trình: 41+x

+41− x=(m+1)(22+x−22− x)+2m có

nghiệm thuộc đoạn [0;1] 3. Cho phương trình : 91+√1− x2

−(m+2) 31+√1− x2+2m+1=0 Tìm m để phương trình có nghiệm

@ Phương pháp lơgarit hóa

Nếu hai vế phươnh trình dương ta giải phương trình cách lấy lơgarit hai vế ( lơgarit hóa)

Ví dụ 1: Giải phương trình sau

a./ 32x5 5 b./ 5 2x 2x1 50

Giải: a./

2

3

5

3 5

2 log log

b./

2

20

4

5 50 50 20 100 100

2

x log

x x x x x

      

Ví dụ 2: Giải phương trình : a)

x x x

 b) x6.5log 5x 55

c) 32 log 3x 81x

@ Phương pháp sử dụng tính đồng biến nghịch biến hàm số Ví dụ : Giải phương trình

a) 3x + 4x = 5x b) 2x = 1+ x

3 c)

x

1

( ) 2x 1

3   d) 9x + 2(x -2)3x + 2x - = 0

Giải:

a) 3x + 4x = 5x

x x

3

5

   

      

    (*)

Dễ thấy phương trình có nghiệm x=2 .Với x>2

2

2

3

3

1, 5 25

1

5

5

4 16

2

5 25

x

x x

x x

   

 



    

 

        

   

     

   

   

  

     

   

  ph tr (*) khơng có nghiệm x 2

.Với x<2

2

2

3

4

1, 5 25

1

5

5

4 16

2

5 25

x

x x

x x

   

 



    

 

        

   

     

   

   

  

     

   

  ph tr (*) khơng có nghiệm x 2

Vậy phương trình có nghiệm x=2 Bài tập

Bµi 1: Giải phương trình :

a.2x2 x 41 3x b.

2

x 6x

2

2   16 2

c.2x 2x 1 2x 2 3x  3x 1 3x 2 d.2 3x x 1 .5x 2 12 e

2

2 x

(x  x 1)  1 f.( x x )2 x 2 1 g

2

2 x

(x  2x2)  1

Bµi 2:Giải phương trình :

a.34x 8  4.32x 5 270 b.22x 6 2x 7  170 c.(2 3)x (2 3)x  40 d.2.16x 15.4x  80

e.(3 5)x 16(3 5)x 2x 3 f.(74 3)x  3(2 3)x  2 0 g.3.16x2.8x 5.36x h

1 1

x x x

2.4 6 9

i

2 3x

x x

8 2 12 0



k (x 1) x 3 1 Bµi 3:Giải phương trình :

a.3x 4x 5x b.3x  x 40

c.x2  (3 )x x 2(1 ) x 0 d.22x 1 32x52x 1 2x 3x 1 5x 2 II PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

* Phương trình lơgarit log

c

x c x a

a    (x > 0, 0< a 1) * Một số phương pháp giải phương trình lơgarit

@ Phương pháp đưa số Biến vế đưa dạng:

log log

x=b 0 a 1, b>0

a x ab

 

 



  



Tổng quát:

logg(x)f(x)=logg(x)h(x) ⇔

0 ( )

( )

( ) ( )

g x f x f x h x

  

  

 



Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

a./ log2 xlog (2 x3)2 b./ log2xlog2x2log29x

Giải:

a./ log2 xlog (2 x3)2 (1)

ĐK:

0

0

3

x x

x

x x

 

 

  

 

   

 

2

2

1 3

1

3

4

(loại)

( ) log (x x ) x x( )

x

x x x

x

      

 

       

 

b./ log2xlog2x2 log29x (1) ĐK: x>0

2 2 2

2 2

1 9

1

9 3

2

( ) log log log log log log

log log log log

x x x x

x x x

     

     

x=3>0 thỏa điều kiện Vậy phương trình có nghiệm x=3 Ví dụ 2: Giải phương trình: log2x+log3x+log4x=log10x(1) Giải.

đk: x >

Ta biến đổi số 2:

log3x=log32 log2x ; log4x=log42 log2x ; log10x=log102 log2x

x+6¿3 4− x¿3+log1

4 ¿

x+2¿2−3=log1

4 ¿

2log1 ¿

(1)

Giải. Ta có:

x+2¿2=2 log1

4 |x+2| log1

4

¿ 

4− x¿3=3 log1

4 |4− x| log1

4

¿ 

x+6¿3=3 log1

4 |x+6| log1

4 ¿

Đk: ¿ |x+2|>0

4− x>0

6+x>0

¿{ {

¿

⇔

¿

−6<x<−2

−2<x<4

¿{

¿ (1) ⇔ log1

4

|x+2|−3=3 log1

4

(4− x)+3 log1

4

(x+6) ⇔ log1

4

|x+2|−1=log1

4

[(4− x)(x+6)]

⇔ log1

4|x+2|=log1

4

[(4− x)(x+6)] ⇔ 4|x+2|=(4− x)(x+6)>0

⇔

4(x+2)=− x2−2x+24

¿

4(x+2)=x2+2x −24

¿ ¿ ¿ ¿

⇔

x2+6x −16=0

¿

x2−2x −22=0

¿ ¿ ¿ ¿

⇔

x=2

¿

x=−8

¿

x=1±√33

¿ ¿ ¿ ¿

⇒ nghiệm:

x=2

¿

x=1−√33

¿ ¿ ¿ ¿

Ví dụ 4: Giải biện luận phương trình:

log2+√3√x2−3x+2 + log2−√3√x −1 = log7−4√3[a(x+2)] , a > (1) Giải.

Đk: x2 – 3x + > 0, x – > 0, a(x + 2) > ⇒ x > Ta có: (2+√3)(2−√3) = ⇒ log2−√3√x −1 =

2+√3¿−1 ¿ ¿ log¿

= −log2+√3√x −1 log2+√3√x2−3x

+2 + log2−√3√x −1 = log2+√3√

x2−3x+2

√x −1 =

1

2log2+√3(x −2)

log7−4√3[a(x+2)] =

2−√3¿2 ¿ ¿ log¿

=

2log2−√3[a(x+2)] = −

2log2+√3[a(x+2)]

(1) ⇔

2log2+√3(x −2) = −

2log2+√3[a(x+2)] ⇔ x – = [a(x+2)]

−1 ⇔

x2 – =

⇔ x2 = +

a

a > ⇒ nghiệm: x = ±√4+1

a

x > ⇒ x = √4+1

a Bài tập áp dụng:

1) Giải phương trình: a) log2(4x1 4) log2(4

x

+1) = log1

√2√

b) logx3 + log3x = log√x3 + log3√x + c) logx(125x) log252x =

d) log3(sin x

2−sinx) + log13(sin

x

2+cos 2x) = (Đề 3) 2) Xác định m để phương trình:

2 log4(2x2− x+2m−4m2) + log1

(x2+mx−2m2) = 0

có nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x12 + x22 >

Hướng dẫn:

pt ⇔ log2(2x2− x+2m−4m2) = log2(x2+mx−2m2) ⇔

¿

2x2− x+2m−4m2=x2+mx−2m2

x2+mx−2m2>0

¿{

¿

⇔

¿

x2−

(m+1)x+2m −2m2=0

x2

+mx−2m2>0

¿{

¿

⇔

x1=2m

¿

x2=1−m

¿

¿x2+mx−2m2>0(2)

¿ ¿{

¿ ¿ ¿

phương trình có nghiệm x1 , x2 nên x1 , x2 điều kiện (2) ⇒ – < m <

x12 + x22 > ⇒

−1<m<0

¿ 5<m<

1 ¿ ¿ ¿ ¿ 3) Tìm a để phương trình

log5(ax)

log5(x+1) = có nghiệm

pt ⇔

ax>0

x+1>0;x+1≠1

x+1¿2 ¿ ¿ ¿{ {

log5(ax)=log5¿

⇔    

0

1

– a x

ax x x

 



  

 

  



phương trình có nghiệm (2) có nghiệm thoả mãn:

¿ ax>0

−1<x ≠0

¿{

¿ 4) Giải biện luận phương trình: 2lgx – lg(x – 1) = lga theo a (đề 29)

@ Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình

x −1¿log2[4(x−1)]

¿ = x −1 ¿3 ¿ Giải.

Đk:

¿ 4(x −1)>0

x −1>0

¿{

¿

Lấy logarit số vế, ta được:

x −1¿log2[4(x−1)]

log2¿ =

x −1¿3 8¿ log2¿

⇔ log2[4(x −1)] log2(x −1) = + log2(x −1) ⇔ [2+log2(x −1)] log2(x −1) = + log2(x −1) (1)

Đặt t = log2(x −1) ⇒ (1) ⇔ t2 – t – = ⇒ phương trình có nghiệm: t1=1−√13

2 ; t2=

1+√13

2 t1=1−√13

2 ⇒ x1=1+2 1−√13

2

t2=1+√13

2 ⇒ x2=1+2 1+√13

2

Ví dụ 2. Giải phương trình √x −2¿

2 ¿

2¿ = log2(2x)

Giải.

Đk: ¿ 2x>0

x −2≥0 ¿{

¿

Đặt 2x −1 = y; y ≥2 ⇒ x = log

2 y + ⇒ Ta hệ phương trình:

¿

y=log22x

x=log22y ¿{

¿

⇔

¿ 2y=2x

2x

=2y

¿{

¿

⇔

y 2y = x. 2x (1)

Xét hàm số: f(z) = z ez ; f'(z) = ez + ez > ∀z ≥2

f(z) đồng biến [2; +∞ ) Từ (1) ⇔ x = y ⇒ 2x

=2x

Đường thẳng y = 2x cắt đường cong y = 2x điểm: x1 = 1; x2 = từ x ≥2 ⇒ x = nghiệm

Ví dụ 3. Giải phương trình

xlog29 = x2 3log2x – xlog23 (1)

Giải. Đk: x>0

áp dụng công thức: alogbc = clogba

(1) ⇔ 9log2x = x2 3log2x – 3log2x ⇔ 3log2x = x2 –

Đặt t = log2x ⇒ 3t + = 4t ⇔

(34) t

+ (1 4)

t

= (2) Xét f(t) = (3

4) t

+ (1 4)

t

hàm nghịch biến ⇒ (2) có nghiệm t = ⇒ x = nghiệm (1)

Ví dụ 4: Giải phương trình sau:

a./ log22x2log2 x  0 b./ 1log (2 x 1) log x14

c./ lg2x 5lgxlgx3 d./ 2 log2x log216x 0 Giải:

2

2

2

2

2 (1) x>0

(1)

/ log log :

log log

  

   

a x x ÑK

x x

2

2

2

2

1

t= ta có : t

2

2 1

2

log log ,

log



 

 

      

  

 

   

  



x t

Đặt x t

t x

x x

Thỏa điều kiện x>0 Vậy phương trình có nghiệm là: x=2 x=1/4 b./ 1log (2 x 1) log x14 (1)

 

2

2

2

2

2

1

1

4

1 1 1

1

1

(*)

log

( ) log ( ) log ( )

log ( ) log ( )

log ( ) log ( )

x x

x x

x x

x x

x x

  

 



 

  

 

       

 

     

Đặt: tlog (2 x 1), ta có :

2 2 0

2

t

t t

t

      

 

2

1

1

1

1

4

log ( )

log ( )

x x

x

x x x

  

 

 

  

   

 

    



  thỏa (*)

Vậy phương trình có nghiệm : x = x = 5/4 c./ lg2 x 5lgx lgx3 (1)

ĐK: x>0 (*)

2

1

( ) lg x lgx  lgx  lg x lgx 

Đặt: t= lgx , ta có:

2

7

10

1

8

7 10

lg lg

x

t x

t t

t x x

 

 

 

        

   

   thỏa (*)

Vậy phương trình có nghiệm là: x = 10 x = 107

d./

2

2 log x log 16x 0 (1)

ĐK:

2 1

0

16

log x x

x x

x

 

 

  

 



 

 (*)

2 2 2

1 16

( ) log xlog log x   log x log x 

Đặt: t log2x 0, ta có:

2

2

1

2

3 (loại) log

t

t t x x

t

 

        

  

Thỏa (*)

Vậy phương trình có nghiệm x=2 Bài tập áp dụng:

1) Giải phương trình

a) log2(x −√x2−1) log3(x+√x2−1) = log6|x −√x2−1|

b) log3(3x−1) log3(3x+1−3) = c) log4log2x + log2log4x =

d) logx3 + log3x = log√x3 + log3√x + 2) Giải biện luận theo a

a) √logxax logax = – √2

b) ( loga2x + 2) loga2xa = logxa log

ax

3) Cho phương trình: (m – 3) log1 2

(x −4) – (2m + 1) log1

(x −4) + m + = 0

tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn < x1 < x2 < 4) Giải phương trình

a

1

1

4 lg x2lg x

b.log x2  10 log x2 6 0

c log0,04x 1  log0,2x 3 1 d.3log 16x  4 log x16 2 log x2

e.log 16x2 log 642x 3

f

3

lg(lg x)lg(lg x  2)0

@ Phương pháp sử dụng tính đồng biến nghịch biến hàm số Ví dụ 1. Giải phương trình: lg(x2− x −6) + x = lg(x+2) + (1)

Giải.

Đk: x2− x −6>0 , x + > ⇒ x >

(1) ⇔ lg(x2− x −6) – lg(x+2) = – x ⇔ lgx

2

− x −6

x+2 = – x ⇔ lg(x – 3) = – x

(2)

Nhận xét: x = nghiệm (2)

y = lg(x – 3); y' = x −13 > hàm đồng biến y = – x nghịch biến

⇒ x = nghiệm Ví dụ 2. Giải phương trình

log2√2+√3(x2−2x −2) = log2+√3(x2−2x −3) (1)

Giải.

Đk:

¿

x2−2x −2

>0

x2−2x −3

>0

¿{

¿

⇒

x<−1

¿

x>3

¿ ¿ ¿ ¿

(1) ⇔ log√8+4√3(x2−2x −2) = log√7+4√3(x2−2x −3) (2)

Đặt: a = + √3 ; t = x2−2x −3

(2) ⇔ loga+1(t+1) = logat (3) Đặt: y = logat (3) ⇔

t=ay

a+1¿y ¿ ¿ ¿{

t+1=¿

⇔ ay+1 = a+1¿

y

¿ ⇔ (

a a+1)

y

+ (

a+1)

y =

(4)

Ví dụ 3. Giải phương trình: 2log5(x+3) = x

Giải. Đk: x > –

– < x 0: phương trình vơ nghiệm x > 0: Đặt log5(x+3) = t ⇒

¿ log5(x+3)=t

2t=x

¿{

¿

⇔

¿

x+3=5t

x=2t

¿{

¿

⇒ (1 5)

t

+ (2 5)

t

=1 (*) t = nghiệm VT (*) hàm nghịch biến ⇒ t = nghiệm ⇒ x = nghiệm

Bái tập áp dụng:

1) Tìm m để phương trình: lg2

(10x) + lgx = m

a) có nghiệm

b) có nghiệm thoả mãn: < x < 10 2) Giải phương trình: log2(x+3log6x

) = log6x Bài tập Bài tập 1: Giải phương trình sau

a log x5 log5x6  log5x2 b log x5 log x25 log0,2 3

c  

2 x

log 2x  5x4 2

d

2 x 3

lg(x 2x 3) lg 0

x 1 

   

 e

1

.lg(5x 4) lg x 1 2 lg 0,18 2     

Bài tập 2: Giải phương trình sau

a

1 2

1

4 lg x 2lg x  b.log x2  10 log x2 6 0

c log0,04x 1  log0,2x3 1 d.3log 16x  4 log x16 2 log x2

e.log 16x2 log 642x 3 f.lg(lg x)lg(lg x3  2)0

Bài tập 3: Giải phương trình sau

a

x

3

1

log log x 9 2x

2

 

  

 

  b.    

x x

2

log 4.3  6  log 9  6 1

c

 x   x 

2

2

1

log 4 4 log 4 1 log

8



  

d  

x x

lg 6.5 25.20  x lg 25

e      

x x

2 lg 1 lg 5 1 lg 5 5

f  

x

xlg 5 x lg 2lg3 g.5lg x 50 xlg 5 h.

2

lg x lg x

x 1   x 1 i.3log32x xlog x3 162

Bài tập 4: Giải phương trình sau

a    

2

xlg x  x 6  4 lg x2

c.       

2

3

x2 log x 1 4 x log x 1  160 d.2log x 35   x

III/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT Các phương pháp giải thường sử dụng

1 Phương pháp 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương phép thế Ví dụ : Giải hệ phương trình sau :

1) 3

x y log (9x ) log y

    

 

 



 6)

1 3¿

x −2y ¿

log2(x − y)+log2(x − y)=4

¿

√3¿x − y=¿ ¿ ¿

2)

¿ log1

4

(y − x)−log41

y=1 x2+y2=25

¿{

¿

7)

y

3

3 x ( x 1)3

x y log x

 

  

 

  



3)

¿ 23x=5y2−4 y

4x

+2x+1

2x+2 =y

¿{

¿

8)

¿

xlog8y

+ylog8x

=4

log4x −log4y=1 ¿{

¿

4)

¿

√y − x=x+1

x+2y=10

¿{

¿

9)

x y

log x4 log y 02

  

 

  

5)

¿

log2(x2+y2)=5 log4x+log2y=4

¿{

¿

10)

¿ 2x 4y

=64

√x+√y=3

¿{

¿

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ

Ví dụ : Giải hệ phương trình sau :

1)

1

3

4 6.3

y x x y



  

 

  



 2)

log log

3 20 log

x y

y

y x

x x y x

 

  

   





3)

¿ 42x2−2−22x2+y

+4y=1

22y+2−3 22x2

+y

=16

¿{

¿

4)

¿

log2x+3√5−log3y=5

3√log2x −1−log3y=−1

¿{

¿

5)

¿

3− x 2y

Bài tập Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau :

a/

2

lg x lg y 1

x y 29

  



 

 b/

 

   

2

lg x y 1 3lg 2

lg x y lg x y lg3    

 

    



c/

4

2

log x log y 0

x 5y 4 0

 

  

   

 d/    

x y y x

3

4 32

log x y 1 log x y





  

    



d/ y

2

x y

2 log x

log xy log x

y 4y 3

 

 

  



Bài tập 2: Giải hệ phương trình sau :

a

x y 3x 2y

4 128

5 1



 

  



 

 b.

2

x y (x y)

5 125

4 1



 

  



 



c

2x y

x y

3 2 77

3 2 7

   



  

 d.

x y

2 2 12

x y 5

   