Khi s ản xuất cái phểu h ình nón (không có n ắp) bằng nhôm, các nhà thi ết kế luôn đặt mục ti êu sao cho chi phí nguyên li ệu làm ph ểu l à ít nh ất, tức l à di ện tích xung quanh của [r]
(1)Sở Giáo dục Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Giải toán máy tính CầM TAY Đề thi thức Khối 12 BTTHPT - Năm học 2009-2010
Thi gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 20/12/2009 - Đề thi gồm trang Điểm toàn thi (Họ, tên chữ ký) Các giám khảo (Do Chủ tịch Hội đồng Số phách
thi ghi)
B»ng sè B»ng ch÷
GK1 GK2
Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, cơng thức áp dụng, kết tính tốn vào ơ trống liền kề tốn Các kết tính gần đúng, khơng có định cụ thể, ngầm định xác tới chữ số phần thập phân sau dấu phẩy
Bài 1 (5 điểm)
Tính gần nghiệm (độ, phút, giây) phương trình 3cos 2x+5sin cosx x=2
Tóm tắt cách giải: Kết quả:
Bài (5 điểm).
(2)Bài 3: (5 điểm)
Tính gần giá trị cực tiểu giá trị cực đại hàm số
2
2
2
2
x x
y
x
+ +
=
+
Tóm tắt cách giải: Kết quả:
Bài 4 (5 điểm) Khi sản xuất phểu hình nón (khơng có nắp) nhơm, nhà thiết kế đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm phểu nhất, tức diện tích xung quanh hình nón nhỏ Tính gần diện tích xung quanh phểu ta muốn tích phểu
dm
Tóm tắt cách giải: Kết quả:
A
(3)Bài 5 (5 điểm) Tính gần nghiệm hệ phương trình
2
6 log 13log 3y 2x 12
x x
ì - + =
í + =
ỵ
Tóm tắt cách giải: Kết quả:
Bài 6 (5 điểm) Đa thức
( )
P x =x +ax +bx +cx+dcó giá trị 8; 0; -4; -4 x nhận giá trị 1; 2; 3;
a) Xác định hệ số a b c d, , , đa thức P x( )
b) Tính xác giá trị P x( ) ứng với giá trị x=15; 27 ; 159; 2009
(4)Tóm tắt cách giải: Kết quả:
Bài 8 (5 điểm) Cho dãy hai số un xác định sau:
1 1; n n 24 n ( 2,3, 4, )
u = u = u - + u - - n=
a) Tính xác giá trị u2;u u u3; 4; 5;u10;u11;u12;u13
b) Từ dự đốn dãy số ln ln nhận giá trị nguyên Hãy thiết lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 un
(5)Bài 9 (5 điểm) Tìm giá trị gần a b để đường thẳng y=ax b+ tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số
4
2
3
3
x x x
y
x x
- + +
=
+ + điểmtrên (C) có hồnh độ x0 = -2
Tóm tắt cách giải: Kết quả:
Bài 10 (5 điểm)
Tính gần tọa độ giao điểm đường trịn có tâm I(3; 0), bán kính R=4 đường elip
2
( ) :
25
x y
E + =
(6)ĐÁP ÁN V THANG IM
Bài Cách giải Điểm TP §iĨm toµn
bµi
1
5
3cos 5sin cos 3cos sin 2 cos 5sin
x+ x x= Û x+ x= Û x+ x=
6
cos sin
61 x 61 x 61
Û + =
cos 2xcosj sin sinx j cosa
Û + = với cos ; cos
61 61
j= a =
(
)
os cos 180
2
c x j a x j a± k
Û - = Û = +
0 0
1 49 29 '57" 180 ; 41'37" 180
x » +k x » - +k
5
2
2
( ) 3
f x = x- + - x - x+ có tập xác định là: 5;
D= -éê ùú
ë û
(
)
2
2
4
4 '( )
2 2
x x x
x f x
x x x x
- - + - + -= + = - - + - - +
(
)
2'( ) 48 72 71
f x = Û - x - x+ = x+ Û x + x- = (x ³ -0,75) Giải phương trình bậc hai ta được:
1
9
2,178869017 0, 75; 0, 6788690166
12 12
x =- - » - < - x =- + » <
Do phương trình có nghiệm tập xác định là:
9
0, 6788690166 12
x = - + »
Dùng chức CALC tính:
( )
5 18
8; 1; 0, 2133929501
2 12
f ổỗ- ữử= - f = - f ỗổỗ- + ửữữ=- + ằ
-ố ø è ø
Vậy:
5
; ;
2
9 18
( ) 0, 2134; ( )
12
Max f x f Min f x f
é- ù é- ù ê ú ê ú ë û ë û æ- + - + ổ ử = ỗỗ ữữ= ằ - = ỗ- ữ= -ố ứ ố ứ
(7)(
)
2
10 ' x x y x - - + = + ; 2
4 66 66
' 10 1, 21240384; 0, 4124038405
10 10
y = Û x + x- = Ûx =- - » - x =- + »
Lập bảng biến thiên hàm số, ta xác định được: Hàm số đạt cực tiểu 1 66
10
x =- - giá trị cực tiểu hàm số là:
4 66 66
0, 03100960116
10
CT
y = fổỗỗ- - ửữữ= - »
-è ø
Hàm số đạt cực đại 2 66 10
x =- + giá trị cực đại hàm số là:
4 66 66
4, 031009601
10
CD
y = f ổỗỗ- + ửữữ= + ằ
è ø
4
Gọi x = OA (dm) bán kính đáy hình nón (x > 0), h=SO chiều cao, l=SA đường sinh hình nón
Ta tích hình nón là:
1
1
V = px h= (giả thiết) h 32 x p
Þ = (1)
Đường sinh hình nón:
2
2 2
2
9 x
l x h x
x x
p
p p
+
= + = + =
Diện tích xung quanh hình nón là:
2 6
2
9
( ) x x
S x xl x
x x
p p
p p
p
+ +
= = ´ = (x > 0)
2
2
2 6
2 2 2 6
3 9 '( ) x x x x x S x
x x x
p p p p p - + -+ = = + ' y x p
= Û = (vì x > 0); 6
2
9
' ; '
2
y x y x
p p
> Û > < Û < Do x=6 »0,8773080777 điểm cực tiểu hàm số và:
A
(8)3 Suy ra:
1
2
3
3
1 2 1.587401052; 2 2 2,828427125
u u
x = = = » x = = = »
Thay x1vào phương trình (2):
(
)
34 34
1
3y =12 2- Û y =log 12 2- »1, 99948657 Thay x2vào phương trình (2):
(
)
2 2
2
3y =12 2- Û y =log 12 2- »1, 446028009 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm:
(
3)
(
)
(
)
1 2
( ;x y)» 4; 1, 9995 , x ; y » 2 ; 1, 4460
6
a) Đa thức ( )
P x =x +ax +bx +cx+dcó giá trị 8; 0; - -4; x nhận giá trị 1; 2; 3;
Ta có hệ phương trình:
4
4
8 2
27
64 16 4
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
+ + + = ì
ï + + + =
-ï
í + + + =
-ï
ï + + + =
-ỵ
Giải hệ ta có: a= -10;b=37 ;c= -64;d=44
Vậy:
( ) 10 37 64 44
P x =x - x + x - x+
b)
x 15 27 159 2009
P(x) 24284 359900 599857436 16029014177736
7
Xét tam giác BCD, ta có:
2 2
2 cos 52
CD =BC +BD - BC BD´
(
)
2 2
14 cos 52
BD BD
Û - + - =
Giải phương trình bậc hai theo BD, ta có hai nghiệm: 2,801833204
(9)0
sin 52 31, 49980672
BCD
S = BC BD´ » dm
Thể tích tứ diện ABCD:
125,9992 BCD
V = S ´SA» dm
2
1
42 ; 68,52656315
2
ABC ABD
S = BC´AB= dm S = BD AB´ » dm
Xét tam giác ACD: 2 2
7 12 193
AC = BC +AB = + = dm
2
16,56627251
AD= AB +BD » dm
Nửa chu vi tam giác ACD: 19, 72935825
AC CD AD
p= + + » dm
(
)(
)(
)
62, 51590057
ACD
S = p p-AC p-AD p CD- » dm
Vậy diện tích tồn phần tứ diện ABCD là: 204, 5423
tp
S » dm
8
a) u1=1,u2 =9,u3=81;u4 =881;u5 =8721;u6=86329;u7 =854569; 8459361; 83739041; 10 828931049
u = u = u =
11 8205571449; 12 81226783441; 13 804062262961;
u = u = u =
b) Cơng thức truy hồi un+2 có dạng: un+2 =aun+1+bun+2 Ta có hệ phương trình:
3
4
9 89
10; 89 881
u au bu a b
a b
u au bu a b
= + + =
ì Ûì Û = =
-í = + í + =
ỵ ỵ
Do đó: un+2 =10un+1-un
4
2
3
3
x x x
y
x x
- + +
=
+ + (C)
(10)10
(
)
2 23 16
x- +y = Û x +y - x- =
Tọa độ giao điểm đường tròn elip (E) nghiệm hệ
phương trình:
(
)
2
2 2 2
2
2 2
6 6 7
6 (1) 25 225 16 150 50 (2)
25
x y x y x x
y x x
x y
x x x x x
ì + - - = ì = - + + ì
= - + +
ï Ûï Û
í í í
+ - + + = - + =
+ = ỵ
ï ïỵ
ỵ
Giải phương trình (2) ta dược hai nghiệm:
1
75 193 75 193
0,3461112533; 9, 028888747
16 16
x = - » x = + »
Thay vào (1):
Với
1
75 193
8,95687452 2,992803789 16
x = - Þ y » Þ » ±y
Với
2
75 193
20,34749952 16
x = + Þ y » - (loại)