Đang tải... (xem toàn văn)
Chủ đề:căn bậc hai – căn bậc ba DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.... Không phụ thuộc vào biến số x..[r]
(1)Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ Chủ đề:căn bậc hai – bậc ba DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bài 1: Cho biểu thức 1 a2 P= 21 a 21 a a a) Rút gọn P b) Tìm Min P Bài 2: Cho x, y là hai số khác thỏa mãn: x2 + y = y2 + x x y xy Tính giá trị biểu thức : P = xy - Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q = x-y xy Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ Bài 4: Cho biểu thức 15 x 11 x 2 x P= x 3 x x 1- x a) Tìm các giá trị x cho P = b) Chứng minh P ≤ 2 Bài 5: Cho biểu thức 3a 9a a 1 a 2 P= a a 2 a 1 a a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị nguyên a để P nguyên Bài 6: Cho biểu thức P= a 4 a-4 a 4 a-4 16 1- a a2 a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị nguyên a (a >8) để P nguyên Bài 7: Cho biểu thức a : P = a a a a a a) Rút gọn P b) Tính giá trị P a = + 2 c) T ìm các giá trị a cho P < Bài 8: Cho biểu thức Lop8.net (2) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ x 8x x : P = x 2 x 4x x2 x a) Rút gọn P b) Tính x để P = -1 c) T ìm m để với giá trị x > ta có m( x - 3)P > x + Bài 9: Cho biểu thức y - xy y x y x P= x : x y xy y xy x xy a) Tìm x, y để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Tìm giá trị P với x = 3, y = + Bài 10: Cho biểu thức x x - x 4x x 2007 P = x 1 x 1 x x a) Tìm x để P xác định b) Rút gọn P c) Tìm các giá trị nguyên x để P nguyên Bài 11: Rút gọn P P= a a b2 a a b2 a a b2 a a b2 a a 2b : b2 Với | a | >| b | > Bài 12: Cho biểu thức x 2 x x P= x x x a) Rút gọn P b) Chứng minh < x < thì P > c) Tìm GTLN P Bài 13: Chứng minh giá trị biểu thức 2x x 1 x 10 P= x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6 Không phụ thuộc vào biến số x Bài 13: Chứng minh giá trị biểu thức P = x x x Không phụ thuộc vào biến số x Bài 15: Cho biểu thức x2 x x2 P= x x 1 x x x 1 x 1 Lop8.net (3) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ Rút gọn P với ≤ x ≤ Bài 16: Cho biểu thức P= x x x 2x x 2(x 1) x 1 x x 1 a) Rút gọn P b) Tìm GTNN P c) Tìm x để biểu thức Q = Bài 17: x nhận giá trị là số nguyên P Cho biểu thức 2x x x x x x x 1 x P = x 2x x x x x 1 a) Tìm x để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Với giá trị nào x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó Bài 18: Rút gọn biểu thức 3 3 P= 10 10 Bài 19: Rút gọn biểu thức a) A = 4 4 b) B = 10 10 c) C = 15 15 Bài 20: Tính giá trị biểu thức P= Bài 21: x 24 x x x 1 Với ≤ x ≤ Chứng minh rằng: 13 48 6 là số nguyên Bài 22: Chứng minh đẳng thức: 3 1 1 2 1 3 1 1 1 1 2 P= Cho x = Tính giá trị biểu thức f(x) = x3 + 3x xy xy Bài 24: Cho E = xy xy Tính giá trị E biết: Bài 23: Lop8.net (4) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ x= y= 12 20 18 27 45 Bài 25: Tính P = 20072 Bài 26: Rút gọn biểu thức sau: P= + 1 20072 2007 2008 2008 1 + + 5 2001 2005 Bài 27: Tính giá trị biểu thức: P = x + y3 - 3(x + y) + 2004 biết x = 3 2 3 3 2 y = 17 12 17 12 Bài 28: a 1 a 1 a a Cho biểu thức A = a 1 a 1 a a) Rút gọn A b) Tính A với a = (4 + 15 )( 10 - ) 15 Bài 29: Cho biểu thức A= x 4 x 1 x 4 x 1 1 x 1 x 4 x 1 a) x = ? thì A có nghĩa b) Rút gọn A Bài 30: Cho biểu thức P= 1 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x a) Rút gọn P b) So sánh P với Bài 31: Cho biểu thức P= x 1 x x 1 x x 1 a) Rút gọn P b) Chứng minh: ≤ P ≤ Bài 32: Cho biểu thức a 9 a a 1 P= a 5 a 6 a 3 a a) Rút gọn P b) a = ? thì P < c) Với giá trị nguyên nào a thì P nguyên Lop8.net (5) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ Bài 33: a) b) Bài 34: a) b) Bài 35: Cho biểu thức x x 1 x P= xy y x x xy y x Rút gọn P Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + = Cho biểu thức x x 1 x P= xy y x x xy y x Rút gọn P Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + = Cho biểu thức 1 P = y x y x x 1 : y x3 y x x y y xy x y a) Rút gọn P b) Cho xy = 16 Tìm Min P Lop8.net (6) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT Bài 1: Cho a > b > thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab Tính giá trị biểu thức: P = a b ab 2x2 +2y2 Bài 2: Cho x > y > và = 5xy x Tính giá trị biểu thức E = y x y Bài 3: 1) Cho a + b + c = CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc 2) Cho xy + yz + zx = và xyz ≠ Tính giá trị biểu thức: yz xz xy M= x y z Bài 4: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị biểu thức: a b b c c a P = 1 1 1 Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y -z3 b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = và x3 + y3 + z3 = Tính giá trị biểu thức: A = x2007 + y2007 + z2007 Bài 6: Cho a + b + c = và a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị biểu thức: P = a4 + b4 + c4 Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Tính giá trị biểu thức P = a2007 + b2007 xy x3 y3 x y Bài 8: Cho và Tính ab a b a b Bài 9: Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức P= 1 2 2 2 b c a a c b a b c 2 x4 y4 Bài 10: Cho ; x2 + y2 = Chứng minh rằng: a b ab a) bx2 = ay2; x 2008 y 2008 b) 1004 1004 a b (a b) 1004 Bài 11: Chứng minh xyz = thì: 1 =1 x xy y yz z xz Bài 12: Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức: A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3 Bài 13: Cho a, b, c đôi khác Tính giá trị biểu thức: a2 b2 c2 P= (a b)(a c) (b c)(b a ) (c b)(c a ) Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Lop8.net (7) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác thì: bc cb a b 2 (a b)(a c) (b c)(b a ) (c a )(c b) a b b c c a Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p Chứng minh rằng: 1 1 abc p a p b p c p p ( p a )( p b)( p c) Bài 17: Cho a, b khác thỏa mãn a + b = Chứng minh : a b 2(ab 2) 2 b 1 a 1 a b a b c x y z Bài 18: Cho và x y z a b c x2 y z a b2 c2 a b c 0 Bài 19: Cho a, b, c đôi khác và bc ca a b a b c Tính giá trị P = 2 (b c) (c a ) (a c) Tính giá trị biểu thức A = Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c Chứng minh biểu thức A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) luôn khác Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + = cd Chứng minh: c = d Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2 Tính giá trị biểu thức: A = x y x y Bài 24: Cho x, y là các số khác khác cho 3x2 – y2 = 2xy Tính giá trị phân thức A = xy x xy y 2 Bài 25: Cho x, y, z khác và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = và a + b +c = 2007 Tính giá trị biểu thức: ax by cz P= bc( y z ) ac( x z ) ab( x y ) Bài 26: Cho x, y, z khác và x + y + z = 2008 Tính giá trị biểu thức: x3 y3 z3 P= ( x y )( x z ) ( y x)( y z ) ( z y )( z x) x y z Bài 27: Cho x y z x3 y z Tính giá trị biểu thức: P = x2007 + y2007 + z2007 Lop8.net (8) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh tam giác Tính giá trị biểu thức: a P= (b c) (a b c) (a b c) (a c) b 2 (b2 c2 a2)2 Bài 29: Cho biểu thức P = + – – 4b2c2 Chứng minh a, b, c là ba cạnh tam giác thì P < Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn: xy y z yz y z zx x z 15 Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình: x y z x y z Tính giá trị biểu thức P = xyz (Đề thi HSG tỉnh 2003) 2 3 6 84 2 3 x y b) Tính giá trị biểu thức: Q = x y Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P = Biết x2 – 2y2 = xy và y ≠ , x + y ≠ (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005) Bài 33: Chứng minh nếu: x + y + z = thì: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006) Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2 a) So sánh a và b + c b) So sánh a3 và b3 + c3 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 2) Tính A = 20 14 20 14 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) Lop8.net (9) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – – m = (1) a) Giải phương trình m = b) Chứng tỏ phương trình có nghiệm số với m c) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thỏa mãn điều kiện x 12 + x 22 10 c Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện: c a ab bc 2ac Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = luôn luôn có nghiệm Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = Tìm p, q biết phương trình có hai x1 x nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 3 x1 x 35 Bài 5: CMR với giá trị thực a, b, c thì phương trình (x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = luôn có nghiệm Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = ( a 0) có nghiệm biết 5a + 2c = b Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh tam giác CMR phương trình sau có nghiệm: (a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = ( a 0) có nghiệm 2b c 4 a a Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: x 12 - x 22 = Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – = Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN b) B = x12 + x22 - đạt GTNN c) Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 11: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm phương trình bậc 2: 3x2 - cx + 2c - = Tính theo c giá trị biểu thức: S= 1 3 x1 x Bài 12: Cho phương trình : x2 - x + = Có hai nghiệm là x1, x2 Không giải phương trình trên hãy tính giá trị biểu thức: A= x12 x1 x x 22 x1 x 23 x13 x Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – = (1) Lop8.net (10) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ 1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với giá trị a 2) Tìm giá trị a để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 = Tìm giá trị a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 < < x2 Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – = (1) a) CMR phương trình (1) có nghiệm với giá trị m b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình (1) Tìm GTNN M = x12 + x22 Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện: 1 a b CMR ít hai phương trình sau phải có nghiệm: x2 + ax + b = và x2 + bx + a = Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = (1) a) Giải và biện luận số nghiệm phương trình (1) theo m b) Tìm m cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN Tìm GTNN đó Bài 17: Chứng minh với số a, b, c khác 0, tồn các phương trình sau phải có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (2) Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – = (1) a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với giá trị m b) Với giá trị nào m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – - m = (1) 1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với giá trị m 2) Tìm giá trị m để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 10 3) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: E = x12 + x22 đạt GTNN Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + = có hai nghiệm nguyên dương CMR: a2 + b2 là hợp số 10 Lop8.net (11) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Giải phương trình: Bài 1: x3 + 2x2 + 2 x + 2 Bài 2: (x + 1)4 = 2(x4 + 1) Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144 Bài 6: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 Bài 7: a) (x + )4 + (x + 1)4 = 33 + 12 b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 Bài 8: a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + = b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + = c) x4 - 3x3 + 3x + = Bài 9: a) x4 = 24x + 32 b) x3 + 3x2 - 3x + = Bài 10: x 8 x 9 1 Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Bài 15: 2x 7x 1 3x x 3x x 4x 2 12 x + x 2 2 x 2 x2 x 2 0 5 48 x 1 x 1 x 1 3x 7x 4 a) x 3x x x x 10 x 15 4x b) x x 15 x 12 x 15 x 3x x x c) x 4x x 6x 81x 40 a) x2 + x 2 x2 15 b) x2 + x 12 20 Bài 16: x 1 x 1 40 a) x x 2 2 x 2 x 2 x2 b) 0 x2 1 x 1 x 1 8 x 8 x c) x x 15 x 1 x 1 Bài 17: Bài 18: Bài 19: x 1 + = 8( Đề thi HSG V1 2004) x x x 3x x 1 x x2 11 Lop8.net (12) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ Bài 20: Bài 21: Bài 22: Bài 23: Bài 24: Bài 25: Bài 26: Bài 27: Bài 28: Bài 29: Bài 30: Bài 31: Bài 32: Bài 33: Bài 34: x x 1 x x 1 3x2 + 21x + 18 + x 7 x a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + = c) x4 + 10x3 + 26x2 + = (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = ( Đề thi HSG V1 2003) a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24 a) x3 - 6x + = b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - = a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = x 48 x 4 10 x 3 x a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = x ( Đề thi HSG 1998) x5 x 14 3 3 x 5 x4 - x -5 = ( Đề thi HSG 2000) x4 5x ( Đề thi HSG V2 2003) x2 a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = (x + x + 2)(x + x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005) a) x2 + 4x + = 2 x b) x = 2x2 - 6x + c) x Bài 35: Bài 36: 2 2 x 3 x 1 x x Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m a) Giải phương trình m = b) Định m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài 37: Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c Tìm điều kiện a, b, c để phương trình có nghiệm Bài 38: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - = Bài 39: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = Bài 40: x2 + 9x + 20 = 3x 10 Bài 41: x2 + 3x + = (x + 3) x 1 Bài 42: x2 + x 2006 =2006 DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC 12 Lop8.net (13) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ Bài 1) Với a, b > thì ab ab Dấu đẳng thức xảy nào? Bài 2) CMR với số a, b, x, y ta có: (a b )( x y ) (ax + by)2.Dấu đẳng thức xảy nào? Bài 3) Cho a, b, c, d > Cm: ab cd a c b d Bài 4) CM bất đẳng thức: a2 b2 c2 d a c 2 b d 2 Bài 5) Cho a, b, c là các số dương cm bất đẳng thức: a2 b2 c2 abc bc ca ab Bài 6) CM với n nguyên dương thì: 1 1 n 1 n 2n Bài 7) Cho a3 + b3 = Cmr: a + b Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1) a2 + b2 + c2 = (2) 4 CMR số a, b, c thuộc đoạn ;0 biễu diễn trên trục số Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = CMR: 2a2 + 3b2 Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = CM: a2 + 4b2 Dấu đẳng thức xảy nào? (Đề thi HSG 2003) Bài 11) Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 (Đề thi HSG 2001) Bài 12) Chứng minh: a) (a b )( x y ) (ax + by)2 b) x x a b c bc ca ab 1 Bài 14) Cho S 100 Bài 13) Cho a, b, c > Cm: CMR: S không là số tự nhiên 1 Dấu xảy nào? x y x y abc b) Tam giác ABC có chu vi P 1 1 1 Cm: 2 pa pb pc a b c Bài 15) a) Cho x, y dương CMR: Dấu xảy tam giác ABC có đặc điểm gì? 13 Lop8.net (14) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ x Bài 16) a) CM x > ta có: x 1 2 a2 b2 b) Cho a > 1, b > Tìm GTNN của: P b 1 a 1 Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) 1 Bài 18) CMR a, b, c > và a + b + c = thì a b c Bài 19) CMR a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác thì: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005) Bài 21) Cho a, b là số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = Cm: a + 2b 10 Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = + ab CMR: a2 b2 Dấu xảy nào? Bài 23) CMR với a, b > thỏa mãn ab = Ta có BĐT: 1 3 a b ab Bài 24) CMR nếu: a) a thì a a 10 b) a + b 0; b 0; a b thì a b 2 Bài 25) Cho biểu thức P CMR: P x x x 1 32 với x 1 Bài 26) a) Cho a, b, k là các số dương và x x x 1 x x x x2 x 1 a a ak 1.Cmr : b b bk b) CMR a, b, c là độ dài cạnh tam giác thì: a b c < bc ca ab Bài 27) Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1 Chứng minh rằng: 1 1 a b (Đề thi HSG V2 2003 - 2004) Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với x, y là các số thực khác 0: x y x2 y2 3 y x y x ( Đề thi HSG V2 2006 - 2007) DẠNG 6: CỰC TRỊ Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = Tìm GTLN và GTNN biểu thức A = x + y 14 Lop8.net (15) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = Tìm GTNN P = 1 1 x y x x 1 Bài 3) Cho P = x2 Tìm GTNN, GTLN P và các giá trị tương ứng x Bài 4) Tìm GTLN và GTNN biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y 0, x + y = 10 Bài 5) Tìm GTLN và GTNN biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ Bài 6) Tìm GTLN và GTNN biểu thức P = x2 + y2 Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = Bài 7) Tìm GTLN và GTNN biểu thức P = x2 x x2 x Bài 8) Tìm GTLN A = x + x Bài 9) Tìm GTLN P = x y z với x, y, z > y z x Bài 10) Tìm GTLN P = ( x 1990)2 ( x 1991)2 Bài 11) Cho M = a a a 15 a a) Tìm điều kiện a để M xác định b) Tìm GTNN M và giá trị A tương ứng Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: 1 Tìm GTNN P = x.y.z 1 x 1 y 1 z Bài 13) Tìm GTNN P = 1 x x Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN và GTNN biểu thức P = x + 2y Bài 15) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = Tìm GTNN E = x2 + 2y2 Bài 16) Cho x > 0, y > thỏa mãn: x + y Tìm GTNN biểu thức P= + + 4xy x y xy x2 x Bài 17) Tìm GTLN và GTNN của: P = với x x2 Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y Tìm GTNN biểu thức A= 2 x y xy 1 Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P = x y x y Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P = 2(x4 + y4) + 4xy 1 Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P = 1 1 y x Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = 15 Lop8.net (16) Bồi dưỡng HSG Toán – Nông Văn Thiệp - Trường THCS Cốc Mỳ 1 Tìm GTNN biểu thức P = x y y x Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = Tìm GTNN biểu thức: 2 1 E = a b c a b c Bài 24) Cho a, b là hai số thực có tổng Tìm GTNN của: P = a3 + b3 Bài 25) Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = Tìm GTNN P = 1 a 1 b 1 Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = Tìm GTNN P = x2 y x y Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = Tìm GTNN P = 8(x4 + y4) + xy Bài 28) Cho x, y liên hệ với hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = Tìm GTNN, GTLN biểu thức S = x + y + Bài 29) Tìm GTNN, GTLN biểu thức S = x x + y y biết x + y = Bài 30) Tìm GTNN biểu thức P = x x 2000 x2 16 Lop8.net (17)