Skkn một số giải pháp dạy học bước đầu để nâng cao hiệu quả dạy học chương tổ hợp xác suất toán 11

************************************************************** PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Tốn học mơn khoa học có tính khoa học logic cao đặc biệt chương “Tổ hợp- Xác suất” tốn đại số giải tích lớp 11 Đây chương có nhiều gắn liền với thực tế, tốn u cầu lơgic cao khiến cho đa số học sinh thấy khó, khơng hứng thú với học chương này.Đặc biệt thực theo hình thức trắc nghiệm học sinh khơng muốn tìm hiểu chất toán, phương pháp lập luận chặt chẽ ngày xa rời Với mong muốn tạo tiền đề chặt chẽ với tảng kiến thức vững ban đầu để học sinh thấy hứng thú môn; đồng thời khơi dậy niềm đam mê toán học khả lập luận chặt chẽ, tư lôgic toán quan trọng để phát triển toán chuyên sâu Mặt khác học sinh nắm vững kiến thức việc giải toán trắc nghiệm chuyên sâu sử dụng máy tính cầm tay để giải tốn trở nên hiệu thuận lợi Chính tơi chọn nghiên cứu đề tài “Một số giải pháp dạy học bước đầu để nâng cao hiệu dạy học chương Tổ hợp- xác suất _toán 11” MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI: Đề tài nhận định sai lầm thường gặp học sinh học chương tổ hợp xác suất Đưa biện pháp để học sinh dễ tiếp thu khắc sâu lý thuyết hệ thống ví dụ tương ứng 3.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: - Nghiên cứu tài liệu dạy tổ hợp, xác xuất: sách giáo khoa, sách tập, sách tập nâng cao - Nghiên cứu thực tế đối tượng học sinh lớp giảng dạy (11C7, 11C9) 4.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Nghiên cứu tài liệu, kinh nghiệm dạy tổ hợp xác suất đồng nghiệp - Vận dụng phương pháp vào thực tế giảng dạy thân từ rút giải pháp giảng dạy kinh nghiệm cho thân PHẦN II: NỘI DUNG Những vấn đề cần ý nhấn mạnh dạy tổ hợp- xác suất: 1.1 Phân biệt nhấn mạnh rõ điểm giống khác khái niệm dễ nhầm lẫn: 1.1.1 Phân biệt qui tắc cộng nhân: Nhiều học sinh bị rối từ đầu khái niệm qui tắc cộng qui tắc nhân Khi ta xét ví dụ sau: Trang ************************************************************** Ví dụ 1: Trong đội văn nghệ có 15 nam 20 nữ Cần chọn học sinh biểu diễn lễ kỉ niệm mừng ngày khai giảng Hỏi có cách chọn cho: a) Chọn học sinh nam học sinh nữ b) Chọn học sinh nam học sinh nữ Hướng dẫn : Khi ta nhấn mạnh vào từ khóa “ ,và ” để làm rõ khái niệm qui tắc cộng, qui tắc nhân Khi có từ lựa chọn phương án nên áp dụng qui tắc cộng có từ thực liên tiếp phương án nên áp dụng qui tắc nhân Ví dụ 2: Từ chữ số lập số tự nhiên cho : a) Có chữ số b) Có chữ số c) Nhỏ 100 d) Nhỏ số 74321 Đối với toán trường hợp 1gợi ý cho trường hợp 3, trường hợp củng cố lại qui tắc nhân, trường hợp củng cố lại qui tắc cộng minh họa cho việc phân trường hợp tốn áp dụng qui tắc cộng cho bước làm cuối Câu d dành cho học sinh giỏi với nhiều trường hợp nhỏ 1.1.2 Phân biệt khái niệm chỉnh hợp tổ hợp: Sau học xong khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp ta đưa ví dụ sau để học sinh phân biệt rõ hai khái niệm Ví dụ 3: Lớp 11C có 40 học sinh Có cách chọn học sinh cho a) chọn học sinh lớp b) chọn học sinh để phân làm tổ trưởng tổ lớp Ở toán học sinh nhận định lấy học sinh 40 học sinh dùng chỉnh hợp tổ hợp Khi giáo viên gợi ý : câu a chọn học sinh 40 học sinh khơng có xếp thứ tự vị trí cơng việc nên dùng tổ hợp Cịn câu b sau chọn học sinh ta phải xếp người chọn vào vị trí cơng việc ( tổ trưởng) Vậy có thay đổi thứ tự xếp nên ta dùng chỉnh hợp Tiếp ta đưa toán sau cho học sinh hoạt động nhanh theo nhóm người xem học sinh phân biệt rõ ràng khái niệm chưa Ví dụ 4: Có cách cắm bơng hoa khác màu vào lọ hoa khác (mỗi lọ cắm không bông) ? Nếu học sinh chưa hiểu vấn đề giải sau: Trang ************************************************************** Cắm hoa vào lọ hoa (mỗi lọ cắm khơng q bơng) có lọ cắm hoa lọ không cắm hoa Vậy số cách cắm hoa số cách lấy lọ hoa lọ hoa : C7 ( cách ) Sai lầm: Sau chọn lọ lọ khác học sinh khơng tính đến thứ tự cắm hoa khác màu vào lọ hoa khác tức có liên quan đến thay đổi thứ tự lọ hoa chọn Lời giải đúng: Do hoa khác màu cắm vào5 lọ hoa khác chọn lọ nên số cách cắm số chỉnh hợp chập (lọ hoa) : A7 ( cách ) Sau đưa thêm tập nhà ví dụ tương tự để học sinh khắc sâu kiến thức tổ hợp đồng thời nhớ lại khác đoạn thẳng vectơ sau: Ví dụ 5: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy từ điểm phân biệt A,B,C,D,F a) lập đoạn thẳng phân biệt b) lập vec tơ khác vectơ khơng Ở ví dụ học sinh dễ nhầm lẫn kết câu không suy luận khác cách tạo vectơ đoạn thẳng từ điểm phân biệt Hoặc lớp khá, giỏi ta củng cố tốn tích hợp qui tắc nhân chỉnh hợp cho ví dụ sau: Ví dụ 6: Một tiệc có 10 nam nữ khiêu vũ giỏi Người ta chọn nam nữ để ghép thành cặp nhảy Hỏi có cách ghép cặp nhảy Nếu học sinh chưa suy luận vững xuất lời giải sai: Mỗi cách thứ tự bạn nam 10 bạn nam chỉnh hợp chập 3 10, nên số cách chọn bạn nam có thứ tự A10  8.9.10  720 cách Tương tự số cách chọn bạn nữ có thứ tự A6  4.5.6  120 cách 3 Vậy số cách bố trí cặp nhảy A10 A6  86400 Sai lầm cách giải thứ tự bạn nam bạn nữ Giả sử có bạn nam theo thứ tự A, B, C ghép nhảy với bạn nữ theo thứ tự a, b, c tức ta có cặp nhảy (A, a), (B, b), (C, c) Nếu lấy thứ tự khác bạn nam A, C, B thứ tự khác bạn nữ a, c, b ghép cặp nhảy (A, a), (C, c), (B, b) cách ghép cặp nhảy trước Sai lầm dẫn tới số cách ghép lớn thực tế có cách ghép cặp nhảy tính nhiều lần Khi củng cố lời giải đúng: Mỗi cách chọn bạn nam 10 bạn tổ hợp chập 10 nên số cách chọn C10 =120 Trang ************************************************************** Tương tự số cách chọn bạn nữ bạn nữ C6 =20 Với bạn nam bạn nữ chọn có cách ghép thành cặp nhảy (tất nhiên cặp gồm nam nữ) Giả sử bạn nam A, B, C bạn nữ a, b ,c cách ghép cặp nhảy chẳng qua hốn vị nữ mà thơi (Tất nhiên coi hốn vị bạn nam kết thế) Vậy số cách ghép cặp nhảy cho bạn 3! 3 Do đó, số cách bố trí cặp nhảy C10 C6 3!  14400 1.2 Sai lầm liên quan đến suy luận, phân chia toán thành trường hợp riêng Ví dụ : Với chữ số viết thành số tự nhiên có chữ số, chữ số có mặt lần chữ số khác có mặt lần? Thông thường học sinh hiểu theo lí thuyết tập hợp giải sau: Gọi số thỏa mãn a1a2 a3a4 a5a6 a7 a8a9 Số a1 có cách chọn {1, 2, 3, 4, 5, 6} Chữ số a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 a9 có 8! cách viết Nếu coi chữ số khác số a1a2a3a4 a5a6a7 a8a9 có 6.8! cách viết Với vị trí chữ số có 3! hốn vị 6.8!  40320 Vậy số a1a2 a3a4 a5a6 a7 a8a9 có 3! cách viết Với cách giải học sinh sai chỗ: Nếu coi chữ số khác a1 phải có cách viết Nghĩa phải giả sử chữ số khác từ đầu Do lời giải là: Nếu coi chữ số khác a1 có cách chọn{1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6} số a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 a9 có 8! cách lập số Với vị trí chữ số có 3! hốn vị 8.8!  53760 3! Vậy có số thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 8: Một giáo viên có 12 sách đơi khác nhau, có sách văn, âm nhạc sách toán Thầy muốn lấy đem tặng cho học sinh A, B, C, D, E, F em Giả sử thầy giáo muốn sau tặng xong, thể loại sách cịn lại Hỏi có cách tặng? Học sinh dễ bị vướng vào cách giải bị lặp lại trường hợp sau: Trang ************************************************************** Để sau tặng xong thầy giáo cịn loại ta lấy loại sách để ngồi (khơng tặng): 5.4.3 = 60 cách “để dành” Sau để loại thầy giáo lại 12 – = Lấy sách số để tặng, có C9 cách Do có 60 C9 cách lấy sách mà loại cịn Với cách lấy ta có 6! Cách tặng cho người Tổng cộng có 60 C9 6! = 3628800 cách tặng Ta thấy giả sử để dành sách tốn 1, chia sách tốn 2, cịn lại sách toán xem khác với để dành sách toán 3, chia sách toán 2, cịn lại sách tốn Trong hai cách chia trường hợp chia sách tốn 2, cịn lại sách tốn sách toán Mặt khác để nhấn mạnh từ nên sửa chữa cho học sinh cách dùng phương pháp lấy phần bù sau: Giả sử sau phát mơn hết sách( ngược lại với mơn cịn cuốn) Ta có: Lấy số 12 sách có C12 cách Lấy sách văn học sách tốn âm nhạc có cách Lấy sách âm nhạc số sách văn học sách tốn, có C8 cách Lấy sách tốn số sách văn học âm nhạc, có C cách Như có C12 - (7 + C8 + C9 ) cách lấy sách mà loại cịn lại Với cách lấy sách ta lại có 6! Cách tặng cho người C C C 12 Vì có - (7 + + )6! = 579600 cách tặng 1.3.Sai lầm việc lựa chọn khái niệm, quy tắc, định lý để vận dụng vào giải toán Trong kiến thức dễ nhầm lẫn phần xác suất qui tắc cộng nhân xác suất dễ bị nhầm lẫn Học sinh thường không ý tới điều kiện để áp dụng công thức cộng biến cố phải xung khắc, cịn điều kiện để áp dụng cơng thức nhân biến cố phải độc lập Ví dụ 9: Có giỏ đựng táo lê Hai học sinh lấy ngẫu nhiên người từ giỏ hoa Tính xác suất biến cố “ Hai người lấy hai loại khác ” ? Lời giải sai: Học sinh giải sau Trang ************************************************************** P ( A)  Gọi A biến cố học sinh thứ lấy táo, Thì A biến cố học sinh thứ lấy lê, P( B)  Gọi B biến cố học sinh thứ hai lấy táo, P ( A)  Thì B biến cố học sinh thứ hai lấy lê, Gọi C biến cố hai người lấy hai loại khác Khi đó: P( B)  C  A.B  A.B Áp dụng công thức cộng nhân xác suất ta có:     1 1 P  C   P  A  P B  P A P  B    4 Sai lầm : Học sinh cho biến cố A B độc lập nên áp dụng sai công thức nhân xác suất Thực tế biến cố không độc lập với nên không sử dụng công thức nhân xác suất Lời giải : n     A102  90 Gọi A biến cố hai người lấy hai loại khác Trường hợp 1: Học sinh thứ chọn táo học sinh thứ hai chọn lê Có : = 24 ( cách chọn ) Trường hợp 2: Học sinh thứ chọn lê học sinh thứ hai chọn táo Có : = 24 ( cách chọn ) Khi n(A) = 24 + 24 = 48 48  Vậy P(A) = 90 15 1.4 Sai lầm thực phép biến đổi mà không ý điều kiện: Học sinh thường mắc phải sai lầm thực chuyển đổi toán phép biến đổi tương đương Cx1  Cx2  Cx3  x Ví dụ 10: Giải phương trình: Lời giải sai: Ta có phương trình tương đương với x( x  1) x( x  1)( x  1)   x 2! 3! � x  x( x  1)  x( x  1)( x  2)  21x x � x  16 x  � x ( x  16)  � x  4; x  4; x  Trang ************************************************************** Sai lầm: Lời giải thiếu điều kiện x �� x �3 Nên phương trình có nghiệm x = Từ ví dụ hướng dẫn học sinh kiểm tra lại nghiệm phương trình máy tính bỏ túi MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TỔ HỢP XÁC SUẤT: 2.1 Biện pháp 1: Giúp học sinh nắm vững chất khái niệm, qui tắc, kí hiệu tốn tổ hợp- xác suất Như nói phần trước cần làm cho học sinh hiểu phân biệt khái niệm dễ nhầm lẫn : qui tắc cộng qui tắc nhân; chỉnh hợp tổ hợp; biến cố xung khắc, biến cố độc lập Bài ơn tập chương kiểm tra nhanh dạng ví dụ có nhiều cách giải sau: Ví dụ 11: Một lớp học có 41 học sinh, cần cử ban cán lớp gồm lớp trưởng, bí thư bốn tổ trưởng Hỏi có cách lập ban cán Đối với tốn này, đối tượng học sinh trung bình yếu định hướng cách giải qua câu hỏi: Để chọn ban cán cần thực cơng đoạn? Nhìn vào u cầu tốn học sinh trả lời được: Ta cần thực công đoạn sau: chọn lớp trưởng, chọn bí thư chọn tổ trưởng Sau u cầu học sinh tìm số cách chọn công đoạn Cuối chốt lại áp dụng qui tắc để có kết cuối Nên nhấn mạnh vào cách giải học sinh trung bình yếu Cơng đoạn 1: Chọn lớp trưởng có 40 cách Sau ta có cơng đoạn 2: Chọn bí thư 39 học sinh sau chọn lớp trưởng có 39 cách Cuối có cơng đoạn 3: Chọn tổ trưởng 38 học sinh cịn lại (4 tổ trưởng có thứ tự nên phải dùng chỉnh hợp) có A38 Vì hành động liên tiếp nên áp dụng qui tắc nhân ta có kết tốn 40.39 A38 cách Đối với đối tượng học sinh giỏi khuyến khích em giải theo nhiều cách Như ta có cách thứ hai sau: Chọn học sinh để làm lớp trưởng, làm bí thư, cách chọn có thứ tự nên số cách chọn A40 Công đoạn 2: Chọn học sinh 38 học sinh lại làm tổ trưởng, cách chọn có thứ tự nên số cách chọn A38 Vậy số cách chọn ban đại diện lớp là: A40 A38 Trang ************************************************************** Khi kết hợp kiến thức tổ hợp, chỉnh hợp cần lưu ý học sinh đếm không lặp lại 2.2 Biện pháp 2: Hướng dẫn tổng qt hóa tốn sử dụng cơng thức nhị thức Niu-tơn: Sử dụng phương pháp qui nạp khơng hồn tồn từ việc khai triển  a  b  ,  a  b  ,  a  b  ,  a  b  , sau tổng qt thành cơng thức n n a  b    �Cnk a nk bk 0 (1) với quy ước a  b  mà không chứng minh để tiếp cận công thức từ công thức tổng quát rút các nhận xét Khi giúp cho học sinh dễ suy luận hiểu sâu công thức k 0 n n a  b    �Cnk a nk bk k 0 n n a  b    �Cnk a nk bk k 0 Trong phần cần lưu ý nhận xét hệ số số hạng cách số hạng đầu cuối Ở lưu ý hệ k n k số hạng tử a b áp dụng công thức C n  C n Học sinh bị lúng túng với trường hợp hệ số a b khác Chẳng hạn ví dụ sau : Ví dụ 12: Ví dụ T56 Đại số giải tích 11 Khai triển biểu thức  x  3 Theo công thức nhị thức Niu tơn ta có :  x  3  16 x  96 x3  216 x  216 x  81 Nhấn mạnh vấn đề giúp học sinh hiểu rõ nhận xét hệ số khai triển nhị thức Từ toán khai triển nhị thức phát triển lên tốn tính tổng giúp học sinh dễ hiểu khắc sâu chuẩn bị cho toán ngược ví dụ sau : Ví dụ 13: n a) Viết khai triển   x  theo luỹ thừa tăng x theo luỹ thừa giảm x? n b)Viết khai triển   x  , từ tính tổng hệ số khai triển nhị thức Niu-tơn? Khi bắt đầu học tìm số hạng thứ k của nhị thức cho trước học sinh quen với khai triển nhị thức chứa lũy thừa nhỏ nên đến gặp lũy thừa lớn bị lúng túng Nếu khai triển dài, tính tốn nhiều dễ bị sai, từ Trang ************************************************************** đặt cho học sinh yêu cầu phải tìm cách giải toán dạng tổng quát nào? Hướng dẫn học sinh làm việc với số hạng tổng quát khai triển ví dụ sau: 10 2x 2x 12 Ví dụ 14: Tìm hệ số chứa x khai triển P =   Có nhiều học sinh làm theo cách khai triển P tìm xem số hạng 12 chứa x để tìm hệ số Tuy nhiên, việc khai triển lâu cồng kềnh, với toán tương tự với số mũ cao cách giải khơng hiệu Từ gợi động cho học sinh tích cực suy nghĩ tìm lời giải khác: Hãy tìm cách giải nhanh giải tốn tương tự mà có số mũ lớn? Hãy xét số hạng tổng quát ( số hạng thứ k  ) khai triển đó? T  C k (2 x2 )10k xk 10 k  Số hạng thứ k + khai triển 12 T  C k 210k x20k 10 k  Viết lại Tìm k để số hạng chứa x ? 20k  x12 12 Để số hạng số hạng chứa x x suy k = 12 C 2 x Từ suy hệ số 10 Nhờ phương pháp yêu cầu học sinh làm số tốn tương tự: Tìm hệ số x25 y10 khai triển  x3  xy  15 21 �1 � �  x3 � �3 � 12 � Tìm hệ số x khai triển � x Bên cạnh ý cho học sinh tốn tương tự có thêm yêu cầu khai triển theo lũy thừa tăng dần hay giảm dần biến Ví dụ 15: Tìm hệ số số hạng chứa x 20 nhị thức sau( khai triển theo lũy   2x  50 thừa giảm dần x) : Ở tốn học sinh khơng ý khai triển theo công thức học n n  a  b   � Cnk a nk bk k 0 dẫn tới kết sai sau : Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu tơn ta có : Trang **************************************************************   2x2  50 50  �C 502k x k k k 0 20 Số hạng chứa x ứng với k= 10 : C 15 50 235 Vậy hệ số số hạng cần tìm Nhấn mạnh cho học sinh toán phải khai triển theo công thức n n n  a  b    b  a   � Cnk bnk ak k 0 sau ( cách trình bày nhấn mạnh cho học sinh yếu, trung bình) : Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu tơn ta có :   2x2  50   x  1 50 50  �C 50 250  k x50 k k k 0 Số hạng tổng quát khai triển : C k 50 250 k x50 2 k 20 Số hạng chứa x ứng với 50  2k  20 � k  15 : C 10 50 220 Vậy hệ số số hạng cần tìm 2.3 Biện pháp 3: Luyện tập cho học sinh giải số dạng tốn tổ hợp xác suất có thuật tốn Thực tế tốn có quy tắc giải (thuật tốn) giúp học sinh dễ tiếp thu luyện tập tốn cần suy luận lơgic Vì việc luyện cho học sinh giải thành thạo toán khơng giúp rèn luyện tri thức mà cịn trau dồi phương pháp làm toán ban đầu cho học sinh Trong xác suất ta có thuật tốn sau: a Áp dụng định nghĩa cổ điển để tính xác suất: Bước 1: Tính số phần tử khơng gian mẫu(số khả xảy ra) Bước 2: Tính số phần tử biến cố xét(số kết thuận lợi) Bước 3: Áp dụng cơng thức tính xác suất cổ điển (lấy số kết thuận lợi chia cho số khả xảy ra) P  A  A  b Áp dụng qui tắc tính xác suất: * Bước 1: Đặt tên cho biến cố cần tính xác suất A, biến cố liên quan đến biến cố A là: A1 ; A2 ; An cho: Biến cố A biểu diễn theo biến cố : A1 ; A2 ; An Xác xuất biến cố : A1 ; A2 ; An tính được(dễ so với A) Xác định mối quan hệ biến cố A1; A2 ; An Trang 10 ************************************************************** * Bước 2: Biểu diễn biến cố A theo biến cố A1; A2 ; An * Bước 3: Xác định mối quan hệ biến cố áp dụng qui tắc: P A   P  A2  ) Nếu A1 , A2 đối nhau:   ( công thức biến cố đối) P A �A  P  A1   P  A2  ) Nếu A1 , A2 xung khắc:   ( công thức cộng xác suất) 3) Nếu A1 , A2 độc lập: P  A1 A2   P  A1  P  A2  ( công thức nhân xác suất) Chú ý: +)A B độc lập � P  AB   P  A  P  B  +) A B độc lập A & B; A & B; A & B độc lập Ví dụ 16: Trong hộp có bi đỏ, bi đen, bi vàng Lần lượt lấy bi từ hộp Tính xác suất để bi lấy khơng có đủ màu Phân tích để học sinh thấy tính trường hợp xảy biến cố “ bi lấy không đủ màu” xảy nhiều trường hợp như: lấy màu( xảy trường hợp nhỏ) lấy màu( xảy trường hợp nhỏ) … Vì thường phải xem xét số trường hợp biến cố đối để định hướng giải toán Sau gọi học sinh phân tích trường hợp biến cố đối ta có lời giải ngắn gọn sau : Gọi A biến cố “ Trong bi lấy không đủ màu” � A biến cố “ Trong bi lấy có đủ màu” Các trường hợp chọn bi đủ màu: đỏ, xanh, vàng đỏ, xanh, vàng đỏ, xanh, vàng C52 C61C71  C51C62 C71  C51C61C72 33 � P  A   P A 1   68 C184   2.4 Biện pháp 4: Quan tâm phát triển khả trực giác xác suất cho học sinh: Trong giảng dạy tốn nói chung mục tiêu chung giáo viên đặt câu hỏi, tình huống, ví dụ để từ ví dụ nâng dần lên đến tổng quát xây dựng mối liên hệ với liên quan Phương pháp giảng cho lôi cho học sinh hiểu trọng tâm vấn đề Cao định hướng cho học sinh tìm kiếm nhiều cách giải tự kiểm tra sai lầm cách giải Cuối tạo vấn đề để học sinh Trang 11 ************************************************************** tự tìm hiểu nội dung thực tế liên quan tới học thật thành cơng với giảng Tốn tổ hợp, xác suất có nhiều ứng dụng thực tế nên chương có nhiều tình trải nghiệm cho học sinh Điều phát triển khả trực giác xác suất cho học sinh qua giai đoạn, tình cụ thể: dạy học khái niệm, dạy học chứng minh định lí, dạy học giải tập có nội dung thực tiễn Ví dụ 17: Hình thành, phát triển sử dụng trực giác xác suất học sinh thông qua dạy học định nghĩa cổ điển xác suất - Giai đoạn trước định nghĩa: Trong giai đoạn dựa vào phép thử thực tế (gieo đồng xu, gieo xúc xắc), cho học sinh “thấy được” khả xảy biến cố ngẫu nhiên khác so sánh với nhau: Biến cố có khả xảy nhiều hơn, biến cố khác có khả xảy Tiếp theo đưa khái niệm “xác suất” (trước có định nghĩa nó), sử dụng mơ tả trực quan như: “Nhờ khái niệm xác suất đo khả xảy biến cố ngẫu nhiên” “Xác suất biến cố khả xảy biến cố đó” Để đạt điều này, hoạt động gợi động mở đầu cho nhóm học sinh làm thí nghiệm thực tế nhà (theo mẫu thí nghiệm ảo), ghi chép lại kết quả, rút kết luận (trước tiếp cận với định nghĩa xác suất cổ điển) Sau học so sánh với kết thí nghiệm ảo gieo đồng xu gieo xúc xắc, minh hoạ bảng sau: Nhóm n-số lần gieo đồng xu m-số lần lật Tần xuất mặt ngửa f(N) Nhóm 100 57 0,57 Nhóm 1000 518 0,518 Nhóm 10 000 978 0,4978 Nhóm 100 000 49 945 0,49945 Nhóm n-số lần gieo xúc xắc m-số lần lật Tần suất mặt chấm f(5) Nhóm 100 21 0,21 Nhóm 1000 155 0,155 Nhóm 10 000 609 0,1609 Nhóm 100 000 16 707 0,16707 Qua việc trực tiếp thí nghiệm ( với số lần 100) kết thí nghiệm ảo học sinh “thấy trực tiếp” khái niệm “phép thử”, “biến cố”, “thấy trực tiếp” khả “lật mặt ngửa” dễ xảy khả “xuất mặt chấm” Trang 12 ************************************************************** - Giai đoạn định nghĩa khái niệm: gợi vấn đề “Điều minh họa đặc trưng cho khả xảy biến cố ngẫu nhiên?” Học sinh suy nghĩ cân nhắc dựa lần thí nghiệm đưa câu trả lời, câu trả lời mong đợi học sinh “Cần có số đặc trưng cho khả xảy biến cố” Tiếp giáo viên yêu cầu học sinh sử dụng kết “thấy trực tiếp” để phát biểu định nghĩa xác suất biến cố A; xác hố, phân tích định nghĩa học sinh thấy: Đúng xác suất biến cố ngẫu nhiên biểu thị khả xảy biến cố ngẫu nhiên - Giai đoạn minh họa ví dụ sau định nghĩa: Hướng dẫn học sinh cho ví dụ tính xác suất có nội dung thực tiễn khác Nhờ hướng học sinh tới vận dụng định nghĩa cổ điển xác suất để chứng minh tính chất xác suất, để giải tốn có nội dung thực tiễn khác nhau; hình thành cho học sinh kĩ giải tốn xác suất có nội dung thực tiễn Từ học sinh củng cố kết “thấy trực tiếp” sẵn sàng chuyển sang hoạt động nhằm phát giải vấn đề 2.5 Biện pháp 5: Bồi dưỡng tư tốn học sử dụng xác ngơn ngữ tốn học cho học sinh giải tốn tổ hợp - xác suất: Dạy học tốn học nói chung dạy học chủ đề tổ hợp xác suất nói riêng cần ý đến nhiệm vụ góp phần phát triển tư toán học cho học sinh Trong trình dạy học cho học sinh chủ đề tổ hợp, xác suất cần không ngừng rèn luyện để học sinh sử dụng xác ngơn ngữ tốn học để từ tránh sai lầm, khắc phục sai lầm mắc phải Ví dụ 18: Từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, tạo thành số có chữ số cho chữ số đôi khác a) Hai chữ số đứng cạnh b) Hai chữ số không đứng cạnh c) Giữa hai chữ số có hai chữ số Để giải toán học sinh phải biết phân tích kĩ yêu cầu đề: Với câu a) hai số đứng cạnh có hai khả xảy ra: Hoặc số đứng bên phải số có vị trí xếp cặp 32; số đứng bên trái số có vị trí xếp cặp 23 Vậy có 2.4 cách chọn cặp (2; 3) đứng cạnh nhau.ứng với đoạn chọn có 3! cách xếp phần tử cịn lại vào vị trí cịn lại Do có 2.4.3! = 48 số có chữ số cho chữ số đôi khác hai chữ số đứng cạnh Với câu b) cần lấy phần bù kết tính câu a) Với câu c) lập gồm hai phần tử gồm và phần tử phần tử lại Ứng với cặp (2; 3) có có hai phần tử phần tử cịn lại nằm Như có 4.C3 = 12 Trang 13 ************************************************************** Mỗi cộng với phần tử cịn lại tạo thành tập hợp gồm hai phần tử mà số hoán vị 2! Vậy số chữ số lập 12.2! = 24 số Từ tốn gợi ý cho học sinh nêu toán tổng qt: Sau tính số hốn vị phần tử với điều kiện định tổng quát với n phần tử? Hai số hai số n phần tử đó? Và tốn tổng qt hi vọng học sinh nêu là: Cho tập hợp A có n phần tử có hai phần tử a1 a2 Hãy tính số hốn vị n phần tử trường hợp sau: + a1 a2 đứng cạnh + a1 a2 không đứng cạnh + Giữa a1 a2 có hai phần tử Ví dụ 19: Cho 10 điểm mặt phẳng khơng có điểm thẳng hàng Xét tập hợp đường thẳng qua điểm 10 điểm cho Số giao điểm đường thẳng tạo thành (khác 10 điểm cho) nhiều bao nhiêu? Học sinh giải sau: Mỗi đường thẳng qua điểm số 10 điểm cho (do khơng có điểm thẳng hàng) Do số đường thẳng có C10 = 45 Để số giao điểm tạo thành từ đường thẳng khác 10 điểm cho nhiều đường thẳng khơng có cặp đường thẳng song song khơng có đường đồng quy Khi đường thẳng có giao điểm, số giao điểm tạo thành C45 , có 10 điểm số giao điểm nhiều khác 10 điểm cho C45 - 10 = 980 điểm Sai lầm: Với điểm cho, nối với điểm cịn lại có đường thẳng đường đồng quy Do giả thiết đường thẳng khơng có đường đồng quy khơng thể xảy nguyên nhân dẫn đến sai lầm lời giải Vì cần phải làm rõ cho học sinh thấy giả thiết đường thẳng khơng có đường đồng quy 10 điểm cho xác, qua lời giải sau: Mỗi đường thẳng có tạo thành từ điểm số 10 điểm số đường thẳng tạo thành C10 = 45 Nếu đường thẳng cho giao điểm có C45 giao điểm Nhưng điểm cho có đường thẳng qua nên điểm giao C9 cặp Trang 14 ************************************************************** đường thẳng Như với 10 điểm cho tính thành 10 C9 giao điểm C45 giao điểm Do số giao điểm nhiều tạo thêm 10 điểm cho C452 - 10 C92 = 630 Muốn để xảy điều 45 đường thẳng phải khơng có đường thẳng song song khơng có đường thẳng đồng quy điểm 10 điểm cho 2.6 Biện pháp 6: Đưa học sinh vào tình thử thách với khó khăn sai lầm, từ có phản ví dụ cần thiết để học sinh điều ứng sơ đồ nhận thức có Một phương thức cho học sinh thử thách thường xuyên với toán dễ dẫn đến sai lầm lời giải cài đặt tốn có chứa “bẫy” "Bẫy" tốn tình cài đặt mà học sinh khơng vững kiến thức mắc phải sai lầm Trước đưa toán để thử thách sai lầm học sinh cần có hình dung, dự đốn vấn đề này, vấn đề học sinh mắc sai lầm Nhờ hình dung trực giác để thiết kế tốn tương thích Qua thực tiễn trình bày lời giải toán cung cấp nhận định sát thực tế so với cảm nhận trực giác ban đầu, khẳng định chắn sai lầm học sinh khâu đặc biệt quan trọng phải dành thời gian thích đáng để nhấn mạnh kiến thức cần lưu ý có liên quan trực tiếp đến sai lầm vừa mắc Trong ví dụ nêu sau hình thức thử thách học sinh, trong tốn đưa nhiều lời giải khác sau cho học sinh phân tích lựa chọn lời giải Dạng tốn đưa vào câu hỏi trắc nghiệm để giúp học sinh luyện tập tư giải tốn chắn Ví dụ 20: Một tổ có 12 học sinh nữ 10 học sinh nam Cần chọn học sinh (3 nam, nữ) để ghép thành đôi biểu diễn văn nghệ Hỏi có cách ghép? Lời giải 1: - Số cách chọn thứ tự nữ 12 nữ A12 (cách) - Số cách chọn thứ tự nam 10 nam A10 (cách) 3 - Vậy số cách chọn đôi nam nữ là: A12 A10 (cách) Lời giải 2: - Số cách chọn nữ 12 nữ C12 (cách) - Số cách chọn nam 10 nam C10 (cách) 3 - Vậy số cách chọn đôi nam nữ là: C12 C10 (cách) Lời giải 3: - Số cách chọn nữ 12 nữ C12 (cách) - Số cách chọn nam 10 nam C10 (cách) Trang 15 ************************************************************** 3 - Do số cách chọn học sinh (3 nam, nữ) là: C12 C10 (cách) - Vì đơi có hai bạn (1 nam, nữ) nên chọn bạn nam (trong bạn nam) bạn nữ (trong bạn nữ) có: 3.3 = 9(cách) 3 - Vậy số cách chọn thoả mãn là: C12 C10 (cách) Lời giải 4: - Số cách chọn nữ 12 nữ C12 (cách) - Số cách chọn nam 10 nam C10 (cách) 3 - Do số cách chọn học sinh (3 nam, nữ) là: C12 C10 (cách) - Trong học sinh chọn có 3! (cách) ghép đơi với (là hoán vị học sinh nam học sinh nữ) 3 - Vậy số cách chọn thoả mãn là: 3! C12 C10 (cách) Đâu lời giải đúng? Phân tích: - Lời giải 1: Rõ ràng sai tốn khơng u cầu thứ tự - Lời giải 2: Chưa có bước ghép đôi - Lời giải 3: Ở bước cuối nhầm lẫn việc chọn đôi với việc đơn chọn nam nữ - Lời giải 4: Là lời giải CÁC KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Sau áp dụng phương pháp cho lớp thực nghiệm 11C7, 11C9 thu kết sau: Đa số học sinh khơng cịn có tâm lí ngại sợ học chủ đề tổ hợp, xác suất Học sinh chủ động, tích cực xây dựng bài, chữa tập làm tập nhà Nhiều học sinh giải toán tổ hợp xác suất có độ khó cao, đồng thời phát sửa chữa lỗi sai thân bạn.Lượng tập với mức độ vận dụng vận dụng cao giải hiệu Học sinh vận dụng giải tốn theo hình thức trắc nghiệm, tìm mẹo nhỏ để giải tốn nhanh hơn, lơgic Qua kết thống kê kiểm tra tiết số HK1: Chương “Tổ hợp-xác suất” lớp thực nghiệm đạt kết điểm giỏi nhiều hẳn so với lớp đối chứng Điều chứng tỏ biện pháp đưa mang lại hiệu khả quan Kết thống kê kiểm tra tiết số HK1: Chương Tổ hợp-Xác suất: Lớp thực nghiệm: Lớp TSHS 8.0-10 (*) SL % 6.5-7.9 5.0-6.4 3.5-4.9 0-3.4 TB trở lên SL % SL % SL % SL % SL % Trang 16 ************************************************************** 11C7 40 28 11C9 41 10 70.0 24.3 20 20.0 48.7 10.00 0 0 40 100 10 24.3 2.44 0 40 97.56 Lớp đối chứng: Lớp 11C8 TSHS 8.0-10 (*) SL % 23.2 43 10 6.5-7.9 5.0-6.4 3.5-4.9 0-3.4 TB trở lên SL % 25.5 11 SL % 32.5 14 SL % 13.9 SL % SL % 35 4.65 81.40 PHẦN III: KẾT LUẬN Trên số kinh nghiệm nhằm nâng cao hiệu giảng dạy tổ hợp xác suất mà học hỏi đúc kết qua thực tiễn giảng dạy, kinh nghiệm học hỏi đồng nghiệp, tài liệu tham khảo Đề tài nêu số tình thực nghiệm thực tế môn tổ hợp xác suất Bước đầu nêu số sai lầm phổ biến học sinh giải toán tổ hợp xác suất nguyên nhân chúng Từ đưa biện pháp khắc phục sai lầm nâng cao hiệu giảng dạy Đã thử nghiệm biện pháp đề xuất mang lại kết khả quan Vì tơi mong hội đồng khoa học bổ xung để sáng kiến ngày hồn thiện hơn, giúp ích nhiều việc nâng cao chất lượng học tập chương tổ hợp - xác suất_ tốn 11 Tơi xin chân thành cảm ơn! Đức Cơ, ngày 25 tháng 09 năm 2020 Người viết TRỊNH THỊ HỒNG VÂN TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Hữu Hậu (2011), Phát sửa chữa sai lầm cho học sinh dạy học Đại số - Giải tích trường phổ thơng, NXB Đại học sư phạm Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại học sư phạm 3.Trần Văn Hạo(Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên( 2007), Đại số giải tích 11 Nxb Giáo dục 4.Trần Văn Hạo(Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên( 2007), Đại số giải tích 11 (Sách giáo viên) Nxb Giáo dục Trang 17 ************************************************************** Cùng số tài liệu khác có liên quan ***************************************************** Trang 18 ************************************************************** MỤC LỤC PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1.Lí chọn đề tài…… .1 Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài…… .1 3.Đối tượng nghiên cứu……… 4.Phương pháp nghiên cứu……… PHẦN II: NỘI DUNG Những vấn đề cần ý nhấn mạnh dạy tổ hợp- xác suất…………… 1.1 Phân biệt nhấn mạnh rõ điểm giống khác khái niệm dễ nhầm lẫn……………………………………………………………………2 1.2 Sai lầm liên quan đến suy luận, phân chia toán thành trường hợp riêng 1.3.Sai lầm việc lựa chọn khái niệm, quy tắc, định lý để vận dụng vào giải toán………………………………………………………………… 1.4 Sai lầm thực phép biến đổi mà không ý điều kiện…….7 Một số biện pháp giúp học sinh nắm vững phương pháp giải toán tổ hợp xác suất………………………………… 2.1.Biện pháp 1: ……………………… 2.2.Biện pháp 2: ……………………… 2.3.Biện pháp 3: ……………………… 10 2.4.Biện pháp 4: ……………………… 12 2.5.Biện pháp 5: ……………………… 13 2.6.Biện pháp 6: ……………………… 15 3.Các kết đạt ………… 16 PHẦN III: KẾT LUẬN 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO .18 Trang 19 ... dụng xác ngơn ngữ tốn học cho học sinh giải toán tổ hợp - xác suất: Dạy học tốn học nói chung dạy học chủ đề tổ hợp xác suất nói riêng cần ý đến nhiệm vụ góp phần phát triển tư tốn học cho học. .. dạy, kinh nghiệm học hỏi đồng nghiệp, tài liệu tham khảo Đề tài nêu số tình thực nghiệm thực tế môn tổ hợp xác suất Bước đầu nêu số sai lầm phổ biến học sinh giải toán tổ hợp xác suất nguyên nhân... NẮM VỮNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TỔ HỢP XÁC SUẤT: 2.1 Biện pháp 1: Giúp học sinh nắm vững chất khái niệm, qui tắc, kí hiệu tốn tổ hợp- xác suất Như nói phần trước cần làm cho học sinh hiểu phân biệt