Thông tin tài liệu
GIẢI THUẬT XẤP XỈ Tiếp cận toán NP-đầy đủ ° ° Nếu toán NP-đầy đủ không ta tìm giải thuật thời gian đa thức để giải cách xác Tiếp cận toán NP-đầy đủ 1) Nếu input có kích thước nhỏ giải thuật chạy thời gian số mũ thoả mãn yêu cầu 2) Thay tìm lời giải tối ưu, tìm lời giải gần tối ưu thời gian đa thức Chương 37 Approximation Algorithms Giải thuật xấp xỉ ° ° Một giải thuật xấp xỉ giải thuật trả lời giải gần tối ưu Giả sử: chi phí lời giải > Gọi C∗ chi phí lời giải tối ưu Một giải thuật xấp xỉ cho toán tối ưu gọi có tỉ số xấp xỉ ρ( n) (approximation ratio, ratio bound) với input có kích thước n chi phí lời giải giải thuật xấp xỉ tìm thoả • max(C/C∗ , C∗ /C) ≤ ρ(n) Chương 37 Approximation Algorithms Giải thuật xấp xỉ ° Chi phí lời giải giải thuật xấp xỉ tìm thỏa, với tỉ số xấp xỉ ρ( n) , • max(C/C∗ , C∗ /C) ≤ ρ(n) – Bài toán tối đa: < C ≤ C∗ , max(C/C∗ , C∗ /C) = C∗ /C ≤ ρ(n) Chi phí lời giải tối ưu ≤ ρ(n) lần chi phí lời giải gần – Bài toán tối thiểu: < C∗ ≤ C, max(C/C∗ , C∗ /C) = C/C∗ ≤ ρ(n) Chi phí lời giải gần ≤ ρ(n) lần chi phí lời giải tối ưu ° Một giải thuật xấp xỉ có tỉ số xấp xỉ ρ( n) gọi giải thuật ρ( n) xấp xỉ Chương 37 Approximation Algorithms Bài toán che phủ đỉnh ° ° Nhắc lại Một che phủ đỉnh (vertex cover) đồ thị vô hướng G = (V, E) tập V’ ⊆ V cho neáu (u, v) ∈ E u ∈ V’ hay v ∈ V’ (hoặc hai ∈ V’) Kích thước che phủ đỉnh số phần tử Bài toán che phủ đỉnh tìm che phủ đỉnh có kích thước nhỏ đồ thị vô hướng cho Bài toán dạng toán tối ưu ngôn ngữ NP-đầy đủ VERTEX-COVER = {〈 G, k〉 : đồ thị G có che phủ đỉnh có kích thước k} Chương 37 Approximation Algorithms Một giải thuật xấp xỉ cho toán che phủ đỉnh APPROX-VERTEX-COVER(G) C ←∅ E’ ← E[G] while E’ ≠ ∅ xeùt (u, v) cạnh E’ C ← C ∪ {u, v} tách khỏi E’ tất cạnh liên thuộc return C Chương 37 Approximation Algorithms Thực thi APPROX-VERTEX-COVER b c d a e f b c d a e f b c d a e f g g g b c d a e f b c d a e f b c d a e f Chương 37 Approximation Algorithms g g g Phân tích APPROX-VERTEX-COVER Nhận xét: Thời gian chạy APPROXVERTEX-COVER O(E) Định lý 37.1 APPROX-VERTEX-COVER giải thuật 2-xấp xỉ thời gian đa thức Chương 37 Approximation Algorithms ° ° Bài toán người bán hàng rong với bất đẳng thức tam giác Cho đồ thị đầy đủ vô hướng G = (V, E) với hàm chi phí c : E → Z+ Tìm chu trình hamilton (một tour) G với phí tổn nhỏ Điều kiện: Hàm chi phí c: E → Z+ APPROX-TSP-TOUR(G, c) thỏa bấtđỉnh đẳng thức mãn chọn r ∈ V[G] làmtam giác c(u, w) ≤ c(u, v) + c(v, w), ∀u, v, w ∈ V đỉnh “gốc” nuôi lớn khung nhỏ T cho G từ gốc r dùng giải thuật MST-PRIM(G, c, r) gọi L danh sách đỉnh thăm viếng phép duyệt theo kiểu tiền thứ tự Chương 37 return chu trình hamilton H viếng Algorithms đỉnh Approximation theo thứ tự L Thực thi APPROX-TSP-TOUR lên ví dụ a d a d e f b c e g f b g c h h (a) (b) Cây khung nhỏ T tính MST-PRIM, đỉnh a đỉnh gốc Chương 37 Approximation Algorithms 10 Thực thi APPROX-TSP-TOUR lên ví dụ (tiếp) a d a d e f b e g c f b g c h h (c) (d) Duyệt T a Thứ tự đỉnh duyệt kiểu hoàn toàn là: a, b, c, b, h, b, a, d, e, f, e, g, e, d, a Thứ tự đỉnh duyệt kiểu tiền thứ tự là: a, b, c, h, d, e, f, g.Chương 37 Tua H có từ kết duyệt theo kiểu tiền thứ tự mà APPROXTSP-TOUR tìm Chi phí tua H khoảng 11 chừng 19,074 Approximation Algorithms Thực thi APPROX-TSP-TOUR lên ví dụ (tiếp) a d e f b g c h (e) Tua tối ưu H∗ , có chi phí 14,715 Chương 37 Approximation Algorithms 12 Bài toán người bán hàng rong với bất đẳng thức tam giác • • • ° ° ° Định lý 37.2 APPROX-TSP-TOUR giải thuật 2-xấp xỉ thời gian đa thức cho toán người bán hàng rong với bất đẳng thức tam giác Chứng minh c( A) = ∑ c(u, v) Cho A ⊆ E, định nghóa (u , v )∈ A Gọi H∗ tua tối ưu, gọi H tua mà APPROX-TSP-TOUR tìm Cần chứng minh: c( H) ≤ 2c( H∗ ) (*) Ta coù c( T) ≤ c( H∗ − e) ≤ c( H∗ ) xoá cạnh e H∗ khung, mà T lại khung nhỏ Chương 37 Approximation Algorithms 13 ° ° ° • Bài toán người bán hàng rong với bất đẳng thức tam giác Chứng minh (tiếp) c( W) = 2c( T) , với W kết duyệt hoàn toàn T từ đỉnh r, cạnh T qua hai lần c( W) ≤ 2c( H∗ ) , từ (*) Nhưng W tua đỉnh thăm hai lần, “tránh thăm đỉnh lần thứ hai” (= duyệt theo kiểu tiền thứ tự) để có tua H, chi phí không tăng bất đẳng thức tam giác, c( H) ≤ c( W) ≤ 2c( H∗ ) Chương 37 Approximation Algorithms 14 Bài toán người bán hàng rong tổng quát • • • ° Định lý 37.3 Nếu P ≠ NP ρ ≥ , không tồn giải thuật xấp xỉ thời gian đa thức với tỉ số xấp xỉ ρ cho toán người bán hàng rong tổng quát Chứng minh Chứng minh phản chứng Giả sử có số nguyên ρ ≥ giải thuật ρ -xấp xỉ thời gian đa thức A cho toán người bán hàng rong tổng quát Hướng chứng minh: Sẽ dùng A để giải toán chu trình Hamilton HAM-CYCLE thời gian đa thức Vì HAM-CYCLE NP-đầy đủ theo giả thiết P ≠ NP nên A không chạy thời gian đa thức, mâu thuẩn! Chương 37 Approximation Algorithms 15 Bài toán người bán hàng rong tổng quát • ° • • • Chứng minh (tiếp) Gọi G = (V, E) thực thể (instance) toán chu trình hamilton Từ G định nghóa đồ thị G’ = (V, E’) đồ thị đầy đủ V, với hàm chi phí c(u, v) = neáu (u, v) ∈ E = ρ| V| + trường hợp khác Các biểu diển G’ c tính từ biểu diễn G thời gian đa thức theo | V| | E| Chương 37 Approximation Algorithms 16 Bài toán người bán hàng rong tổng quát ° • Chứng minh (tiếp) Gọi H∗ tua tối ưu G’, gọi H tua mà A tìm được, ta có c(H ) ≤ ρ⋅ c(H∗ ) Phân biệt hai trường hợp: – Trường hợp c(H ) > ρ| V| ρ| V| < c(H ) ≤ ρ⋅ c(H∗) ⇒ | V| < c(H∗) Vậy H∗ phải chứa cạnh ∉ E Suy G chu trình hamilton – Trường hợp c(H ) ≤ ρ| V| • c(H ) < ρ| V| + = chi phí cạnh ∉ E Do H chứa cạnh G, từ suy H chu trình hamilton G ° Vậy ta dùng giải thuật A để giải toán chu trình hamilton thời gian đa thức Mâu thuẫn với giả thiết P ≠ NP! Chương 37 Approximation Algorithms 17 Bài toán che phủ tập ° Một thực thể (X, F ) toán che phủ tập gồm tập hữu hạn = Stập X họ F Xcác X S ∈F cho X= S S ∈C Một tập C ⊆ F gọi che phủ X ° Bài toán che phủ tập tìm tập C ⊆ F , với | C | nhỏ nhất, cho C che phủ X Chương 37 Approximation Algorithms 18 ° ° Dạng định toán che phủ tập Dạng toán định cho toán che phủ tập tìm che phủ cho kích thước ≤ k, với k tham số thực thể toán định Bài toán định cho toán che phủ tập NP-đầy đủ Chương 37 Approximation Algorithms 19 ° Một giải thuật xấp xỉ cho toán che phủ tập Một giải thuật xấp xỉ cho toán che phủ tập – dùng phương pháp greedy GREEDY-SET-COVER(X, F ) U ←X C ←∅ while U ≠ ∅ chọn S ∈ F cho | S ∩ U | laø lớn nhấ U ← U −S C ← C ∪ {S} return C Chương 37 Approximation Algorithms 20 Phân tích GREEDY-SET-COVER Gọi số điều hòa thứ d Hd : d Hd = ∑ i =1 i Tính chất: Hd ≤ ln d + Định lý 37.4 GREEDY-SET-COVER giải thuật ρ (n)-xấp xỉ thời gian đa thức, với ρ (n) = H(max{| S | : S ∈ F }) Nhận xét: max{| S | : S ∈ F } ≤ | X | Hệ luận 37.5 GREEDY-SET-COVER giải thuật (ln | X | + 1)xấp xỉ thời gian đa thức Chương 37 Approximation Algorithms 21 ... Algorithms Giải thuật xấp xỉ ° ° Một giải thuật xấp xỉ giải thuật trả lời giải gần tối ưu Giả sử: chi phí lời giải > Gọi C∗ chi phí lời giải tối ưu Một giải thuật xấp xỉ cho toán tối ưu gọi có tỉ số xấp. .. giải gần – Bài toán tối thiểu: < C∗ ≤ C, vaäy max(C/C∗ , C∗ /C) = C/C∗ ≤ ρ(n) Chi phí lời giải gần ≤ ρ(n) lần chi phí lời giải tối ưu ° Một giải thuật xấp xỉ có tỉ số xấp xỉ ρ( n) gọi giải thuật. .. , không tồn giải thuật xấp xỉ thời gian đa thức với tỉ số xấp xỉ ρ cho toán người bán hàng rong tổng quát Chứng minh Chứng minh phản chứng Giả sử có số nguyên ρ ≥ giải thuật ρ -xấp xỉ thời gian
Ngày đăng: 29/03/2021, 08:23
Xem thêm:
