Về bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ DUYÊN VỀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ DUYÊN VỀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - Năm 2014 i LỜI CẢM ƠN Trong trình học tập thực luận văn, tơi nhận dạy bảo tận tình thầy cô giáo trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Đặc biệt bảo, hướng dẫn trực tiếp GS TSKH Lê Dũng Mưu Qua tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Lê Dũng Mưu, tới thầy cô giáo bạn đồng nghiệp giúp đỡ suốt thời gian qua Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Ngun, tháng 06 năm 2014 Tác giả Phạm Thị Duyên ii Mục lục Mở đầu 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.1 1.2 Toán tử đơn điệu không gian Hilbert 1.1.1 Không gian Hilbert 1.1.2 Tập lồi, hàm lồi 1.1.3 Toán tử đơn điệu Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.2.1 Phát biểu toán 1.2.2 Sự tồn nghiệm toán 10 1.2.3 Một số ví dụ điển hình 15 Một số phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh 23 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 23 2.2 Phương pháp chiếu với độ dài bước thay đổi 31 2.3 Phương pháp chiếu với độ dài bước thay đổi theo số cho trước 33 2.4 Phương pháp chiếu với độ dài bước thay đổi theo số không cho trước 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 iii Các kí hiệu danh mục từ viết tắt •A B : Hợp hai tập hợp A B •A B :Giao hai tập hợp A B • R: Tập số thực • [a; b]: Đoạn đóng tập hợp số thực với đầu mút a, b a < b • (a; b): Khoảng mở tập hợp số thực với đầu mút a, b a < b • ∀: Với • ∃: Tồn • H : Khơng gian Hilbert • , : Tích vơ hướng • : Chuẩn • V IP : Bài tốn bất đẳng thức biến phân • SOL − V IP : Tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân MỞ ĐẦU Bài toán Bất đẳng thức biến phân giới thiệu lần vào năm 1966 Hartman Stampachia Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều ứng dụng thực tiễn giới thiệu sách “An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications” Kinderlehrer D Stampachia G., xuất năm 1980 sách “Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems” Baiocci C Capelo A., xuất năm 1984 Năm 1979 Michael J Smith đưa toán cân mạng giao thông đến năm 1980 Defermos điểm cân toán nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Từ tốn bất đẳng thức biến phân phát triển trở thành công cụ hữu hiệu để nghiên cứu giải toán cân kinh tế tài chính, vận tải, lí thuyết trị chơi nhiều toán khác Trong toán bất đẳng thức biến phân lớp tốn bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh có vị trí quan trọng Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, kết nghiên cứu luận văn trình bày thành hai chương với tiêu đề: Chương 1: Bài toán bất đẳng thức biến phân Chương 2: Một số phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh Nội dung chương là: Chương 1: Một số kiến thức sở không gian Hilbert thực, giải tích lồi, khái niệm tốn tử đơn điệu Sau đó, phát biểu tốn bất đẳng thức biến phân, tồn nghiệm, đề cập đến tốn liên quan, mơ hình thực tế Chương 2: Trình bày số phương pháp chiếu để giải toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh Cụ thể trình bày ba thuật tốn: + Thuật tốn chiếu với độ dài bước thay đổi trục số dương + Thuật toán chiếu với độ dài bước thay đổi theo số cho trước liên quan đến hệ số giả đơn điệu mạnh số Lipschitz ánh xạ giá + Thuật toán chiếu với độ dài bước thay đổi khơng địi hỏi biết hệ số giả đơn điệu mạnh số Lipschitz ánh xạ giá Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân Nội dung chương bao gồm: Một số kiến thức sở không gian Hilbert thực, giải tích lồi, khái niệm tốn tử đơn điệu Tiếp theo phát biểu toán bất đẳng thức biến phân, tồn nghiệm số tốn ví dụ có liên quan Các kiến thức chương lấy từ tài liệu [1], [2], [3], [4] 1.1 1.1.1 Toán tử đơn điệu không gian Hilbert Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1 Cho H khơng gian tuyến tính thực Tích vơ hướng xác định H ánh xạ xác định sau: , : H × H → R (x, y) → x, y thỏa mãn điều kiện sau: i) x, y = y, x , ∀x, y ∈ X ii) x + y, z = x, y + y, z , ∀x, y, z ∈ X iii) λx, y = λ x, y , ∀λ ∈ R; ∀x, y ∈ X iv) x, x ≥ 0, ∀x ∈ X, x, x = ⇔ x = x, y gọi tích vô hướng hai vec tơ x y x = x, x với x ∈ H , H gọi khơng gian tiền Hilbert (hay cịn gọi khơng gian Unita) Nếu khơng gian tiền Hilbert đầy đủ gọi khơng gian Hilbert Nếu H khơng gian tuyến tính định chuẩn với Trong luận văn ta thống kí hiệu H khơng gian Hilbert thực ta chủ yếu làm việc không gian Ơcơlit thực Rn Ví dụ 1.2 1) Lấy H = Rn với x = (x1 , x2 , ., xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ H biểu n thức x, y = xi yi xác định tích vơ hướng Rn i=1 2) Lấy H = C[0,1] không gian hàm liên tục [0,1] nhận giá trị thực với x, y ∈ H biểu thức x, y = x(t)y(t)dt xác định tích vơ hướng C[0,1] Khi khơng gian khơng L gian tiền Hilbert thường kí hiệu C[0,1] 3) Cho (Ω, β, µ) khơng gian độ đo kí hiệu: L2 (Ω) = f : Ω → C : |f (x)2 |dµ < ∞ Ω f (x)g(x)dµ, L2 (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng f, g = Ω H Định lý 1.3 Cho H không gian tiền Hilbert, với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau : | x, y |2 ≤ x, x y, y Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Schwarz Định lý 1.4 Cho H không gian Hilbert , : H × H → R hàm liên tục Định lý 1.5 (Đẳng thức hình bình hành) Với x,y khơng gian tiền Hilbert H ta có: x+y 1.1.2 + x−y = 2( x + y ) Tập lồi, hàm lồi Định nghĩa 1.6 Một tập C ⊆ H gọi tập lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Định nghĩa 1.7 Một tập hợp C ⊆ H gọi nón nếu: ∀x ∈ C, ∀λ > ⇒ λx ∈ C Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Như vậy, tập lồi C nón lồi có tính chất sau: i) λC ⊆ C, ∀λ > ii) C + C ⊆ C Tập C ⊆ H ta giả thiết C tập lồi (nếu không giải thích thêm) Định nghĩa 1.8 Cho C tập lồi khác rỗng H điểm x ∈ C , nón pháp tuyến C x tập kí hiệu kí hiệu sau N (x/C) = {x∗ ∈ H ∗ : x∗ , x − x∗ ≤ 0, ∀x ∈ C} Định nghĩa 1.9 Cho hàm f : C → R ∪ {+∞} Khi hàm f gọi i) lồi C nếu: f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] ii) lồi chặt C nếu: f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, x = y, λ ∈ (0, 1) iii) lồi mạnh với hệ số β > C với x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1) ta có f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)β x−y 30 Lời giải Thât vậy, w trực giao nên vơi véc tơ sở C ta có: x−z = x − y + y − z, x − y + y − z = x − y, x − y + y − z, y − z + w, y − z = x−y + y−z ≥ x−y , ∀z = (z1 , z2 , zk ) ∈ C Vậy y hình chiếu x lên C Xác định biểu thức tọa độ y Với i = 1, 2, , k ta có: w, ηi = ⇔ x − y, ηi = k ⇔ x− yj η j , η i = j=1 k ⇔ ηi , ηj yj = x, ηi j=1 Với ≤ i, j ≤ k ta đặt: aij = ηi , ηj , bi = x, ηj Khi ta thu hệ tuyến tính k phương trình có k ẩn: Ay T = b, Trong A = (a), b = (b1 , b2 , , bk )T Hơn nữa, theo định nghĩa A ma trận xác định dương nên det A = hay hệ phương trình có nghiệm y T = A−1 b Do hình chiếu x lên C là: k y= yj η j , j=1 31 Trong y T = A−1 b Trong trường hợp B chọn làm sở trực chuẩn C , nghĩa là:  0 i = j ηi , ηj = 1 i = j Thì ma trận A ma trận đơn vị Do đó, ta có : yj bi = x, ηj , i = 1, 2, , k Vậy k y= x, ηj ηj j=1 2.2 Phương pháp chiếu với độ dài bước thay đổi Bây xem xét phương pháp chiếu độ dài bước thay đổi để giải toán V IP (K; F ) Thuật toán 2.2.1 Cho uo ∈ K {λk } ⊂ (0, +∞) Bước : Cho k = Bước : Nếu uk = PK uk − λk F (uk ) dừng, uk nghiệm Bước : Trái lại, đặt uk+1 = PK uk − λk F (uk ) k k + 1, quay bước Ta ý thuật toán kết thúc bước k đặt uk = uk , ∀k ≥ k + Khi đó, cho dãy số {λk } ⊂ (0, +∞) Thuật toán 2.2.1 cho, với điểm ban đầu uo ∈ K , dãy lặp {uk } Các mệnh đề sau sử dụng nhiều lần phần Mệnh đề 2.2 Cho K tập lồi, đóng, khác rỗng H cho F : K → H ánh xạ giả đơn điệu mạnh K, với hệ số γ , liên tục Lipchitz K với 32 số L Cho dãy {uk } dãy tạo Thuật tốn 2.2.1 Khi đó, u∗ nghiệm VIP(K; F) : 1+λk (2γ−λk L2 ) uk+1 −u∗ ≤ uk −u∗ , ∀k ∈ N (2.2.1) Chứng minh Từ uk+1 = PK uk − F (uk ) , theo Định lí 2.1(b) ta có: uk − λk F (uk ) − uk+1 , u − uk+1 ≤ 0, ∀u ∈ K Thế u = u∗ ∈ K vào bất đẳng thức ta được: uk − λk F uk − uk+1 , u∗ − uk+1 ≤ 0, tương đương uk − uk+1 , u∗ − uk+1 ≤ 2λk F (uk ), u∗ − uk+1 (2.2.2) Do u∗ ∈ Sol(K, F ) với u ∈ K ta có: F (u∗ ), u − u∗ ≥ Vì F giả đơn điệu mạnh nên ta có: F (u), u − u∗ ≥ γ u − u∗ ∀u ∈ K Do đó, theo bất đẳng thức Cauchy- Schwarz F liên tục Lipschitz nên ta có: 2λk F (uk ), u∗ − uk+1 = −2λk F (uk+1 ), uk+1 − u∗ + 2λk F (uk ) − F (uk+1 ), u∗ − uk+1 ≤ −2λk γ uk+1 − u∗ +2λk F (uk ) − F (uk+1 ) ≤ −2λk γ uk+1 − u∗ +2λk L uk − uk+1 uk+1 − u∗ uk+1 − u∗ Theo bất đẳng thức 2λk L uk − uk+1 uk+1 − u∗ ≤ uk − uk+1 Chúng ta có: 2λk F (uk ), u∗ − uk+1 2 + (λk L)2 uk+1 − u∗ , 33 ≤ −2λk γ uk+1 − u∗ + uk − uk+1 2 + (λk L)2 uk+1 − u∗ (2.2.3) Mặt khác uk − uk+1 , u∗ − uk+1 = uk − uk+1 = uk − uk+1 + u∗ − uk+1 + uk+1 − u∗ 2 − (uk − uk+1 ) − (u∗ − uk+1 ) − uk − u∗ (2.2.4) Từ (2.2.2), (2.2.3), (2.2.4) suy ra: uk − uk+1 + uk+1 − u∗ − uk − u∗ ≤ −2λk γ uk+1 − u∗ + uk − uk+1 + (λk L)2 uk+1 − u∗ Vậy (2.2.1) thỏa mãn 2.3 Phương pháp chiếu với độ dài bước thay đổi theo số cho trước Trong phần này, chứng minh dãy lặp tạo Thuật toán 2.2.1 cho lớp toán V IP (K; F ) ánh xạ giả đơn điệu mạnh, hội tụ tuyến tính với điều kiện tốn có nghiệm Thuật tốn khác với thuật toán tham số λk thay đổi khoảng định Định lý 2.3 Cho K tập lồi, đóng, khác rỗng H cho F : K → H ánh xạ giả đơn điệu mạnh K với hệ số γ liên tục Lipschitz K với số L Giả sử: < a ≤ λk ≤ b < 2γ , ∀k ∈ N, L2 (2.3.1) a, b số dương Cho uk dãy tạo Thuật toán 2.2.1 Nếu u∗ nghiệm V IP (K; F ) dãy uk hội tụ tuyến tính tới u∗ Hơn nữa, ta có: k+1 u ∗ −u µk+1 ≤ u1 − u0 , 1−µ (2.3.2) 34 uk+1 − u∗ ≤ µ uk+1 − uk 1−µ (2.3.3) với k ∈ N µ= ∈ (0, 1) + a(2γ − bL2 ) (2.3.4) Chứng minh Từ (2.3.1) ta có: + λk (2γ − λk L2 ) ≥ + a(2γ − bL2 ) > 1, ∀k ∈ N Theo (2.2.1) bất đẳng thức ta có: uk+1 − u∗ + a(2γ − bL2 ) 2 ≤ uk − u∗ , ∀k ∈ N Do đó, uk+1 − u∗ ≤ µ uk − u∗ , ∀k ∈ N (2.3.5) Với µ xác định (2.3.4) Ta có µ ∈ (0, 1) Từ (2.3.5) cho thấy uk hội tụ tuyến tính tới u∗ Chúng ta chứng minh (2.3.2) (2.3.3) Theo (2.3.5) ta có: uk+1 − u∗ ≤ µ uk − u∗ ≤ µ2 uk−1 − u∗ ≤ ≤ µk+1 u0 − u∗ Mà: uk − u∗ ≤ uk − uk+1 + uk+1 − u∗ ≤ uk − uk+1 + µ uk − u∗ , uk − u∗ ≤ uk − uk+1 , ∀k ∈ N 1−µ Do đó, µk+1 u0 − u1 , 1−µ µ ≤ uk − uk+1 1−µ uk+1 − u∗ ≤ µk+1 u0 − u∗ ≤ uk+1 − u∗ ≤ µ uk − u∗ Đó điều phải chứng minh 35 Nhận xét 2.4 Khi a = b = λ độ dài bước cố định Do đó, phương pháp chiếu với độ dài bước thay đổi quay phương pháp chiếu µ (2.3.4) trở thành: µ= 1 + λ(2γ − λL2 ) (2.3.6) để phù hợp với (2.3.1), ta có: λ ∈ (0, 2γ ) L2 Công thức (2.3.2) (2.3.3) chặt chẽ µ tối thiểu Bên cạnh đó, µ cơng thức (2.3.6) hàm λ ∈ (0, L2γ2 ), dễ dàng tìm giá trị tối thiểu µ L , L2 + γ µ∗ := đạt γ L2 Nhận xét 2.5 Giá trị µ cơng thức (2.3.4) coi hàm µ = µ(a, b) biến (a, b) thuộc miền λ = λ∗ := (a, b) ∈ R2 : < a ≤ b < 2γ L2 Cho b = at với t ∈ [1, +∞) cố định, ta thấy hàm µ(a, b) = µ(a, at) đạt giá trị nhỏ 1+ a= γ2 tL2 γ tL2 Từ      1+ γ2 tL2 : ≤ t < +∞      = L L2 + γ 36 kết luận rằng: µ(a, b) : < a ≤ b < 2γ L2 = L L2 + γ Do đó, giá trị tốt cho µ (2.3.4) là: µ∗ := L L2 + γ Hơn nữa, đạt với cặp γ γ , L2 L2 (a∗ , b∗ ) := Nhận xét 2.6 Định lí 2.3 cho thấy ứng dụng Thuật toán 2.2.1 để giải toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh Ví dụ, cơng thức (2.3.2) cho phép ta ước tính số bước lặp để đạt độ xác định Cụ thể là, ε > 0, µk+1 u1 − u0 ≤ ε, 1−µ ta tính số bước lặp k để được: uk+1 − u∗ ≤ ε Kết luận 2.3.1 Theo Định lí 2.3 F đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz K dãy uk tạo Thuật toán 2.2.1 hội tụ tuyến tính tới nghiệm V IP (K; F ) công thức (2.3.2) (2.3.3) thỏa mãn Ví dụ 2.7 Cho H = mà thành phần chuỗi có tích vơ hướng thực tức là: ∞ H= |ui |2 < +∞ u = (u1 , u2 , , ui , ) : i=1 Thành phần bên tiêu H cho cách thiết lập: ∞ u, v = ui vi , i=1 37 u = u, u với u = (u1 , u2 , , ui , ) , v = (v1 , v2 , , vi , ) ∈ H Cho α, β ∈ R cho: β > α > β > Đặt Kα = {u ∈ H : u ≤ α} , Fβ (u) = (β − u )u, α, β tham số Nó dễ dàng thấy nghiệm Sol(Kα , Fβ ) = {0} Chú ý Fβ liên tục Lipschitz giả đơn điệu mạnh Kα Thật vậy, với u, v ∈ Kα : Fβ (u) − Fβ (v) = (β − u )u − (β − v )v = β(u − v) − u (u − v) − ( u − v )v ≤β u−v + u u−v + u − v v ≤β u−v +α u−v + u−v α = (β + 2α) u − v Do đó, Fβ liên tục Lipschitz Kα với số Lipschitz L := β + 2α Cho u, v ∈ Kα ta có: Fβ (u), v − u ≥ Từ u ≤ α < β , có nghĩa là: u, v − u ≥ Do đó, Fβ (v), v − u = (β − v ) v, v − u ≥ (β − v )( v, v − u − u, v − u ) ≥ (β − α) u − v = γ u − v 2, 38 γ := β − α > Do Fβ giả đơn điệu mạnh Kα Ta thấy Fβ không đơn điệu mạnh không đơn điệu Kα Từ ta chọn: β u = ( , 0, , 0, ), v = (α, 0, , 0, ) ∈ Kα , ý rằng: β Fβ (u) − Fβ (v), u − v = ( − α) < Lấy u0 ∈ Kα cho λk = λ, ∀k ∈ N , đó: λ ∈ (0; 2γ 2(β − α) ) ) = (0; L2 (β + 2α)2 Từ Định lí 2.3 ta suy dãy uk tạo Thuật tốn 2.2.1 hội tụ tuyến tính tới 0, nghiệm tốn V IP (Kα ; Fβ ) Hơn nữa, theo công thức (2.3.2) (2.3.3) ta có: k+1 u µk+1 −0 ≤ u1 − u0 1−µ uk+1 − ≤ µ uk+1 − uk 1−µ với k ∈ N, đây, µ= + λ[2(β − α) − λ(β + 2α) ] Theo Nhận xét 2.4 giá trị nhỏ µ µ∗ = β + 2α , (β + 2α) + (β − α) đạt λ = λ∗ = β−α (β + 2α)2 39 2.4 Phương pháp chiếu với độ dài bước thay đổi theo số không cho trước Kết phần thể sau Định lý 2.8 Cho K tập lồi, đóng, khác rỗng H cho F : K → H ánh xạ giả đơn điệu mạnh K với hệ số γ liên tục Lipschitz với số L Giả sử {λk } dãy số dương, thỏa mãn: ∞ λk = +∞, lim λk = (2.4.1) k→∞ k=0 Cho uk dãy tạo Thuật toán 2.2.1 Nếu V IP (K; F ) có nghiệm u∗ dãy uk hội tụ tới u∗ Hơn nữa, tồn số k0 ∈ N cho với k ≥ k0 , λk (2γ − λk L2 ) > uk+1 − u∗ ≤ k i=k0 [1 + λi (2γ − λi uk0 − u∗ (2.4.2) L2 )] Chứng minh Từ λk → 0, tồn k0 ∈ N cho: λk L2 < λ, ∀k ≥ k0 Do đó: λk (2γ − λk L2 ) > λk (2γ − γ) = γλk > 0, ∀k ≥ k0 Và từ (2.2.2) cho ta: uk+1 − u∗ ≤ ≤ uk − u∗ + λk (2γ − λk L ) 1 uk−1 − u∗ 2 [1 + λk (2γ − λk L )] [1 + λk−1 (2γ − λk−1 L )] ≤ k uk0 − u∗ i=k0 [1 + λi (2γ − λi L )] 40 Vậy có (2.4.2) Tiếp theo chứng minh uk hội tụ tới u∗ Với k ∈ N, ta đặt: αk = λk (2γ − λk L2 ), viết lại công thức (2.4.2) sau: uk0 − u∗ uk+1 − u∗ ≤ k i=k0 (1 + αi ) (2.4.3) Do αk = λk (2γ − λk L2 ) > γλk với k ≥ k0 , từ (2.4.2) ta có: ∞ αk = +∞ k=k0 Do đó: k i=k0 (1 + αi ) ≤ →0 k αi 1+ i=k0 k → ∞ Tức là, (2.4.3) thỏa mãn, dãy uk hội tụ tới u∗ Đó điều phải chứng minh Nhận xét 2.9 Ta ý giả thiết Định lí 2.8 giống Định lí 2.3, nhiên khơng cần đến số Lipschitz L hệ số γ ánh xạ giả đơn điệu mạnh F Ví dụ 2.10 Cho H, Kα , Fβ , u0 giống Ví dụ 2.7 cho λk = , ∀k ∈ N k+1 Do cơng thức (2.4.1) thỏa mãn Cho uk dãy lặp tạo Thuật toán 2.2.1 Theo Định lí 2.8, uk hội tụ tới 0, nghiệm V IP (Kα ; Fβ ) Đặt (β + 2α)2 k0 = , 2(β − α) 41 λk (2γ − λk L2 ) > 0, ∀k ≥ k0 Theo công thức (2.4.3) ta có: uk+1 − ≤ k i=k0 [1 + ( 2(β−α) i+1 − uk0 − , ∀k ≥ k0 (β+2α) (i+1) )] Ví dụ 2.11 Đặt K = R, F (u) = u Rõ ràng F liên tục Lipschitz, đơn điệu mạnh K Sol (K, F ) = {0} Chọn u0 = ∈ K λk = , ∀k ∈ N (k + 2)2 (2.4.4) ∞ Từ lim λk = k→∞ λk < +∞, hai điều kiện (2.3.1) (2.4.1) k=0 vi phạm Dãy lặp uk tạo Thuật toán 2.2.1 với u0 = cho bởi: uk+1 = PK (uk − λk F (uk )) = uk − λk uk = (1 − λk )uk Do đó, từ cơng thức (2.4.4) ta có: k k+1 u k (1 − λi ) = = i=0 (1 − i=0 ), ∀k ∈ N (i + 2)2 Điều cho thấy dãy uk giảm bị chặn Do uk hội tụ Chú ý rằng: k k+1 u = (1 − 2) = (i + 2) i=0 k i=0 (i + 1)(i + 3) k+3 = 2(k + 2) (i + 2)2 Cho k → ∞ ta được: lim uk = 21 Điều có nghĩa uk không hội k→∞ tụ tới nghiệm V IP (K; F ) xét Suy Định lí 2.3 Định lí 2.8, điều kiện (2.3.1) (2.4.1) giảm Ví dụ cho ta thấy dãy uk xét Định lí 2.8 khơng thể hội tụ tuyến tính tới nghiệm V IP (K; F ) 42 Ví dụ 2.12 Cho K, F Ví dụ 2.11 u0 ∈ R\ {0} Cho {λk } ⊂ (0, +∞) thỏa mãn công thức (2.4.2) λk = 1, ∀k ∈ N Công thức lặp Thuật toán 2.2.1 trở thành: uk+1 = PK (uk − λk F (uk )) = uk − λk uk = (1 − λk )uk Do lim λk = uk = 0, ∀k ∈ N, có: k→∞ uk+1 − lim = lim |1 − λk | = k→∞ k→∞ uk − Do đó, ta khơng thể tìm thấy µ ∈ (0, 1) cho bất đẳng thức: uk+1 − ≤ µ uk − , ∀k ∈ N thỏa mãn Do dãy uk V IP (K; F ) khơng hội tụ tuyến tính tới nghiệm 43 KẾT LUẬN Luận văn trình bày toán bất đẳng thức biến phân, tồn nghiệm, số tốn có liên quan vài mơ hình thực tế Tiếp theo, trình bày số phương pháp chiếu để giải toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh theo báo [5] Cụ thể trình bày ba thuật toán: + Thuật toán chiếu với độ dài bước thay đổi trục số dương + Thuật toán chiếu với độ dài bước thay đổi theo số cho trước liên quan đến hệ số giả đơn điệu mạnh số Lipschitz ánh xạ giá + Thuật toán chiếu với độ dài bước thay đổi khơng địi hỏi biết hệ số giả đơn điệu mạnh số Lipschitz ánh xạ giá Ở số kết quả, đưa thêm hệ quả, nhận xét ví dụ minh họa để làm rõ ý nghĩa kết trình bày Để có kết trên, tơi nỗ lực, cố gắng tham khảo nghiên cứu tài liệu có liên quan đến tốn bất đẳng thức biến phân Ngồi ra, tơi cịn bảo, động viên thầy giáo hướng dẫn – GS TSKH Lê Dũng Mưu Tơi tiếp thu có chọn lọc ý kiến bạn bè Tuy nhiên, kiến thức kinh nghiệm thân chưa nhiều nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong thầy bạn đọc đóng góp ý kiến 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Dũng Mưu (1988), Nhập môn phương pháp tối ưu, Nxb Khoa học kĩ thuật, Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, Nxb Đại học quốc gia, Hà Nội [3] Konnov I (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer [4] Kinderlehrer D and Stampacchia G (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, 1980 [5] P D Khanh and P T Vuong (2013), Modified projection method for strongly pseudomonotone variational inequalities, Journal of Global Optimication, DOI 10.1007/s 10898-013-0042-5 ... chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh Nội dung chương bao gồm: Một số tính chất toán tử chiếu Tiếp theo số phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân với toán. .. bày thành hai chương với tiêu đề: Chương 1: Bài toán bất đẳng thức biến phân Chương 2: Một số phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh Nội dung chương... thức biến phân • SOL − V IP : Tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 1 MỞ ĐẦU Bài toán Bất đẳng thức biến phân giới thiệu lần vào năm 1966 Hartman Stampachia Bài toán bất đẳng thức biến phân không