Vận dụng đại số tuyến tính vào giải phương trình hàm trên n

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGƠ VĂN TUẤN VẬN DỤNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN N LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên - Năm 2013 Mục lục Mở đầu Ma trận 1.1 Ma trận định thức 1.1.1 Ma trận phép toán 1.1.2 Định thức tính chất định thức 1.1.3 Đại số Matn(K) ma trận vuông cấp 1.1.4 Vectơ riêng, giá trị riêng 1.2 Chéo hóa ma trận vng 1.2.1 Vành ma trận 1.2.2 Ma trận nghịch đảo 1.2.3 Phương trình đặc trưng ma trận 1.2.4 Chéo hóa ma trận vng n Xây dựng phương trình hàm N 2.1 Giá trị riêng hàm ma trận 2.1.1 Giá trị riêng hàm đa thức A 2.1.2 Giá trị riêng hàm hữu tỷ A 2.2 Xét dãy số qua phép nhân ma trận 2.3 Phương trình hàm N 2.4 Xây dựng phương trình hàm từ tốn biết 2.5 Kết luận Tài liệu tham khảo 4 12 14 16 16 18 19 22 24 24 24 25 26 33 50 53 54 Mở đầu Phương trình hàm vấn đề khó, nhiều người quan tâm Phương trình hàm thường xuất đề thi học sinh giỏi quốc gia đề thi quốc tế Trong trình dạy học, giải xây dựng vài phương trình hàm Luận văn đặt vấn đề xây dựng số phương trình hàm tập N qua số kết đạt Đại số tuyến tính Bài tốn xác định hàm số f (x) thoả mãn số tính chất T1 , , Tn gọi phương trình hàm Giải phương trình hàm tức tìm tất hàm f (x) thoả mãn tất tính chất T1 , , Tn Khi giải phương trình hàm, với tính chất Tk ta tìm cách tiến dần đến hàm số cần tìm Với hàm số tìm ta kiểm tra lại xem có thoả mãn tất tính chất Tk hay khơng? Thường giải phương trình hàm đưa giải hệ phương trình hay dãy truy hồi Từ kết đạt đa thức hàm liên tục ta dễ dàng giải tốn Trong luận văn chúng tơi sử dụng số kết đại số tuyến tính vào xây dựng phương trình hàm tập tự nhiên N Nội dung luận văn gồm có hai chương: Chương I, trình bày khái niệm ma trận phép tốn, định thức tính chất định thức, đại số M atn(K), ma trận vuông cấp N, vectơ riêng, giá trị riêng, vành ma trận, ma trận nghịch đảo, phương trình đặc trưng ma trận, chéo hố ma trận vng Chương II, trình bày khái niệm giá trị riêng hàm ma trận, xét dãy truy hồi qua phép nhân ma trận, ứng dụng xây dựng giải phương trình hàm tập N Luận văn có sử dụng số phương trình hàm thầy giáo hướng dẫn Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình PGS.TS Đàm Văn Nhỉ - Đại học Sư Phạm Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn Thầy Em xin trân trọng cảm ơn tới Thầy, Cô Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học Đồng thời xin cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Quảng Ninh, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Cô Tô - Huyện Cô Tô tạo điều kiện cho tơi học tập hồn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 16 tháng năm 2013 Tác giả Ngô Văn Tuấn Chương Ma trận 1.1 1.1.1 Ma trận định thức Ma trận phép toán Định nghĩa 1.1.1 Một bảng gồm m.n số viết thành m dòng, n cột sau:   a11 a12 a1j a1n  a21 a22 a2j a2n        (1.1)    ai1 ai2 aij ain      am1 am2 amj amn gọi ma trận kiểu (m, n) Mỗi số aij gọi thành phần ma trận Nó nằm dịng thứ i cột thứ j Ta thường kí hiệu ma trận chữ in hoa: A, B Có thể viết ma trận (1.1) cách đơn giản A = (aij )(m,n) Khi biết rõ m n cịn viết A = (aij ) Nếu ma trận có dịng (một cột) ta gọi ma trận dịng (ma trận cột) Nếu m = n ma trận gọi ma trận vuông cấp n viết A = (aij )(n) Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi ma trận  a11 a21 ai1 am1  a12 a22 ai2 am2      a1j a2j aij amj   a1n a2n ain amn          ma trận chuyển vị ma trận (1.1) kí hiệu t A Như ma trận t A thu từ A cách đổi dòng thứ i A thành cột thứ i t A A ma trận kiểu (m, n) ma trận chuyển vị t A ma trận kiểu (n, m) Các phép toán tập ma trận Ta biết tập hợp HomK (V, W ) có phép cộng hai ánh xạ tuyến tính phép nhân ánh xạ tuyến tính với số Hơn nữa, cố định hai sở V W , ta có song ánh Φ : HomK (V, W ) −→ M at(m,n) (K) Bây ta muốn định nghĩa phép toán ma trận cho "phù hợp" với phép toán ánh xạ tuyến tính Chẳng hạn ma trận tổng hai ánh xạ phải tổng hai ma trận ánh xạ Phép cộng hai ma trận Mệnh đề định nghĩa: Giả sử A = (aij )(m,n) B = (bij )(m,n) ma trận ánh xạ tuyến tính f, g ∈ HomK (V, W ) hai sở (ε) (ξ) chọn V W Thế ma trận ánh xạ tuyến tính f + g hai sở C = (aij + bij )(m,n) Ma trận C gọi tổng hai ma trận A B kí hiệu A + B Chứng minh Theo giả thiết m f (εj ) = m bij εi , ∀j ∈ {1, 2, 3, , n} aij ξi , g(ε)j = i=1 i=1 m m m i=1 (aij + bij )ξi , bij ξi = aij ξi + Do đó: (f + g)(εj ) = f (εj )+g(εj ) = i=1 i=1 với j ∈ {1, 2, , n} Vậy ma trận f + g hai sở cho (aij + bij )(m,n) Quy tắc cộng ma trận: Muốn cộng hai ma trận ta việc cộng thành phần tương ứng (cùng dòng, cột) chúng: (aij )(m,n) + (bij )(m,n) = (aij + bij )(m,n) Phép nhân ma trận với số Mệnh đề định nghĩa: Giả sử A = (aij )(m,n) ma trận ánh xạ tuyến tính f ∈ HomK (V, W ) hai sở (ε) (ξ) chọn V W , k ∈ K Thế ma trận ánh xạ tuyến tính f.g hai sở C = (kaij )(m,n) Ma trận C gọi tích hai ma trận A với số k , kí hiệu kA Quy tắc nhân ma trận với số: Muốn nhân ma trận A với số k ta việc nhân số k với thành phần A Phép trừ hai ma trận Định nghĩa 1.1.3 Ma trận (−1)A gọi đối ma trận A Kí hiệu −A Với ma trận A B , tổng A + (-B) gọi hiệu A B Kí hiệu A - B Như vậy, với A = (a(ij) )(m,n) B = (bij )(m,n) ta có: −B = (−bij )(m,n) , A − B = (aij − bij )(m,n) Tích hai ma trận Mệnh đề 1.1.1 Giả sử không gian U, V, W chọn sở cố định, A = (a(ij) )(m,n) ma trận ánh xạ tuyến tính f : V −→ W, B = (b(ij) )(n,p) ma trận ánh xạ tuyến tính f : U −→ V Thế ma trận ánh xạ tuyến tính fg ma trận m C = (c(ik) )(m,p) , cik = (aij bjk ) j=1 Ma trận C gọi tích hai ma trận A B, kí hiệu AB Chứng minh Giả sử (ε) = {ε1 ε2 εp } sở U, (ξ) = {ξ1 , ξ2 , , ξn } sở V, (ξ) = {ξ2 , , ξm } sở W Theo định nghĩa ma trận ánh xạ tuyến tính, ta có: m m m bij ξj , f g(εk ) = aij ζi , g(εk ) = f (ξj ) = j=1 i=1 cik ζi i=1 Do n f g(εk ) = n m bjk f (ξj ) = j=1 m bjk aij ζj = i=1 i=1 n ( i=1 aij bjk )ζi j=1 Vậy: m m cik ζi = i=1 n ( i=1 aij bjk )ζi j=1 m Vì hệ (ζ) độc lập tuyến tính nên cik = aij bjk j=1 Quy tắc nhân hai ma trận: Muốn tìm thành phần cik ma trận tích AB ta phải lấy thành phần aij dòng thứ i ma trận A nhân với thành phần bjk cột thứ k ma trận B cộng lại Chú ý 1) Theo định nghĩa tích AB xác định số cột ma trận A số dòng ma trận B 2) Phép nhân ma trận khơng có tính giao hốn Mệnh đề 1.1.2 Với ma trận A, B, C số k ∈ K , ta có đẳng thức sau (nếu phép tốn có nghĩa): 1) Tính kết hợp: (AB)C = A(BC); 2) Tính chất phân phối phép nhân phép cộng: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC; 3) k(AB) = (kA)B = A(kB) 1.1.2 Định thức tính chất định thức Định nghĩa 1.1.4 Với ma trận vuông          a11 a21 ai1 an1 a12 a22 ai2 an2 a1j a1n a2j a2n aij ain anj ann          ta gọi tổng sgn(s)a1s(1) a2s(2) ais(i) ans(n) D= s∈S(n) định thức ma trận A kí hiệu a11 ai1 an1 a12 ai2 an2 a1j aij anj a1n ain ann hay |A| hay det(A) Trong cách kí hiệu ta nói aij thành phần, thành phần ai1 , ai2 , , ain tạo thành dòng thứ i, thành phần a1j , a2j , , anj tạo thành cột thứ j định thức Khi ma trận A có cấp n ta nói |A| định thức cấp n Ta thấy, hạng tử định thức cấp n tích n thành phần với dấu xác định, tích khơng có hai thành phần dịng cột Tính chất 1.1.1 Nếu định thức a11 a12 a1j a1n D = ai1 + ai1 ai2 + ai2 aij + aji ain + ain an1 an2 anj ann mà thành phần dòng thứ i có dạng aij = aij + a”ij a11 a12 a1j a1n D= a11 a12 a1j a1n ai1 ai2 aij ain + ai1 ai2 aij ain an1 an2 anj ann an1 an2 anj ann Chứng minh Kí hiệu hai định thức vế phải D D Theo định nghĩa định thức ta có: sgn(σ)a1σ(1) a2σ(2) (a iσ(i) + a D= iσ(i) ) anσ(n) σ∈S(n) sgn(σ)a1σ(1) a iσ(i) anσ(n) = σ∈S(n) sgn(σ)a1σ(1) a” iσ(i) anσ(n) + σ∈S(n) =D +D Tính chất 1.1.2 Nếu thành phần dịng thứ i định thức có thừa số chung c đặt c ngồi dấu định thức, tức là: a11 cai1 an1 a12 cai2 an2 a1j caij anj a1n cain = c ann a11 ai1 an1 a12 ai2 an2 a1j aij anj a1n ain ann Chứng minh Kí hiệu định thức vế trái D , vế phải D, ta có: D = sgn(σ)a1σ(1) caiσ(i) anσ(n) = σ∈S(n) sgn(σ)a1σ(1) anσ(n) σ∈S(n) = cD 1/3 2/3 1/3 −1/3 P −1 = P −1 AP = có ma trận hệ thức 0 −1 hay A = P 0 −1 P −1 n 5n 1 −1 Từ suy = P 4 (−1)n P 5n an 1/3 2/3 hay nhận = n bn (−1) 1/3 −1/3 an = 3.5n − 2(−1)n công thức xác định với số nguyên n bn = 3.5n + (−1)n Như | ln f (n)−ln g(n)| = 3, n Kết (ln f (2012)+2)(ln g(2012)− 1) chia hết cho 54024 , chia hết cho 54025 hiển nhiên an bn = −1 Ví dụ 2.3.10 Giả sử hàm f, g : N∗ → R+ thoả mãn hệ điều kiện:  f (0) = e2 , g(0) = e3 f (n + 1)g(n)6 = f (n)17  g(n + 1)g(n)12 = f (n)35 , n Tìm dư phép chia số ln f (2011) + ln g(2011) cho 2011 Bài giải Lấy lôga ln hai vế đặt a n = ln f (n), bn = ln g(n) với n a0 = 2, b0 = Khi hai dãy (an ), (bn ) xác định an+1 = 17an − 6bn Biểu  bn+1 = 35an − 12bn , n > an an−1 a 17 −6 diễn dạng ma trận b n = 35 −12 bn = bn−1 n n 17 −6 17 −6 Ma trận có phương trình đặc trưng 35 −12 35 −12 17 − x −6 35 −12 − x = x − 5x + = (x − 2)(x − 3) Với giá tri riêng x = vectơ riêng (2; 5) với giá trị riêng x = vectơ riêng (3; 7) Hai vectơ độc lập tuyến tính Đặt P = Khi ma trận nghịch −7 đảo P −1 = −2 ta có ma trận hệ thức P −1 AP = 0 hay A = P n Từ suy hay an bn = 0 P −1 an 17 −6 2n −1 = = P P n 35 −12 3 bn 2n −7 3n −2 nhận công 40 an = 12.3n − 10.2n Do bn = 28.3n − 25.2n , n 32010 ≡ 1( mod 2011) 22010 ≡ 1( mod 2011) nên ln f (2011)+ln g(2011) chia cho 2011 40.3 − 35.2 = 50 thức xác định an bn sau: Ví Giả sử hàm f, g : N → R+ thoả mãn hệ điều kiện:  dụ 2.3.11 f (0) = ea , g(0) = eb f (n + 1)g(n)6 = f (n)17 e22  g(n + 1)g(n)12 = f (n)35 e48 , n Chứng minh (i) ln f (n) ≡ 3n+2 − 1( mod 2n+3 ), ln g(n) ≡ −5.2n+2 + 1( mod 3n+1 ) quan hệ 12 ln f (n) − ln g(n) = 3n+1 + 2n+2 − 17 với số nguyên n a = 0, b = (ii) ln f (n) + 10 = ln g(n) với số nguyên n a = 2, b = Bài giải Lấy lôga ln hai vế đặt xn = ln f (n), yn = ln g(n) với n Khi hai dãy (xn ), (yn ) xác định x0 = a, y0 = b số hạng khác: xn+1 = 17xn − 6yn + 22 yn+1 = 35xn − 12yn + 48, n 0 xn+1 + = 17(xn + 1) − 6(yn − 1) Nếu coi xn + yn+1 − = 35(xn + 1) − 12(yn − 1) yn − an bn có biểu diễn dạng ma trận sau (i) Phép biến đổi an+1 bn+1 Vì 17 −6 = 35 −12 an bn = xn + yn − = 2n 3n 17 −6 35 −12 = an bn −7 nên ta có biểu diễn −2 −7 −2 hay có biểu diễn −8.2n + 9.3n −20.2n + 21.3n hay xn = −8.2n + 9.3n − yn = −20.2n + 21.3n + Việc kiểm tra 12 ln f (n) − ln g(n) = 3n+1 + 2n+2 − 17 để có (i) với số nguyên n tầm thường an 2n −7 3 (ii) Biểu diễn = n −2 hay có bn xn + 3n+1 Như ln f (n) = x = 3n+1 − 1, ln g(n) = y = = n n yn − 7.3n 41 7.3n + Từ suy ln f (n) + 10 = ln g(n) với số nguyên n a = 2, b = Ví dụ 2.3.12 Xác định tất hàm f, g, h : N → R+ thoả mãn điều kiện  f (0) = e, g(0) = e2 , h(0) = e4    f (n + 1) = f (n)2 g(n) g(n + 1)h(n) = g(n)    h(n + 1) = g(n)2 h(n)4 , với n Bài giải Lấy lôga ln hai vế đặt an = ln f (n), bn = ln g(n), cn = ln h(n) với n Khi ba dãy số (an ), (bn ), (cn ) xác định a0 = 1, b0 = 2, c0 = và:  an+1 = 2an + bn bn+1 = bn − cn  cn+1 = 2bn + 4cn , n > an−1 an bn−1 bn có Biểu diễn dạng ma trận = −1 cn−1 cn n an 2 Phương trình đặc trưng −1 bn = 4 cn x − −1 0 −1 x−1 = (x − 2)2 (x − 3) Với giá trị riêng −2 x − x = vectơ riêng độc lập tuyến tính (1; 0; 0); với giá trị riêng x = vectơ riêng (1; 1; −2) Hai vectơ độc lập tuyến tính, khơng lập thành sở R3 Vậy ma trận −1 khơng thể chéo hố −1 b bn−1 Để giải tình này, biến đổi cn = cn−1 n n −1 bn suy c = 4 Phương trình đặc trưng ma trận n x−1 1 −1 A = −2 x − = (x − 2)(x − 3) Với giá trị riêng x = vectơ riêng độc lập tuyến tính (1; −1); với giá trị riêng x = vectơ riêng (1; −2) Hai vectơ độc lập tuyến tính, lập thành 1 sở R2 Đặt P = −1 −2 Khi ma trận nghịch đảo 2 P −1 = −1 −1 ta có ma trận P −1 AP = hay ta có 42 0 A = P bn cn = P −1 Từ suy biểu diễn dạng ma trận sau: 1 −1 −2 2n 0 3n −1 −1 hay bn = 8.2n − 6.3n = 2n+3 − 2.3n+1 , cn = −2n+3 + 4.3n+1 Vấn đề xác định an Vì an+1 = 2an + bn = 2an  + 2n+3 − 2.3n+1 nên ta tìm v + t = a0 = n n an dạng an = (un + v)2 + t3 Ta có hệ 2u + 2v + 3t = a1 =  8u + 4v + 9t = a2 = Giải u = 4, t = −6, v = an = (4n + 7)2n − 2.3n+1 Từ suy n n+1 n+3 n+1 n+3 n+1 f (n) = e(4n+7)2 −2.3 , g(n) = e2 −2.3 , h(n) = e−2 +4.3 Ví dụ 2.3.13 Xác định tất hàm f, g, h : N → R+ thoả mãn điều kiện:  f (0) = ea , g(0) = eb , h(0) = ec    f (n + 1)h(n)3 = f (n)4 g(n)3 g(n + 1)h(n)2 = f (n)2 g(n)3    h(n + 1)h(n)3 = f (n)4 g(n)4 , với n Bài giải Lấy lôga ln hai vế đặt an = ln f (n), bn = ln g(n), cn = ln h(n) với n Khi ba dãy (an ), (bn ), (cn ) xác định a0 = a, b0 = b, c0 = c  a0 = a, b0 = b, c0 = c    an+1 = 4an + 3bn − 3cn bn+1 = 2an + 3bn − 2cn    cn+1 = 4an + 4bn − 3cn , n an −3 bn Biểu diễn dạng ma trận = −2 4 −3 cn −3 1 0 −1 1 −1 nên ta có Vì −2 = 4 −3 0 −2 −5 an −1 1 −1 hay bn = 2 −2 −5 cn  n n an = 3.2 − an 3.2 − n bn = 2.2 − Do ta nhận bn = 2.2n − với số  4.2n − cn cn = 4.2n − n n n tự nhiên n Từ suy f (n) = e3.2 −2 , g(n) = e2.2 −1 , h(n) = e4.2 −3 an+1 bn+1 cn+1 0 2n 0 43 Ví dụ 2.3.14 Xác định hàm f, g, h : N∗ → Q thoả mãn điều kiện:  f (1) = 3, g(1) = 4, h(1) =    f (n + 1) = 3f (n) + 2h(n) + g(n + 1) = 3f (n) + 2h(n) +    h(n + 1) = 4f (n) + 3h(n) + 2, n (i) Chứng minh 2f (n)g(n) + số phương (ii) Tính lim n→+∞ f (n) h(n) Bài giải (i) Ký hiệu xn = f (n), yn = g(n), zn = h(n) Ta có tương đương hệ cho hệ truy hồi sau đây:  x1 = 3, y1 = 4, z1 =    xn+1 = 3xn + 2zn + zn+1 = 4xn + 3zn +    yn+1 = xn+1 + 1, n Đặt xn = tn − ta có hệ sau tương đương với hệ ban đầu:  x1 = 3, y1 = 4, z1 =      tn+1 = 3tn + 2zn zn+1 = 4tn + 3zn    xn+1 = tn+1 −    yn+1 = xn+1 + 1, n Ta biểu diễn tn+1 + λzn+1 = (3 + 4λ)tn + (2 + 3λ)zn Chọn λ √ để ± cho (2 + 3λ) = λ(3 + 4λ) hay 4λ2 − = Khi λ1,2 = tn+1 + λzn+1 = (3 + 4λ)n (t1 + λz1 ) Với λ = λ1,2 ta có hệ phương trình tn+1 + λ1 zn+1 = (3 + 4λ1 )n (t1 + λ1 z1 ), (1) tn+1 + λ2 zn+1 = (3 + 4λ2 )n (t1 + λ2 z1 ), (2) Với (1), (2) ta có 2xn yn + = zn2 với n 44 (ii) Từ (1) (2) suy công thức xác định xn+1 , yn+1 , zn+1 đây:   n n  λ (3 + 4λ ) ( + 5λ ) − λ (3 + 4λ ) ( + 5λ2 )  1   2  xn+1 = − +   λ2 − λ1     n n λ (3 + 4λ ) ( + 5λ ) − λ (3 + 4λ ) ( + 5λ2 ) 1 hay 2 y = +  n+1   λ2 − λ1   7    (3 + 4λ1 )n ( + 5λ1 ) − (3 + 4λ2 )n ( + 5λ2 )   2  ,n zn+1 = λ1 − λ2  √ n √ √ n √  (3 + 2) (7 + 2) + (3 − 2) (7 − 2)   f (n + 1) = − +   √ √ √ √   (3 + 2)n (7 + 2) + (3 − 2)n (7 − 2) g(n + 1) = +  √ √ n √ √   n  (3 + 2) (7 + 2) − (3 − 2) (7 − 2)   √ , n h(n + 1) = 2 f (n) =√ (ii) Dễ dàng suy lim n→+∞ h(n) Ví dụ 2.3.15 Xác định hàm f, g, h : N → R+ thoả mãn hệ điều kiện:  f (0) = e3 , g(0) = e2 , h(0) = e4    f (n + 1)h(n)3 = f (n)4 g(n)3 g(n + 1)h(n)2 = f (n)2 g(n)3    h(n + 1)h(n)3 = f (n)4 g(n)4 , n ln f (n)2 + ln h(n)2 = ln g(n)5 với số nguyên n Bài giải Lấy lôga ln hai vế đặt an = ln f (n), bn = ln g(n), cn = an+1 an −3 bn bn+1 ln h(n) ta có biểu diễn dạng ma trận = −2 4 −3 cn+1 cn −3 1 0 −1 −2 2 1 −1 Vì = nên ta có 4 −3 0 −2 −5 an 1 0 −1 n 2 1 −1 hay biểu diễn bn = 0 −2 −5 4 cn n an 3.2 n n+1 bn = 2.2n Do ta có cơng thức f (n) = e3.2 , g(n) = e2 , h(n) = 4.2n cn n+2 2 e2 ln f (n)2 + ln h(n)2 = ln g(n)5 với số nguyên n 45 Ví Giả sử hàm f, g, h : N → R+ thoả mãn hệ điều kiện:  dụ 2.3.16 f (0) = e3 , g(0) = e4 , h(0) = e5    f (n + 1) = ef (n)3 h(n)2 g(n + 1) = e2 f (n)3 h(n)2    h(n + 1) = e2 f (n)4 h(n)3 , n (i) Chứng minh ln2 h(n) = ln2 f (n) + ln2 g(n) ln f (n) ln g(n) + = ln2 h(n) với n (ii) Xác định f (n), g(n), h(n) theo n (iii) Tính lim n→+∞ ln f (n) ln h(n) Bài giải (i) Lấy lôga ln hai vế đặt an = ln f (n), bn = ln g(n), cn = ln h(n) ta có tương đương hệ cho hệ truy hồi sau đây:  x0 = 3, y0 = 4, z0 =    xn+1 = 3xn + 2zn + zn+1 = 4xn + 3zn +    yn+1 = xn+1 + 1, n Đặt xn = tn − ta có hệ sau tương đương với hệ ban đầu:  x0 = 3, y0 = 4, z0 =      tn+1 = 3tn + 2zn zn+1 = 4tn + 3zn    xn+1 = tn+1 −    yn+1 = xn+1 + 1, n Ta biểu diễn tn+1 + λzn+1 = (3 + 4λ)tn + (2 + 3λ)zn Chọn λ √ để ± cho (2 + 3λ) = λ(3 + 4λ) hay 4λ2 − = Khi λ1,2 = tn+1 + λzn+1 = (3 + 4λ)n (t1 + λz1 ) Với λ = λ1,2 ta có hệ phương trình tn + λ1 zn = (3 + 4λ1 )n (t0 + λ1 z0 ), (1) tn + λ2 zn = (3 + 4λ2 )n (t0 + λ2 z0 ), (2) Với (1), (2) ta có 2t2n − zn2 = 2t20 − z02 Vậyzn2 = 2x2n + 2xn + = x2n + (xn + 1)2 = x2n + yn2 và2xn yn + = zn2 với n Từ suy 2 ln h(n) = ln f (n) + ln g(n) ln f (n) ln g(n) + = ln2 h(n) với n 46 (ii) Từ (1) (2) suy công thức xác định xn , yn , zn đây:   n n  λ (3 + 4λ ) ( + 5λ ) − λ (3 + 4λ ) ( + 5λ2 )  1   2  xn = − +   λ2 − λ1     n n λ (3 + 4λ ) ( + 5λ ) − λ (3 + 4λ ) ( + 5λ2 ) 1 hay 2 yn = +    λ2 − λ1   7    (3 + 4λ1 )n ( + 5λ1 ) − (3 + 4λ2 )n ( + 5λ2 )   2  ,n zn = λ1 − λ2  √ n √ √ n √  (3 + 2) (7 + 2) + (3 − 2) (7 − 2)   x = − + n   √ √ √ √   (3 + 2)n (7 + 2) + (3 − 2)n (7 − 2) yn = +  √ √ √ √ n   n  2) (7 + 2) − (3 − 2) (7 − 2) (3 +   √ , n zn = 2 √ Điều đặc biệt dãy số nguyên dương xn , yn , zn tính qua Như f (n) = exn , g(n) = eyn h(n) = ezn ln f (n) xn (iii) Dễ dàng suy lim = lim =√ n→+∞ ln h(n) n→+∞ zn Ví dụ 2.3.17 Xác định hàm f, g, h : N → R+ biết chúng thoả mãn hệ  f (0) = e12 , g(0) = e8 , h(0) = e16    f (n)h(n − 1)21 = f (n − 1)30 g(n − 1)21 g(n)h(n − 1)14 = f (n − 1)14 g(n − 1)23    h(n)h(n − 1)19 = f (n − 1)28 g(n − 1)28 , n ln f (n) ˙: 24n+2 , ln g(n) ˙: 24n+3 , ln h(n) ˙: 24n+4 không chia hết ln f (n) ˙: 24n+3 , ln g(n) ˙: 24n+4 , ln h(n) ˙: 24n+5 với n Bài giải Lấy lôga ln hai vế đặt xn = ln f (n), yn = ln g(n), zn = ln h(n) Ba dãy số (xn ), (yn ), (zn ) xác định hệ phương trình sau đây:  x0 = 12, y0 = 8, z0 = 16    xn = 30xn−1 + 21yn−1 − 21zn−1 yn = 14xn−1 + 23yn−1 − 14zn−1    zn = 28xn−1 + 28yn−1 − 19zn−1 , n Xét xn + tyn = (30 + 14t)xn−1 + (21 + 23t)yn−1 − (21 + 14t)zn−1 Chọn t cho 21 + 23t = t(30 + 14t) hay 2t2 + t − = t = 47 3 3 t = − Với t = − ta có xn − yn = 9(xn−1 − yn−1 ) suy 2 2 3 3 xn − yn = 9n (x0 − y0 ) = 9n (12 − 8) = Ta nhận xn = yn Xét 2 2 yn +uzn = (14+28u)xn−1 +(23+28u)yn−1 −(14+19u)zn−1 Chọn u cho (23 + 28u)u = −14 − 19u hay 28u2 + 42u + 14 = u = −1 1 1 u = − Với u = − ta có yn − zn = 9(yn−1 − zn−1 ) suy yn − zn = 2 2 1 9n (y0 − z0 ) = 9n (8 − 16) = Ta nhận yn = zn Tóm lại ta có 2   3   xn = yn xn = zn Quy nạp theo n dễ dàng suy hay 1   yn = zn yn = zn , n 2 4n+2 4n+3 n n xn = 12.16 , yn = 8.16 , zn = 16.16n Tóm lại f (n) = e3.2 , g(n) = e2 4n+4 h(n) = e2 thoả mãn ln f (n) ˙: 24n+2 , ln g(n) ˙: 24n+3 , ln h(n) ˙: 24n+4 không chia hết ln f (n) ˙: 24n+3 , ln g(n) ˙: 24n+4 , ln h(n) ˙: 24n+5 với n Ví Giả sử hàm f, g, h : N → R+ thoả mãn hệ điều kiện:  dụ 2.3.18 f (0) = ea , g(0) = eb , h(0) = ec    f (n + 1)h(n)3 = f (n)4 g(n)3 g(n + 1)h(n)2 = f (n)2 g(n)3    h(n + 1)h(n)3 = f (n)4 g(n)4 , n Khi chứng minh kết sau: (i) ln f (n) + ln g(n) = ln h(n) với số nguyên n 2, c = a = 1, b = (ii) ln f (2010) ≡ ln g(2010)+ln h(2010)( mod 2011) a = 3, b = 2, c = (iii) ln f (n) ln h(n) = ln2 g(n) với số nguyên n 8, c = 16 a = 12, b = Bài giải Lấy lôga ln hai vế đặt an = ln f (n), bn = ln g(n), cn = ln h(n) Khi ba dãy (an ), (bn ), (cn ) xác định phương trình sau:  a0 = a, b0 = b, c0 = c     an+1 = 4an + 3bn − 3cn bn+1 = 2an + 3bn − 2cn   cn+1 = 4an + 4bn − 3cn    n > 48 an an−1 −3 bn bn−1 = −2 có 4 −3 cn cn−1 n an a −3 bn = −2 b Phương trình đặc trưng 4 −3 cn c −3 x − −3 3 −2 −2 x − = (x − 1)2 (x − 2) Với giá trị riêng 4 −3 −4 −4 x + x = hai vectơ riêng độc lập tuyến tính (1; 2; 3) (1; 1; 2); với giá trị riêng x = vectơ riêng (3; 2; 4) Ba vectơ độc lập tuyến tính −1 −1 1 −1 Đặt P = 2 Khi ma trận nghịch đảo P = −2 −5 0 −1 ta có ma trận hệ thức P AP = hay ta có 0 1 0 A = P P −1 Từ suy biểu diễn dạng ma trận sau: 0 Biểu diễn dạng ma trận an bn cn = 2 0 2n 0 −1 1 −1 −2 −5 a b c an 1 3.2n n 2 2.2 bn a = 1, b = = (i) Ta có = 3 4.2n cn c = Như an = 1, bn = 2, cn = ln f (n) + ln g(n) = ln h(n) với n an 3.2n bn = 2.2n a = 3, b = c = (ii) Ta có n 4.2 −12 cn n+2 n+3 Như an = 3.2 − 9, bn = − 6, cn = 2n+4 − 15 với n Từ suy ln f (2010) ≡ ln g(2010) + ln h(2010)( mod 2011) an 3.2n a = 12, b = c = 16 bn = 2.2n (iii) Ta có n 4.2 cn n+2 n+3 n+4 Như an = 3.2 , bn = , cn = với n Từ suy ln f (n) ln h(n) = ln g(n) 49 2.4 Xây dựng phương trình hàm từ tốn biết Ví dụ 2.4.1 Giả sử hàm f, g, h : N → R+ thoả mãn hệ điều kiện:  f(0) = e12 , g(0) = e8 , h(0) = e16       ln f (n − 1) ln f (n)      ln g(n)  = A2 + A + E  ln g(n − 1)  , n > ln h(n − 1) ln h(n)     −3      −2  với A =    4 −3 Hãy xác định ước chung lớn (ln f (2011), ln g(2011), ln h(2011)) Bài giải Đặt an = ln f (n), bn = ln g(n), cn = ln h(n) Ba dãy số (xn ), (yn ), (zn ) xác định phương trình sau:  x0 = 12,       y0 = 8, z0 = 16   −3 xn−1 xn  yn  = A2 + A + E  yn−1  với n > với A =  −2     zn−1 4 −3 zn Sử dụng quy nạp theo n xn = 12.7n , yn = 8.7n , zn = 16.7n Từ suy ước chung lớn (ln f (2011), ln g(2011), ln h(2011)) = 4.72011 Ví dụ 2.4.2 Giả sử hàm f, g, h : N → R+ thoả mãn hệ điều kiện:  f(0) = e12 , g(0) = e8 , h(0) = e16       ln f (n) ln f (n − 1)      ln g(n)  = A2 + 2A + 4E  ln g(n − 1)  , n > ln h(n) ln h(n − 1)     −3     với A =  −2     4 −3 Hãy chứng minh ln f (n) = ln g(n) = ln h(n) với n Bài giải Đặt an = ln f (n), bn = ln g(n), cn = ln h(n) Ba dãy (yn ), (zn ) xác định phương trình sau:  x0 = 12,    y0 = 8, z0 = 16     xn xn−1  yn  = A2 + 2A + 4E  yn−1  với n > với A =     zn zn−1 số (xn ), 50  −3 −2  4 −3 Sử dụng quy nạp theo n xn = 12.12n , yn = 8.12n , zn = 16.12n Từ suy ln f (n) = ln g(n) = ln h(n) với n Ví dụ 2.4.3 Giả sử hàm f, g, h : N → R+ thoả mãn hệ điều kiện:  f(0) = e12 , g(0) = e8 , h(0) = e16       ln f (n − 1) ln f (n)      ln g(n)  = 2A2 + A + 6E  ln g(n − 1)  với n > ln h(n − 1) ln h(n)     −3     với A =  −2     4 −3 Hãy chứng minh ln f (n) :˙ 24n+2 , ln g(n) ˙: 24n+3 , ln h(n) ˙: 24n+4 không chia hết ln f (n) ˙: 24n+3 , ln g(n) ˙: 24n+4 , ln h(n) ˙: 24n+5 với n Bài giải Đặt an = ln f (n), bn = ln g(n), cn = ln h(n) Ba dãy số (xn ), (yn ), (zn ) xác định phương trình sau:  x0 = 12,      y0 = 8, z0 = 16    xn −3 xn−1  yn  = 2A2 + A + 6E  yn−1  với n > với A =  −2     zn−1 4 −3 zn Sử dụng quy nạp theo n xn = 12.16n , yn = 8.16n , zn = 16.16n Từ suy ln f (n) ˙: 24n+2 , ln g(n) ˙: 24n+3 , ln h(n) ˙: 24n+4 không chia hết ln f (n) ˙: 24n+3 , ln g(n) ˙: 24n+4 , ln h(n) ˙: 24n+5 với n Ví dụ 2.4.4 Giả sử hàm f, g, h : N → R+ thoả mãn hệ điều kiện:  f(0) = e1 , g(0)    = e , h(0) = e     ln f (n) ln f (n − 1)      ln g(n)  = A2 + A + E  ln g(n − 1)  với n > ln h(n) ln h(n − 1)     −3      −2  với A =    4 −3 Chứng minh ln f (n) + ln g(n) = 3n+1 Bài giải Đặt an = ln f (n), bn = ln g(n), cn = ln h(n) Ba (yn ), (zn ) xác định phương trình sau:  x0 = 1,y0 = 2, z0 =       xn xn−1      yn yn−1 = A +A+E với n > A =    zn zn−1 51 dãy số (xn ),  −3 −2  −3 Sử dụng quy nạp theo n xn = 3n , yn = 2.3n , zn = 3n+1 Từ suy ln f (n) + ln g(n) = 3n+1 Ví dụ 2.4.5 Giả sử hàm f, g, h : N → R+ thoả mãn hệ điều kiện:  f (0) = e1 , g(0) = e2 , h(0) = e3         ln f (n − 1) ln f (n)      ln g(n)  = A2 + 2A + 4E  ln g(n − 1)  với n > ln h(n) ln h(n − 1)     −3     với A =  −2     4 −3 Chứng minh ln f (n) ln g(n) = 2.72n Bài giải Đặt an = ln f (n), bn = ln g(n), cn = ln h(n) Ba dãy số (xn ), (yn ), (zn ) xác định phương trình sau:  x0 = 1,y0 = 2, z0 =        −3 xn−1 xn  yn  = A2 + 2A + 4E  yn−1  , n > với A =  −2     zn−1 zn 4 −3 Sử dụng quy nạp theo n xn = 7n , yn = 2.7n , zn = 3.7n Từ suy ln f (n) ln g(n) = 2.72n 52 2.5 Kết luận Trong luận văn chúng tơi trình bày vấn đề sau: (1) Sử dụng đại số tuyến tính, ma trận định thức, vào giải hệ truy hồi (2) Xây dựng phương trình hàm tập N (3) Xây dựng vài phương trình hàm qua phương trình biết 53 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), 2008, Chuyên đề chọn lọc Dãy số áp dụng, Nhà Xuất Giáo dục [2] Đàm Văn Nhỉ, 2011, Ma trận vuông dãy số, Bản tin dạy Học nhà trường ĐHSP Hà Nội số [3] Lê Đình Thịnh, 2001, Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Duy Thuận (chủ biên), Phi Mạnh Ban, Nông Quốc Chinh, 2003, Đại Số Tuyến Tính, NXB Đại học Sư phạm 54 ... Lu? ?n v? ?n đặt v? ?n đề xây dựng số phương trình hàm tập N qua số kết đạt Đại số tuy? ?n tính Bài t? ?n xác định hàm số f (x) thoả m? ?n số tính chất T1 , , Tn gọi phương trình hàm Giải phương trình hàm. .. nh? ?n ma tr? ?n, ứng dụng xây dựng giải phương trình hàm tập N Lu? ?n v? ?n có sử dụng số phương trình hàm thầy giáo hướng d? ?n Lu? ?n v? ?n ho? ?n thành với hướng d? ?n bảo t? ?n tình PGS.TS Đàm V? ?n Nhỉ - Đại. .. khơng? Thường giải phương trình hàm đưa giải hệ phương trình hay dãy truy hồi Từ kết đạt đa thức hàm li? ?n tục ta dễ dàng giải t? ?n Trong lu? ?n v? ?n chúng tơi sử dụng số kết đại số tuy? ?n tính vào