Quy tắc nhân tử lagrange cho bài toán tối ưu vectơ khả vi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - - LÊ THỊ THU HÀ QUY TẮC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ KHẢ VI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 Thái nguyên – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - - LÊ THỊ THU HÀ QUY TẮC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TỐN TỐI ƯU VECTƠ KHẢ VI Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS Đỗ Văn Lưu Thái nguyên – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý thuyết điều kiện tối ưu phận quan trọng lý thuyết tối ưu hóa có nhiều ứng dụng kinh tế, kỹ thuật Cho đến lý thuyết điều kiện tối ưu thu nhiều kết phong phú đẹp đẽ Để dẫn điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu tốn tối ưu vectơ trước hết ta sử dụng định lý Ljusternik giải tích hàm để chứng minh điều kiện cần dạng hệ bất đẳng thức khơng tương thích Từ sử dụng định lý tách giải tích lồi ta dẫn điều kiện cần Fritz John Kuhn - Tucker Điều kiện cần Kuhn - Tucker trở thành điều kiện đủ tối ưu giả thiết thêm điều kiện tính lồi suy rộng hàm liệu Các điều kiện tối ưu đề tài nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Chính tơi chọn đề tài "Quy tắc nhân tử Lagrange cho tốn tối ưu vectơ khả vi" Luận văn trình bày lý thuyết điều kiện Fritz John Kuhn - Tucker điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu vectơ khả vi Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu Trình bày khái niệm cực tiểu, cực đại, cực tiểu yếu, cực đại yếu tập hợp nghiệm hữu hiệu (hay cực tiểu), nghiệm hữu hiệu yếu (hay cực tiểu yếu) toán cực tiểu vectơ với số kết bổ trợ để dẫn điều kiện tối ưu Chương Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu yếu Trình bày điều kiện cần dạng hệ bất đẳng thức khơng tương thích, điều kiện cần Fritz John điều kiện cần Kuhn - Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu toán tối ưu vectơ Chương Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu yếu Trình bày tính chất hàm tựa lồi điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu toán tối ưu vectơ với giả thiết tính lồi suy rộng hàm mục tiêu ràng buộc Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo sau đại học, Ban Giám Hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa học Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K6D quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014 Tác giả Lê Thị Thu Hà Chương NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Chương trình bày khái niệm cực tiểu, cực đại, cực tiểu yếu, cực đại yếu tập không gian tuyến tính có thứ tự phận khái niệm nghiệm hữu hiệu (hay cực tiểu), nghiệm hữu hiệu yếu (hay cực tiểu yếu) toán cực tiểu vectơ với số kết bổ trợ để dẫn điều kiện tối ưu Các kết trình bày chương tham khảo [2] 1.1 Nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu yếu tập toán tối ưu đa mục tiêu Trong phần ta dẫn quy tắc nhân tử Lagrange cho toán tối ưu đa mục tiêu với hàm khả vi Fréchet Ta đưa vào giả thiết sau:    Giả sử (X, · X ) (Z2 , · Z2 ) không gian Banach thực;         (Y, · Y ) (Z1 , · Z1 ) khơng gian định chuẩn có thứ tự        phận Y Giả sử CY CZ1 nón thứ tự phận (1.1)    Y Z1 có phần khác rỗng;        Sˆ tập lồi khác rỗng X có phần khác rỗng;        Giả sử f : X −→ Y ; g : X −→ Z Xét tập ràng buộc sau đây: S := { x ∈ Sˆ | g(x) ∈ −CZ1 h(x) = 0z2 } Giả sử tập S khác rỗng Ta xét toán tối ưu trừu tượng sau: f (x) x∈S (1.2) Ánh xạ f gọi ánh xạ mục tiêu Trước hết ta định nghĩa nghiệm toán (1.2) Ta nhắc lại khái niệm cực tiểu, cực đại, cực tiểu yếu cực đại yếu tập Định nghĩa 1.1.1 Giả sử S tập khác rỗng không gian tuyến tính có thứ tự phận X với nón thứ tự C (i) Phần tử x¯ ∈ S gọi cực tiểu (minimal element) tập S nếu: {¯ x} − C ∩S ⊂ {¯ x} + C (1.3) (ii) Phần tử x¯ ∈ S gọi cực đại (maximal element) tập S nếu: {¯ x} + C ∩S ⊂ {¯ x} − C (1.4) Nếu nón thứ tự C nhọn bao hàm thức (1.3) (1.4)có thể thay đẳng thức sau: {¯ x} − C ∩S = {¯ x} (hoặc x ≤C x¯, x ∈ S ⇒ x = x¯), {¯ x} + C ∩S = {¯ x} (hoặc x¯ ≤C x, x ∈ S ⇒ x = x¯) Nhắc lại: Phần đại số của S = ∅ khơng gian tuyến tính thực X tập ¯ > : x¯ + λx ∈ S, ∀λ ∈ [0, λ] ¯ cor(S) = x¯ ∈ S | ∀x ∈ X, ∃λ Định nghĩa 1.1.2 Giả sử S tập khác rỗng khơng gian tuyến tính có thứ tự phận X với nón thứ tự C có phần đại số khác rỗng: (i) Phần tử x¯ ∈ S gọi cực tiểu yếu (weakly minimal element) tập S nếu: {¯ x} − cor(C) ∩S = ∅; (ii) Phần tử x¯ ∈ S gọi cực đại yếu (weakly maximal element) tập S nếu: {¯ x} + cor(C) ∩S = ∅ Chú ý khái niệm cực tiểu cực tiểu yếu liên quan chặt chẽ với Lấy phần tử x¯ ∈ S cực tiểu yếu tập S tức ta có: ¯ cực tiểu yếu tập S {¯ x} − cor(C) ∩S = ∅ Khi đó, X thứ tự phận sinh Cˆ = cor(C) ∪ {0X } Bổ đề 1.1.1[2] Giả sử S tập khác rỗng khơng gian tuyến tính có phận Xvới nón thứ tự C có phần đại số khác rỗng (i) Mọi cực tiểu yếu x¯ ∈ S tập S + C cực tiểu yếu tập S (ii) Mọi cực tiểu yếu x¯ ∈ S tập S cực tiểu yếu tập S + C Mệnh đề 1.1.2 Giả sử S tập khác rỗng khơng gian tuyến tính có thứ tự phậnX Với nón thứ tự C mà C = X cor(C) = ∅ Khi đó, phần tử cực tiểu tập S cực tiểu yếu S Chứng minh Giả thiết C = X kéo theo −cor(C) ∩C = ∅ Do đó, với phần tử cực tiểu x¯ S, ta có ∅ = {¯ x} − cor(C) ∩({¯ x} + C) = {¯ x} − cor(C) ∩({¯ x} − C) ∩ S = {¯ x} − cor(C) ∩S Điều có nghĩa x¯ cực tiểu S ✷ Bây ta định nghĩa khái niệm nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu yếu toán tối ưu (1.2) Định nghĩa 1.1.3 Giả sử toán tối ưu (1.2) thỏa mãn giả thiết (1.1) (i) Một phần tử x¯ ∈ S gọi cực tiểu (nghiệm hữu hiệu) toán (1.2) f (¯ x) cực tiểu tập ảnh f (S) (ii) Một phần tử x¯ ∈ S gọi cực tiểu (nghiệm hữu hiệu yếu) toán (1.2) f (¯ x) cực tiểu yếu tập ảnh f (S) 1.2 Một số kết bổ trợ để dẫn điều kiện tối ưu Để nhận điều kiện cần cho cực tiểu yếu (nghiệm hữu hiệu yếu) toán tối ưu (1.2) ta cần kết nón tiếp liên Cho S tập khơng gian định chuẩn X, nón tiếp liên tập S điểm x¯ ∈ S định nghĩa sau: T (S; x¯) = {v ∈ X : ∃vn −→ v, ∃tn −→ 0+ cho x¯ + tn ∈ S, ∀n} Để dẫn điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu yếu toán (1.2) ta trình bày mệnh đề sau đề nón tiếp liên Mệnh đề 1.2.1 Giả sử (X, · X )là không gian định chuẩn thực và(Y, · Y) không gian định chuẩn có thứ tự phận với nón thứ tự CY có phần khác rỗng Hơn nữa, giả sử S tập khác rỗng X ánh xạ r : X → Y Nếu ánh xạ r khả vi Fréchet x¯ ∈ S đó, với r(¯ x) ∈ −CY h ∈ T (S, x¯) | r(¯ x) + r (¯ x)(h) ∈ −int(CY ) ⊂ T {x ∈ S | r(x) ∈ −int(CY )}, x¯ , T (., ) ký hiệu nón tiếp liên Chứng minh: Chọn phần tử h ∈ T (S : x¯), với tính chất r(¯ x) + r (¯ x)(h) ∈ −int(CY ) Với h = 0X , khẳng định tầm thường Do đó, ta giả sử h = 0X Khi đó, tồn dãy (xn )n∈N phần tử xn ∈ S dãy (λn )n ∈ N gồm số thực dương λn cho x¯ = lim xn x→0 h = lim λn (xn − x¯) n→∞ Nếu ta đặt hn := λn (xn − x¯), ∀n ∈ N, ta nhận [λn (r(xn ) − r(¯ x) − r (¯ x)(xn − x¯)) + r (¯ x)(hn − h) λn (1.5) + r(¯ x) + r (¯ x)(h)] + (1 − )r(¯ x), ∀n ∈ N, λn r(xn ) = lim λn (r(xn ) − r(¯ x) − r (¯ x)(xn − x¯)) + r (¯ x)(hn − h) = 0Y n→∞ Theo giả thiết ta có r(¯ x) + r (¯ x)(h) ∈ −int(Cy ), từ (1.6) ta suy yn : = λn (r(xn ) − r(¯ x) − r (¯ x)(xn − x¯)) + r (¯ x)(hn − h) + r(¯ x) + r (¯ x)(h) ∈ −int(CY ) với n ∈ N đủ lớn, λn yn ∈ −int(CY ) với n ∈ N đủ lớn Bởi 1− λn r(¯ x) ∈ −CY với n ∈ N đủ lớn, (1.6) Từ (1.5) ta suy r(xn ) = 1 yn + (1 − )r(¯ x) λn λn ∈ −int(CY ) − CY = −int(CY ) với n ∈ N đủ lớn, với int(CY ) = int(CY ) = cor(CY ) Nhưng điều lại dẫn tới: h ∈ T {x ∈ S | r(x) ∈ −int(CY )}, x¯ ✷ Mệnh đề 1.2.2[2] Giả sử CX nón lồi khơng gian tuyến tính thực X (a) Nếu X không gian lồi địa phương CX đóng CX = {x ∈ X | x∗ (x) ≥ ∀x∗ ∈ CX ∗ } (b) Nếu cor(CY ) = ∅ cor(CX ) = x ∈ X | x (x) > ∀x ∈ CX \ {0X } (c) Nếu X khơng gian tơpơ tuyến tính thực int(CX ) = ∅ int(CX ) = x ∈ X | x∗ (x) > ∀x∗ ∈ CX ∗ \ {0X ∗ } , X ∗ không gian ngẫu tôpô X, X không gian ngẫu đại số X Y khơng gian tuyến tính có thứ tự phận với nón thứ tự CY Ánh xạ f : S → Y tựa lồi với x ∈ S, tập hợp Lx¯ := x ∈ S \ {¯ x} | f (¯ x) − f (x) ∈ CY } (3.4) chứa {λx + (1 − λ)¯ x | λ ∈ [0, 1]}, x ∈ Lx¯ Tiếp theo ta mở rộng lớp ánh xạ tựa lồi theo định nghĩa sau Định nghĩa 3.1.2 Giả sử S tập khác rỗng không gian tuyến tính thực X, C tập khác rỗng khơng gian tuyến tính thực Y x¯ ∈ S Ánh xạ f : S → Y gọi C-tựa lồi (C-quasiconvex) x¯ tồn x ∈ S \ {¯ x} với f (¯ x) − f (x) ∈ C tồn x˜ ∈ S \ {¯ x} cho    λ˜ x + (1 − λ)¯ x ∈ S, với λ ∈ (0, 1],           f (¯ x) − f (λ˜ x + (1 − λ)¯ x) ∈ C, với λ ∈ (0, 1] (3.5) Ví dụ 3.1.1 (a) Mỗi ánh xạ tựa lồi f : S → Y CY -tựa lồi x¯ ∈ S (b) Ánh xạ f : R → R2 cho f (x) = (x, sinx), với x ∈ R, R2 trang bị thứ tự theo nghĩa thành phần Ánh xạ f R2+ -tựa lồi khơng tựa lồi Bổ đề sau tính C-tựa lồi f x¯ đặc trưng tính chất tập mức Lx¯ (3.4) Định lý 3.1.4 Giả sử S tập khác rỗng khơng gian tuyến tính thực X C tập khác rỗng khơng gian tuyến tính thực Y Giả sử x¯ ∈ S 22 phần tử cho Ánh xạ f : S → Y C-tựa lồi x¯ và tập Lx¯ := {x ∈ S \ {¯ x} | f (¯ x) − f (x) ∈ C} rỗng chứa đoạn thẳng mở xuất phát từ x¯ trừ điểm x¯ Chứng minh: Ta viết lại điều kiện (3.5) sau λ˜ x + (1 − λ)¯ x | λ ∈ [0, 1)} ⊂ Lx¯ phát biểu bổ đề hiển nhiên ✷ Từ bổ đề 3.1.2 làm yếu địi hỏi (3.2) thành (3.5) cách cho phép x˜ = x2 mở rộng lớp ánh xạ tựa lồi Nếu ta cho điều kiện mà cực tiểu địa phương cực tiểu tồn cục ta có tính chất đặc trưng tính C-tựa lồi Định nghĩa 3.1.3 Giả sử S tập khác rỗng không gian tuyến tính thực X Y khơng gian tuyến tính có thứ tự phận với nón thứ tự CY f : S → Y Xét toán tối ưu: f (x) x∈S (3.6) (a) Phần tử x¯ gọi cực tiểu địa phương toán (3.6) tồn tập U ⊂ X với x¯ ∈ cor(U ), cho x¯ cực tiểu toán (3.6) với S thay S ∩ cor(U ) (b) Giả sử nón thứ tự có phần đại số khác rỗng Phần tử x¯ ∈ S gọi cực tiểu yếu địa phương toán (3.6) tồn tập U ⊂ X, với x¯ ∈ cor(U ), cho x¯ cực tiểu yếu toán (3.6) với S thay S ∩ cor(U ) Hai định lý sau phát biểu điều kiện cần đủ để cực tiểu địa 23 phương cực tiểu toàn cục Định lý 3.1.1 Giả sử S tập khác rỗng khơng gian tuyến tính thực X, Y khơng gian tuyến tính có thứ tự phận với nón thứ tự CY = {0Y }; f : S → Y Giả sử x¯ ∈ S cực tiểu địa phương tốn (3.6) Khi đó, x¯ cực tiểu toàn cục (3.6) ánh xạ f (CY \ (−CY ))tựa lồi x¯ Chứng minh Giả sử x¯ ∈ S cực tiểu địa phương toán (3.6) Nếu x¯ khơng cực tiểu tồn cục tồn x ∈ S cho f (¯ x) − f (x) ∈ CY \ (−CY ) Giả sử f (CY \ (−CY ))-tựa lồi x¯ Khi đó, tồn x˜ ∈ S \ {¯ x} cho λ˜ x + (1 − λ)¯ x ∈ S, với λ ∈ (0, 1] f (¯ x) − f (λ˜ x + (1 − λ)¯ x) ∈ CY \ (−CY ), với λ ∈ (0, 1] (3.7) ¯ ∈ (0, 1] với Do x ∈ cor(U ), tồn λ ¯ x + (1 − λ)¯ ¯ x ∈ S ∩ cor(U ) λ˜ từ (3.7) ta nhận f (¯ x) − f (λ˜ x + (1 − λ)¯ x) ∈ CY \ (−CY ) Nhưng điều lại mâu thuẫn với giả thiết x¯ cực tiểu địa phương toán (3.6) Mặt khác, x¯ cực tiểu tốn (3.6) khơng tồn x¯ ∈ S 24 cho f (¯ x) − f (x) ∈ CY \ (−CY ) tính (CY \ (−CY ))-tựa lồi f x¯ ✷ cách tầm thường Định lý sau chứng minh tương tự Định lý 3.1.2 Giả sử S tập khác rỗng khơng gian tuyến tính thực X, Y khơng gian tuyến tính có thứ tự phận với nón thứ tự CY có phần đại số khác rỗng, f : S → Y Giả sử x¯ ∈ S cực tiểu yếu địa phương tốn (3.6) Khi đó, x¯ cực tiểu yếu tồn cục tốn (3.6) ánh xạ f (cor(CY ) -tựa lồi x¯ Với quy tắc nhân tử Lagrange ta giả sử ánh xạ khả vi theo nghĩa Do đó, đưa vào cách tiếp cận thích hợp cho tính khả vi Định nghĩa sử dụng khái niệm biến phân theo phương đưa vào định nghĩa 2.2.1 Định nghĩa 3.1.4 Giả sử S tập khác rỗng khơng gian tuyến tính thực X, giả sử C1 C2 ⊂ C3 tập khác rỗng khơng gian tuyến tính thực Y Hơn nữa, giả sử x¯ ∈ S ánh xạ f : S → Y có biến phân theo phương x¯ theo C3 Ánh xạ f gọi C1 - C2 -tựa lồi khả vi x¯ tồn x ∈ S thỏa mãn x = x¯ f (x) − f (¯ x) ∈ C1 , tồn x˜ ∈ S \ {¯ x} thỏa mãn 25 (3.8)     λ˜ x + (1 − λ)¯ x ∈ S, với λ ∈ (0, 1]          f (¯ x)(˜ x − x¯) ∈ C2 (3.9) Trong trường hợp C1 = C2 =: C ánh xạ f gọi đơn giản C-tựa lồi khả vi x¯ Ví dụ 3.1.2 Giả sử S tập không gian định chuẩn thực (X, phần khác rỗng (Y, · Y) · X ), S có khơng gian định chuẩn có thứ tự với nón thứ tự CY Hơn nữa, giả sử f : S → Y ánh xạ khả vi Fréchet x¯ ∈ S Khi đó, ánh xạ f gọi giả lồi (pseudoconvex) x¯ với x ∈ S suy luận sau đúng: f (¯ x)(x − x¯) ∈ CY =⇒ f (x) − f (¯ x ) ∈ CY Điều tương đương với f (x) − f (¯ x) ∈ / CY =⇒ f (¯ x)(x − x¯) ∈ / CY Do đó, với f : S → Y giả lồi x¯ (Y \ CY )-giả lồi x¯ Điều lớp ánh xạ giả lồi chứa lớp rộng gồm ánh xạ C1 − C2 -tựa lồi khả vi Định lý trình bày vài quan hệ tính C−tựa lồi C -tựa lồi khả vi Định lý 3.1.3 Giả sử S tập khác rỗng khơng gian tuyến tính thực X, giả sử C ⊂ Cˆ tập khác rỗng khơng gian tuyến tính thực, C ∪ {0Y } nón Hơn nữa, giả sử x¯ ∈ S phần tử cho 26 f :S→Y (a) Nếu f (−C)- tựa lồi x¯ có biến phân theo phương x theo Cˆ Y \ C f C- tựa lồi khả vi x¯ (b) Nếu f C tựa lồi khả vi x¯ với biến phân theo phương f x¯ theo C f (−C)-tựa lồi x¯ Chứng minh (a) Giả sử x ∈ S thỏa mãn (3.8) Bởi f (−C)−tựa lồi x¯, tồn x˜ ∈ S \ {¯ x} cho λ˜ x + (1 − λ)¯ x ∈ S, với λ ∈ (0, 1] f (x) − f (λ˜ x + (1 − λ)¯ x) ∈ −C, với λ ∈ (0, 1] (3.10) Giả sử với biến phân theo phương f x¯ theo Cˆ Y \ C ta có f (¯ x)(˜ x − x¯) ∈ C Khi đó, từ định nghĩa biến phân theo phương ¯ > cho theo Y \ C, tồn λ x¯ + λ(˜ x − x¯) ∈ S, với λ ∈ (0, 1] ¯ (f (¯ x) + λ(˜ x − x¯)) − f (¯ x)) ∈ / C, với λ ∈ (0, λ] λ Theo giả thiết C ∪ {0Y } nón, ta suy ¯ f (¯ x) − f (¯ x + λ(˜ x − x¯)) ∈ / −C, với λ ∈ (0, λ] Nhưng điều mâu thuẫn với (3.10) Vì vậy, với biến phân theo phương f x¯ theo Cˆ Y \ C, ta có f (¯ x)(˜ x − x¯) ∈ C cho (3.8) ˆ kéo theo (3.9) định nghĩa 3.1.4 với C1 = C2 = C C3 = C (b) Giả sử với x ∈ S mà x = x¯ f (x) − f (¯ x) ∈ C Khi đó, tính 27 C−tựa lồi khả vi f x¯ kéo theo tồn x˜ ∈ S \ {¯ x} biến phân theo phương f x¯ theo C có tính chất λ˜ x + (1 − λ)¯ x ∈ S, với λ ∈ [0, 1] f (¯ x)(˜ x − x¯) ∈ C ¯ > cho Khi đó, theo định nghĩa 2.2.1 tồn λ ¯ x¯ + λ(˜ x − x¯) ∈ S, với λ ∈ (0, λ] ¯ (f (¯ x + λ(˜ x − x¯)) − f (¯ x)) ∈ C, với λ ∈ (0, λ] λ Để ý C ∪ {0Y } nón, ta nhận ¯ f (¯ x) − f (¯ x + λ(˜ x − x¯)) ∈ −C, với λ ∈ (0, λ] chứng minh tính (−C)-tựa lồi f x¯ đầy đủ ✷ 3.2 Điều kiện đủ tối ưu Ta xét quy tắc nhân tử Lagrange trình bày chương Ta chứng minh quy tăc nhân tử Lagrange điều kiện tối ưu cho toán ta đưa vào giả thiết tính lồi suy rộng Chúng ta xét toán tối ưu đa mục tiêu giả thiết sau đưa vào • Giả sử Sˆ tập khác rỗng không gian tuyến tính thực X, Y, Z1 Z2 khơng gian tuyến tính có thứ tự phận với nón thứ tự tương ứng CY , CZ1 Z2 Giả sử CY có phần đại số khác rỗng, CZ2 nón nhọn Cho ánh xạ f : Sˆ → Y, g : Sˆ → Z1 , h : Sˆ → Z2 tập ràng buộc S := {x ∈ Sˆ | g(x) ∈ −CZ1 h(x) = 0Z2 } khác rỗng (3.11) 28 Với giả thiết ta xét toán tối ưu: f (x) x∈S (3.12) Định lý 3.2.1 Bài toán tối ưu (3.12) thỏa mãn giả thiết (3.11) giả sử với x¯ ∈ S tồn tập khác rỗng G0 , G1 G2 cho - cor(CY ) ⊂ G0 ⊂ Y, −CZ1 + cone({g(¯ x)}) − cone({g(¯ x)}) ⊂ G1 ⊂ Z1 , 0Z2 ∈ G2 ⊂ Z2 Sao cho ánh xạ f, g h có biến phân theo phương x¯ theo G0 , G1 G2 tương ứng Giả sử tồn t ∈ CY \ {0Y }, u ∈ CZ1 , v ∈ Z2 (3.13) cho (t ◦ f (¯ x) + u ◦ g (¯ x) + v ◦ h (¯ x))(x − x¯) ≥ 0, với x ∈ Sˆ (3.14) (u ◦ g)(¯ x) = (3.15) Khi đó, x¯ cực tiểu yếu toán (3.12) với S thay S¯ := x ∈ Sˆ | g(x) ∈ −CZ1 + cone({g(¯ x)}) − cone({g(¯ x}), h(x) = 0Z2 ánh xạ (f, g, h) : Sˆ → Y × Z1 × Z2 C- tựa lồi khả vi x¯ với C := −cor(CY ) × −CZ1 + cone({g(¯ x)}) − cone({g(¯ x)}) ×{0Z2 } (3.16) 29 Chứng minh Giả sử quy tắc nhân tử (3.13) - (3.15) x¯ Khi đó, ta có ˆ (f (¯ x)(x − x¯), g (¯ x)(x − x¯), h (¯ x)(x − x¯) ∈ / C, với x ∈ S (3.17) Để chứng minh khẳng định này, ta giả sử tồn x ∈ Sˆ cho f (¯ x)(x − x¯) ∈ −cor(CY ), g (¯ x)(x − x¯) ∈ −CZ1 + cone{g(¯ x)} − cone{g(¯ x)}, h (¯ x)(x − x¯) = 0Z2 Từ (3.13) bổ đề 1.26[ ] ta suy với α, β ≥ đó, (t ◦ f (¯ x) + u ◦ g (¯ x) + v ◦ h (¯ x))(x − x¯) < u(g (¯ x)(x − x¯)) ≤ u(αg(¯ x)) − u(βg(¯ x)) = (α − β)u(g(¯ x)) Nhưng bất đẳng thức mâu thuẫn với (3.14) (3.15) Vì điều kiện (3.17) Nếu ánh xạ (f, g, h) C- tựa lồi khả vi x¯ từ (3.17) suy ˆ f (x) − f (¯ x), g(x) − g(¯ x), h(x) − h(¯ x) ∈ / C, ∀x ∈ S Điều kiện (3.18) có nghĩa khơng tồn x ∈ Sˆ cho f (x) ∈ {f (¯ x)} − cor(CY ), g(x) ∈ {g(¯ x)} − CZ1 + cone({g(¯ x)}) − cone({g(¯ x)}) = −CZ1 + cone({g(¯ x)}) − cone({g(¯ x)}), h(x) = 0Z2 Ta ý với g(¯ x) ∈ −CZ1 ⊂ −CZ1 + cone({g(¯ x)}) − cone({g(¯ x)}) 30 (3.18) ¯ Khi đó, x¯ cực tiểu yếu toán ta suy x¯ ∈ S f (x) x∈S¯ (3.19) Bây ta giả sử ngược lại x¯ nghiệm cực tiểu yếu tốn (3.19) Khi đó, không tồn x ∈ Sˆ cho f (x) ∈ {f (¯ x)} − cor(CY ), g(x) ∈ −CZ1 + cone({g(¯ x)}) − cone({g(¯ x)}) = {g(¯ x)} − CZ1 + cone({g(¯ x)}) − cone({g(¯ x)}), h(x) = 0Z2 , ˆ Với điều kiện (3.17) ta suy tức điều kiện (3.18) thỏa mãn với x ∈ S ánh xạ (f, g, h) C- tựa lồi khả vi x¯ ✷ Trong định lý ta tương đương tính tựa lồi với điều ˆ Tập kiện đủ quy tắc nhân tử Lagrange cho toán mà S thay S cone{g(¯ x)} − cone{g(¯ x)} không gian chiều Z1 sinh g(¯ x) Với toán gốc hệ sau đúng: Hệ 3.2.1 Giả sử giả thiết định lý 3.2.1 đúng, ánh xạ (f, g, h) khả vi C- tựa lồi khả vi x¯ ∈ S với C cho (3.16) Khi x¯ nghiệm hữu hiệu yếu toán (3.12) Chứng minh Theo định lý (3.2.1) x¯ ∈ S cực tiểu yếu toán (3.19) Với x ∈ S ta có g(x) ∈ −CZ1 ⊂ −CZ1 + cone({g(¯ x)}) − cone({g(¯ x)}) 31 Vì vậy, ta nhận S ⊂ S¯ x¯ cực tiểu yếu toán (3.12) ✷ Nếu giả thiết tựa lồi định lý 3.2.1 làm mạnh ta nhận định lý tương tự sau Định lý 3.2.3 Giả sử tất giả thiết định lý 3.2.1 thỏa mãn Khi đó, x¯ ∈ S nghiệm hữu hiệu toán (3.19) hàm (f, g, h) C1 − C2 - tựa lồi khả vi x¯ với C1 = (−CY \ CY ) × (−CZ1 + cone({g(¯ x)}) − cone({g(¯ x)})) × {0Z2 } C2 = (−cor(CY )) × (−CZ1 + cone({g(¯ x)}) − cone({g(¯ x)})) × {0Z2 } Chứng minh định lý tương tự chứng minh định lý 3.2.1 Do đó, ta khơng trình bày chứng minh Ta nhận kết tương tự với hệ 3.2.1 Ta xét toán tối ưu đa mục tiêu mà S := {x ∈ Rn |gi (x) ≤ 0, ∀i ∈ {1, , k}, hj (x) = 0, ∀i ∈ {1, , p}} Nhắc lại hàm giá trị thực f : Rn → R có đạo hàm riêng x¯ ∈ Rn gọi giả lồi x¯ với x ∈ Rn f (¯ x)T (x − x¯) ≥ =⇒ f (x) ≥ f (¯ x) (xem ví dụ 3.1.2 trường hợp khả vi) f tựa lồi x¯ với ∀x ∈ Rn , f (x) ≤ f (¯ x) =⇒ f (¯ x)T (x − x¯) ≤ 32 Bổ đề 3.2.1 Giả sử f : Rn −→ Rm , g : Rn −→ Rk , h : Rn −→ Rp hàm vectơ Giả sử tập ràng buộc S có dạng: S := {x ∈ Rn |g1 (x) ≤ 0, ∀i ∈ {1, , k} hi (x) = 0, ∀i ∈ {1, , p}} Giả sử x¯ ∈ S khơng gian Rm có thứ tự phận tự nhiên Giả sử hàm véc tơ f, g, h có đạo hàm riêng x¯, hàm f1 , , fm giả lồi x¯, hàm h1 , , hp , −h1 , , −hp gi với i ∈ I(¯ x), I(¯ x) := {i ∈ {1, , k} \ gi (¯ x) = 0}, tựa lồi x¯ hàm vectơ (f, g, h) C- tựa lồi khả vi x¯ với k C := (−int(Rm x)}) − cone({g(¯ x)})) × {0Rp } + )) × (−R+ + cone({g(¯ Chứng minh Giả sử tồn x ∈ S thỏa mãn (3.8), tức x = x¯ fi (x) − fi (¯ x) < 0, với i ∈ {1, , m}, g(x) − g(¯ x) ∈ −Rk+ + cone({g(¯ x)}) − cone({g(¯ x)}), (3.20) hi (x) − hi (¯ x) = 0, với i ∈ {1, , p} Bất đẳng thức (3.20) kéo theo gi (x) − gi (¯ x) ≤ 0, ∀i ∈ I(¯ x) Sử dụng định nghĩa hàm giả lồi tính chất hàm tựa lồi khả vi bất đẳng thức kéo theo fi (¯ x)(x − x¯) < 0, với i ∈ {1, , m}, x)(x − x¯) ≤ 0, với i ∈ I(¯ x), gi (¯ hi (¯ x)(x − x¯) = 0, với i ∈ {1, , p} 33 Bởi gi (¯ x) < với i ∈ {1, , k} \ I(¯ x), tồn α, β ≥ cho gi (¯ x)(x − x¯) ≤ (α − β)gi (¯ x), ∀i ∈ {1, , k} Vì ta có (f, g, h) (¯ x)(x − x¯) ∈ C ta kết luận điều kiện (3.9) với x˜ := x C2 := C ✷ Bổ đề 3.2.1 điều kiện lồi đặt ràng buộc tích cực Với hệ 3.2.1 bổ đề 3.2.1 ta nhận điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu toán tối ưu đa mục tiêu Hệ 3.2.5 Giả sử f : Rn −→ Rm , g : Rn −→ Rk , h : Rn −→ Rp hàm véc tơ Tập ràng buộc S có dạng: S := {x ∈ Rn |g1 (x) ≤ 0, ∀i ∈ {1, , k} hi (x) = 0, ∀i ∈ {1, , p}} Rm trang bị thứ tự phận theo cách tự nhiên Giả sử x¯ ∈ S giả sử hàm vectơ f, gvà h có đạo hàm riêng x¯, hàm f1 , , fm giả lồi x¯ hàm h1 , , hp , −h1 , , −hp gi với i ∈ I(¯ x), I(¯ x) := {i ∈ {1, , k} | gi (¯ x) = 0} tựa lồi x¯ Giả sử tồn nhân tử ti > (ít ti , i ∈ {1, , m} khác không), ui ≥ 0(i ∈ I(¯ x)) vi ∈ R(i ∈ {1, , p}) cho p m ti i=1 fi (¯ x) + ui gi (¯ x) + vi hi (¯ x) = 0Rn i=1 i∈I(¯ x) Khi đó, x¯ nghiệm hữu hiệu yếu toán tối ưu đa mục tiêu: f (x) x∈S 34 KẾT LUẬN Luận văn trình bày lý thuyết điều kiện cần điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu nghiệm hữu hiệu tốn tối ưu vectơ có ràng buộc Nội dung luận văn bao gồm: - Các khái niệm cực tiểu, cực đại, cực tiểu yếu cực đại yếu tập nghiệm hữu hiệu( hay cực tiểu), nghiệm hữu hiệu yếu( hay cực tiểu yếu) toán cực tiểu vectơ; - Các điều kiện cần tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu dạng hệ bất đẳng thức khơng tương thích, dạng Fritz John Kuhn - Tucker; - Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu hữu hiệu yếu toán tối ưu vectơ Lý thuyết điều kiện cần đủ tối ưu cho toán tối ưu vectơ có ràng buộc đề tài nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] B D Craven (1981), Vector- valued optimization, in: Schaible S.,Ziemba, W.T (eds), Generalized concavity in optimization and economics (Academi Press, New York), 661 – 687 [2] J Jahn (2011), Vector Optimization, Springer - Verlag, Berlin Heidelberg [3] J Jahn (2007), Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization, Springer, Berlin [4] J Jahn and E Sachs (1986), Generalized quasiconvex mappings and vector optimization, SIAM J Control Optim.24 (1986), 306 – 322 [5] E Sachs (1978), Differentiability in optimization theory Math Operationsforsch Statist Ser Optim (1978), 497 – 513 36 ... kiện đủ tối ưu Ta xét quy tắc nhân tử Lagrange trình bày chương Ta chứng minh quy tăc nhân tử Lagrange điều kiện tối ưu cho toán ta đưa vào giả thiết tính lồi suy rộng Chúng ta xét tốn tối ưu đa... HỌC - - LÊ THỊ THU HÀ QUY TẮC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ KHẢ VI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 Giáo vi? ?n hướng dẫn: PGS.TS Đỗ Văn Lưu Thái nguyên – 2014 Số... nhân tử Lagrange cho toán tối ưu vectơ khả vi" Luận văn trình bày lý thuyết điều kiện Fritz John Kuhn - Tucker điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu vectơ khả vi Luận văn bao gồm phần mở