Tối ưu hóa với các hàm lipschitz

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - BÙI VĂN DŨNG TỐI ƯU HÓA VỚI CÁC HÀM LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lớp toán tối ưu với hàm Lipschitz địa phương phận quan trọng lớp tốn tối ưu khơng trơn Bởi hàm Lipschitz địa phương xác định không gian hữu hạn chiều khả vi hầu khắp nơi nên ta xem tốn Lipschitz địa phương lớp trung gian lớp toán với hàm khả vi không khả vi Năm 1983 sách chuyên khảo “Optimization and Nonsmooth Analysis” F.H Clarke 5 đời đánh dấu bước tiến quan trọng lí thuyết tối ưu khơng trơn F.H Clarke 5 xây dựng lí thuyết đạo hàm suy rộng theo phương gradient suy rộng cho hàm Lipschitz địa phương giá trị thực jacobian suy rộng cho hàm giá trị véc tơ thiết lập điều kiện cần tối ưu cho toán với hàm theo phương vi phân cho hàm Lipschitz địa phương mà ta gọi đạo hàm theo phương Michel-Penot vi phân Michel-Penot Chú ý hàm khả vi Gâteaux vi phân Michel-Penot đạo hàm Gâteaux, hàm khả vi chặt đạo hàm chặt gradient suy rộng Clarke Mới Đ.V.Lưu 12 thiết lập điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu Lipschitz địa phương với ràng buộc nón, ràng buộc đẳng thức ràng buộc tập ngôn ngữ vi phân Michel-Penot Đây vấn đề nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính mà em chọn đề tài luận văn: “Tối ưu hóa với hàm Lipschitz địa phương” Luận văn trình bày điều kiện cần tối ưu cho toán với hàm Lipschitz địa phương đơn đa mục tiêu ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke vi phân Michel-Penot Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: điều kiện cần ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke Chương trình bày số kiến thức giải tích Lipschitz, điều kiện cần tối ưu cho toán đơn mục tiêu với hàm Lipschitz địa phương F.H.Clarke điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương toán tối ưu đa mục tiêu với hàm Lipschitz địa phương B.D Craven Chương 2: Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu ngôn ngữ vi phân Michel-Penot Chương trình bày điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu Đ.V.Lưu 12 cho toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón, ràng buộc đẳng thức ràng buộc tập Bài toán tối ưu đa mục tiêu bao gồm hàm Lipschitz địa phương có đạo hàm Fréchet (khơng thiết lớp C1 ) Với sáu điều kiện qui (CQ1) –(CQ6), điều kiện cần Kuhn-Tucker trình bày ngơn ngữ vi phân Michel-Penot Ngày 26 tháng 09 năm 2012 Bùi Văn Dũng Chương ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU DƯỚI NGÔN NGỮ GRADIENT SUY RỘNG CLARKE Chương trình bày số kiến thức giải tích Lipschitz, điều kiện cần tối ưu cho toán tối ưu đơn mục tiêu có ràng buộc với hàm Lípschitz địa phương F.H.Clarke 5 điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương toán tối ưu đa mục tiêu với hàm Lipschitz địa phương B.D.Craven  4 Các kiến thức trình bày chương tham khảo từ tài liệu 1 ,  2 1.1 Một số kiến thức giải tích Lipschitz 1.1.1 Đạo hàm suy rộng Clarke gradient suy rộng Clarke Giả sử X không gian Banach, X * không gian đối ngẫu tôpô X f hàm Lipschitz địa phương x  X Định nghĩa 1.1.1 Đạo hàm suy rộng hàm f theo phương v  X  x , kí hiệu f0  x ; v  xác định sau: f  x , v   lim sup x  x t 0 f  y  tv   f  x  , t x  X , t  Đây khái niệm đạo hàm suy rộng theo phương F.H Clarke (1.1) Định lí 1.1.1 Giả sử f Lipschitz địa phương với số Lipschitz K x Khi đó, (i) Hàm v  f  x; v  hữu hạn ,thuần dương, cộng tính X f  x; v  K v ; (ii) f  x; v  nửa liên tục theo  x, v  ; f  x;. Lipschitz( theo v ) với số K X ; (iii) f0  x ; v     f   x, v  Chứng minh (i) Do f Lipschitz địa phương x với số Lipschitz K, tồn lân cận U x cho với y, z U , f  y  f  z  K y  z Do đó, từ (1.1) ta có f  x, v   limsup K tv y  x t 0 t K v , với t đủ nhỏ , y U y  tv U Từ suy tính chất hữu hạn hàm f  x,. Với   , ta có f  y  tv   f  y  y  x t 0 t f  y  tv   f  y    limsup   f  x; v  y  x t 0 t f  x; v   limsup  hàm f  x;. dương Bây ta kiểm tra tính cộng tính: f  x; v     limsup y  x t 0 f  y  tv  t   f  y  t  limsup y  x t 0 y  tv  x f  y  tv  t   f  y  tv  f  y  tv   f  y   limsup  f  x;    f  x; v  , y  x t 0 t t y  x t  (ii) Lấy dãy  xi  vi  hội tụ đến x v tương ứng Theo định nghĩa limsup, với i, yi  X , ti  cho yi  xi  ti  , i f  yi  ti vi   f  yi  f  xi , vi    i ti  Để ý f  yi  ti v   f  yi  f  yi  ti vi   f  yi  ti v   ti ti f  yi  ti vi   f  yi  ti v   K vi  v ti với i đủ lớn Khi đó, từ (1.2) ta có limsup f  xi , vi   f  x, v  i  Do f .;. nửa liên tục Ta chứng minh f  x;. Lipschitz X Với u,   X , ta có f  y  tv   f  y   f  y  t   f  y   K v   t (với y gần x , t dương gần ) (1.2)  f  y  tv   f  y  f  y  t   f  y    K v  t t  f  x; v   f  x;    K v   (1.3) Đổi vai trò v  ta nhận f  x;    f  x; v   K v   (1.4) Từ (1.3) (1.4) ta suy f  x; v   f  x;    K v   Như f  x;. Lipschitz với số K (iii) X Chứng minh f  x; v     f 0  x; v  f  x; v   lim sup x x ; t 0 f  x  tv   f  x    f u  tv     f u   lim sup u  x ; t 0 t t f  x; v   lim sup x x ; t 0 f  x  tv   f  x    f u  tv     f u   lim sup u  x ; t 0 t t (đặt u  x  tv )    f   x, v  Định nghĩa 1.1.2 Gradien suy rộng hàm f x , kí hiệu f  x  tập hợp sau X *: f  x  :   X * : f  x ; u    , u , u  X  Đây khái niệm gradient suy rộng F.H Clarke Nhận xét 1.1.1 f  x    f  x ;0  , c  f  x ;0  vi phân hàm lồi c Bây ta lấy   X * Khi đó, chuẩn f o  x ;.  xác định công thức  * : sup   , v vX ; V 1 Ký hiệu B* hính cầu đơn vị mở X * Định lí 1.1.2 Gỉả sử f hàm Lipshitz địa phương với số K x Khi f  x    , lồi compact *yếu a)  *K b) Với X *  f  x  ; v  X , ta có f  x ; v   max   , v :  f  x  Chứng minh a) Theo định lí 1.1.1 f  x ;. hàm cộng tính, dương X Theo định lí Hahn-Banach, tồn hàm tuyến tính  : X  R cho f  x ; v    , v   v  X    f  x   f  x    Ta chứng minh f  x  lồi: lấy 1 , 2 f  x  ,0    Khi f  x;u    u  X ; i  1,   f  x ; u    f  x ; u   1    f  x ; u      1 , u   1     2 , u   1  1     2 ,u   1  1    2 f  x   f  x  lồi  i , u  Bây ta chứng minh f  x  compắc *yếu: với  f  x  ,  *  K  f  x   B*  0, K  , B*  0, K  B*  0, K  compact *yếu Mà hình cầu đóng *yếu b) hình cầu đóng tâm với bán kính K X * (định lí Alaoglu), f  x   f  x  compact*yếu Theo định nghĩa 1.1.2 max   , v :  f  x   f  x ; v  Giả sử tồn v0 cho max   , v0 :  f  x   f  x ; v0  Theo định lí Hahn-Banach, tồn phiếm hàm tuyến tính  thảo mãn   ,v   f  x ; v   v  X  , f  x ; v0    , v0     f  x   f  x ; v0   Vơ lí !   , v0  f  x , v0  Ví dụ 1.1.1 Xét trường hợp X  R, f  x   x Khi đó, f hàm Lipschitz số Lipschitz K  Bây giờ, ta lấy x  Khi f  x; v   lim y  x ;t 0 y  tv  y v t  f  x     R : v   , v  R  1 Tương tự, với v  , ta có   Do đó,   Một cách tương tự, x0, f  x   1 R với Xét trương hợp x  f  0; v   v   f  0    R : v   v, v R  f     1,1 1.1.2 Các phép tính gradient suy rộng Clarke Định nghĩa 1.1.3 Ánh xạ đa trị  gọi đóng, Gr đóng X  Y Định nghĩa 1.1.4 Ánh xạ đa trị  gọi nửa liên tục x , với   0,   cho  x  x   BX    X     X    BY , BX BY hình cầu đơn vị mở X Y Định lí 1.1.3 1 Giả sử f hàm Lipschitz địa phương x Ta có khẳng định sau đây: (i)  f  x   f  x ; v    , v (ii) Giả sử dãy  v  X  ; xi   X , i   X * thỏa mãn  i f  xi  ;  xi  hội tụ đến x ,  điểm giới hạn  i  theo tô pô *yếu Khi đó,  f  x  (tức ánh xạ đa trị f  x  đóng *yếu ); (iii) f  x    0  yx  B f  y  ; (iiii) Nếu X hữu hạn chiều f nửa liên tục x 41 Bởi T  Qs ; x  lồi, nên đóng *yếu Do đó, áp dụng bổ đề 5.8  6 nhận  sJ T  Qs ; x     T  Q ; x   0 s sJ (2.22) =  N  Qs ; x  sJ Thay (2.21),(2.22) vào (2.20) ta nhận    MP f s  x   C  Q, x  (2.23) sJ Sử dụng tính đóng *yếu H  x  tương tự chứng minh định lí 2.2.1 ta nhận C  Q, x   H  x  (2.24) Kết hợp (2.23) (2.24) ta có    MP f s  x   H  x  sJ Do đó, tồn ˆ   k  J  , ˆ  S1* , ˆ  i  I  x    j  R  j  L  cho    MP f s  x    k  MP f k  x   g I  x  kJ kJ    i  MP g i  x     j h j  x   N  C; x  iI  x  jL Thêm vào  k    k  k  J  ,    , i   i i  I  x    j   j  j  L  ta suy điều phải chứng minh 42 Nhận xét 2.2.1 Trong trường hợp dim X  , S  Rm, C  X từ   ta suy   co   MP f k  x   kJ ,k  s   co   MP f k  x   kJ   MP gi  x    lim h j  x  : j  L iI    MP gi  x    lim h j  x  : j  L iI  Thì H s  x  ( H s  x  đóng tương ứng ), Co kí hiệu bao tuyến tính 2.3 Các điều kiện qui (CQ3)-(CQ6) Định nghĩa 2.3.1 Ta nói tốn (MP) thỏa mãn điều kiện qui (CQ3) x với s thuộc J , 0  kJ , k  s  k  MP f k  x   g I  x     iI  x  MP i gi  x     j h j  x   N  C , x  , jL với  k   k  J , k  s  ,   s1 , i  i  I  x    j  R  j  L  không đồng thời * Định nghĩa 2.3.2 Ta nói tốn (MP) thỏa mãn điều kiện qui kiểuMangsarian-Fromovitz (CQ4) tồn s  J v0  int T  C; x  cho (a) f k  x ; v0    k  J , k  s  , g I  x  v0  int S1 , g i  x ; v0   i  I  x   ; (b) h j  x  , v0   j  L  ; (c) h1  x  , , hl  x  độc lập tuyến tính Mệnh đề 2.3.1 15 Giả sử int T  C; x    Khi đó, điều kiện qui (CQ3) (CQ4) tương đương 43 Kết sau (CQ3) kéo theo(CQ1) Mệnh đề 2.3.2 Giả sử x điểm, chấp nhận tốn (MP), khơng có ràng buộc g I C tập lồi f k , gi hàm khả vi Dini x với đạo hàm lồi f   x ;. , gi  x ;. ,  j  J , i  I  điều kiệnchính qui (CQ3) x với s Qs qui x (CQ1) x với số s Chứng minh Bởi hàm f k  k  J  g i  i  I  khả vi Dini Lipschitz địa phương  x ,các hàm f k  k  J  gi i  I  x   khả vi Hadamard x Do (CQ3) ta suy với s thuộc J ,  0 kJ , k  s  k  MP f k  x     MP i iI  x  gi  x     j h j  x   N  C; x  , jL    k   k  J , k  s  , i  i  I  x  ,  j  R  j  L      k  i   j  k  J , k  s, i  I  x  ,  j  R  j  L  Bởi  D f k  x    MP f k  x  ,  D gi  x    MP g i  x  , ta có 0  kJ , k  s  k  D fk  x      g  x     h  x   N C; x  , D i iI  x  i jL  j j   k   k  J , k  s  , i  i  I  x  ,  j  R  j  L  ,     k  i   j  k  J , k  s, i  I  x  , j  L , Do   kJ , k  s  k  D fk  x      g  x    h  x  , D iI  x  i i  jL j j   k   k  J , k  s  , i  i  I  x  , ,  j  R(j  L) (2.25) 44     k  i   j  k  J , k  s, i  I  x  , j  L , (2.26)  N  C, x  Từ (2.26), ta áp dụng định lí (15) ta suy K  Ps ; x   {v  X : f k  x , v    k  J , k  s  ,   gi,  x , v   i  I  x  , h j  x  , v   j  L  (2.27) Bởi hàm f k  x ;. k  J , k  s  gi  x ;.  i  I  x   lồi dương K  Ps ; x  nón lồi Hơn theo định lí 3.3 9 ta có K  Qs ; x   K  Ps ; x  K  C; x  (2.28) Bởi C lồi K  C; x   T  C; x  Do K  C; x  K  Qs ; x  nón lồi Mặt khác, tính qui Qs x từ (2.27) (2.28) ta suy C  Qs ; x   {v  T  C; x  : f k  x , v    k  J , k  s  ,   gi  x   i  I  x  , , h j  x  , v   j  L  }   gi'  x   i  I  x  , , h j  x  , v   j  L  }  {v  T C; x  : f k  x , v   k  J , k  s ,  K  Ps ; x  K  C; x   K  Qs ; x   T  Qs ; x  Do (CQ1) x Ta đưa vào điều kiện qui mạnh (CQ3) (CQ4) Định nghĩa 2.3.3 Ta nói tốn (MP) thỏa mãn điều kiện qui (CQ5) với s  J , 45 0  kJ , k  s  k  MP f k  x   g I  x     iI  x  i MP gi  x    j h j  x   N  C; x  , jL với tất ˆ   k  J , k  s  ,   S1* ,   i  I  x    j  R  j  L  không đồng thời Định nghĩa 2.3.4 Ta nói tốn (MP) thỏa mãn điều kiện qui (CQ6) cho s  J tồn v0  int T  C; x  cho (a) f k  x , v0    k  J , k  s  , g I  x  v0  int S 1, g i  x , v0   i  I  x  ,  ; (b) h j  x  , v0   j  L  ; (c) h1  x  , , hl  x  Độc lập tuyến tính Rõ ràng ta có (CQ5)và (CQ6) tương ứng kéo theo (CQ3) (CQ4) với sJ Nhận xét 2.3.1 Cũng mệnh đề 2.3.1 , trừơng hợp int T  C, x    , (CQ5) (CQ6) tương đương Mệnh đề 2.3.3 12 Giả sử tất giả thiết mệnh đề 2.3.2đúng, (CQ3) thay (CQ5) Q qui x Khi đó, (CQ2) 46 2.4 Các điều kiện cần Kuhn-Tucker với điều kiện qui (CQ3)(CQ6) Trong phần ta giả sử h1 , , hl liên tục lân cận x Một điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu phát triển sau lân cận x điều kiện mở đầu dùng sau Định lí 2.4.1 Giả sử x cực tiểu pareto địa phương toán (MP) ; h1  x  , , hl  x  độc lập tuyến tính Khi hệ sau khơng có nghiệm v  Ik  C, x  : fk  x , v    k  J  , g I  x , v   int S1 , gi  x , v   h j  x  , v  (2.29) (2.30) i  I  x  , (2.31)  k  J  (2.32) Chứng minh: Từ kết H.Halkin((6)định lí F ) ta suy tồn lân cận U x ánh xạ  :U  X liên tục U khả vi Fréchet x cho   x   0,   x   với x U , j  L , h j  x    x    h j  x  , x  x (2.33) Bởi x cực tiểu pareto địa phương (MP) nên x cực tiểu pareto địa phương tốn (MP1) Do đó, với s  J , x cực tiểu địa phương tốn vơ hướng: 47 f s  x  , f k  x   f k  x  k  J , k  s  ,  g I  x   S1 , gi  x    i  1, , r  , ( Ps ) h j  x    j  1, , l  , x  C Giả sử ngược lại: hệ (2.29)-(2.32) có nghiệm v  Ik  C, x      t   x  tv   x  tv  t  0,1 Đặt Từ (2.32) (2.33) ta suy với t  đủ nhỏ t (nhỏ 1)   h j   t    h j x  tv   x  tv   t h j  x  , v   j  L  (2.34) Bởi   x     x   ta có     x     v Do đó, với t  đủ nhỏ, g I   t    g I   0   tg I   0      o  t   g I  x   tg I  x  v  o  t   S1  int S1  o  t  , o t Trong   t  , t  Do đó, với t  đủ nhỏ,  g I   t    S1 (2.35) Bởi g i Lipschitz địa phương x , ta có   gi x  v  sup limsup X v v t 0 gi  x  t  v      gi  x  t  t i I x  48 Hơn nữa,   x  tv t     x   t  x   o t   o t  t Do từ (2.31) với t  đủ nhỏ, t     x  tv gi  x  t  v    t gi x  tv   x  tv  gi  x     t t        g  x     i  Vì vậy, với t  đủ nhỏ,   gi   t    i  I  x  Tương tự, với t  đủ nhỏ ta có f k   t    f k  x  k  J  (2.36) (2.37) Bởi v  Ik  C, x  , với t  đủ nhỏ ta có    x  tv   t   x  v   t     C   (2.38) Do tính liên tục x g i  i  I  x   , với t  đủ nhỏ ta có gi   t   0 i  I  x  , Do từ (2.36) ta suy gi   t     i  1, , r  , Với   S2* , từ (3) suy tồn số không âm 1 , , r cho   i 1 i Do đó, r  , g II   t     i gi   t   0    S2*  r Vì vậy, i 1 (2.39) 49  g II   t    S2**  S2 (2.40) Từ (2.34), (2.35), (2.37), (2.38) (2.40) ta suy với t  đủ nhỏ, f k   t    f k  x  k  J  ,  g I   t    S1 ,  g II   t    S , h j   t     j  L  ,   t   C Nhưng điều mâu thuẫn với x cực tiểu địa phương (MP) Do đó, ta có điều phải chưng minh Hệ 2.4.1 Giả sử tất giả thiết định lí 2.4.1đúng IT  C; x    Khi đó, khơng tồn v  int T  C; x  thỏa mãn (2.29)-(2.32) Chứng minh Bởi IT  C; x    ta có IT  C; x   int T  C; x  Do đó, int T  C; x   Ik  C; x  Áp dụng định lí 2.4.1 ta có điều phải chứng minh Sau ta trình bày điều kiện cần Kuhn-Tucker với điều kiện qui (CQ3) (CQ4) Định lí 2.4.2 Giả sử x cực tiểu địa phương toán (MP) giả thiết hệ 2.4.1 thỏa mãn Giả thiết điều kiện qui (CQ3) (CQ4) x Khi đó, tồn  k   k  J , k  s    S , i   i  I  x    j  R  j  L  cho *  MP f s  x    kJ , k  s  k  MP f k  x   g I  x  50    iI  x  Chứng minh i MP gi  x     j h j  x   N  C , x  jL Xét toán f s  x , v  , f s  x , v    k  J , k  s  , ( ( DPs ) gi  x   S1 ,   gi  x , v   i  I  x  , h j  x  , v   j  L  , v  T  C; x  Kí hiệu M s tập chấp nhận toán ( DPs ) Do tính lồi dương f k  x ;. và, g i  x ,. , M s nón lồi Giả sử (CQ3) x Bởi int T  C; x    , theo mệnh đề 2.3.1 (CQ3) tương đương với (CQ4) Do đó, tồn s  J v0  int T  C; x  thỏa mãn điều kiện a)-c) định nghĩa 2.3.2 từ hệ quả2.4.1 ta suy hệ (2.29)-(2.32) khơng có nghiệm v  int T C; x  Do đó, f s  x , v0   Đặt N s   v  int T  C; x  : f k  x ; v    k  J , k  s  , g I  x  v  int S1   gi  x , v   i  I  x  : h j  x    j  L   Khi đó, N s nón lồi v0  N s Do tính liên tục f k  x ;. gi  x ;. , ta có M s  N s , dấu gạch ngang bao đóng Do theo hệ 2.4.1 ta có với v  M s f k  x ; v    f k  x ;0  Điều có nghĩa v  nghiệm toán  DPs  Hơn , C f k  x ;.    DP f s  x   k  J  , (2.41) 51 C gi  x ;.    DP gi  x  i  I  x  ,   S  , C  g I  x    0  g I  x  * (2.42) (2.43)      C    j h j  x        j h j  x   ,  jL   jL  (2.44) N T  C; x  ;0   N  C; x  (2.45) (xem 15 trang.1449) Do đó, điều kiện qui (CQ3) viết dạng sau: 0  kJ , k  s  k C f k  x ;.   C  g I  x        iI  x  i C gi  x ;.     C    j h j  x      N T  C; x  ;0  ,  jL  Với  k   k  J , k  s  ,   S1* , i  i  I  x    j  R  j  L  Điều có nghĩa điều kiện qui (CQ2) 10 thỏa mãn v  Áp dụng định lí 3.2 10 ta suy tồn  k   k  J , k  s    S1* , i  i  I  x    j  R j  L  cho C f s  x ;.      iI  x  i C  kJ , k  s  k C f k  x ;.   C  g I  x       gi  x ;.    C    j h j  x      N T  C; x  ;0   jL  Từ (2.41) –(2.45) ta suy  DP f s  x      iI  x  i Định lí chứng minh MP  kJ , k  s  k  MP f k  x   g I  x   gi  x     j h j  x   N  C; x  jL (2.46) 52 Định lí 2.4.3 Giả sử x cực tiểu pareto địa phươngt (MP) giả thiết định lí 2.4.2đúng, (CQ3) thay (CQ5) Khi đó, tồn  k   k  J  ,   S1* , i   i  I  x    j  R  j  L  cho   k  MP f k  x   g I  x   kJ   iI  x  MP i gi  x    j h j  x   N  C; x  jL Chứng minh Bởi (CQ5) (CQ6) kéo theo (CQ3) với s  J , ta áp dụng định lí 2.4.2 suy với s  J , tồn  k s    k  J , k  s    s   S1* ,   s    i  I  x    js   R  j  L cho  MP f s  x     kJ , k  s  k s  MP f k  x     s g I  x      s iI  x  MP i gi  x     j s h j  x   N  C; x  jL Lấy s  1, , n (2.47) cộng hai vế bao hàm thắc, ta có   k  MP f k  x   g I  x   kJ   iI  x  i MP gi  x    j h j  x   N  C; x  , jL  k    sJ , s  k  k s    k  J  ,      s   S1* , sJ i   i s    i  I  x    j    j s   R  j  L  sJ sJ (2.47) 53 KẾT LUẬN Luận văn trình bày lí thuyết điều kiện cần tối ưu cho toán tối ưu với hàm Lipschitz địa phương đơn mục tiêu F.H.Clarke, đa mục tiêu B.D.Craven Đ.V.Lưu ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke vi phân Michel-Penot Nội dung luận văn bao gồm vấn đề sau đây: -Một số kiến thức đạo hàm theo phương suy rộng Clarke MichelPenot -Điều kiện cần tối ưu F.H.Clarke cho toán tối ưu đơn mục tiêu ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke -Điều kiện cần tối ưu B.D.Craven cho cực tiểu yếu tốn tối ưu đa mục tiêu ngơn ngữ gradient suy rộng Clarke -Các điều kiện qui ngơn ngữ vi phân Michel-Penot mối quan hệ chúng -Các điều kiện cần Kuhn-Tucker Đ.V.Lưu ngôn ngữ vi phân Michel –Penot Điều kiện tối ưu cho tốn tối ưu khơng trơn ngơn ngữ vi phân khác đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu 54 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt 1 Đỗ văn Lưu (1999), Giải tích Lipschitz, NXB khoa học kĩ thuật, Hà Nội  2 Đỗ văn Lưu (1999), Lý thuyết điều kiện tối ưu, NXB khoa học kĩ thuật, Hà Nội 3 Đỗ văn Lưu Phan huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB khoa học kĩ thuật, Hà Nội Tài liệu tiếng Anh  4 B.V Craven (1989), Nonmooth multiobjective programming, Numer Funet Anal Optim 10, 49-64 5 F.H.Clarke(1983), Optimization and Nonsmooth Analysis.W iley Interscience, New York  6 I.V.Girsanov (1972), Lectures on Mathematical Theory of Extremum Problems, Berlin-Heidenberg, Springer-Verlag  7 G Giorgi, B.Jimenez and V.Novo (2004), On constraint qualifications in directionally differentiable Oper.Res.,38, 255-274 multiobjective optimization 8 H.Halkin (1974), Implicit functions and optimization problems, RAIRO Problems without continuous differentiablility of the data, SIAM J.Control 12, 229-236 9 B.Jimenez and V.Novo (2003), Optimality conditions in directionally differentiable Pareto problems with a set constraint via tangent cones, Numer Funct Anal.Optim., 24., 557-574 10 A.Jourani (1994), Constraint qualifications and Lagrange multipliers in nondif-ferentiable programming problem, J.Optim Theory Appl., 81553-548 55 11 D.V.Luu (2009), On constraint qualifications and optimality conditions in locally Lipschitz multiobjective programming problems, Nonlinear Funet, Anal.Appl 14, 81-97 12 D.V.Luu (2012), Necessary conditions for efficiency in terms of the MichelPenot subdifferentials, Optimization, vol.61,1099-1117 13 D.V.Luu and N.M.Hung(2009), On alternative theorems and necessary conditions for efficiency, Optimization 58… 49-62 14 P.Michel and J.-P.Penot(1984), Calcul sou-differentiel pour des fonctions lipschitziennes et nonlipschitziennes, C.R.Acad Sci Paris Ser I Math.,12 , 269272 15 J.J.Ye(2001), Multiplier rules under mixed assumptions of differetiability and Lipschitz continuity, SIAM J., Control Optim ,39 , 1441-1460 ... nghiên cứu Chính mà em chọn đề tài luận văn: ? ?Tối ưu hóa với hàm Lipschitz địa phương” Luận văn trình bày điều kiện cần tối ưu cho toán với hàm Lipschitz địa phương đơn đa mục tiêu ngôn ngữ gradient... thức giải tích Lipschitz, điều kiện cần tối ưu cho tốn đơn mục tiêu với hàm Lipschitz địa phương F.H.Clarke điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương toán tối ưu đa mục tiêu với hàm Lipschitz địa... tích Lipschitz, điều kiện cần tối ưu cho toán tối ưu đơn mục tiêu có ràng buộc với hàm Lípschitz địa phương F.H.Clarke 5 điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương toán tối ưu đa mục tiêu với hàm