Thuật toán song song giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖ ▲➊ ❍■➋◆ ❍❾❯ ❚❍❯❾❚ ❚❖⑩◆ ❙❖◆● ❙❖◆● ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹◆ ❇➀◆● ❚❘➊◆ ❚❾P ✣■➎▼ ❇❻❚ ✣❐◆● ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✷✵ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❑❍❖❆ ❚❖⑩◆ ✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖ ▲➯ ❍✐➲♥ ❍➟✉ ❚✷✻❇✳✷✷✽ ❚❍❯❾❚ ❚❖⑩◆ ❙❖◆● ❙❖◆● ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹◆ ❇➀◆● ❚❘➊◆ ❚❾P ✣■➎▼ ❇❻❚ ✣❐◆● ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ●✐↔✐ ❚➼❝❤ ▼➣ sè✿ ✽ ✹✻ ✵✶ ✵✷ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ữợ ❚❻◆ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✷✵ ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✧❚❤✉➟t t♦→♥ s♦♥❣ s♦♥❣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tr➯♥ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✧ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ◆❣✉②➵♥ ❳✉➙♥ ❚➜♥ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ r tổ ữợ sỹ ữợ trỹ t ✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tỉ✐ ❝á♥ sû ❞ư♥❣ ♠ët sè ❦➳t q✉↔✱ ♥❤➟♥ ①➨t ❝õ❛ ♠ët sè t→❝ õ ú t tr ỗ ❣è❝✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ tæ✐ ✤➣ ❦➳ t❤ø❛ t❤➔♥❤ q✉↔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈ỵ✐ sü tr➙♥ trå♥❣ ✈➔ ❜✐➳t ì♥✳ ◆➳✉ ♣❤→t ❤✐➺♥ ❜➜t ❦ý sü ❣✐❛♥ ❧➟♥ ♥➔♦ tæ✐ ①✐♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❝❤à✉ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠ ✈➲ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ♥➠♠ ✷✵✷✵ ❚→❝ ❣✐↔ ▲➯ ❍✐➲♥ ❍➟✉ ❳→❝ ổ ữớ ữợ ❞➝♥ ●❙✳ ❚❙❑❍ ◆❣✉②➵♥ ❳✉➙♥ ❚➜♥ 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❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳ ⑩♥❤ ①↕ ❝❤✐➳✉ ❧➯♥ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ❈✳ ◆â♥ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ❝õ❛ ❈ t↕✐ ①✳ ▼✐➲♥ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❤➔♠ ỗ t r ỗ t ự ữợ t ợ ữợ {ak } ợ tr {ak } ữợ ợ t t số t❤ü❝ ❆✳ ✐✐✐ supA f (x; y) ∇f (x) ∂f (x) ιC dH (A, B) minH f argminf minC f arg minC f F ixT ❈➟♥ tr➯♥ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ t➟♣ sè t❤ü❝ ❆✳ ✣↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ❢ t↕✐ t ữợ rt t ữợ t ❝❤➾ ❝õ❛ t➟♣ ❈✳ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❍❛✉s❞♦r❢❢ ❣✐ú❛ ❤❛✐ t➟♣ ❆ ✈➔ ❇✳ ●✐→ trà ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ❤➔♠ ❢ tr➯♥ t♦➔♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✳ ❚➟♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ❤➔♠ ❢ tr➯♥ t♦➔♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✳ ●✐→ trà ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ❤➔♠ ❢ tr➯♥ t➟♣ ❈✳ ❚➟♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ❤➔♠ ❢ tr➯♥ t➟♣ ❈✳ ❚➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❚✳ ✐✈ ▼ö❝ ❧ö❝ ▼ð ✤➛✉ ỵ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✣è✐ t÷đ♥❣ ✈➔ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ❉ü ❦✐➳♥ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ 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(x, y) = x − u, y − x ✱ ✭❇❊❊✮ trð t❤➔♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➯♥ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✱ ✤÷đ❝ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ▼ët sè ❣✐↔ t❤✐➳t ❝❤♦ ❝→❝ s♦♥❣ ❤➔♠ fj , j = 1, 2, , m tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ tr➯♥ ❧➔✿ ✭❍✶✮ fj (x, x) = ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ Cj ; ✭❍✷✮ fj ✭❍✸✮ fj (., y) ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ t❤❡♦ t✐❛✱ tù❝ ❧➔ ✈ỵ✐ ♠é✐ x, y, z ∈ Cj ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ Cj ✱ tù❝ ❧➔ fj (x, y) + fj (y, x) ≤ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ Cj ; lim sup fj (λz + (1 − λ)x, y) ≤ fj (x, y); λ↓0 ✭❍✹✮ ✈ỵ✐ ♠é✐ x Cj , fj (x, ) ỗ ỷ tử ữợ tr Cj s t õ t ữợ ❞↕♥❣ ❝õ❛ ✭❇❊❋✮✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✸✳ ❈❤♦ fj : H × H → R t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ✭❍✶✮ ✲ ✭❍✹✮✳ ❱ỵ✐ r > ✈➔ x ∈ H✱ t❛ ①→❝ ✤à♥❤ →♥❤ ①↕ T f T fj (x) = z ∈ Cj : fj (z, y) + j : H → Cj ♥❤÷ s❛✉✿ y − z, z − x ≥ 0, ∀y ∈ Cj r ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ H✳ ❑❤✐ ✤â✿ ✭✐✮ T f ①→❝ ✤à♥❤ ✈➔ ✤ì♥ trà tr➯♥ H; j ✹✵ ✭✐✐✮ T f ỡ ữủ ợ sè ❧➔ ✶✱ tù❝ ❧➔✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ j x, y ∈ H, T fj (x) − T fj (y) ≤ T fj (x) − T fj (y), x − y ; ✭✐✐✐✮ ❚➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ T f trị♥❣ ✈ỵ✐ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❚➻♠ x∗ ∈ Cj s❛♦ ❝❤♦ fj (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ Cj j ⑩♣ ❞ö♥❣ ❜ê ✤➲ tr➯♥✱ t❛ ✤÷❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❇❊❊✮ ✈➲ ❞↕♥❣ ✭❇❊❋✮ ✈➔ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✶ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② ❝â ❞↕♥❣ ♥❤÷ s❛✉✿ ❜✮ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✸✳ ❈❤å♥ µj > 0, m j=1 µj = 1, ❧➜② α> L2 2β ✈➔ ❞➣② {λk }k≥0 ⊂ (0, 1) s❛♦ ❝❤♦ ∞ ∞ lim λk = 0, k→∞ |λk − λk−1 | < +∞ λk = +∞, k=0 ❳✉➜t ♣❤→t tø ♠ët ♣❤➛♥ tû k=0 x0 H t ộ ữợ f (xk , xk ) s❛♦ ❝❤♦ g k − g k−1 ≤ L xk − xk−1 y k := xk − α1 g k xk+1 := λk y k + (1 − λk ) ❙ü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❞➣② xk k = 0, 1, , ❧➜② gk ∈ ✈➔ t➼♥❤ m fj k j=1 µj T (x ) tr♦♥❣ ❝→❝ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✷ ✈➔ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✸ ữủ s r tứ ỵ õ ✤➳♥ ð ✤➙② ❧➔ tr♦♥❣ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✷ ❝❤➾ ❝➛♥ t➼♥❤ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ ♠ët ✤✐➸♠ tr➯♥ tø♥❣ Cj t❤❛② ✈➻ t➼♥❤ tr➯♥ t➟♣ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳ ❚÷ì♥❣ tü tr♦♥❣ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✸ ❧➔ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❣➛♥ ❦➲ T fj ✸✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈ỵ✐ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐✳ ✹✶ ❈❤♦ Tj : H → 2H , j = 1, , m ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐✳ ●✐↔ sû domTj = Cj = φ✳ ❉♦ Tj ỡ ỹ Cj ỗ õt t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈ỵ✐ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❤➺ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐ s❛✉✿ ❚➻♠ ð ✤â S x∗ ∈ S : f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ S, ❧➔ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ∈ Tj (x), j = 1, , m✳ ●✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ S ❚❛ ①→❝ ✤à♥❤ t♦→♥ tû ❣✐↔✐ ✈ỵ✐ ♠é✐ q✉↔ q✉❡♥ t❤✉ë❝ ❝❤♦ t❛ Pj (BEI) Tj ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ré♥❣✳ Pj (x) := (I + Tj )−1 (x)✳ ▼ët ❦➳t ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû ✤ì♥ trà✱ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥ tr➯♥ t♦➔♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➔ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ ∈ Tj (x) trị♥❣ ✈ỵ✐ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ Pj ✳ ❉♦ ✤â ❜➔✐ t♦→♥ ✭❇❊■✮ ❝â t❤➸ ✤÷❛ ✈➲ ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❇❊❋✮✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✶ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❇❊■✮✱ t❛ ✤÷đ❝ ❞➣② xk ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ ✈➲ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❇❊■✮✱ ♠➔ ð ✤â✱ tr ộ ữợ t õ t t tr ❝õ❛ tø♥❣ t♦→♥ tû ❣✐↔✐ Pj ❚r♦♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ ❝õ❛ ❘♦❝❦❛❢❡❧❧❛r ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ ❞➣② ❧➦♣ ❝❤➾ ❤ë✐ tö ②➳✉✳ Ð ✤➙②✱ ♥❤í ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❤❛✐ ❝➜♣✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ♠ët ❞➣② ❧➦♣ ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ ✤÷đ❝ ♠ët ❞➣② ❧➦♣ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✤➳♥ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ♥â✐ tr➯♥✳ ✹✷ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t tờ qt õ t t ữợ ữợ tr tt t♦→♥ s♦♥❣ s♦♥❣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tr➯♥ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✳ 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