Phương pháp phân rã giải bài toán ô nhiễm môi trường

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG DIỆU ANH PHƢƠNG PHÁP PHÂN RÃ GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM MÔI TRƢỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG DIỆU ANH PHƢƠNG PHÁP PHÂN RÃ GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM MÔI TRƢỜNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS VŨ VINH QUANG Thái Nguyên – 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU Chƣơng 1: CÁC MƠ HÌNH TOÁN HỌC TRONG VẤN ĐỀ MƠI TRƢỜNG 1.1 Phương trình trùn tải vật chất khí quyển , tính nhất nghiệm 7 1.2 Phương trình truyền tải dừng 12 1.3 Bài toán truyền tải vật chất, tính nghiệm 15 1.4 Bài toán liên hợp cho miền ba chiều 19 1.5 Tính nghiệm toán liên hợp 23 Chƣơng 2: PHƢƠNG PHÁP PHÂN RÃ GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG DỪNG 2.1 Các lược đồ sai phân xấp xỉ cấp hai cho tốn khơng dừng với tốn tử phụ thuộc thời gian 26 26 2.1.1 Bài toán thuần dạng 26 2.1.2 Bài toán thuần dạng 33 2.2 Phương pháp phân rã 35 2.2.1 Bài tốn th̀n 35 2.2.2 Bài tốn khơng th̀n 37 2.3 Phương pháp phân rã nhiều thành phần 39 2.3.1 Bài toán thuần 40 2.3.2 Bài toán không thuần 42 Chƣơng 3: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHÂN RÃ TRONG Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÍ QỦN 3.1 Bài tốn nhiễm khí qủn 45 3.2 Lược đồ phân rã giải tốn nhiễm khí quyển 47 3.2.1 Lược đồ sai phân 47 3.2.2 Các lược đồ phân rã 49 3.2.3 Kết thực nghiệm 53 3.3 Bài toán nhiều nguồn phát 54 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 PHẦN PHỤ LỤC 59 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Bằng lịng thành kính, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc kính trọng tới: - Thầy giáo, TS Vũ Vinh Quang quan tâm , tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi q trình triển khai nghiên cứu đề tài hoàn thành luận văn - Các thầy Khoa Tốn – Tin toàn thể cán bộ, nhân viên trường ĐH Khoa học , trung tâm học liệu của ĐH Thái Nguyên giúp đỡ suốt thời gian học tập, nghiên cứu khoa học, tạo thuận lợi thủ tục hành chính, tài liệu cần thiết để tơi hồn thành luận văn - Ban Giám hiệu trường Phổ thông Dân Tộc Nội Trú Tỉ nh - Tỉnh Lai Châu, thầy cô giáo tổ toán anh em bè bạn đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Thái Nguyên, ngày tháng năm 2013 Tác giả Hồng Diệu Anh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Thực tế cho thấy, ô nhiễm môi trường vấn đề quan trọng, có tính cấp thiết toàn giới Phương pháp phân rã giải tốn nhiễm mơi trường có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực Chẳng hạn, đó là n hững toán học lượ ng tử , lượng hạt nhân , những quá trì nh tác động học phi tuyế n vật lý , hóa học số toán lĩnh vực khác Trong phạm vi đề tài này , đề cập tới tốn liên quan đến mơi trường và khí hậu Sự tác động qua lại của phần tử khí môi trường chính trọng tâm cần nghiên cứu mang tính khoa học thực tiễn cao ảnh hưởng trực tiếp tới sống trái đất Trong môi trường không khí , khí quyển, thành phần khí cũng thành phần khác pha trộn lẫn (theo một tỷ lệ nào đó ) tác động gió tượng khuyếch tán môi trường Khí thải công nghiệp tác nhân lớn gây ô nhiễm không khí Các thực thể vật chất bị nhiễm bẩn ở dạng khí (khói nhà máy, lị hạt nhân, núi lửa, v.v…) lan truyền, khuyếch tán khí quyển , tác động với ảnh hưởng của nhiệt độ , độ ẩm tạo thành hợp chất phức tạp , gọi chung hợp chất khí Trong quá trì nh chuyển động các thành phần của hợp chất khí tác động với nhau, một số thành phần từ không độc hại trở thành độc hại đối với đời sớng sinh vật Q trình dẫn đến ô nhiễm lục địa đại dương Để g iải vấn đề ta cần biết những trình lan truyền và khuyếch tán các thực thể nhiễm bẩn môi trường vì di chuyển chúng sẽ không biến thành những thành phần có hại và ngược lại Đó vấn đề rất đáng quan tâm Vì giới khơng ngừng hồn thiện, bên cạnh đó Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn công nghiệp phát triển Chính vậ y, để bảo vệ môi trường ng ta phải điều chỉnh những tiềm sẵn có thiên nhiên để ít bị , mà nâng cao nó , cải thiện môi trường Tuy nhiên đòi hỏi một lượng kinh phí rất lớn, cần sự chung tay , góp sức quốc gia quan tâm nhân loại Ở phương diện toán học , nhiệm vụ chủ yếu để giải quyết nhữ ng vấn đề xây dựn g được mô hì nh toán học phả n ánh đắn bản chất tự nhiên khách quan hiện tượng tìm mối quan hệ biện chứng định tính, đị nh lượng, phương pháp hữu hiệu nhằm giải quyết bài t oán đặt để từ đó đị nh chiến lược bảo vệ môi trường sống Nội dung của đề tài này, trì nh bày những phương trì nh liên hợp được phân tí ch dựa các phương trình thừa nhận điều kiện biên , điều kiện ban đầu đồng thời nghiên cứu phương pháp giải các bài toán thu được kết quả ći cùng mà nhờ chúng có thể đánh giá mức độ tác động thực trạng ô nhiễm môi trường của một vùng lãnh thổ Nội dung chương phân tích mơ hình tố n học khác của tốn nhiễm mơi trường Mỗi bài toán bản đều xây dựng thông qua một bài toán liên hợp tương ứng nhờ đẳng thức phân tí ch Lagrange Tính nhất n ghiệm của bài toán bản và bài toán liên hợp đới với những mơ hình chính chứng minh cách chặt chẽ Chương giới thiệu phương pháp sai phân giải tốn khơng dừng thuật tốn phân rã thành phần nhiều thành phần giải tốn sai phân th̀n khơng th̀n Cơ sở toán học phương pháp phân rã, tính ổn định tính chính xác thuật toán lược đồ phân rã Chương xây dựng phương pháp giải toán đặt ở chương Do độ phức tạp phương trình, với những giả thiết điều kiện biên, giá trị ban đầu chặt chẽ người ta nhận nghiệm chính xác tốn Thực tế Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cho thấy toán đặt thường rộng hơn, phức tạp Do đó, việc tìm phương pháp giải số cho lớp toán những phương pháp hữu hiệu sử dụng Luận văn trình bày phương pháp xấp xỉ tốn tử vi phân toán khuyếch tán đặt ở chương toán tử sai phân với độ chính chính xác cấp hai theo biến không gian thoả mãn tính không âm, xây dựng lược đồ phân rã tốn nhiễm mơi trường từ chủn việc tìm nghiệm số tốn hệ phương trình đại số dạng đường chéo Trong luận văn, lược đồ phân rã giải toán ô nhiễm môi trường cài đặt ngôn ngữ Matlab máy tính PC Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG CÁC PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA TRUYỀN TẢI VÀ KHUYẾCH TÁN VẬT CHẤT Mơi trường, trạng thái vấn đề ô nhiễm từ lâu trở thành vấn đề trọng tâm nghiên cứu nhà khoa học Các chất thải công nghiệp với thành phần nhiễm bẩn thải vào khí quyển đại dương gây tác động xấu đến môi trường không khí, môi trường nước, đất môi trường sinh thái vùng công nghiệp lớn Điều làm tăng nồng độ cacbondioxit thành phần khác khí quyển Những thay đổi trình sinh thái biểu rõ nét ở những khu công nghiệp lớn “ Mưa axit” v.v Sự lan truyền thực thể nhiễm bẩn khí quyển luồng gió chủn động rối Dịng chảy trung bình thực thể vật chất trung bình hố xem tượng khuếch tán chuyển động trung bình Ta sẽ xem xét mơ hình tốn học khác truyền tải khuếch tán vật chất môi trường lỏng mơi trường khí 1.1 Phƣơng trình truyền tải vật chất khí quyển, tính nghiệm( Xem tài liệu [2,5,6]) Giả sử  ( x, y, z, t ) cường độ chất thải di chuyển với dịng khơng khí khí qủn, ta sẽ xác định nghiệm tốn miền hình trụ G với bề mặt S S    0   H ,  mặt bên (hay mặt xung quanh) hình trụ G  mặt đáy z   H mặt đáy z  H Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn     Gọi V  ui  v j  w k véc tơ vận tốc phần không khí, coi   hàm x, y, z, t (trong i, j , k véc tơ đơn vị trục x, y, z tương ứng) Sự dịch chuyển thực thể vật chất dọc theo quỹ đạo hạt không khí với bảo tồn cường độ mơ tả bởi phương trình: d 0 dt (1.1.1) Hay     u v w 0 t x y z (1.1.2) Do ở lớp khí quyển lớp tiếp giáp với mặt đất, với độ chính xác cao, có thể xem khơng khí chất khơng nén được, thể phương trình liên tục u v w    x y z Từ phương trình (1.1.2) ta đến phương trình    divV  t (1.1.3) (1.1.4)  Về sau, không nói thêm ta ln xem divV  Ta đưa vào phương trình (1.1.4) điều kiện ban đầu:   0 t  (1.1.5) điều kiện biên S miền trụ G   S S un  (1.1.6)  0 ,S hàm cho trước, un hình chiếu véc tơ V lên pháp tuyến ngồi mặt S Để tìm nghiệm  ( x, y, z, t ) toán (1.1.4) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận Luận văn đề cập đến việc nghiên cứu mơ hình phương pháp giải tốn nhiễm mơi trường, vấn đề xã hội quan tâm Kết chính luận văn gồm có: Trình bày học tập mơ hình tốn học mơ tả tốn nhiễm mơi trường nghiên cứu tính nghiệm toán Trình bày thuật tốn phân chiều nhiều chiều giải tốn nhiễm mơi trường, chứng minh tính đắn thuật toán phân rã đồng thời cấp chính xác phương pháp Trên sở phương pháp sai phân phương pháp phân rã đưa việc tìm nghiệm số tốn nhiễm mơi trường việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính dang đường chéo Đánh giá độ phức tạp thuật toán Sử dụng ngơn ngữ Matlab thuật tốn truy đuổi đường chéo xác định nghiệm số tốn nhiễm môi trường trường hợp nguồn phát nhiều nguồn phát chứng tỏ tính khả thi phương pháp phân rã việc giải tốn nhiễm môi trường Hướng phát triển luận văn áp dụng kết đạt mặt lý thuyết, tiến hành khảo sát tính toán ô nhiễm môi trường thực tế (cụ thể Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Tạ Văn Đĩnh (2002), Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Vũ Vinh Quang, Nguyễn đình Dũng (2008), Các kết ứng dụng phương pháp phân rã giải tốn nhiễm mơi trường, Tajp chí khoa học Công nghệ Đại học Thái nguyên, T1 (45), 48-54 [3] Samarskij A and Nikolaev E (1989), Numerical Methods for Grid Equations, Vol 2, Birkhauser, Basel [4] Marchuk G.I (1982), Methods of Numerical Mathematics, Springer, New York [5] Dang Quang A (2002), Monotone difference schems for solving some problems of air pollution, Advances in Nature Sciences, 3(4), pp 297304 [6] Dang Quang A, Ngo Van Luoc (1992), Extract solution of a stationary problem of air pollution, Proc of the NCST of Vietnam, 4(2), pp 39-46 [7] Dang Quang A, Nguyen Dong Anh (1996), On numerical modeling for dispersion of active pollutants from an elevated point source, Vietnam Journal of math, 24(3), pp 315-325 [8] Ngo van Luoc, Dang Quang A, Nguyen Cong Dieu (1993), Analytic and numerical solution of some problems of air pollution, SEA Bull Math, pp 105-117 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn PHẦN PHỤ LỤC Chƣơng trình nguồn giải tốn nguồn phát theo thuật toán phân rã % Trường hợp nguồn phát đặt tọa độ (0,0) % Ngơn ngữ lập trình Matlab 7.0 % Ngày lập trình: 3/1/2013 clear all clc global X Y Z K M L dem % Các tham số toán alpha=1; muy=1; sixma=1; gama=1; u=2; % Vận tốc gió theo phương x v=1; % Vận tốc gió theo phương y w=0; % Vận tốc gió theo phương z K=40;% So khoang chia theo phuong x L=40;% So khoang chia theo phuong y M=40;% So khoang chia theo phuong z T=40;% So khoang chia theo truc thoi gian X=1; Y=1; Z=1; tg=1; dem=1; hx=X/K;hxx=hx*hx; hy=Y/L;hyy=hy*hy; hz=Z/M;hzz=hz*hz; to=tg/T; saiso=0; % Tinh gia tri ban dau for k=0:K; x=k*hx; for l=0:L; y=l*hy; for m=0:M; z=m*hz; phi1(dem+k,dem+l,dem+m)=0; end; end; end; j=1; while j