có mục đích tìm hiểu bài toán tối ưu trên tập điểm hữu hiệu và trình bàythuật toán chia đôi nêu ở [4] giải bài toán.Luận văn được viết dựa chủ yếu trên các tài liệu tham khảo [1] - [4]hi
Tập lồi và tập lồi đa diện
Tổ hợp lồi
Ta ký hiệu R n là không gian Euclid n-chiều trên trường số thực R, mỗi phần tử x ∈ R n là một véc-tơ n-tọa độ là các số thực Một đường thẳng nối hai điểm (hai véc-tơ) a, b trong R n là tập tất cả các véc-tơ x ∈ R n có dạng
{x ∈R n :x =αa+βb, α, β ∈ R, α+β = 1}. Đoạn thẳng nối hai điểm a và b trong R n là tập hợp các véc-tơ có dạng
Tập lồi là một khái niệm cơ bản nhất của giải tích lồi, nó được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.1 Một tập C ⊆ R n được gọi là một tập lồi, nếu C chứa một đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó Tức là C lồi khi và chỉ khi
Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (véc-tơ) x 1 , , x k nếu x k
Mệnh đề 1.1 Tập hợp C lồi khi và chỉ khi C chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm của nó Tức là C lồi khi và chỉ khi
Chứng minh Điều kiện đủ là hiển nhiên từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần bằng quy nạp theo số điểm Với k = 2, điều cần chứng minh suy ra ngay từ định nghĩa của tập lồi và tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề đúng với k−1 điểm Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với k điểm.
Giả sử x 1 , , x k ∈C là tổ hợp lồi của k điểm Tức là x k
X j =1 λj ξ = 1. và λ ξ j > 0 với mọi j = 1, , k−1 nên theo giả thiết quy nạp, điểm y k− 1
X j=1 λj = 1, nên x là một tập hợp lồi của hai điểm y và x k đều thuộc C Vậy x∈ C Lớp các tập lồi là đóng với các phép giao, phép cộng đại số và phép nhân tích Decastes Cụ thể ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2 Nếu A, B là các tập lồi trong R n , C là lồi trong R m , thì các tập sau là lồi:
Tìm tập đỉnh của một đa diện lồi
Chương 2 "Bài toán tối ưu trên tập điểm hữu hiệu"
2.2 Thủ tục xấp xỉ ngoài giải bài toán phụ (Pk)
Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn GS.TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô của Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên và của Viện Toán học, Viện Công nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.
Do thời gian có hạn nên luận văn này chủ yếu chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề đặt ra Trong quá trình viết luận văn cũng như trong soạn thảo văn bản chắc chắn không tránh khỏi có những sai sót nhất định Tác giả luận văn rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Học viênTrần Thị Dung
Bài toán tối ưu trên tập điểm Pareto 17 2.1 Nội dung bài toán
Ví dụ minh họa
Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn GS.TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô của Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên và của Viện Toán học, Viện Công nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.
Do thời gian có hạn nên luận văn này chủ yếu chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề đặt ra Trong quá trình viết luận văn cũng như trong soạn thảo văn bản chắc chắn không tránh khỏi có những sai sót nhất định Tác giả luận văn rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Học viênTrần Thị Dung
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này nhắc lại một số khái niệm và kết quả về tập lồi và tập lồi đa diện Tiếp theo giới thiệu bài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu Cuối cùng nêu cách tìm đỉnh hữu hiệu và cách tìm tập đỉnh của một đa diện lồi. 1.1 Tập lồi và tập lồi đa diện
Ta ký hiệu R n là không gian Euclid n-chiều trên trường số thực R, mỗi phần tử x ∈ R n là một véc-tơ n-tọa độ là các số thực Một đường thẳng nối hai điểm (hai véc-tơ) a, b trong R n là tập tất cả các véc-tơ x ∈ R n có dạng
{x ∈R n :x =αa+βb, α, β ∈ R, α+β = 1}. Đoạn thẳng nối hai điểm a và b trong R n là tập hợp các véc-tơ có dạng
Tập lồi là một khái niệm cơ bản nhất của giải tích lồi, nó được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.1 Một tập C ⊆ R n được gọi là một tập lồi, nếu C chứa một đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó Tức là C lồi khi và chỉ khi
Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (véc-tơ) x 1 , , x k nếu x k
Mệnh đề 1.1 Tập hợp C lồi khi và chỉ khi C chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm của nó Tức là C lồi khi và chỉ khi
Chứng minh Điều kiện đủ là hiển nhiên từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần bằng quy nạp theo số điểm Với k = 2, điều cần chứng minh suy ra ngay từ định nghĩa của tập lồi và tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề đúng với k−1 điểm Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với k điểm.
Giả sử x 1 , , x k ∈C là tổ hợp lồi của k điểm Tức là x k
X j =1 λj ξ = 1. và λ ξ j > 0 với mọi j = 1, , k−1 nên theo giả thiết quy nạp, điểm y k− 1
X j=1 λj = 1, nên x là một tập hợp lồi của hai điểm y và x k đều thuộc C Vậy x∈ C Lớp các tập lồi là đóng với các phép giao, phép cộng đại số và phép nhân tích Decastes Cụ thể ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2 Nếu A, B là các tập lồi trong R n , C là lồi trong R m , thì các tập sau là lồi:
Chứng minh Dễ dàng được suy ra trực tiếp từ định nghĩa 1.1.2 Tập lồi đa diện Định nghĩa 1.2 Một tập được gọi là tập lồi đa diện, nếu nó là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng.
Nhận xét 1.1 i) R n , ∅ là các tập lồi đa diện. ii) Tập lồi đa diện là tập hợp nghiệm của một hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính Dạng tường minh của một tập lồi đa diện được cho như sau:
Nếu ký hiệu A là ma trận có m hàng là véc-tơ a i với i = 1, , m và véc-tơ b= (b1, , bm) T thì hệ trên viết được là
Chú ý rằng, do một phương trình ha, xi= b, có thể viết một cách tương đương dưới dạng hai bất phương trình ha, xi ≤ b và h−a, xi ≤ −b.
Tập nghiệm của một hệ hữu hạn các phương trình và bất phương trình tuyến tính cũng là một tập lồi đa diện. Định nghĩa 1.3 Tập lồi D được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại các điểm v 1 , , v k ∈ R n và các phương d 1 , , d q ∈ R n sao cho
X i =1 λi = 1, à1, , àq ≥ 0}. Định lý 1.1 Một tập con khác rỗng F ⊂ D là một diện thực sự của D khi và chỉ khi:
≤ bi, i /∈ I} với I là tập chỉ số sao cho I0 ⊂ I ⊂ {1, , m} (I - tập chỉ số xác định diện
Hơn nữa, dim F = n−rank {a i : i ∈ I} và dim D = n− rank {a i : i ∈ I0}.
Hệ quả 1.1 Nếu D là một tập lồi đa diện xác định bởi hệ a i , x
≤ bi, i = 1, , m (a i ∈ R n , bi ∈ R) (1.1) thì a) Điểm x 0 ∈ D là một đỉnh của D khi và chỉ khi rank {a i : i ∈
I(x 0 )} = n, nghĩa là x 0 thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính của hệ (1.1); b) Nếu một đoạn thẳng (nửa đường thẳng hay cả đường thẳng) Γ ⊂ D là một cạnh của D thì Γ được xác định bởi một tập chỉ số I sao cho rank {a i : i ∈ I} = n− 1, tức là mọi x ∈ ri Γ cùng thỏa mãn chặt n−1 ràng buộc độc lập tuyến tính của hệ (1.1). Định lý 1.2 a) Mỗi đa diện lồi C bằng bao lồi của tất cả các đỉnh của nó: C = conv C¨ hay x ∈ C khi và chỉ khi x = λ1v 1 + .+λkv k với mọi λi ≥ 0, λ1+ .+λk = 1 và v i (i = 1, , k) là các đỉnh của C. b) Với tập lồi đa diện C không bị chặn, mỗi x ∈ C có thể biểu diễn dưới dạng một tổ hợp lồi của các đỉnh của C cộng với một tổ hợp tuyến tính không âm của các phương cực biên của C, nghĩa là x ∈ C khi và chỉ khi x = λ1v 1 + .+λkv k +à1d 1 + .+àqd q với mọi λ1, , λk ≥ 0, λ1 + .+λk = 1, à1, , àq ≥ 0, k, q là số nguyờn và v i (i = 1, , k) là các đỉnh của C, d j (j = 1, , q) là các phương của các cạnh vô hạn của C. 1.2 Bài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu
Cho f, g1, , gr là các hàm lồi liên tục, gr+1, , gm là các hàm tuyến tính afin trên tập lồi đóng X Ký hiệu
Bài toán qui hoạch lồi có dạng minx ∈ C f(x) (CP)
Bài toán đối ngẫu của (CP) như sau sup λ 1 , ,λ r ≥ 0 xinf∈ XL(x, λ) (DCP)
Ta có định lý đối ngẫu Lagrange sau đây. Định lý 1.3 Giả sử i) Bài toán (CP) có nghiệm. ii) Điều kiện Slater thỏa mãn, tức tồn tại x 0 sao cho gi(x 0 ) < 0, ∀i 1, , r và gi(x 0 ) = 0, ∀i = r+ 1, , m Khi đó (CP) và (DCP) là cặp bài toán đối ngẫu chính xác. Định lý 1.4 Cho f là hàm lồi, C là tập lồi đa diện khác rỗng và C ⊂ domf Giả sử C không chứa đường thẳng nào và f bị chặn trên C Khi đó supremum của f đạt tại một trong các đỉnh của C. Định lý 1.5 (Định lý minimax) Cho C ⊂ R m và D ⊂ R n là các tập lồi khác rỗng, K(u, v) là hàm lồi theo u lõm theo v, xác định và liên tục trên C ×D Nếu ít nhất một trong hai tập C và D bị chặn, ta có v∈Dinf sup u∈C
K(u, v) = sup u∈C v∈Dinf K(u, v). Định nghĩa 1.4 Cho X là một tập trong không gian hữu hạn chiều R n Cho R n + = {x ∈ R n : xi ≥ 0, i = 1, , n} là nón các phần tử không âm của R n , phần trong của R n
+ Ta nói điểm x∈ X là i) cực đại (cực tiểu) Pareto của tập X nếu y−x /∈ R n + , ∀y ∈ X, y 6= x (tương ứng x−y /∈R n
+, ∀y ∈X, y 6= x). ii) cực đại (cực tiểu) Pareto yếu của tập X nếu y −x /∈ {0} ∪int R n
∀y ∈ X, y 6= x (tương ứng x−y /∈ {0} ∪int R n + , ∀y ∈ X, y 6=x). Cho x= (x1, , xn), y = (y1, , yn) ∈ R n Ta nói i) x nhỏ hơny, ký hiệux ≤ y, nếu x6= y và xi ≤ yi với mọi i= 1, , n. ii) x nhỏ hơn hẳn y, ký hiệu x < y, nếu xi < yi với mọi i = 1, , n. Khi đó ta có hai mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.3 Cho X ⊂ R n , khi ấy: i) x là cực đại (cực tiểu) Pareto khi và chỉ khi X ∩ (x +R n + ) = {x} (tương ứng X ∩(x−R n
Nói cách khác, x là cực đại (cực tiểu) Pareto khi và chỉ khi không tồn tại điểm y ∈X, y 6=x để x≤ y (không tồn tại điểm y ∈ X, y 6= x để y ≤ x). ii) xlà cực đại (cực tiểu) Pareto yếu khi và chỉ khiX∩(x+intR n + ) ={∅} (tương ứng X ∩(x−int R n
Nói cách khác x là cực đại (cực tiểu) Pareto yếu khi và chỉ khi không tồn tại điểm y ∈ X để x < y (không tồn tại điểm y ∈X để y < x).
Mệnh đề 1.4 Tập các cực đại (cực tiểu) Pareto chứa trong tập các cực đại (cực tiểu) Pareto yếu. Định lý 1.6 Nếu X ⊂ R n là tập compact thì các tập cực đại Pareto, cực tiểu Pareto của X khác rỗng.
Hệ quả dưới đây sẽ cho phép khẳng định tính khác rỗng của tập Pareto.